[数学]2023_2024学年上海高二下学期期末数学试卷(民办尚德实验学校)(原题版+解析版)

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2023~2024学年上海高二下学期期末数学试卷（民办尚德实验学校）
1. 已知
，则“
”是“
”的（
）
、
A. 充分非必要条件
B. 必要非充分条件
C. 充要条件
D. 既非充分也非必要条件
答案
解析
A
【分析】
直接根据充分性和必要性的定义判断即可.
【详解】
若“
当
”则“
时，“
”成立，是充分条件；
”， ，是不必要条件；
”的充分非必要条件，
“
”是“
故选：A.
2. 下列求导计算正确的是（
A.
）
B.
C.
D.
答案
解析
B
A 选项：
B 选项：
，错误．
，正确．
C 选项：
D 选项：
故选 B .
，错误．
，错误．
3. 已知函数
，其导函数
的图象如图所示，则（
）
A.
有2个极值点
B.
在
处取得极小值
C.
有极大值，没有极小值
D.
在
上单调递减
答案
解析
C
【分析】
通过导函数图象分析函数的单调性即可得出结论.
【详解】
由题意及图得，当
时，
；当
时 ，
；
所以
则
在
上单调递增，在
上单调递减，
有一个极大值，没有极小值，故ABD错误，C正确，
故选：C.
4. 设非空集合S={x| m≤x≤l}满足：当x∈S时，有x2∈S . 给出如下三个命题：
①若m=1，则S={1}；②若m=
其中正确命题的个数是
，则 ≤ l ≤ 1；③ l= ，则

A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
答案
D
解析
【分析】
根据集合中元素与集合的关系，分别列不等式求出范围，即可判断．
【详解】
非空集合S={x|m⩽x⩽l}满足：当x∈S时,有 ∈S.
对于①，若m=1,可得
，则
，则
，∴①对；
对于②，若m= ,满足 ∈S时,有
，∴ ≤ l ≤ 1，②对；
对于③，若l= ，可得
，则
.∴③对
故选：D.
【点睛】
本题主要考查集合与元素的关系，理清元素的性质，根据三个结论列不等式是解题的关键，属于难题.
5. 已知集合
，则
．
答案
解析
【分析】
根据集合交集运算即可.
【详解】
由于
，则
.
故答案为：
.
6. 函数
的定义域是
答案
解析
【分析】
根据根式定义域结合绝对值不等式求解即可.
【详解】
依题意，
，即
，
，即
.
故答案为：
7. 若
，则
．
答案
解析
3
【分析】
根据导数的定义和导数的求导法则计算即可．
【详解】
，又
，故
.
故答案为：3.
8. 关于x的方程
的解集为
．
答案

；
解析
解：当
时，原不等式为
时，原不等式为
，解得
，解得
，不成立；
，不成立；
当
当
当
时，原不等式为
，恒成立；
时，原不等式为
，解得
，不成立；
所以原不等式的解集为
因此正确答案为：
，
9. 设
，
，则
．（结果用 和 表示）
答案
解析
【分析】
根据换底公式求解即可.
【详解】
.
故答案为：
10. 已知
，且
且
，则
答案
解析
1
【分析】
依题意
是
的两根，再根据韦达定理求解即可.
的两根，故
【详解】
依题意
，故
是
.
故答案为：1
11. 设
，则满足
的 的取值范围为
．
答案
解析
，解得
. 故 的取值范围为
.故答案为：
12. 曲线
在
点处的切线方程为
．
答案
解析
【分析】
先求得函数的导数，根据导数的几何意义求得切线的斜率，根据点斜式求得切线方程．
【详解】
曲线
所以
点
在曲线上，所以
所以由点斜式可得
化简可得
【点睛】
本题考查了导数的几何意义，切线方程的求法，属于基础题．

13. 已知
，若实数
且
，则
的最小值是
．
答案
解析
【分析】
利用奇函数得到等量关系，用基本不等式‘1’的代换处理即可.
【详解】
易知
必有
，且
，
，故
是奇函数，
，化简得
，则
时取等，则
，
当且仅当
，即
的最小值是
.
故答案为：
14. 采矿、采石或取土时，常用炸药包进行爆破，部分爆破呈圆锥漏斗形状（如图），已知圆锥的母线长是炸药包的爆破半径R，它的值是固定的．当
炸药包埋的深度为
可使爆破体积最大．
答案
解析
【分析】
先将圆锥的体积转化为关于深处 的关系式，再利用导数与函数性质的关系求得 的最大值点，从而得解.
【详解】
结合图形，可知圆锥的体积为
，
又因为
所以
，即
，
，
，则
，
令
，得
；令
，得
；
所以
所以在
在
上单调递增，在
取得最大值，
上单调递减，
处
所以炸药包要埋在
深处.
故答案为：
.
15. 已知函数
与
，若对任意的
，都存在
，使得
，则实数 的取值范
围是
.
答案
解析
【分析】
根据函数的单调性计算
，确定
的值域包含
，考虑
和
两种情况，根据二次函数性质计算值域
得到答案.
【详解】
，函数单调递减，
，都存在
，故
，使得
，
对任意的
故
，
的值域包含
，

①当
时，
，解得
，
此时
②当
，成立；
上单调递减，
，解得
时，函数在
，成立，
，即
；
综上所述：
故答案为：
.
16. 已知函数
有三个不同的零点
，其中
则
的值
为
.
答案
解析
1
【分析】
令
，则原函数会转化为关于 的一元二次方程的根，通过韦达定理确定根的情况，同时研究内层函数
的图象，数形结
合研究零点的范围.
【详解】
设
，
，
当
当
故
且
∴
时，
时，
；
，
在
上单调递增，在
上单调递减，
，
时，
；
，
时，
作出
的图象，如图
要使
令
有三个不同的零点
，其中
（其中
，则
需要有两个不同的实数根
）
可得
∵
，
，∴
，则
，则
∴
∴
，且
，
故答案为：1.
【点睛】
关键点点睛：数形结合的思想来确定零点所在的区间，以及零点之间的关系，再利用韦达定理化简进而求得结果。
17. 已知
(1)函数
．求：
的单调区间及极值；
(2)函数
在区间
上的最大值与最小值．
答案
(1)函数
的单调增区间为
在区间
和
，函数
的单调减区间为
；函数
极大值为
，极小值为
.
(2)函数
上的最大值为
，最小值为
.
解析
【分析】
（1）求导数，令
，得函数
的单调增区间，令
，得单调减区间，进而可得函数的极值；

（2）结合（1）中单调性，求出端点值，比较大小即可得解．
【详解】
（1）
令
的定义域为
，得
，
，
或
，令
，得
，函数
时，函数取到极小值，
，
函数
的单调增区间为
和
的单调减区间为
，
当
时，函数取得极大值，当
极大值为
函数
，极小值为
.
（2）由（1）可知
又
在
上单调递增，在
上单调递减，在
,
上单调递增，
，
，
函数
在区间
上的最大值为
，最小值为
．
18. 已知
.
(1)当
(2)若
时，求不等式
时，
的解集；
有零点，求 的范围.
答案
解析
(1)
(2)
【分析】
（1）化简不等式，再求解即可；
（2）转化为方程有解，再分离参数，求函数
【详解】
的值域即可.
（1）当
所以由
即
时，
，
可得
.
，
，
，所以
，解得
故不等式的解集为
（2）因为
所以
时，
有零点，
在
上有解，
即
令
在
上有解，
，
因为
，
，
所以
所以
，故
，
.
19. 随着环保意识的增强，电动汽车正成为人们购车的热门选择.某型号的电动汽车经高速路段（汽车行驶速度不低于
小时耗电量 （单位： ）与速度 （单位： ）的关系满足
行驶耗电量更大.现有一辆同型号电动汽车从 地经高速公路（最低限速
存量为 ，汽车到达B地后至少要保留
(1)判断该车是否可以在不充电的情况下到达B地，并说明理由；
(2)若途径服务区充电桩功率为 （充电量=充电功率 时间），求到达 地的最少用时（行驶时间与充电时间总和）.
）测试发现：①汽车每
；②相同路程内变速行驶比匀速
）驶到距离为 的B地，出发前汽车电池
，最高限速
的保障电量.（假设该电动汽车从静止加速到速度为 的过程中消耗的电量与路程都忽略不计）.
答案
解析
(1)该车不能在不充电的情况下到达B地，理由见解析
(2)
【分析】
（1）假设该车匀速行驶至B地，列出耗电量的表达式并利用单调性即可求得最小耗电量，可得出结论；
（2）根据耗电量与充电量、保障电量之间的关系，列出不等关系，由基本不等式即可求得结果.
【详解】

（1）设匀速行驶速度为 ，耗电量为
则
，
，
由对勾函数性质可知函数
在区间
单调递增，
，即最小耗电量大于电池存量减去保障电量，
所以该车不能在不充电的情况下到达B地；
（2）设匀速行驶速度为 ，总时间为 ，行驶时间与充电时间分别为
若能到达B地，则初始电量+充电电量-消耗电量 保障电量，
.
即
，
.
解得
.
当且仅当
，即
时取到等号
所以该汽车到达B地的最少用时为
.
20. 已知函数
（
且
）
（ 1 ）21. 若
（ 2 ）22. 若
（ 3 ）23. 若
，求函数的值域；
，是否存在正数 ，使得函数是偶函数，请说明理由；
，
，且函数在
上是严格增函数，求实数 的取值范围．
答案 （ 1 ）
；
（ 2 ）
（ 3 ）
；
．
解析 （ 1 ）若
可得函数
，
由指数函数值域易知
因此可得
，所以
，
，
即该函数的值域为
；
（ 2 ）若
，则函数
，显然定义域为 ，
假设存在正数 ，使得函数是偶函数，即满足
，
又易知
，即可得
，即
，
解得
此时
，
为偶函数，符合题意，
所以存在正数
（ 3 ）若
，
，使得函数是偶函数；
，则 ，
取
则
，且
，
若函数在
由于
上是严格增函数，则可知
，
，所以
，
又易知
，所以
在
上恒成立即可，
即
，因此求得
即可，
因此
当
可不予考虑，只需考虑
，易知
时成立即可；
，
显然
所以
为减函数，
；
当且仅当
因此
时，等号才成立，显然取不到等号，
．
．
即实数 的取值范围为

24. 对于在某个区间
上有意义的函数
在区间 上的弱渐近函数．
是否是函数 在区间
是函数 在区间
，使得
，如果存在一次函数
使得对于任意的
，有
恒成立，则
称函数
是函数
(1)判断
(2)若函数
上的弱渐近函数，并说明理由．
上的弱渐近函数，求实数m的取值范围；
在区间 上的弱渐近函数？若存在，求出实数k的取值范围；若不存在，说明理由．
(3)是否存在函数
是函数
答案
解析
(1)答案见解析
(2)
(3)不存在，理由见解析
（1）
因为
为恒正函数且在区间
在区间 上单调递减，故当
，得证．
是函数
在区间
上恒成立，
上恒成立，
上的最小值为 ，
上单调递增，
所以
时取得最大值，最大值为
故
（2）因为函数
在区间
上的弱渐近函数，
所以
上恒成立，
即
在区间
在区间
整理得：
因为
得
在
．
（3）不存在.
假设存在，则有
即
，对任意
成立，
等价于
等价于
，对任意
成立．
，对任意
成立
令
，令
，得
，
当
令
时，取得最大值，最大值为
，令
；
，得
，
易知
可得
，不存在．
所以，假设不成立，不存在函数
是函数
在区间
上的弱渐近函数．