[数学]2023_2024学年陕西宝鸡陇县陇县第二高级中学高二下学期期中数学试卷(教学质量检测)(原题版+解析版)

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2023~2024学年陕西宝鸡陇县陇县第二高级中学高二下学期期中数学试卷（教学质量检测）
1. 已知集合
A.
，则
（
）
B.
C.
D.
答案
解析
C
【分析】
利用集合的交集运算,计算即可.
【详解】
结合题意可知：
故选：C.
.
2. 函数
A. 1
，
的最小正周期是（
B. 2
）
C.
D.
答案
解析
B
【分析】
由周期公式可得.
【详解】
由
，
则
的最小正周期是
，
故选：B.
3. “
”是“
”的（
）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
答案
解析
C
【分析】
解不等式
【详解】
由
和
，根据充分条件、必要条件的定义即可判断.
，解得
，解得
与
或
;
由
或
,
所以
解集相同，
的充要条件.
故
是
故选：C.
4. 若向量
A.
，
，则向量
B.
的坐标为（
）
C.
D.
答案
解析
A
【分析】
根据向量的坐标运算即可.
【详解】

.
故选：A.
5. 下列函数中为奇函数的是（
）
A.
C.
B.
D.
答案
解析
D
【分析】
由函数定义域与奇函数定义判断可得.
【详解】
A项，函数
定义域为
，
不关于原点对称，非奇非偶函数，A错误；
B项，函数
则
，由
，
，故不是奇函数，B错误；
，由
C项，函数
，
则
，故不是奇函数，C错误；
D项，函数
，
，
，
，故是奇函数，D正确.
故选：D.
6. 已知
A.
，且
，
，则下列不等式成立的是（
B.
）
C.
D.
答案
解析
B
【分析】
对ACD举反例即可判断，对B根据不等式性质即可判断.
【详解】
对A，取
，则满足
，但
，故A错误；
对B，根据不等式性质
对C，取
，故B正确；
，则
，则
，故C错误；
对D，取
，故D错误.
故选：B.
7. 在
A.
中，角
的对边分别为
B.
，若
，则
（
）
C.
D.
答案
解析
A
【分析】
由正弦定理即可求解.
【详解】
根据题意，由正弦定理得
，即
.
故选：A.
8. 已知
A.
，则向量 与 夹角的大小为（
B.
）
C.
D.

答案
解析
D
【分析】
由向量夹角公式计算
，再由向量夹角范围即可求解.
【详解】
由题意，
，
因为向量夹角范围为
,
所以向量 与 夹角大小为
故选：D.
.
9. 函数
A.
的大致图象为（
B.
）
C.
D.
答案
解析
C
【分析】
先通过对数运算化简，然后由对数函数
【详解】
的图象变换即可求解.
令
，解得
，
由题意，
所以
，且
，
的图象由
图象向上平移一个单位长度即可.
故选：C.
10. 已知扇形所在圆的半径为2，扇形的弧长为 ，则扇形所对的圆心角的弧度为（
A. B. C.
）
D.
答案
解析
A
【分析】
设这个扇形的圆心角的弧度数为 ，根据弧长公式求解即可．
【详解】
设这个扇形的圆心角的弧度数为
根据扇形的弧长公式得
故选：A．
，
，
，解得
．
11. 已知
A.
，则（
）
B.
C.
D.
答案
解析
B
【分析】
利用指对数函数的知识得出的范围即可.
【详解】
因为函数
因为函数
因此
在
上单调递增，所以
，
在
上单调递增，所以
，
，
故选：B.

12. 为了得到函数
的图象，需要把函数
的图象（
）
A. 向左平移 个单位长度
B. 向右平移 个单位长度
C. 向左平移
个单位长度
D. 向右平移
个单位长度
答案
解析
B
【分析】
利用平移变换知识可得结论．
【详解】
把函数
的图象向右平移 个单位可得到
的图象，
故选：B．
13. 在如图所示的正六边形ABCDEF中，若
，则
（
）
A. 2
B. 5
C. 3
D. 4
答案
解析
D
【分析】
建立直角坐标系坐标表示向量，由向量相等关系建立方程组求解系数即可.
【详解】
以 为坐标原点，
所在直线为 轴，
所在直线为 轴建立如图所示的平面直角坐标系，
设正六边形ABCDEF边长为 ，
则
，
，
由
则
，
，
所以有
，解得
，
则
.
故选：D.
14. 一个袋子里装有四个形状、大小完全相同的球，球上标有数字分别为
的概率为（
A.
，
， ， ，从袋中随机抽取两个球，则取出的球上标的数字之和等于
D.
）
B.
C.
答案
解析
C

【分析】
利用列举法列出所有可能情况，再根据古典概型的概率公式计算即可.
【详解】
从标有数字
的 个球中随机抽取两个球，其可能结果有
共 个，
，
其中满足数字之和等于 的有
，
所以满足数字之和等于 的概率为
.
故选：C.
15. 已知一组数据为2，5，7，8，9，12，则这组数据的
A. 9 B.
分位数为（
）
C. 8
D. 7
答案
解析
A
【分析】
利用百分位数的求解公式即可求解．
【详解】
因为
，
所以这组数据的
故选：A．
分位数是第5个数，即为9．
16. 设
是两条不同的直线，
是三个不同的平面，则下列命题为假命题的是（
）
A. 若
B. 若
C. 若
D. 若
，则
，则
，则
，则
答案
解析
D
【分析】
根据空间直线、平面间的位置关系, 对四个选项逐一分析即可判断．
【详解】
对于A，因为
对于B，因为
，由线面平行的判断定理可得
，使得 ，
，故A正确；
，故C正确；
，所以存在
，所以 ，
又因为
由面面垂直的判定定理可得
，故B正确；
对于C，因为
对于D，如图平面
，
，由垂直于同一条直线的两个平面平行可得
平面 \displaystyle{A_{1}B_{1}C & _{1}D_{1}=A_{1}B_{1}} ，
平面 \displaystyle{A_{1}B_{1}C & _{1}D_{1}}
且
与
不平行，故D错误.
故选：D.
17. 甲、乙两人参加招聘测试，甲通过的概率为
A. B.
，乙通过的概率为
，则甲、乙两人都不通过的概率为（
C.
）
D.
答案
C

解析
【分析】
利用相互独立事件概率乘法公式
【详解】
求解即可．
解：由题知，甲、乙两人都不通过的概率为
故选：C．
，
18. 在
A. 6
中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若
B.
，则
（
）
C.
D.
答案
解析
D
【分析】
直接利用余弦定理转化求解即可．
【详解】
因为在
若
中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，
，
所以
，
所以
．
故选：D．
19. 某小学为了解学生的身体状况，抽取了
名学生的身高，将所得的数据整理后，画出了如图所示的频率分布直方图，则所抽取的学生身高在
的人数约为（
）
A. 100
B. 90
C. 80
D. 70
答案
解析
A
【分析】
由题意，先求得身高在
【详解】
的频率，再求人数即可.
的频率为
根据频率分布直方图得，身高在
，
所以人数约为
故选：A.
人.
20. 若
A. 1
都是正数，则
的最小值为（
B. 2
）
C. 3
D. 4
答案
解析
C
【分析】
利用基本不等式即可得解.
【详解】
因为 都是正数，则
，
，
所以
当且仅当
，即
时，等号成立.

则
的最小值为 .
故选：C.
21.
．
答案
解析
/
【分析】
利用诱导公式直接计算可得结果.
【详解】
易知
.
故答案为：
22. 若 是虚数单位，则复数
．
答案
解析
【分析】
由复数的四则运算即可求解.
【详解】
由题意，
故答案为：
.
.
23. 采用按比例分配的分层抽样的方法抽取一个容量为100的样本，初一年级被抽取30人，初二年级被抽取40人，初三年级共有600人，则这个学校
共有初中学生 人．
答案
解析
2000
【分析】
首先求出初三年级抽取的人数，再求出初中学生总人数；
【详解】
依题意，初三年级抽取
所以学校共有初中生人
人，又初三年级共有600人，
；
故答案为：2000.
24. 一个正方体的外接球的表面积为 ，则该正方体的边长为
．
答案
解析
【分析】
根据正方体体对角线与其外接球直径的关系，即可求出正方体的边长.
【详解】
依题意，正方体的体对角线长即为正方体的外接球的直径，
设球半径为 ，正方体棱长为 ，
即
，由外接球的表面积
，得
，
即
，解得
.
，
故答案为：

25. 已知 为锐角，
．
(1)求
(2)求
;
．
答案
(1)
(2)
；
．
解析
【分析】
（1）由二倍角公式计算即可；
（2）由两角和差的正弦公式计算即可.
【详解】
（1）由题意有
（2）由题意有
则
；
，
．
26. 如图，在三棱锥
中，
底面
分别是
的中点．
(1)证明：
(2)证明：
平面
；
平面
．
答案
解析
(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】
（1）由
（2）由
【详解】
（1）因为
则
分别为
底面
的中点得
，然后根据线面平行的判断定理即可证明；
，然后根据线面垂直的判断定理即可证明.
，得
，且
分别为
的中点，
，
所以
因为
平面
平面
平面
所以
.
（2）因为
所以
底面
，且
平面
，
，
因为
，
平面
且
，
平面
，
所以
平面
．
27. 甲、乙两人参加机动车驾驶员考试，甲过关的概率为
(1)两人都过关；
，乙过关的概率为
．求下列事件的概率：
(2)恰好有一人过关；
(3)至少有一人过关．
答案
(1)
(2)
(3)

解析
【分析】
（1）由相互独立事件概率的乘法公式即可得解；
（2）由相互独立事件概率的乘法公式、互斥事件概率的加法公式，运算即可得解；
（3）由互斥事件概率加法公式即可得解.
【详解】
（1）两人都过关的概率为
；
（2）恰好有一人过关的概率为
（3）至少有一人过关的概率为
；
．
28. 已知函数
为偶函数．
(1)求实数 的值；
(2)证明：函数
(3)求不等式
在
上单调递增；
的解集．
答案
(1)
(2)证明见解析
(3)
．
解析
【分析】
（1）根据函数
为偶函数可得
，整理即可求解；
（2）利用作差法即可证明函数的单调性；
（3）根据函数
【详解】
（1）由函数
可得
是偶函数且在
上单调递增，可得
，即可求解.
为偶函数，有
，
，
有
恒成立，解得
，
故实数 的值为 .
（2）由（1）可知
，
设
，由指数函数的性质有
，则 ，
，
可得
利用不等式的性质有
，
又由
，再由不等式的性质有
，
，
所以
，则
故函数
在
上单调递增；
（3）由函数
可知函数
为偶函数及函数
的递增区间为
在
上单调递增，
，递减区间为 ，如图所示，
可化为 ，
由函数
则
的图象和性质可知，不等式
或
，解得
或
，
故不等式
的解集为
．