精品解析：2024年四川省泸州市中考数学试题

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注意事项：
1．答题前，请考生务必在答题卡上正确填写自己的姓名、准考证号和座位号．考试结束，将试卷和答题卡一并交回．
2．选择题每小题选出的答案须用2B铅笔在答题卡上把对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦净后，再选涂其它答案．非选择题须用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上对应题号位置作答，在试卷上作答无效．
第Ⅰ卷（选择题 共36分）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．
1. 下列各数中，无理数是（ ）
A. B. C. 0D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）等．
【详解】解：根据无理数的定义可知，四个数中，只有D选项中的数π是无理数，
故选：D．
2. 第二十届中国国际酒业博览会于2024年3月21-24日在泸州市国际会展中心举办，各种活动带动消费亿元，将数据用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查科学记数法的表示方法，一般形式为，其中，确定的值时，要看原数变成时，小数点移动了多少位，的值与小数点移动位数相同，确定与的值是解题关键．
【详解】解：，
故选：B．
3. 下列几何体中，其三视图的主视图和左视图都为矩形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查三视图．主视图、左视图是分别从物体正面、左面所看到的图形．依此即可求解．
【详解】解：A、主视图为三角形，左视图为三角形，故本选项不符合题意；
B、主视图三角形，左视图为三角形，故本选项不符合题意；
C、主视图为矩形，左视图为矩形，故本选项符合题意；
D、主视图为矩形，左视图为三角形，故本选项不符合题意．
故选：C．
4. 把一块含角的直角三角板按如图方式放置于两条平行线间，若，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，三角板中角的运算，熟练掌握相关性质是解题的关键．利用平行线性质得到，再根据平角的定义求解，即可解题．
【详解】解：如图，

直角三角板位于两条平行线间且，
，
又直角三角板含角，
，
，
故选：B．
5. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了积的乘方，单项式除以单项式，单项式乘以单项式和合并同类项等计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算正确，符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意；
故选：C．
6. 已知四边形是平行四边形，下列条件中，不能判定为矩形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了矩形的判定．根据有一个角是直角的平行四边形是矩形、对角线相等的平行四边形是矩形、有一个角是直角的平行四边形是矩形判断即可．
【详解】解：如图，
A、，能判定为矩形，本选项不符合题意；
B、∵，，∴，能判定为矩形，本选项不符合题意；
C、，能判定为矩形，本选项不符合题意；
D、，能判定菱形，不能判定为矩形，本选项符合题意；
故选：D．
7. 分式方程的解是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查解分式方程，根据解分式方程方法和步骤（去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，检验）求解，即可解题．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
经检验是该方程的解，
故选：D．
8. 已知关于x的一元二次方程无实数根，则函数与函数的图象交点个数为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了根的判别式及一次函数和反比例函数的图象．首先根据一元二次方程无实数根确定k的取值范围，然后根据一次函数和反比例函数的性质确定其图象的位置．
【详解】解：∵方程无实数根，
∴，
解得：，则函数的图象过二，四象限，
而函数的图象过一，三象限，
∴函数与函数的图象不会相交，则交点个数为0，
故选：A．
9. 如图，，是的切线，切点为A，D，点B，C在上，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了圆的内接四边形的性质，切线长定理，等腰三角形的性质等知识点，正确作辅助线是解题关键．
根据圆的内接四边形的性质得，由得，由切线长定理得，即可求得结果．
【详解】解：如图，连接，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∵，是的切线，根据切线长定理得，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
10. 宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．如图，把黄金矩形沿对角线翻折，点落在点处，交于点，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，三角函数等知识点，利用黄金比例表示各线段的长是解题的关键．
设宽，根据比例表示长，证明，在中，利用勾股定理即可求得结果．
【详解】解：设宽为，
∵宽与长的比是，
∴长为：，
由折叠的性质可知，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
设，
在中，，
变形得：，
，，
∴，
故选A．
11. 已知二次函数（x是自变量）的图象经过第一、二、四象限，则实数a的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象与性质．利用二次函数的性质，抛物线与轴有2个交点，开口向上，而且与轴的交点不在负半轴上，然后解不等式组即可．
【详解】解：二次函数图象经过第一、二、四象限，
且，，
解得．
故选：A．
12. 如图，在边长为6正方形中，点E，F分别是边上的动点，且满足，与交于点O，点M是的中点，G是边上的点，，则的最小值是（ ）

A. 4B. 5C. 8D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质，勾股定理等等，先证明得到，进而得到，则由直角三角形的性质可得，如图所示，在延长线上截取，连接，易证明，则，可得当H、D、F三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值即为的长的一半，求出，在中，由勾股定理得，责任的最小值为5．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵点M是的中点，
∴；
如图所示，在延长线上截取，连接，

∵，
∴，
∴，
∴，
∴当H、D、F三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值即为的长的一半，
∵，，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴的最小值为5，
故选：B．
第Ⅱ卷（非选择题 共84分）
注意事项：用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上对应题号位置作答，在试卷上作答无效．
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）．
13. 函数中，自变量x的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【详解】解：∵在实数范围内有意义，
∴，
∴，
故答案为．
14. 在一个不透明的盒子中装有6个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球是白球的概率是，则黄球的个数为______．
【答案】3
【解析】
【分析】此题考查了分式方程的应用，以及概率公式的应用．设黄球的个数为x个，然后根据概率公式列方程，解此分式方程即可求得答案．
【详解】解：设黄球的个数为x个，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
∴黄球的个数为3个．
故答案为：3．
15. 已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形求值．对于一元二次方程，若该方程的两个实数根为，，则，．先根据根与系数的关系得到，，再根据完全平方公式的变形，求出，由此即可得到答案．
【详解】解：，是一元二次方程的两个实数根，
，，
，
，
．
故答案为：．
16. 定义：在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移个单位，再绕原点按逆时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换．如：点按照变换后得到点的坐标为，则点按照变换后得到点的坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形，坐标与图形．根据题意，点向上平移2个单位，得到点，再根据题意将点绕原点按逆时针方向旋转，得到，，据此求解即可．
【详解】解：根据题意，点向上平移2个单位，得到点，

∴，，
∴，，
∴，
根据题意，将点绕原点按逆时针方向旋转，
∴，
作轴于点，
∴，，
∴，
∴点的坐标为，
故答案为：．
三、本大题共3个小题，每小题6分，共18分．
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的运算，绝对值，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，二次根式的加减运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．先化简各式，然后再进行加减计算即可解答．
【详解】解：原式，
，
．
18. 如图，在中，E，F是对角线上的点，且．求证：．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，先由平行四边形的性质得到，则，再证明，即可证明．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
19. 化简：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
先将括号里的通分，再将除法转化为乘法，然后根据完全平方公式和平方差公式整理，最后约分即可得出答案．
【详解】解：
四、本大题共2个小题，每小题7分，共14分．
20. 某地两块试验田中分别栽种了甲、乙两种小麦，为了考察这两种小麦的长势，分别从中随机抽取16株麦苗，测得苗高（单位：）如下表．
将数据整理分析，并绘制成以下不完整的统计表格和频数分布直方图．
根据所给出的信息，解决下列问题：
（1）______，______，并补全乙种小麦的频数分布直方图；
（2）______，______；
（3）甲、乙两种小麦的苗高长势比较整齐的是______（填甲或乙）；若从栽种乙种小麦的试验田中随机抽取1200株，试估计苗高在（单位：）的株数．
【答案】（1）2，4，乙种小麦的频数分布直方图见解析；
（2）13，13.5；
（3）乙，375．
【解析】
【分析】本题考查的是数据的整理，画频数分布直方图，众数和中位数的定义，根据方差作决策，用样本估计总体．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
（1）根据题中数据和频数分布直方图的，即可直接得到、，以及乙种小麦的株数，再画出频数分布直方图，即可解题；
（2）根据众数和中位数的概念，即可解题；
（3）可根据方差的意义作出判断，根据统计表和统计图得到乙种小麦苗高在的所占比，再利用总数乘以其所占比，即可解题．
【小问1详解】
解：由表可知：甲种小麦苗高在的有7、8，故；
甲种小麦苗高在的有10、11、11、12，故，
（株），
补全后的乙种小麦的频数分布直方图如下：
故答案为：2，4；
【小问2详解】
解：由表可知：乙种小麦苗高最多，为5次，故；
将甲种小麦苗高从小到大排列得7、8、10、11、11、12、13、13、14、14、14、14、15、16、16、18，故中位数为，即；
故答案为：；
【小问3详解】
解：乙种小麦方差甲种小麦方差8.65，
甲、乙两种小麦的苗高长势比较整齐的是乙，
由题可知：乙种小麦随机抽取16株麦苗中苗高在有5株，
若从栽种乙种小麦的试验田中随机抽取1200株，苗高在的株数为：
（株）．
21. 某商场购进A，B两种商品，已知购进3件A商品比购进4件B商品费用多60元；购进5件A商品和2件B商品总费用为620元．
（1）求A，B两种商品每件进价各为多少元？
（2）该商场计划购进A，B两种商品共60件，且购进B商品的件数不少于A商品件数的2倍．若A商品按每件150元销售，B商品按每件80元销售，为满足销售完A，B两种商品后获得的总利润不低于1770元，则购进A商品的件数最多为多少？
【答案】（1）A，B两种商品每件进价各为100元，60元；
（2）购进A商品的件数最多为20件
【解析】
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用：
（1）设A，B两种商品每件进价各为x元，y元，根据购进3件A商品比购进4件B商品费用多60元；购进5件A商品和2件B商品总费用为620元列出方程组求解即可；
（2）设购进A商品的件数为m件，则购进B商品的件数为件，根据利润不低于1770元且购进B商品的件数不少于A商品件数的2倍列出不等式组求解即可．
【小问1详解】
解：设A，B两种商品每件进价各为x元，y元，
由题意得，，
解得，
答：A，B两种商品每件进价各为100元，60元；
【小问2详解】
解：设购进A商品的件数为m件，则购进B商品的件数为件，
由题意得，，
解得，
∵m为整数，
∴m的最大值为20，
答：购进A商品的件数最多为20件．
五、本大题共2小题，每小题8分，共16分．
22. 如图，海中有一个小岛C，某渔船在海中的A点测得小岛C位于东北方向上，该渔船由西向东航行一段时间后到达B点，测得小岛C位于北偏西方向上，再沿北偏东方向继续航行一段时间后到达D点，这时测得小岛C位于北偏西方向上．已知A，C相距30n mile．求C，D间的距离（计算过程中的数据不取近似值）．
【答案】C，D间的距离为．
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用．作于点，利用方向角的定义求得，，，证明是等腰直角三角形，在中，求得的长，再证明，，在中，利用三角函数的定义即可求解．
【详解】解：作于点，
由题意得，，，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
在中，，
在中，，，
在中，，
答：C，D间的距离为．
23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与x轴相交于点，与反比例函数的图象相交于点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）直线与反比例函数和的图象分别交于点C，D，且，求点C的坐标．
【答案】（1）一次函数解析式为，反比例函数解析式为
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，反比例函数与几何综合：
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先利用反比例函数比例系数的几何意义得到，进而得到；再证明，推出，设，则，求出，可得，解方程即可得到答案．
【小问1详解】
解：把代入中得：，解得，
∴反比例函数解析式为；
把，代入中得：，
∴，
∴一次函数解析式为；
【小问2详解】
解：如图所示，过点B作轴于E，设与x轴交于F，
∵直线与反比例函数和图象分别交于点C，D，
∴，
∴，
∴；
∵轴，点B在反比例函数的图象上，
∵，
∵，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得或（舍去），
经检验是原方程解，且符合题意，
∴．
六、本大题共2个小题，每小题12分，共24分．
24. 如图，是的内接三角形，是的直径，过点B作的切线与的延长线交于点D，点E在上，，交于点F．
（1）求证：；
（2）过点C作于点G，若，，求的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由直径所对的圆周角是直角得到，则，由切线的性质推出，则，再由同弧所对的圆周角相等和等边对等角得到，，据此即可证明；
（2）由勾股定理得，利用等面积法求出，则，同理可得，则，进而得到；如图所示，过点C作于H，则，证明，求出，则；设，则，证明，推出，在中，由勾股定理得，解方程即可得到答案．
【小问1详解】
证明：∵是的直径，
∴，
∴，
∴；
∵是的切线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
在中，由勾股定理得，
∵，
∴，
∴，
同理可得，
∴，
∴；
如图所示，过点C作于H，则，
由（1）可得，
∴，
∴，即，
∴，
∴；
设，则，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得或（舍去），
∴．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，等腰三角形的性质等等，正确作出辅助线构造直角三角形和相似三角形是解题的关键．
25. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）当时，y的取值范围是，求t的值；
（3）点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线于点D，在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）存在点以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形，边长为或2
【解析】
【分析】本题考查二次函数的综合应用，菱形的性质，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）分和，两种情况，结合二次函数的增减性进行求解即可．
（3）分为菱形的边和菱形的对角线两种情况进行讨论求解即可．
【小问1详解】
解：∵抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称，
∴，解得：，
∴；
【小问2详解】
∵抛物线的开口向下，对称轴为直线，
∴抛物线上点到对称轴上的距离越远，函数值越小，
∵时，，
①当时，则：当时，函数有最大值，即：，
解得：或，均不符合题意，舍去；
②当时，则：当时，函数有最大值，即：，
解得：；
故；
【小问3详解】
存在；
当时，解得：，当时，，
∴，，
设直线的解析式为，把代入，得：，
∴，
设，则：，
∴，，，
当B，C，D，E为顶点的四边形是菱形时，分两种情况：
①当为边时，则：，即，
解得：（舍去）或，
此时菱形的边长为；
②当为对角线时，则：，即：，
解得：或（舍去）
此时菱形的边长为：；
综上：存在以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形，边长为或2．甲
7
8
10
11
11
12
13
13
14
14
14
14
15
16
16
18
乙
7
10
13
11
18
12
13
13
10
13
13
14
15
16
11
17
苗高分组
甲种小麦的频数
a
b
7
3
小麦种类
统计量
甲
乙
平均数
12.875
12.875
众数
14
d
中位数
c
13
方差
8.65
7.85