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新高考数学二轮复习专题培优练习专题09 导数的几何意义及应用（2份打包，原卷版+解析版）
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这是一份新高考数学二轮复习专题培优练习专题09 导数的几何意义及应用（2份打包，原卷版+解析版），文件包含新高考数学二轮复习专题培优练习专题09导数的几何意义及应用原卷版doc、新高考数学二轮复习专题培优练习专题09导数的几何意义及应用解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共22页， 欢迎下载使用。
1．（2023届山西省运城市运城中学高三第二次模拟）函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以所求切线方程为： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
故选A
2．（2024届江苏省淮安市高三上学期第一次调研）函数 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 相切，则实数a的值为（ ）
A．1B．2C．eD． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】设函数 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 相切于 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 斜率为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .故选B
3．（2024届江苏省南通市如东县高三上学期期初学情检测）已知 SKIPIF 1 < 0 是奇函数，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 为奇函数，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
化简可得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，对任意 SKIPIF 1 < 0 方程成立，
故 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，所以切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .故选B
4．（2024届陕西省榆林市府谷县高三上学期第一次联考）若直线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 相切，直线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 相切，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．1D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】设直线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 相切于点 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 相切于点 SKIPIF 1 < 0 ，对 SKIPIF 1 < 0 求导得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
对 SKIPIF 1 < 0 求导得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
令 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增，
又 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .故选C.
5．（2024届河南省新未来高三上学9月联考）若存在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，使得直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的图象均相切，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 图象上的切点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则过这两点处的切线方程分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 为单调递增函数， SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 .故选C.
6．（2024届北京市八一学校高三上学期开学摸底考试）直线l经过点 SKIPIF 1 < 0 ，且与直线 SKIPIF 1 < 0 平行，如果直线l与曲线 SKIPIF 1 < 0 相切，那么b等于（ ）．
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．1D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】设切点为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 的导数为 SKIPIF 1 < 0 ，因为直线l经过点 SKIPIF 1 < 0 ，且与直线 SKIPIF 1 < 0 平行，所以切线的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，即切线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
可得切点为 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .故选B
7．（2024届重庆市第十一中学高三上学期第一次质量监测）已知曲线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 相切，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】设切点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，又切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，易知 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 递增，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 递减，
所以 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 取得最大值 SKIPIF 1 < 0 ．故选C．
8．（2024届广东省高三上学期新高考联合质量测评9月联考）过点 SKIPIF 1 < 0 作曲线 SKIPIF 1 < 0 的两条切线，切点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．3
【答案】D
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，设切点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
依题意关于 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 有两个不同的解 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，
即关于 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 有两个不同的解 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .故选D
9．（2023届云南省保山市高三二模）若函数 SKIPIF 1 < 0 与函数 SKIPIF 1 < 0 的图象存在公切线，则实数a的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】由函数 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，设切点为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
则公切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
与 SKIPIF 1 < 0 联立可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，整理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
又由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，且 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，此时函数 SKIPIF 1 < 0 单调递减，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，此时函数 SKIPIF 1 < 0 单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，且当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .故选A.
10．（2023届河南省信阳高级中学高三下学期2月测试）已知过点 SKIPIF 1 < 0 不可能作曲线 SKIPIF 1 < 0 的切线．对于满足上述条件的任意的b，函数 SKIPIF 1 < 0 恒有两个不同的极值点，则a的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 是曲线 SKIPIF 1 < 0 上的任意一点， SKIPIF 1 < 0 ，
所以在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
代入点 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由于过点 SKIPIF 1 < 0 不可能作曲线 SKIPIF 1 < 0 的切线，
则直线 SKIPIF 1 < 0 与函数 SKIPIF 1 < 0 的图象没有公共点，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上导数大于零，函数单调递增；
在区间 SKIPIF 1 < 0 上导数小于零，函数单调递减，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 取得极大值也即是最大值 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ．
对于满足此条件的任意的b，函数 SKIPIF 1 < 0 恒有两个不同的极值点，
等价于 SKIPIF 1 < 0 恒有两个不同的变号零点，
等价于方程 SKIPIF 1 < 0 有两个不同的解．
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即直线 SKIPIF 1 < 0 与函数 SKIPIF 1 < 0 的图象有两个不同的交点．
记 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
记 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增．令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减， SKIPIF 1 < 0 上单调递增．所以 SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 ．因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
即实数a的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ．故选A
二、多选题
11．（2024届福建省厦门市松柏中学高三上学期第一次月考）已知直线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 相切，则下列直线中可能与 SKIPIF 1 < 0 垂直的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】AC
【解析】 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率 SKIPIF 1 < 0 ，
设与 SKIPIF 1 < 0 垂直的直线的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
对于A，直线的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；
对于B，直线的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，故B错误；
对于C，直线的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；
对于D，直线的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，故D错误.故选AC.
12．（2024届广东省深圳市宝安第一外国语学校高三上学期8月月考）若过点 SKIPIF 1 < 0 可作 3 条直线与函数 SKIPIF 1 < 0 的图象相切， 则实数 SKIPIF 1 < 0 可能是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】BCD
【解析】设切点为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，又切线过 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增，
故当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取极小值 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取极大值 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 可知当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 的图象大致如图，
由图可知，当 SKIPIF 1 < 0 时，直线 SKIPIF 1 < 0 与函数 SKIPIF 1 < 0 的图象有3个交点，
此时过点 SKIPIF 1 < 0 可作3条直线与函数 SKIPIF 1 < 0 的图象相切，
由此可知，BCD符合题意，故选BCD
13．（2023届湖南省长沙市实验中学高三二模）已知 SKIPIF 1 < 0 ，若过点 SKIPIF 1 < 0 恰能作两条直线与曲线 SKIPIF 1 < 0 相切，其中 SKIPIF 1 < 0 ，则m与n可能满足的关系式为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】AD
【解析】设切点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，切线斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，曲线 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为 SKIPIF 1 < 0
将点 SKIPIF 1 < 0 的坐标代入切线方程可得 SKIPIF 1 < 0 ，
过点 SKIPIF 1 < 0 恰能作两条直线与曲线 SKIPIF 1 < 0 相切，
即方程 SKIPIF 1 < 0 有2个解，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的图象有2个交点，
SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
若 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故由图可知，当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的图象有2个交点，
此时， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .故选AD.
14．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 分别与曲线 SKIPIF 1 < 0 和曲线 SKIPIF 1 < 0 相切于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且直线 SKIPIF 1 < 0 也与曲线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 都相切，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】AD
【解析】选项A，B：易知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
则曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ．
曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故A正确，B错误；
选项C，D：曲线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，根据对称性可知， SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 的对称点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 的切点，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故C错误，D正确．故选AD
三、填空题
15．（2024届江西省乐安县第二中学高三上学期开学考试）已知直线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 相切，则实数 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】设切点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
16．（2023届江西省景德镇市高三第三次质量检测）若曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线与曲线 SKIPIF 1 < 0 相切于点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 切线斜率 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 切线方程可记为： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，易得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
17．（2024届江苏省常州高级中学高三上学期期初检测）在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，若过点 SKIPIF 1 < 0 且同时与曲线 SKIPIF 1 < 0 ，曲线 SKIPIF 1 < 0 都相切的直线有两条，则点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】设点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
显然这两条曲线的公切线存在斜率，设为 SKIPIF 1 < 0 ，
因此切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
设曲线 SKIPIF 1 < 0 的切点为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，所以过该切点的切线的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
则有 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 的切点为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，所以过该切点的切线的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
则有 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意可知： SKIPIF 1 < 0 ，于是有： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，或 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，则有 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，则有 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 可解， SKIPIF 1 < 0 .
18．（2024届福建省漳州市第三中学高三上学期9月月考）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，若过点 SKIPIF 1 < 0 可作曲线 SKIPIF 1 < 0 的三条切线，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】设过点 SKIPIF 1 < 0 的直线为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，设切点为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 有三个解，
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增， SKIPIF 1 < 0 单调递减，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 有三个解，
得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
19．（2024届江西省智学联盟体高三第一次联考）若过 SKIPIF 1 < 0 轴上任意点 SKIPIF 1 < 0 可作曲线 SKIPIF 1 < 0 两条切线，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】设曲线上一点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 点的切线方程 SKIPIF 1 < 0 ，
把 SKIPIF 1 < 0 点代入切线方程得 SKIPIF 1 < 0 ，得： SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，分别令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 解得
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增， SKIPIF 1 < 0 单调递减， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 要有两个解，
则 SKIPIF 1 < 0 即对任意 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
对任意 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，只要 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 单调递增，则 SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 ．
20．已知函数 SKIPIF 1 < 0 有两条与直线 SKIPIF 1 < 0 平行的切线，且切点坐标分别为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】由题意可知 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ,
由导数的几何意义可得，切点为 SKIPIF 1 < 0 时，切线斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
切点为 SKIPIF 1 < 0 时，切线斜率为 SKIPIF 1 < 0 ．
又∵两条切线与直线 SKIPIF 1 < 0 平行，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 是关于方程 SKIPIF 1 < 0 的两根，
由 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
四、解答题
21．（2023届河南省部分学校高三押题信息卷）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求证：曲线 SKIPIF 1 < 0 仅有一条过原点的切线；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 时，关于 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 有唯一解，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【解析】（1） SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设切点 SKIPIF 1 < 0 ，
则切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
当切线过原点时有 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即切点有且只有一个，则曲线 SKIPIF 1 < 0 仅有一条过原点的切线，即得证.
（2）关于 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 有唯一解，即方程 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 有唯一解，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，故当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 单调递增，且当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .
易知 SKIPIF 1 < 0 的图象与直线 SKIPIF 1 < 0 有且仅有一个交点，满足题意，此时 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，设 SKIPIF 1 < 0 有两个根 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
①若 SKIPIF 1 < 0 ，则当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增；
当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减，且当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .
故要使得 SKIPIF 1 < 0 有唯一解，则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 恒成立.
此时 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
则极大值 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减.
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 恒成立，故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
同理，极小值 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时无最小值，此时无实数 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 恒成立.
②若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，不满足 SKIPIF 1 < 0 ；
③若 SKIPIF 1 < 0 ，由①可得 SKIPIF 1 < 0 ；
故当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .
综上所述：
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .
22.（2024届江苏省南通市如东县高三上学期期初学情检）已知 SKIPIF 1 < 0 是函数 SKIPIF 1 < 0 的极值点.
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的极值；
(2)证明：过点 SKIPIF 1 < 0 可以作曲线 SKIPIF 1 < 0 的两条切线.
【解析】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 是函数 SKIPIF 1 < 0 的极值点，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
即 SKIPIF 1 < 0 ，
易知当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
因为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增， SKIPIF 1 < 0 上单调递减， SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得极大值 SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得极小值 SKIPIF 1 < 0 .
（2）设切点 SKIPIF 1 < 0 ，
则切线方程是 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 代入得 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 .
设 SKIPIF 1 < 0 ，则
SKIPIF 1 < 0 .
易知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减， SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
SKIPIF 1 < 0 上单调递减， SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
又因 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有且只有一个零点.
又因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有且只有一个等点.
又因为当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上没有零点；
即 SKIPIF 1 < 0 有且仅有两个零点，也即过点 SKIPIF 1 < 0 可以作曲线 SKIPIF 1 < 0 的两条切线.
1．（2023届山西省运城市运城中学高三第二次模拟）函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以所求切线方程为： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
故选A
2．（2024届江苏省淮安市高三上学期第一次调研）函数 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 相切，则实数a的值为（ ）
A．1B．2C．eD． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】设函数 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 相切于 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 斜率为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .故选B
3．（2024届江苏省南通市如东县高三上学期期初学情检测）已知 SKIPIF 1 < 0 是奇函数，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 为奇函数，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
化简可得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，对任意 SKIPIF 1 < 0 方程成立，
故 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，所以切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .故选B
4．（2024届陕西省榆林市府谷县高三上学期第一次联考）若直线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 相切，直线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 相切，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．1D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】设直线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 相切于点 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 相切于点 SKIPIF 1 < 0 ，对 SKIPIF 1 < 0 求导得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
对 SKIPIF 1 < 0 求导得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
令 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增，
又 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .故选C.
5．（2024届河南省新未来高三上学9月联考）若存在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，使得直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的图象均相切，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 图象上的切点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则过这两点处的切线方程分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 为单调递增函数， SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 .故选C.
6．（2024届北京市八一学校高三上学期开学摸底考试）直线l经过点 SKIPIF 1 < 0 ，且与直线 SKIPIF 1 < 0 平行，如果直线l与曲线 SKIPIF 1 < 0 相切，那么b等于（ ）．
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．1D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】设切点为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 的导数为 SKIPIF 1 < 0 ，因为直线l经过点 SKIPIF 1 < 0 ，且与直线 SKIPIF 1 < 0 平行，所以切线的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，即切线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
可得切点为 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .故选B
7．（2024届重庆市第十一中学高三上学期第一次质量监测）已知曲线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 相切，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】设切点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，又切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，易知 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 递增，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 递减，
所以 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 取得最大值 SKIPIF 1 < 0 ．故选C．
8．（2024届广东省高三上学期新高考联合质量测评9月联考）过点 SKIPIF 1 < 0 作曲线 SKIPIF 1 < 0 的两条切线，切点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．3
【答案】D
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，设切点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
依题意关于 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 有两个不同的解 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，
即关于 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 有两个不同的解 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .故选D
9．（2023届云南省保山市高三二模）若函数 SKIPIF 1 < 0 与函数 SKIPIF 1 < 0 的图象存在公切线，则实数a的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】由函数 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，设切点为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
则公切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
与 SKIPIF 1 < 0 联立可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，整理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
又由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，且 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，此时函数 SKIPIF 1 < 0 单调递减，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，此时函数 SKIPIF 1 < 0 单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，且当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .故选A.
10．（2023届河南省信阳高级中学高三下学期2月测试）已知过点 SKIPIF 1 < 0 不可能作曲线 SKIPIF 1 < 0 的切线．对于满足上述条件的任意的b，函数 SKIPIF 1 < 0 恒有两个不同的极值点，则a的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 是曲线 SKIPIF 1 < 0 上的任意一点， SKIPIF 1 < 0 ，
所以在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
代入点 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由于过点 SKIPIF 1 < 0 不可能作曲线 SKIPIF 1 < 0 的切线，
则直线 SKIPIF 1 < 0 与函数 SKIPIF 1 < 0 的图象没有公共点，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上导数大于零，函数单调递增；
在区间 SKIPIF 1 < 0 上导数小于零，函数单调递减，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 取得极大值也即是最大值 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ．
对于满足此条件的任意的b，函数 SKIPIF 1 < 0 恒有两个不同的极值点，
等价于 SKIPIF 1 < 0 恒有两个不同的变号零点，
等价于方程 SKIPIF 1 < 0 有两个不同的解．
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即直线 SKIPIF 1 < 0 与函数 SKIPIF 1 < 0 的图象有两个不同的交点．
记 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
记 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增．令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减， SKIPIF 1 < 0 上单调递增．所以 SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 ．因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
即实数a的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ．故选A
二、多选题
11．（2024届福建省厦门市松柏中学高三上学期第一次月考）已知直线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 相切，则下列直线中可能与 SKIPIF 1 < 0 垂直的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】AC
【解析】 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率 SKIPIF 1 < 0 ，
设与 SKIPIF 1 < 0 垂直的直线的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
对于A，直线的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；
对于B，直线的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，故B错误；
对于C，直线的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；
对于D，直线的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，故D错误.故选AC.
12．（2024届广东省深圳市宝安第一外国语学校高三上学期8月月考）若过点 SKIPIF 1 < 0 可作 3 条直线与函数 SKIPIF 1 < 0 的图象相切， 则实数 SKIPIF 1 < 0 可能是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】BCD
【解析】设切点为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，又切线过 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增，
故当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取极小值 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取极大值 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 可知当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 的图象大致如图，
由图可知，当 SKIPIF 1 < 0 时，直线 SKIPIF 1 < 0 与函数 SKIPIF 1 < 0 的图象有3个交点，
此时过点 SKIPIF 1 < 0 可作3条直线与函数 SKIPIF 1 < 0 的图象相切，
由此可知，BCD符合题意，故选BCD
13．（2023届湖南省长沙市实验中学高三二模）已知 SKIPIF 1 < 0 ，若过点 SKIPIF 1 < 0 恰能作两条直线与曲线 SKIPIF 1 < 0 相切，其中 SKIPIF 1 < 0 ，则m与n可能满足的关系式为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】AD
【解析】设切点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，切线斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，曲线 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为 SKIPIF 1 < 0
将点 SKIPIF 1 < 0 的坐标代入切线方程可得 SKIPIF 1 < 0 ，
过点 SKIPIF 1 < 0 恰能作两条直线与曲线 SKIPIF 1 < 0 相切，
即方程 SKIPIF 1 < 0 有2个解，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的图象有2个交点，
SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
若 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故由图可知，当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的图象有2个交点，
此时， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .故选AD.
14．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 分别与曲线 SKIPIF 1 < 0 和曲线 SKIPIF 1 < 0 相切于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且直线 SKIPIF 1 < 0 也与曲线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 都相切，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】AD
【解析】选项A，B：易知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
则曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ．
曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故A正确，B错误；
选项C，D：曲线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，根据对称性可知， SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 的对称点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 的切点，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故C错误，D正确．故选AD
三、填空题
15．（2024届江西省乐安县第二中学高三上学期开学考试）已知直线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 相切，则实数 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】设切点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
16．（2023届江西省景德镇市高三第三次质量检测）若曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线与曲线 SKIPIF 1 < 0 相切于点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 切线斜率 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 切线方程可记为： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，易得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
17．（2024届江苏省常州高级中学高三上学期期初检测）在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，若过点 SKIPIF 1 < 0 且同时与曲线 SKIPIF 1 < 0 ，曲线 SKIPIF 1 < 0 都相切的直线有两条，则点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】设点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
显然这两条曲线的公切线存在斜率，设为 SKIPIF 1 < 0 ，
因此切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
设曲线 SKIPIF 1 < 0 的切点为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，所以过该切点的切线的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
则有 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 的切点为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，所以过该切点的切线的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
则有 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意可知： SKIPIF 1 < 0 ，于是有： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，或 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，则有 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，则有 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 可解， SKIPIF 1 < 0 .
18．（2024届福建省漳州市第三中学高三上学期9月月考）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，若过点 SKIPIF 1 < 0 可作曲线 SKIPIF 1 < 0 的三条切线，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】设过点 SKIPIF 1 < 0 的直线为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，设切点为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 有三个解，
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增， SKIPIF 1 < 0 单调递减，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 有三个解，
得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
19．（2024届江西省智学联盟体高三第一次联考）若过 SKIPIF 1 < 0 轴上任意点 SKIPIF 1 < 0 可作曲线 SKIPIF 1 < 0 两条切线，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】设曲线上一点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 点的切线方程 SKIPIF 1 < 0 ，
把 SKIPIF 1 < 0 点代入切线方程得 SKIPIF 1 < 0 ，得： SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，分别令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 解得
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增， SKIPIF 1 < 0 单调递减， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 要有两个解，
则 SKIPIF 1 < 0 即对任意 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
对任意 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，只要 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 单调递增，则 SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 ．
20．已知函数 SKIPIF 1 < 0 有两条与直线 SKIPIF 1 < 0 平行的切线，且切点坐标分别为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】由题意可知 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ,
由导数的几何意义可得，切点为 SKIPIF 1 < 0 时，切线斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
切点为 SKIPIF 1 < 0 时，切线斜率为 SKIPIF 1 < 0 ．
又∵两条切线与直线 SKIPIF 1 < 0 平行，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 是关于方程 SKIPIF 1 < 0 的两根，
由 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
四、解答题
21．（2023届河南省部分学校高三押题信息卷）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求证：曲线 SKIPIF 1 < 0 仅有一条过原点的切线；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 时，关于 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 有唯一解，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【解析】（1） SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设切点 SKIPIF 1 < 0 ，
则切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
当切线过原点时有 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即切点有且只有一个，则曲线 SKIPIF 1 < 0 仅有一条过原点的切线，即得证.
（2）关于 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 有唯一解，即方程 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 有唯一解，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，故当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 单调递增，且当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .
易知 SKIPIF 1 < 0 的图象与直线 SKIPIF 1 < 0 有且仅有一个交点，满足题意，此时 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，设 SKIPIF 1 < 0 有两个根 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
①若 SKIPIF 1 < 0 ，则当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增；
当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减，且当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .
故要使得 SKIPIF 1 < 0 有唯一解，则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 恒成立.
此时 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
则极大值 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减.
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 恒成立，故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
同理，极小值 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时无最小值，此时无实数 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 恒成立.
②若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，不满足 SKIPIF 1 < 0 ；
③若 SKIPIF 1 < 0 ，由①可得 SKIPIF 1 < 0 ；
故当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .
综上所述：
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .
22.（2024届江苏省南通市如东县高三上学期期初学情检）已知 SKIPIF 1 < 0 是函数 SKIPIF 1 < 0 的极值点.
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的极值；
(2)证明：过点 SKIPIF 1 < 0 可以作曲线 SKIPIF 1 < 0 的两条切线.
【解析】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 是函数 SKIPIF 1 < 0 的极值点，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
即 SKIPIF 1 < 0 ，
易知当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
因为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增， SKIPIF 1 < 0 上单调递减， SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得极大值 SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得极小值 SKIPIF 1 < 0 .
（2）设切点 SKIPIF 1 < 0 ，
则切线方程是 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 代入得 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 .
设 SKIPIF 1 < 0 ，则
SKIPIF 1 < 0 .
易知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减， SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
SKIPIF 1 < 0 上单调递减， SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
又因 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有且只有一个零点.
又因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有且只有一个等点.
又因为当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上没有零点；
即 SKIPIF 1 < 0 有且仅有两个零点，也即过点 SKIPIF 1 < 0 可以作曲线 SKIPIF 1 < 0 的两条切线.
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