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新高考数学二轮复习专题培优练习专题22 圆锥曲线的几何性质（2份打包，原卷版+解析版）
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这是一份新高考数学二轮复习专题培优练习专题22 圆锥曲线的几何性质（2份打包，原卷版+解析版），文件包含新高考数学二轮复习专题培优练习专题22圆锥曲线的几何性质原卷版doc、新高考数学二轮复习专题培优练习专题22圆锥曲线的几何性质解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共24页， 欢迎下载使用。
1．（2024届湖南省天壹名校联盟高三上学期联考）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的一条渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．3
【答案】A
【解析】由题设知， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .故选A.
2．（2024届福建省福州第八中学高三上学期质检卷）已知 SKIPIF 1 < 0 的顶点在抛物线 SKIPIF 1 < 0 上，若抛物线的焦点 SKIPIF 1 < 0 恰好是 SKIPIF 1 < 0 的重心，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】A
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 ，抛物线 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，焦点 SKIPIF 1 < 0 恰好是 SKIPIF 1 < 0 的重心，
则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ．故选A．
3．（2024届广东省七校联合体高三上学期联考）已知 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 是椭圆的两个焦点，满足 SKIPIF 1 < 0 的点 SKIPIF 1 < 0 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ）．
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】根据椭圆的对称性，不妨设焦点在横轴上的椭圆标准方程为： SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆内部，有 SKIPIF 1 < 0 ，
要想该不等式恒成立，只需 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，故选B
4．（2024届湖南省永州市高三一模）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别是 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 上位于第一象限的一点，且 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴平行，直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的另一个交点为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴平行，且 SKIPIF 1 < 0 在第一象限，所以 SKIPIF 1 < 0 .由于 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 点坐标代入椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以离心率 SKIPIF 1 < 0 .故选B
5．（2024届贵州省贵阳市六校高三上学期联合考试）椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，现已知 SKIPIF 1 < 0 与抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点重合，椭圆 SKIPIF 1 < 0 与过点 SKIPIF 1 < 0 的幂函数 SKIPIF 1 < 0 的图象交于点 SKIPIF 1 < 0 ，且幂函数在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线过点 SKIPIF 1 < 0 ，则椭圆的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】由题意，抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .又因为幂函数 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .设点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则过 SKIPIF 1 < 0 的切线为 SKIPIF 1 < 0 ，且幂函数在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线过点 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 在椭圆上，则 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则椭圆的离心率为 SKIPIF 1 < 0 .故选C.
6．（2024届天津市第四十五中学高三上学期月考）已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为F，点 SKIPIF 1 < 0 ，若点A为抛物线任意一点，当 SKIPIF 1 < 0 取最小值时，点A的坐标为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】设点A在准线上的射影为D，如图，
则根据抛物线的定义可知 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值，即求 SKIPIF 1 < 0 的最小值，显然当D，B，A三点共线时 SKIPIF 1 < 0 最小，此时 SKIPIF 1 < 0 点的横坐标为1，代入抛物线方程可知 SKIPIF 1 < 0 .故选B.
7．（2024届天津市第四十五中学高三上学期月考）已知 SKIPIF 1 < 0 分别是双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点，P为双曲线右支上一点，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．2
【答案】A
【解析】∵ SKIPIF 1 < 0 分别是双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点，
SKIPIF 1 < 0 为双曲线右支上一点，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又∵在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 .故选A
8．（2024届江西省万安中学高三上学期开学考试）如图， 设直线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 为常数) 交于不同的两点 SKIPIF 1 < 0 ， 且当 SKIPIF 1 < 0 时， 抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 . 过点 SKIPIF 1 < 0 的直线交抛物线于另一点 SKIPIF 1 < 0 ， 且直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ， 则直线 SKIPIF 1 < 0 过点（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】直线 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，依题意， SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，所以抛物线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 消去 SKIPIF 1 < 0 并化简得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，也即直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 .故选A.
9．（2023届四川省成都市四七九名校高全真模拟）已知直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 相交于A，B两点，点 SKIPIF 1 < 0 在第一象限，经过点 SKIPIF 1 < 0 且与直线 SKIPIF 1 < 0 垂直的直线与双曲线 SKIPIF 1 < 0 的另外一个交点为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴上， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，且 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的渐近线方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】根据题意，画出示意图，如图所示．
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以B、N、M三点共线．设线段BM的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，连接OQ，
根据题意，显然可得点 SKIPIF 1 < 0 为线段AB的中点，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
因为点B，M都在双曲线 SKIPIF 1 < 0 上，则 SKIPIF 1 < 0 两式相减，得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ．而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．又 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
而 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的渐近线方程为： SKIPIF 1 < 0 ．故选C
10．（2024届四川省成都市第七中学高三上学期入学考试）如图抛物线 SKIPIF 1 < 0 的顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，准线为 SKIPIF 1 < 0 ，焦准距为4；抛物线 SKIPIF 1 < 0 的顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，焦点也为 SKIPIF 1 < 0 ，准线为 SKIPIF 1 < 0 ，焦准距为6． SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点，分别过 SKIPIF 1 < 0 作直线与两准线垂直，垂足分别为 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 的直线与封闭曲线 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点，则下列说法正确的是（ ）
① SKIPIF 1 < 0 ②四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积为100
③ SKIPIF 1 < 0 ④ SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0
A．①②④B．①③④C．②③D．①③
【答案】B
【解析】以 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图，
抛物线 SKIPIF 1 < 0 的顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，准线为 SKIPIF 1 < 0 ，焦准距为4；可得 SKIPIF 1 < 0 ，抛物线的标准方程为： SKIPIF 1 < 0 ．
抛物线 SKIPIF 1 < 0 的顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，焦点也为 SKIPIF 1 < 0 ，准线为 SKIPIF 1 < 0 ，焦准距为6．可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以①正确；抛物线 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点的横坐标为：3，两点的纵坐标： SKIPIF 1 < 0 ，分别过 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 作直线与两准线垂直，垂足分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积为： SKIPIF 1 < 0 ．所以②不正确；又 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以③正确；根据抛物线的对称性不妨设点 SKIPIF 1 < 0 在封闭曲线 SKIPIF 1 < 0 的上部分，设 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上的射影分别为 SKIPIF 1 < 0 ，
当点 SKIPIF 1 < 0 在抛物线 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在抛物线 SKIPIF 1 < 0 上时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 重合时， SKIPIF 1 < 0 最小，最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 重合，点 SKIPIF 1 < 0 在抛物线 SKIPIF 1 < 0 上时，因为 SKIPIF 1 < 0 ，
直线 SKIPIF 1 < 0 ，与抛物线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 联立，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ；当点 SKIPIF 1 < 0 在抛物线 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在抛物线 SKIPIF 1 < 0 上时，设 SKIPIF 1 < 0 ，
与抛物线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 联立，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时取等号，故此时 SKIPIF 1 < 0 ；
当点 SKIPIF 1 < 0 在抛物线 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在抛物线 SKIPIF 1 < 0 上时，根据抛物线的对称性可知， SKIPIF 1 < 0 ；
综上， SKIPIF 1 < 0 ，所以④正确.故选B．
11．（2024届江西省丰城拖船中学高三上学期开学测试）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 .过点 SKIPIF 1 < 0 作圆 SKIPIF 1 < 0 的切线 SKIPIF 1 < 0 交椭圆 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 两点.将 SKIPIF 1 < 0 表示为 SKIPIF 1 < 0 的函数，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】由题意知， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，切线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的坐标分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时，同理可得 SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时，设切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点两点坐标分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又由 SKIPIF 1 < 0 于圆 SKIPIF 1 < 0 相切，得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
由于当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∵ SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 的最大值为2．故选B.
12．（2024届四川省成都市第七中学高三上学期入学考试）定义：若直线 SKIPIF 1 < 0 将多边形分为两部分，且使得多边形在 SKIPIF 1 < 0 两侧的点到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离之和相等，则称 SKIPIF 1 < 0 为多边形的一条“等线”．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 （a，b为常数）和其左右焦点 SKIPIF 1 < 0 ，P为C上的一动点，过P作C的切线分别交两条渐近线于点A，B，已知四边形 SKIPIF 1 < 0 与三角形 SKIPIF 1 < 0 有相同的“等线” SKIPIF 1 < 0 ．则对于下列四个结论：
① SKIPIF 1 < 0 ；
②等线 SKIPIF 1 < 0 必过多边形的重心；
③ SKIPIF 1 < 0 始终与 SKIPIF 1 < 0 相切；
④ SKIPIF 1 < 0 的斜率为定值且与a，b有关．
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①②B．①④C．②③④D．①②③
【答案】D
【解析】①：设 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，设 SKIPIF 1 < 0 ，则由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以切线的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为点 SKIPIF 1 < 0 在双曲线上，所以 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
同理可求出当 SKIPIF 1 < 0 时的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，双曲线的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ，
所以过P点切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0
联立两直线方程得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
故有 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0
②：设多边形顶点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0
设“等线”方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 到等线的距离为： SKIPIF 1 < 0
又因为等线将顶点分为上下两部分，则有
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
从而 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 即等线 SKIPIF 1 < 0 必过该多边形重心．
③④：考察 SKIPIF 1 < 0 重心，设 SKIPIF 1 < 0 ，则重心 SKIPIF 1 < 0 ．对于四边形 SKIPIF 1 < 0 ，其重心H必在 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 重心连线上，也必在 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 重心连线上，则 SKIPIF 1 < 0 即为直线GH．
设 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 重心分别为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ∥ SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的重心，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ∥ SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 三点共线，
因为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，所以 SKIPIF 1 < 0 ∥ SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 ，
因为直线 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 方程 SKIPIF 1 < 0 ，
由①的求解过程可知该方程为 SKIPIF 1 < 0 切线方程，所以③正确，④错误，
故①②③正确．故选D
二、多选题
13．（2024届河南省南阳市第一中学校2高三上学期开学考试）下列关于双曲线 SKIPIF 1 < 0 的结论中，正确的是（ ）
A．离心率为 SKIPIF 1 < 0 B．焦距为 SKIPIF 1 < 0
C．两条渐近线互相垂直D．焦点到渐近线的距离为1
【答案】ACD
【解析】双曲线 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离线率为 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；焦距 SKIPIF 1 < 0 ，故B错误；渐近线为 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 ，且斜率之积为-1，即两条渐近线互相垂直，故C正确；焦点到渐近线的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，故D正确；故选ACD.
14．（2024届云南师范大学附属中学高三高考适应性月考）已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，准线为 SKIPIF 1 < 0 ，经过点 SKIPIF 1 < 0 且斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线与抛物线 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点（点 SKIPIF 1 < 0 在第一象限），若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则以下结论正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上的动点，其在 SKIPIF 1 < 0 上的射影为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
D．过点 SKIPIF 1 < 0 且与 SKIPIF 1 < 0 有且仅有一个公共点的直线有3条
【答案】BCD
【解析】
对于A，因为 SKIPIF 1 < 0 ，直线的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，则设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，故A错误；
对于B，由于 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；
对于C，如图所示，抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三点共线时取等号，故C正确；
对于D，当直线斜率不存在时，直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，与抛物线只有一个公共点；
当直线斜率存在时，设直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，联立 SKIPIF 1 < 0 ，消 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，方程的解为 SKIPIF 1 < 0 ，此时直线与抛物线只有一个交点；
当 SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，综上所述，过点 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 有且仅有一个公共点的直线有 SKIPIF 1 < 0 条，故D正确；故选BCD.
15．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，若 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 的面积等于 SKIPIF 1 < 0
C．直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 的离心率等于 SKIPIF 1 < 0
【答案】ABD
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 可知，
不妨设 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ；
利用椭圆定义可知 SKIPIF 1 < 0 ，所以可得 SKIPIF 1 < 0 ；
即 SKIPIF 1 < 0 ，所以点 SKIPIF 1 < 0 即为椭圆的上顶点或下顶点，如下图所示：
由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 可知满足 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ；即A正确；
所以 SKIPIF 1 < 0 为等腰直角三角形，且 SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，即B正确；
此时可得直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率 SKIPIF 1 < 0 ，所以C错误；
在等腰直角三角形 SKIPIF 1 < 0 中，易知 SKIPIF 1 < 0 ，即可得离心率 SKIPIF 1 < 0 ，即D正确；故选ABD
16．（2024届浙江省浙南名校联盟高三上学期联考）已知 SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 上不同的三点，记 SKIPIF 1 < 0 的面积分别为 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为坐标原点）.若 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 为定值
【答案】BC
【解析】先证明：设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 不共线，则 SKIPIF 1 < 0 ．
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 中有一个为0时，例如 SKIPIF 1 < 0 ，则易得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 都不为0时，设直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴交点为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
综上， SKIPIF 1 < 0 ，
由已知设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，同理 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
由题意 SKIPIF 1 < 0 中任意两点都与原点 SKIPIF 1 < 0 不共线，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故选BC．
17．（2024届江西省吉安市第三中学高三上学期开学考试）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 为双曲线右支上的一个动点，过点 SKIPIF 1 < 0 分别作两条渐近线的垂线，垂足分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的离心率为 SKIPIF 1 < 0
B．存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使得四边形 SKIPIF 1 < 0 为正方形
C．直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的斜率之积为2
D．存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0
【答案】AB
【解析】对于A，由双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，A正确；
对于B，双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的渐近线为 SKIPIF 1 < 0 ，
则四边形 SKIPIF 1 < 0 为矩形，
又双曲线右顶点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离均为 SKIPIF 1 < 0 ，
故矩形 SKIPIF 1 < 0 为正方形，
即存在点 SKIPIF 1 < 0 ，即M为双曲线右顶点时，使得四边形 SKIPIF 1 < 0 为正方形，B正确；
对于C，设 SKIPIF 1 < 0 ，不妨设A在第一象限，B在第四象限，
由于 SKIPIF 1 < 0 ，故可得 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
同理 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，C错误；
对于D，由以上分析可知 SKIPIF 1 < 0 ，
同理 SKIPIF 1 < 0 ,
故 SKIPIF 1 < 0 ，
根据双曲线的对称性，不妨假设M在第一象限，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，
将 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，即有 SKIPIF 1 < 0 ，显然不可能，
即双曲线上不存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，D错误，故选AB
三、填空题
18．（2024届上海市松江二中高三上学期阶段测试）已知椭圆C： SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，则椭圆的短轴长为 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】根据题意可得离心率 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以椭圆的短轴长为 SKIPIF 1 < 0 .
19．（2023届四川省绵阳南山中学高三仿真）双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率为2，则右焦点 SKIPIF 1 < 0 到其渐近线的距离为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率为2，由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
右焦点 SKIPIF 1 < 0 ，渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 到渐近线的距离为 SKIPIF 1 < 0 .
20．（2023届湖北省武汉市华中师大第一附属中学高三5月适应性考试）设双曲线 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 )的右焦点为F，过F作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为H，若 SKIPIF 1 < 0 (O为坐标原点)，则双曲线C的离心率为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】由双曲线的几何性质可得， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以离心率 SKIPIF 1 < 0 ．
21．（2024届广东省阳江市高三上学期第一次阶段调研）已知点 SKIPIF 1 < 0 在抛物线 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 为抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点，圆 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 两点，与线段 SKIPIF 1 < 0 相交于点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 上靠近 SKIPIF 1 < 0 的四等分点，则抛物线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 可知 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ①；
又点 SKIPIF 1 < 0 在抛物线 SKIPIF 1 < 0 上，
故 SKIPIF 1 < 0 ②，且 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ③，
②联立得 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，结合 SKIPIF 1 < 0 ③，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，故抛物线方程为 SKIPIF 1 < 0
22．（2023届四川省遂宁市射洪市高三5月模拟）已知椭圆C： SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 的右焦点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点（ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴右侧），则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
由题意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因 SKIPIF 1 < 0 ，可设直线 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ，联立 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
由韦达定理得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 过椭圆上顶点 SKIPIF 1 < 0 和焦点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆上，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，联立 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由椭圆的对称性知， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 故 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0
1．（2024届湖南省天壹名校联盟高三上学期联考）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的一条渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．3
【答案】A
【解析】由题设知， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .故选A.
2．（2024届福建省福州第八中学高三上学期质检卷）已知 SKIPIF 1 < 0 的顶点在抛物线 SKIPIF 1 < 0 上，若抛物线的焦点 SKIPIF 1 < 0 恰好是 SKIPIF 1 < 0 的重心，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】A
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 ，抛物线 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，焦点 SKIPIF 1 < 0 恰好是 SKIPIF 1 < 0 的重心，
则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ．故选A．
3．（2024届广东省七校联合体高三上学期联考）已知 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 是椭圆的两个焦点，满足 SKIPIF 1 < 0 的点 SKIPIF 1 < 0 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ）．
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】根据椭圆的对称性，不妨设焦点在横轴上的椭圆标准方程为： SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆内部，有 SKIPIF 1 < 0 ，
要想该不等式恒成立，只需 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，故选B
4．（2024届湖南省永州市高三一模）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别是 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 上位于第一象限的一点，且 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴平行，直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的另一个交点为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴平行，且 SKIPIF 1 < 0 在第一象限，所以 SKIPIF 1 < 0 .由于 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 点坐标代入椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以离心率 SKIPIF 1 < 0 .故选B
5．（2024届贵州省贵阳市六校高三上学期联合考试）椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，现已知 SKIPIF 1 < 0 与抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点重合，椭圆 SKIPIF 1 < 0 与过点 SKIPIF 1 < 0 的幂函数 SKIPIF 1 < 0 的图象交于点 SKIPIF 1 < 0 ，且幂函数在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线过点 SKIPIF 1 < 0 ，则椭圆的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】由题意，抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .又因为幂函数 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .设点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则过 SKIPIF 1 < 0 的切线为 SKIPIF 1 < 0 ，且幂函数在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线过点 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 在椭圆上，则 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则椭圆的离心率为 SKIPIF 1 < 0 .故选C.
6．（2024届天津市第四十五中学高三上学期月考）已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为F，点 SKIPIF 1 < 0 ，若点A为抛物线任意一点，当 SKIPIF 1 < 0 取最小值时，点A的坐标为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】设点A在准线上的射影为D，如图，
则根据抛物线的定义可知 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值，即求 SKIPIF 1 < 0 的最小值，显然当D，B，A三点共线时 SKIPIF 1 < 0 最小，此时 SKIPIF 1 < 0 点的横坐标为1，代入抛物线方程可知 SKIPIF 1 < 0 .故选B.
7．（2024届天津市第四十五中学高三上学期月考）已知 SKIPIF 1 < 0 分别是双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点，P为双曲线右支上一点，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．2
【答案】A
【解析】∵ SKIPIF 1 < 0 分别是双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点，
SKIPIF 1 < 0 为双曲线右支上一点，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又∵在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 .故选A
8．（2024届江西省万安中学高三上学期开学考试）如图， 设直线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 为常数) 交于不同的两点 SKIPIF 1 < 0 ， 且当 SKIPIF 1 < 0 时， 抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 . 过点 SKIPIF 1 < 0 的直线交抛物线于另一点 SKIPIF 1 < 0 ， 且直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ， 则直线 SKIPIF 1 < 0 过点（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】直线 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，依题意， SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，所以抛物线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 消去 SKIPIF 1 < 0 并化简得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，也即直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 .故选A.
9．（2023届四川省成都市四七九名校高全真模拟）已知直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 相交于A，B两点，点 SKIPIF 1 < 0 在第一象限，经过点 SKIPIF 1 < 0 且与直线 SKIPIF 1 < 0 垂直的直线与双曲线 SKIPIF 1 < 0 的另外一个交点为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴上， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，且 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的渐近线方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】根据题意，画出示意图，如图所示．
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以B、N、M三点共线．设线段BM的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，连接OQ，
根据题意，显然可得点 SKIPIF 1 < 0 为线段AB的中点，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
因为点B，M都在双曲线 SKIPIF 1 < 0 上，则 SKIPIF 1 < 0 两式相减，得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ．而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．又 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
而 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的渐近线方程为： SKIPIF 1 < 0 ．故选C
10．（2024届四川省成都市第七中学高三上学期入学考试）如图抛物线 SKIPIF 1 < 0 的顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，准线为 SKIPIF 1 < 0 ，焦准距为4；抛物线 SKIPIF 1 < 0 的顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，焦点也为 SKIPIF 1 < 0 ，准线为 SKIPIF 1 < 0 ，焦准距为6． SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点，分别过 SKIPIF 1 < 0 作直线与两准线垂直，垂足分别为 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 的直线与封闭曲线 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点，则下列说法正确的是（ ）
① SKIPIF 1 < 0 ②四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积为100
③ SKIPIF 1 < 0 ④ SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0
A．①②④B．①③④C．②③D．①③
【答案】B
【解析】以 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图，
抛物线 SKIPIF 1 < 0 的顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，准线为 SKIPIF 1 < 0 ，焦准距为4；可得 SKIPIF 1 < 0 ，抛物线的标准方程为： SKIPIF 1 < 0 ．
抛物线 SKIPIF 1 < 0 的顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，焦点也为 SKIPIF 1 < 0 ，准线为 SKIPIF 1 < 0 ，焦准距为6．可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以①正确；抛物线 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点的横坐标为：3，两点的纵坐标： SKIPIF 1 < 0 ，分别过 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 作直线与两准线垂直，垂足分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积为： SKIPIF 1 < 0 ．所以②不正确；又 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以③正确；根据抛物线的对称性不妨设点 SKIPIF 1 < 0 在封闭曲线 SKIPIF 1 < 0 的上部分，设 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上的射影分别为 SKIPIF 1 < 0 ，
当点 SKIPIF 1 < 0 在抛物线 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在抛物线 SKIPIF 1 < 0 上时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 重合时， SKIPIF 1 < 0 最小，最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 重合，点 SKIPIF 1 < 0 在抛物线 SKIPIF 1 < 0 上时，因为 SKIPIF 1 < 0 ，
直线 SKIPIF 1 < 0 ，与抛物线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 联立，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ；当点 SKIPIF 1 < 0 在抛物线 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在抛物线 SKIPIF 1 < 0 上时，设 SKIPIF 1 < 0 ，
与抛物线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 联立，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时取等号，故此时 SKIPIF 1 < 0 ；
当点 SKIPIF 1 < 0 在抛物线 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在抛物线 SKIPIF 1 < 0 上时，根据抛物线的对称性可知， SKIPIF 1 < 0 ；
综上， SKIPIF 1 < 0 ，所以④正确.故选B．
11．（2024届江西省丰城拖船中学高三上学期开学测试）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 .过点 SKIPIF 1 < 0 作圆 SKIPIF 1 < 0 的切线 SKIPIF 1 < 0 交椭圆 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 两点.将 SKIPIF 1 < 0 表示为 SKIPIF 1 < 0 的函数，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】由题意知， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，切线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的坐标分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时，同理可得 SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时，设切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点两点坐标分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又由 SKIPIF 1 < 0 于圆 SKIPIF 1 < 0 相切，得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
由于当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∵ SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 的最大值为2．故选B.
12．（2024届四川省成都市第七中学高三上学期入学考试）定义：若直线 SKIPIF 1 < 0 将多边形分为两部分，且使得多边形在 SKIPIF 1 < 0 两侧的点到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离之和相等，则称 SKIPIF 1 < 0 为多边形的一条“等线”．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 （a，b为常数）和其左右焦点 SKIPIF 1 < 0 ，P为C上的一动点，过P作C的切线分别交两条渐近线于点A，B，已知四边形 SKIPIF 1 < 0 与三角形 SKIPIF 1 < 0 有相同的“等线” SKIPIF 1 < 0 ．则对于下列四个结论：
① SKIPIF 1 < 0 ；
②等线 SKIPIF 1 < 0 必过多边形的重心；
③ SKIPIF 1 < 0 始终与 SKIPIF 1 < 0 相切；
④ SKIPIF 1 < 0 的斜率为定值且与a，b有关．
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①②B．①④C．②③④D．①②③
【答案】D
【解析】①：设 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，设 SKIPIF 1 < 0 ，则由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以切线的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为点 SKIPIF 1 < 0 在双曲线上，所以 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
同理可求出当 SKIPIF 1 < 0 时的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，双曲线的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ，
所以过P点切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0
联立两直线方程得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
故有 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0
②：设多边形顶点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0
设“等线”方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 到等线的距离为： SKIPIF 1 < 0
又因为等线将顶点分为上下两部分，则有
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
从而 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 即等线 SKIPIF 1 < 0 必过该多边形重心．
③④：考察 SKIPIF 1 < 0 重心，设 SKIPIF 1 < 0 ，则重心 SKIPIF 1 < 0 ．对于四边形 SKIPIF 1 < 0 ，其重心H必在 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 重心连线上，也必在 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 重心连线上，则 SKIPIF 1 < 0 即为直线GH．
设 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 重心分别为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ∥ SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的重心，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ∥ SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 三点共线，
因为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，所以 SKIPIF 1 < 0 ∥ SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 ，
因为直线 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 方程 SKIPIF 1 < 0 ，
由①的求解过程可知该方程为 SKIPIF 1 < 0 切线方程，所以③正确，④错误，
故①②③正确．故选D
二、多选题
13．（2024届河南省南阳市第一中学校2高三上学期开学考试）下列关于双曲线 SKIPIF 1 < 0 的结论中，正确的是（ ）
A．离心率为 SKIPIF 1 < 0 B．焦距为 SKIPIF 1 < 0
C．两条渐近线互相垂直D．焦点到渐近线的距离为1
【答案】ACD
【解析】双曲线 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离线率为 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；焦距 SKIPIF 1 < 0 ，故B错误；渐近线为 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 ，且斜率之积为-1，即两条渐近线互相垂直，故C正确；焦点到渐近线的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，故D正确；故选ACD.
14．（2024届云南师范大学附属中学高三高考适应性月考）已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，准线为 SKIPIF 1 < 0 ，经过点 SKIPIF 1 < 0 且斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线与抛物线 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点（点 SKIPIF 1 < 0 在第一象限），若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则以下结论正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上的动点，其在 SKIPIF 1 < 0 上的射影为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
D．过点 SKIPIF 1 < 0 且与 SKIPIF 1 < 0 有且仅有一个公共点的直线有3条
【答案】BCD
【解析】
对于A，因为 SKIPIF 1 < 0 ，直线的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，则设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，故A错误；
对于B，由于 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；
对于C，如图所示，抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三点共线时取等号，故C正确；
对于D，当直线斜率不存在时，直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，与抛物线只有一个公共点；
当直线斜率存在时，设直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，联立 SKIPIF 1 < 0 ，消 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，方程的解为 SKIPIF 1 < 0 ，此时直线与抛物线只有一个交点；
当 SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，综上所述，过点 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 有且仅有一个公共点的直线有 SKIPIF 1 < 0 条，故D正确；故选BCD.
15．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，若 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 的面积等于 SKIPIF 1 < 0
C．直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 的离心率等于 SKIPIF 1 < 0
【答案】ABD
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 可知，
不妨设 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ；
利用椭圆定义可知 SKIPIF 1 < 0 ，所以可得 SKIPIF 1 < 0 ；
即 SKIPIF 1 < 0 ，所以点 SKIPIF 1 < 0 即为椭圆的上顶点或下顶点，如下图所示：
由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 可知满足 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ；即A正确；
所以 SKIPIF 1 < 0 为等腰直角三角形，且 SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，即B正确；
此时可得直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率 SKIPIF 1 < 0 ，所以C错误；
在等腰直角三角形 SKIPIF 1 < 0 中，易知 SKIPIF 1 < 0 ，即可得离心率 SKIPIF 1 < 0 ，即D正确；故选ABD
16．（2024届浙江省浙南名校联盟高三上学期联考）已知 SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 上不同的三点，记 SKIPIF 1 < 0 的面积分别为 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为坐标原点）.若 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 为定值
【答案】BC
【解析】先证明：设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 不共线，则 SKIPIF 1 < 0 ．
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 中有一个为0时，例如 SKIPIF 1 < 0 ，则易得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 都不为0时，设直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴交点为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
综上， SKIPIF 1 < 0 ，
由已知设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，同理 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
由题意 SKIPIF 1 < 0 中任意两点都与原点 SKIPIF 1 < 0 不共线，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故选BC．
17．（2024届江西省吉安市第三中学高三上学期开学考试）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 为双曲线右支上的一个动点，过点 SKIPIF 1 < 0 分别作两条渐近线的垂线，垂足分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的离心率为 SKIPIF 1 < 0
B．存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使得四边形 SKIPIF 1 < 0 为正方形
C．直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的斜率之积为2
D．存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0
【答案】AB
【解析】对于A，由双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，A正确；
对于B，双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的渐近线为 SKIPIF 1 < 0 ，
则四边形 SKIPIF 1 < 0 为矩形，
又双曲线右顶点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离均为 SKIPIF 1 < 0 ，
故矩形 SKIPIF 1 < 0 为正方形，
即存在点 SKIPIF 1 < 0 ，即M为双曲线右顶点时，使得四边形 SKIPIF 1 < 0 为正方形，B正确；
对于C，设 SKIPIF 1 < 0 ，不妨设A在第一象限，B在第四象限，
由于 SKIPIF 1 < 0 ，故可得 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
同理 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，C错误；
对于D，由以上分析可知 SKIPIF 1 < 0 ，
同理 SKIPIF 1 < 0 ,
故 SKIPIF 1 < 0 ，
根据双曲线的对称性，不妨假设M在第一象限，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，
将 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，即有 SKIPIF 1 < 0 ，显然不可能，
即双曲线上不存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，D错误，故选AB
三、填空题
18．（2024届上海市松江二中高三上学期阶段测试）已知椭圆C： SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，则椭圆的短轴长为 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】根据题意可得离心率 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以椭圆的短轴长为 SKIPIF 1 < 0 .
19．（2023届四川省绵阳南山中学高三仿真）双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率为2，则右焦点 SKIPIF 1 < 0 到其渐近线的距离为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率为2，由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
右焦点 SKIPIF 1 < 0 ，渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 到渐近线的距离为 SKIPIF 1 < 0 .
20．（2023届湖北省武汉市华中师大第一附属中学高三5月适应性考试）设双曲线 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 )的右焦点为F，过F作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为H，若 SKIPIF 1 < 0 (O为坐标原点)，则双曲线C的离心率为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】由双曲线的几何性质可得， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以离心率 SKIPIF 1 < 0 ．
21．（2024届广东省阳江市高三上学期第一次阶段调研）已知点 SKIPIF 1 < 0 在抛物线 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 为抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点，圆 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 两点，与线段 SKIPIF 1 < 0 相交于点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 上靠近 SKIPIF 1 < 0 的四等分点，则抛物线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 可知 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ①；
又点 SKIPIF 1 < 0 在抛物线 SKIPIF 1 < 0 上，
故 SKIPIF 1 < 0 ②，且 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ③，
②联立得 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，结合 SKIPIF 1 < 0 ③，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，故抛物线方程为 SKIPIF 1 < 0
22．（2023届四川省遂宁市射洪市高三5月模拟）已知椭圆C： SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 的右焦点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点（ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴右侧），则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
由题意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因 SKIPIF 1 < 0 ，可设直线 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ，联立 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
由韦达定理得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 过椭圆上顶点 SKIPIF 1 < 0 和焦点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆上，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，联立 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由椭圆的对称性知， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 故 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0
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