2023-2024学年四川省成都实验外国语学校七年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年四川省成都实验外国语学校七年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.新能源汽车是我国经济发展的重要产业之一，下列新能源车标中，不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列运算正确的是( )
A. a2+a3=a5B. a2⋅a3=a6C. (−ab3)2=a2b6D. 2a6÷a3=2a2
3.“墙角数枝梅，凌寒独自开.遥知不是雪，为有暗香来.”出自宋代诗人王安石的《梅花》.梅花的花粉直径约为0.000036m，用科学记数法表示为3.6×10nm，则n的值为( )
A. −4B. −5C. 4D. 5
4.关于全等图形的描述，下列说法正确的是( )
A. 形状相同的图形B. 面积相等的图形
C. 能够完全重合的图形D. 周长相等的图形
5.已知直线a//b，将一块含30∘角的直角三角板ABC按如图方式放置，点C落在直线b上.若∠1=48∘，则∠2的度数为( )
A. 42∘
B. 48∘
C. 52∘
D. 58∘
6.下列每组数分别表示三根木棒的长，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是( )
A. 1，2，3B. 1，2，4C. 2，3，4D. 2，2，4
7.如图，已知∠ABC=∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是( )
A. ∠A=∠D
B. AC=BD
C. ∠ACB=∠DBC
D. AB=DC
8.我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多六客，一房八客一房空.”诗中后面两句的意思是：如果一间客房住7人，那么有6人无房可住；如果一间客房住8人，那么就空出一间客房，若设该店有客房x间，房客y人，则列出关于x、y的二元一次方程组正确的是( )
A. 7x−6=y8x−1=yB. 7x−6=y8(x−1)=yC. 7x+6=y8x−1=yD. 7x+6=y8(x−1)=y
二、填空题：本题共10小题，每小题4分，共40分。
9.把方程2x−y=4变形，用含x的代数式表示y，则y=______.
10.若x、y满足x−y=−2，x+y=3，则代数式x2−y2的值为______.
11.已知∠A与∠B互余，且∠A=47∘，则∠B的补角是______度.
12.在弹性限度内，弹簧的长度随所挂物体的质量的增加而增长，经过实验与测量，得到弹簧的长度(cm)与所挂物体的质量(kg)之间的对应关系如下表：
若弹簧的长度是17cm，则所挂物体的质量是______kg.
13.如图，在△ABC中，AB=AC，分别以A、C为圆心，大于12AC长为半径画弧，两弧相交于点M、N，连接MN与AC交于点E，若EC=2，则AB的长度为______.
14.已知x2−3x−10=0，则2x2−6x+5=______.
15.已知4x2+(k−3)xy+9y2是完全平方式，则k=______.
16.如图，AB//CD，P、Q分别是线段AB、CD上的定点，在AB与CD之间有一点F，PE、QE分别为∠APF、∠CQF的角平分线，若∠PEQ=130∘，则∠PFQ=______度.
17.如图，在四边形ABCD中，AD=BC=6，AB=CD，BD=10，点E从D点出发，以每秒1个单位的速度沿DA向点A匀速移动，点F从点C出发，以每秒3个单位的速度沿C→B→C做匀速移动，点G从点B出发沿BD向点D匀速移动，三个点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两点也随之停止运动.在整个运动过程中，当G的速度为______时，△DEG与△BFG全等.
18.在正方形ABCD中，点M、N是BC、CD上的两定点，满足：∠MAN=45∘，(点N不与B，C重合；点M不与C，D重合).连接MN，取MN的中点P，连接AP，请问：
(1)若BN+MD=6，则MN=______.
(2)在(1)的条件下，当AP=8时，在线段AB上找一点E，在线段AD上找一点F，使四边形ENMF的周长最小，最小值为______.
三、解答题：本题共8小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题16分)
计算：
(1)−12024×4+(−13)−2+(π−5)0；
(2)(−2a2)3+4a2⋅a4−a8÷a2；
(3)[x(x2y2−xy)−y(x2−x3y)]÷x2y；
(4)解方程组：x+3y=55x−6y=4.
20.(本小题6分)
先化简，再求值：[(2x−y)2−(2x−y)(2x+y)−4xy]÷2y，其中x=1，y=2.
21.(本小题8分)
如图，在正方形网格中，已知△ABC的三个顶点在格点上．
(1)画出△ABC关于直线DE的轴对称图形△A1B1C1；
(2)若正方形网格的单位长度为1，求△A1B1C1的面积．
22.(本小题8分)
补充完成下列推理过程：
已知：如图，在△ABC中，D为AB的中点，过点D作DE//BC，交AC于点E.F是BC上一点，连接DF，且∠DFB=∠ACB.
求证：AE=DF.
证明：∵D为AB的中点(已知)
∴AD=DB(______)
∵DE//BC(已知)
∴∠ADE=∠DBF(______)
又∠DFB=∠ACB(已知)
∴DF//AC(______).
∴∠DAE=∠______.
在△ADE与△DBF中
{∠ADE=∠DBFAD=DB∠DAE=∠(ㅤㅤ)
∴△ADE≌△DBF(______)
∴AE=DF(______)
23.(本小题10分)
已知，在△ABC中，∠ACB=90∘，CD⊥AB于点D，E是AB上一点，满足：CA=CE；将CE绕点E顺时针旋转90∘，交CB于点F.
(1)如图1，
(i)试说明：FE=FB；
(ⅱ)若EC=EF，请探究EB与CD的数量关系，并说明理由；
(2)如图2，若E是线段AB的中点，求S△ACES△EFB的值.
24.(本小题8分)
“龟兔赛跑”的故事同学们都非常熟悉，图中的线段OD和折线OABC表示龟兔赛跑时的路程s(米)与时间t(分钟)的关系，请你根据图中给出的信息，解决下列问题.
(1)折线OABC表示赛跑过程中______(填“兔子”或“乌龟”)的路程与时间的关系，赛跑的全程是______米.
(2)兔子在起初每分钟跑多少米？乌龟每分钟爬多少米？
(3)兔子醒来，以100米/分钟的速度跑向终点，结果还是比乌龟晚到了1分钟，请你算算兔子中间停下睡觉用了多少分钟？
25.(本小题10分)
【知识回顾】
如图1，长方形的长与宽分别为a、b，请认真观察图形，解答下列问题：
(1)若用四个完全相同的这样的长方形拼成如图2的正方形，请写出下列三个代数式(a+b)2，(a−b)2，ab之间的一个等量关系式：______；
(2)根据(1)中的等量关系，解决如下问题：若x−y=7，xy=6，求x2+y2的值；
【深入探究】
(3)若a满足(2023−a)(a−2024)=−5，求(2023−a)2+(a−2024)2的值；
【应用迁移】
(4)如图3，长方形ABCD中，AB=2BC，E、F是边AB上的点(E在F左侧)，以EF为边向下作正方形EFGH，延长GH交AD于点M，再以MH为边向上作正方形MHQP，若BF=2k，DM=k+1，(k为常数，且k>0)，正方形MHQP与长方形ABCD重叠部分的长方形面积为214，求长方形AMGF的周长.
26.(本小题12分)
【模型熟悉】
(1)如图1，已知△ABC和△DCE，点B、C、E在一条直线上，且∠B=∠ACD=∠E，AC=CD，求证：BC=DE；
【模型运用】
(2)如图2，在等边△ABC中，M、N分别为BC，AB边上的点，且ND=NM，∠DNM=60∘，连接AD.若∠DAN=30∘，求证：CM=2BN；
【能力提升】
(3)如图3，等边△ABC的面积是25，AB=6，点D、F分别为AC、BC边上的动点，AD=2CF，连接DF，以DF为边在△ABC内作等边△DEF，连接BE，当点D从点A运动到点C，请在图3中作出点E的运动轨迹，并求出点E的运动路程.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A.该图是轴对称图形，不符合题意；
B.该图不是轴对称图形，符合题意；
C.该图是轴对称图形，不符合题意；
D.该图是轴对称图形，不符合题意；
故选：B.
根据轴对称图形的定义进行判断即可．
本题考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形．
2.【答案】C
【解析】解：A.a2与a3不是同类项不能合并，故A错误；
B.a2⋅a3=a5，底数不变指数相加，故B错误；
C.(−ab3)2=a2b6，故C正确；
D.2a6÷a3=2a3，底数不变指数相减，故D错误；
故选：C.
根据整式的运算法则即可求出答案．
本题考查整式的运算，熟记整式的运算法则是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：0.000036m=3.6×10−5m，
则n=−5，
故选：B.
将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．
本题考查科学记数法表示较小的数，熟练掌握其定义是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：A、形状相同的图形相似但不一定全等，故错误，不符合题意；
B、面积相等的图形不一定全等，故错误，不符合题意；
C、能够完全重合的图形是全等图形，正确，符合题意；
D、周长相等的图形不一定是全等图形，故错误，不符合题意．
故选：C.
根据全等图形的定义进行判断即可．
本题考查了全等图形的定义，了解能够完全重合的图形是全等形是解答本题的关键，难度不大．
5.【答案】A
【解析】解：如图：
∵∠1=48∘，∠BCA=90∘，
∴∠DCA=180∘−∠1−∠BCA=42∘，
∵a//b，
∴∠2=∠DCA=42∘，
故选：A.
先利用平角定义求出∠DCA的度数，再根据平行线的性质即可解答．
本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：A、1+2=3，不能组成三角形，故A选项错误；
B、1+2<4，不能组成三角形，故B选项错误；
C、2+3>5，能组成三角形，故C选项正确；
D、2+2=4，不能组成三角形，故D选项错误；
故选：C.
根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，计算两个较小的边的和，看看是否大于第三边即可．
此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形的三边关系定理．
7.【答案】B
【解析】解：A、添加∠A=∠D可利用AAS判定△ABC≌△DCB，故此选项错误；
B、添加AC=BD不能判定△ABC≌△DCB，故此选项正确；
C、添加∠ACB=∠DBC可利用ASA判定△ABC≌△DCB，故此选项错误；
D、添加AB=CD可利用SAS判定△ABC≌△DCB，故此选项错误；
故选：B.
利用SSS、SAS、ASA、AAS、HL进行分析即可．
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
8.【答案】D
【解析】解：设该店有客房x间，房客y人，
根据题意得：7x+6=y8(x−1)=y，
故选：D.
设该店有客房x间，房客y人，根据“一房七客多七客，一房八客一房空”得出方程组即可．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组．根据题意得出方程组是解决问题的关键．
9.【答案】2x−4
【解析】解：2x−y=4，
y=2x−4.
故答案为：2x−4.
要用x的代数式表示y，先移项，再将系数化为1即可．
此题考查了解二元一次方程的知识．解此类问题的关键是把方程中含有x的项移到等号的右边，再把y的系数化为1.
10.【答案】−6
【解析】解：∵x−y=−2，x+y=3，
∴x2−y2=(x+y)(x−y)=3×(−2)=−6.
故答案为：−6.
根据平方差公式求解即可．
此题考查了平方差公式，解题的关键是掌握平方差公式x2−y2=(x+y)(x−y).
11.【答案】137
【解析】解：由题意得，∠B=90∘−∠A=43∘.
∴∠B的补角是180∘−∠B=180∘−43∘=137∘.
故答案为：137.
根据余角的和补角的定义解决此题．
本题主要考查余角和补角，熟练掌握余角和补角的定义是解决本题的关键．
12.【答案】9
【解析】解：由表格可知，物体的质量每增加1kg，弹簧的长度增加0.5cm，
设所挂物体的质量是x kg，得0.5(x−1)=17−13，
解得x=9.
故答案为：9.
由表格可知，物体的质量每增加1kg，弹簧的长度增加0.5cm，设所挂物体的质量是x kg，列方程并求解即可．
本题考查函数的表示方法，找到变量的变化规律是本题的关键．
13.【答案】4
【解析】解：由作法得MN垂直平分AC，
∴AE=CE=2，
∴AB=AC=AE+CE=2+2=4.
故答案为：4.
利用基本作图可判断MN垂直平分AC，所以AE=CE=2，则AC=4，从而得到AB的长．
本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质．
14.【答案】25
【解析】解：∵x2−3x−10=0，
∴x2−3x=10，
∴2x2−6x+5
=2(x2−3x)+5
=2×10+5
=25，
故答案为：25.
将2x2−6x+5变形为2(x2−3x)+5，然后整体代入求值即可．
本题考查了代数式求值，熟练掌握整体代入思想是解题的关键．
15.【答案】15或−9
【解析】解：∵4x2+(k−3)xy+9y2=(2x)2±2⋅2x⋅3y+(3y)2是完全平方式，
∴k−3=±12，
∴k=15或−9.
故答案为：15或−9.
利用完全平方公式的结构特征判断即可求出k的值．
此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
16.【答案】100
【解析】解：过E作EK//AB，
∵AB//CD，
∴EK//CD，
∴∠PEK=∠APE，∠QEK=∠CQE，
∴∠PEK+∠QEK=∠APE+∠CQE，
∴∠APE+∠CQE=∠PEQ=130∘，
∵PE、QE分别为∠APF、∠CQF的角平分线，
∴∠EPF=∠APE，∠EQF=∠CQE，
∴∠EPF+∠EQF=∠APE+∠CQE=130∘，
∴∠PFQ=360∘−∠PEQ−(∠EPF+∠EQF)=360∘−130∘−130∘=100∘.
故答案为：100.
过E作EK//AB，得到EK//CD，推出∠PEK=∠APE，∠QEK=∠CQE，因此∠APE+∠CQE=∠PEQ=130∘，由角平分线定义得到∠EPF+∠EQF=∠APE+∠CQE=130∘，由四边形内角和是360∘，即可求出∠PFQ的度数．
本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠APE+∠CQE=∠PEQ.
17.【答案】103或53或1
【解析】解：∵AD=BC=6，AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠EDG=∠FBG，
设运动时间为t，点G的运动速度为v，
则BF=6−3t，DE=t，
当0∴t=6−3t10−BG=BG，
∴t=32BG=5，
∴v=103；
若△DEG≌△BGF，则DE=BGDG=BF，
∴t=BG10−BG=6−3t，
∴t=−2BG=−2 (舍去)；
当2∴t=3t−610−BG=BG
∴t=3BG=5，
∴v=53；
若△DEG≌△BGF，则DE=BGDG=BF，
∴t=BG10−BG=3t−6，
∴t=163BG=163，
∴v=1.
综上，点G的速度为103或53或1时，△DEG与△BFG全等．
故答案为：103或53或1.
根据平行四边形的判定定理得到四边形ABCD是平行四边形，求得AD//BC，根据平行线的性质得到∠EDG=∠FBG设运动时间为t，点G的运动速度为v，根据全等三角形的性质进行解答即可．
本题主要考查平行四边形 的判定和性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是利用分类讨论思想解答．
18.【答案】6 22
【解析】解：(1)如图，延长CB至H，使BH=DM，连接AH，
又∵∠ABH=∠D=90∘，AD=AB，
∴△ABH≌△ADM(SAS)，
∴AH=AM，∠DAM=∠BAH，
∵∠MAN=45∘，
∴∠DAM+∠BAN=45∘，
∴∠BAN+∠BAH=45∘=∠NAH，
∴∠NAH=∠MAN，
又∵AN=AN，AH=AM，
∴△AMN≌△AHN(SAS)，
∴MN=NH，
∵BN+MD=6，
∴MN=NH=BH+BN=BN+DM=6，
故答案为：6；
(2)如图，作点N关于直线AB的对称点为N′，点M关于直线AD的对称点为M′，延长AP至T，使得PT=AP，连接AN′，AM′，NT，连接N′M′，交AB于E，交AD于F，连接EN，MF，此时四边形ENMF的周长最小，
∴B为EE′的中点，D为FF′的中点，
又∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABN=∠ADM=90∘，
∴AB为NN′的中垂线，AD为MM′的中垂线，
∴AN=AN′，AM=AM′，
∵点P是MN的中点，
∴PN=PM，
又∵∠NPT=∠MPA，AP=TP，
∴△PNT≌△PMA(SAS)，
∴NT=AM，∠PNT=∠PMA，
∴NT=AM′，且∠ANT=∠ANP+∠PNT=∠ANP+∠AMP=180∘−∠MAN，
∵AN′=AN，∠ABN′=∠ABN=90∘，
∴∠BAN′=∠BAN，
同理可得∠MAD=∠M′AD，
∴∠N′AM′=∠BAN′+∠DAM′+∠BAD=∠BAN+∠DAM+∠BAD=(∠BAD−∠MAN)+∠BAD=180∘−∠MAN，
∴∠ANT=∠N′AM′，
又∵AN′=AN，AM′=NT，
∴△N′AM′≌△ANT(SAS)，
∴N′M′=AT=2AP，
∴AB为NN′的中垂线，AD为MM′的中垂线，
∴NE=NE′，MF=MF′，
∴四边形ENMF的周长=EN+MN+FM+EF=NE′+MN+MF′+EF=M′N′+MN，
∵N′M′=2AP，MN=BN+DM=6，AP=8，
∴M′N′+MN=16+6=22，
∴当E′，M，N，F′在同一直线上时，四边形MEFN的周长有最小值，最小值为22.
故答案为：22.
(1)由“SAS“可证△ABH≌△ADM，可得AH=AM，∠DAM=∠BAH，由“SAS“可证MN=NH，即可求解；
(2)先证N′M′=AT=2AP，由线段垂直平分线的性质可得NE=NE′，MF=MF′，则四边形ENMF的周长=EN+MN+FM+EF=M′N′+MN，即可求解．
本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，等边三角形的性质，轴对称的性质，旋转的性质，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的对应边相等得出结论．
19.【答案】解：(1)−12024×4+(−13)−2+(π−5)0
=−1×4+9+1
=−4+9+1
=6；
(2)(−2a2)3+4a2⋅a4−a8÷a2
=−8a6+4a6−a6
=−5a6；
(3)[x(x2y2−xy)−y(x2−x3y)]÷x2y
=(x3y2−x2y−x2y−x3y2)÷x2y
=(−2x2y)÷x2y
=−2；
(4){x+3y=5①5x−6y=4②，
①×2得：2x+6y=10③，
②+③得：7x=14，
解得：x=2，
把x=2代入①得：2+3y=5，
解得：y=1，
故原方程组的解是：x=2y=1.
【解析】(1)先算乘方，负整数指数幂，零指数幂，再算乘法，最后算加减即可；
(2)先算积的乘方，单项式乘单项式，整式的除法，最后合并同类项即可；
(3)先算括号里的运算，再算除法即可；
(4)利用加减消元法进行求解即可．
本题主要考查整式的混合运算，解二元一次方程组，实数的运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
20.【答案】解：[(2x−y)2−(2x−y)(2x+y)−4xy]÷2y
=(4x2−4xy+y2−4x2+y2−4xy)÷2y
=(2y2−8xy)÷2y
=y−4x，
当x=1，y=2时，原式=2−4=−2.
【解析】先利用完全平方公式，平方差公式计算括号里，再算括号外，然后把x，y的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
本题考查了整式的混合运算-化简求值，完全平方公式，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
21.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1为所作；
(2)△ABC的面积=3×3−12×2×1−12×3×2−12×3×1=3.5.
【解析】(1)利用网格特点和对称轴的性质，分别画出点A、B、C关于直线DE的对称点A1、B1、C1即可；
(2)用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算△ABC的面积．
本题考查了轴对称变换：几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．
22.【答案】中点定义 两直线平行，同位角相等 同位角相等，两直线平行 BDF ASA 全等三角形的对应边相等
【解析】解：∵D为AB的中点(已知)，
∴AD=DB(中点定义)，
∵DE//BC(已知)，
∴∠ADE=∠DBF(两直线平行，同位角相等)，
又∠DFB=∠ACB(已知)，
∴DF//AC(同位角相等，两直线平行)，
∴∠DAE=∠BDF，
在△ADE与△DBF中，
∠ADE=∠DBFAD=DB∠DAE=∠BDF，
∴△ADE≌△DBF(ASA)，
∴AE=DF(全等三角形的对应边相等)，
故答案为：中点定义；两直线平行，同位角相等；同位角相等，两直线平行；BDF；ASA；全等三角形的对应边相等．
先根据线段中点的定义可得AD=DB，再根据平行线的性质可得∠ADE=∠DBF，然后再根据已知∠DFB=∠ACB可得DF//AC，从而利用平行线的性质可得∠DAE=∠BDF，最后利用ASA证明△ADE≌△DBF，从而利用全等三角形的性质即可解答．
本题考查了全等三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
23.【答案】(1)(i)证明：∵AC=CE，CD⊥AE，
∴∠A=∠CED，
∵∠ACB=90∘，
∴∠B+∠A=90∘，
∴∠B+∠CED=90∘，
∵将CE绕点E顺时针旋转90∘，交CB于点F，
∴∠CEF=90∘，
∴∠DEC+∠BEF=90∘，
∴∠BEF=∠B，
∴EF=BF；
(ⅱ)CD=12EB；
理由：过F作FH⊥BE于H，
由(i)知，EF=BF，
∴BH=EH，
∵∠CDE=∠CEF=∠FHE=90∘，
∴∠FEH+∠DEC=∠EFH+∠FEH=90∘，
∴∠DEC=∠EFH，
在△CDE和△EHF中，
∠CDE=∠EHF∠DEC=∠EFHEC=EF
∴△CDE≌△EHF(AAS)，
∴CD=EH，
∴CD=12EB；
(2)如图，过F作FG⊥BE于G，
∵E是线段AB的中点，
∴AE=BE，
由(1)知EF=BF，
∴BG=EG=12BE，
∵AD=DE=12AE，
∴AD=DE=EG=BG，
∴BG：BD=1：3.
∵CD⊥AB，FG⊥AB，
∴FG//CD，
∴△BFG∼△BCD，
∴FG：CD=BG：BD=1：3，
∴S△ACES△EFB=12×AE×CD12×BE×FG=CDFG=BDBG=3.
【解析】(1)(i)由AC=CE，CD⊥AE，得∠A=∠CED，由∠ACB=90∘，得∠B+∠A=90∘，故∠B+∠CED=90∘，由将CE绕点E顺时针旋转90∘，得∠CEF=90∘，故∠DEC+∠BEF=90∘，得∠BEF=∠B，故EF=BF；
(ⅱ)由(i)知EF=BF，BH=EH，由∠CDE=∠CEF=∠FHE=90∘，得∠DEC=∠EFH，再证明△CDE≌△EHF，得CD=EH，故CD=12EB.
(2)由E是线段AB的中点，得AE=BE，如图，过F作FG⊥BE于G，由(1)知EF=BF，得BG=EG=12BE，由AD=DE=12AE，得AD=DE=EG=BG，故BG：BD=1：3.由FG//CD，得△BFG∼△BCD，得FG：CD=BG：BD=1：3，故S△ACES△EFB=12×AE×CD12×BE×FG=CDFG=BDBG=3.
本题考查了几何变换综合题，构造一线三垂直是解题关键．
24.【答案】兔子 1200
【解析】解：(1)∵乌龟是一直跑而兔子中间有休息的时刻，
∴折线OABC表示赛跑过程中兔子的路程与时间的关系，
由图象可知：赛跑的全过程为1200米．
故答案为：兔子，1200.
(2)结合图象得出：
兔子在起初每分钟跑400÷5=90(米)，
乌龟每分钟爬1200÷60=20(米)，
答：兔子在起初每分钟跑90米，乌龟每分钟爬20米．
(3)∵兔子跑了400米停下睡觉，用了5分钟，
∴剩余800米所用的时间为800÷100=8(分钟)，
∴兔子睡觉用了61−5−8=48(分钟)，
答：所以兔子中间停下睡觉用了48分钟．
(1)利用乌龟始终运动，中间没有停留，而兔子中间有休息的时刻，即可得出折线OABC的意义和全程的距离；
(2)根据图象中点A、D实际意义可得速度；
(3)利用兔子的速度，求出兔子走完全程的时间，再求解即可．
本题主要考查一次函数的应用，结合题意弄清图象中每个点的实际意义是解题的关键．
25.【答案】(a+b)2=(a−b)2+4ab
【解析】解：(1)根据题意得：(a+b)2=(a−b)2+4ab；
故答案为：(a+b)2=(a−b)2+4ab；
(2)把x−y=7两边平方得：(x−y)2=49，
展开得：x2+y2−2xy=49，
将xy=6代入得：x2+y2−12=49，
整理得：x2+y2=61；
(3)设2023−a=m，a−2024=n，则有mn=−5，m+n=1，
把m+n=1两边平方得：(m+n)2=1，即m2+n2+2mn=1，
把mn=−5代入得：m2+n2−10=1，即m2+n2=11，
则(2023−a)2+(a−2024)2=m2+n2=11；
(4)设BC=AD=x，则AB=2x，
∵正方形EFGH，矩形AMGF，
∴AM=FG=EF=AD−MC=x−(k+1)=x−k−1，
AE=AB−EF−FB=2x−[x−(k+1)]−2k=x−k+1，
∵正方形MHQP与长方形ABCD重叠部分的长方形面积为214，即矩形AEHM面积为214，
∴AM⋅AE=(x−k−1)(x−k+1)=214，即(x−k)2−1=214，
整理得：(x−k)2=254，
开方得：x−k=52(负值舍去)，
∴AM=52−1=32，AE=52+1=72，AF=AE+EF=AE+AM=5，
则长方形AMGF周长为2(AF+AM)=2×(5+32)=13.
(1)由图2中大正方形的面积直接求和间接求两种方法表示，可得出三式的关系式；
(2)把x−y=7两边平方，利用完全平方公式化简，再将xy=6代入即可求出x2+y2的值；
(3)设2023−a=m，a−2024=n，则有mn=−5，m+n=1，把m+n=1两边平方，利用完全平方公式化简，把mn=−5代入求出m2+n2的值，即为所求；
(4)设BC=AD=x，则AB=2x，表示出AM与AE的长，由正方形MHQP与长方形ABCD重叠部分的长方形面积为214，求出x的值，确定出AM与AF的长，即可求出长方形AMGF的周长．
此题考查了整式的混合运算-化简求值，完全平方公式的几何背景，平方差公式，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．
26.【答案】(1)证明：∵∠B=∠ACD，∠ACE=∠ACD+∠DCE=∠B+∠BAC，
∴∠BAC=∠DCE，
在△ABC和△CED中，
∠B=∠E∠BAC=∠DCEAC=CD，
∴△ABC≌△CED(SAS)，
∴BC=DE.
(2)证明：在AB上截取AF=DF，连接DF，
∵∠DAN=30∘，
∴∠DAN=∠ADF=30∘，
∴∠DFN=60∘=∠B，
∵∠ANM=∠AND+∠DNM=∠PMN+∠B，且∠DNM=∠B=60∘，
∴∠AND=∠BMN，
在△FDN和△BNM中，
∠DFN=∠P∠DNF=∠PMNND=NM，
∴△FDN≌△BNM(AAS)，
∴FD=BN，FN=BM，
∴AF=BN，
∵AB=BC，
∴AB−NF=BC−BM，即AF+BN=CM，
∴CM=2BN.
(3)解：如图，在BC上截取BM=CF，连接EM，
∵AD=2CF=BM+CF，且AC=BC，
∴CD=FM，
∵△DEF是等边三角形，
∴DF=EF，∠DFE=60∘，
∵∠DFM=∠CDF+∠C=∠MFE+∠DFE，且∠C=∠DFE=60∘，
∴∠CDF=∠MFE，
∴△DFC≌△FEM(SAS)，
∴∠FME=∠C=60∘，EM=CF，
∵BM=CF，
∴BM=EM，
∴∠EBM=30∘，
∴BE平分∠ABC，
∴如图所示，点E在△ABC的内角∠ABC的角平分线上BN上运动．
∴点E的运动路程也就是BN的长度，
∵△ABC是等边三角形，BN是角平分线，
∴BN⊥AC，
∴S△ABC=12AC⋅BN=25，
∵AC=6，
∴BN=253，
即点E的运动路程为253.

【解析】(1)证△ABC≌△CED即可得证；
(2)在AB上截取AF=DF构造△FDN≌△BNM(AAS)，从而证出FD=BN=AF，FN=BM，再用线段和差即可得证；
(3)类比探究，根据前问思路，构造“一线三等角”的全等，证明BE平分∠ABC，即可得出点E的运动轨迹，再利用面积法求出BN的长度即可．
本题主要考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质等内容，熟练掌握相关知识和添加合适的辅助线是解题的关键．物体的质量/kg
1
2
3
4
5
弹簧的长度/cm
13
13.5
14
14.5
15