2023-2024学年广东省珠海市金湾区七年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年广东省珠海市金湾区七年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列数中是无理数的是( )
A. 13B. −1C. 4D. π
2.下列调查中，最适合采用全面调查的是( )
A. 对旅客上飞机前的安检B. 检测某市的空气质量
C. 了解一批节能灯泡的使用寿命D. 对五一节假日期间居民出行方式的调查
3.在平面直角坐标系中，点M(−4,3)所在的象限是( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
4.我区2024年八年级“国家体质健康测试”中，立定跳远为必测项目，如图为测量立定跳远成绩的示意图，其依据的数学原理是( )
A. 两点之间线段最短
B. 两点确定一条直线
C. 垂线段最短
D. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
5.若aA. a3>b3B. a−1b2D. ac6.不等式组x≤5,x>3的解集在数轴上表示，正确的是( )
A. B.
C. D.
7.象棋在中国有着三千多年的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的益智游戏．如图，是一局象棋残局，已知表示棋子“馬”和“車”的点的坐标分别为(4,3)，(−2,1)，则表示棋子“炮”的点的坐标为( )
A. (−3,3)B. (3,2)C. (0,3)D. (1,3)
8.光线在不同介质中的传播速度不同，因此当光线从空气射向水中时，会发生折射．如图，在空气中平行的两条入射光线，在水中的两条折射光线也是平行的．若水面和杯底互相平行，且∠1=122∘，则∠2=( )
A. 61∘B. 58∘C. 48∘D. 41∘
9.长跑比赛中，张华跑在前面，在离终点100m时他以4m/s的速度向终点冲刺，在他身后10m的李明需以多快的速度同时开始冲刺，才能够在张华之前到达终点？设李明冲刺的速度为xm/s，可列出不等式为( )
A. 1004x>100+10B. 1004x<100+10C. 1004x<100−10D. 1004x>100−10
10.如图，在平面直角坐标系中，长方形ADCB的边BC平行于x轴，如果点A的坐标为(−1,2)，点C的坐标为(3,−3)，把一根长为2024个单位长度且没有弹性的细线(线的粗细忽略不计)的一端固定在点A处，并按顺时针方向绕在长方形ADCB的边上，则细线的另一端所在位置的坐标为( )
A. (3,−2)
B. (3,−3)
C. (2,−3)
D. (2,2)
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.把方程x−3y=5改写成用含y的式子表示x的形式，则x=______.
12.根据机器零件的设计图纸(如图)，用不等式表示零件长度的合格尺寸(L的取值范围)______.
13.在九年级的一次考试中，某道单项选择题的作答情况如图所示，由统计图可得选C的人数是______.
14.已知x=2y=1是关于x、y的二元一次方程ax+by=3的一组解，则代数式4a+2b−2的值为______.
15.如图a是长方形纸带，∠DEF=25∘，将纸带沿EF折叠成图b，再沿GF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是______ ∘.
三、解答题：本题共9小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题6分)
计算：(−2)2+|2− 3|−38.
17.(本小题6分)
解方程组{2x−3y=−4,①4x+y=6.②.
18.(本小题6分)
如图，在四边形ABCD中，E是AD上一点，延长BA交CE延长线于点F，∠1+∠2=180∘，∠B=∠D.求证：AB//CD.
19.(本小题6分)
如图，把两张小正方形纸片分别沿对角线剪开，拼成一张面积为16cm2的大正方形纸片.
(1)小正方形纸片的边长为______ cm；
(2)若沿此大正方形纸片边的方向剪出一张长方形纸片，能否使剪出的长方形纸片的长宽之比为2：1，且面积为12cm2？若能，试求出剪出的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由.
20.(本小题9分)
如图，三角形ABC三个顶点坐标分别为A(3,4)，B(1,3)，C(4,1)，点A′的坐标为(−2,3).
(1)将三角形ABC平移，使点A与点A′重合，画出平移后的三角形A′B′C′；
(2)点B′的坐标为______，点C′的坐标为______；
(3)连接OB，在x轴上找点D，使△BOD的面积是△ABC面积的2倍，直接写出点D的坐标.
21.(本小题9分)
某中学开展专家讲座，帮助学生合理规划周末使用手机的时间，并在讲座前后对本校学生周末手机使用时间情况进行随机抽样调查，制成如下统计图表(数据分组包含左端值不包含右端值).
(1)在讲座开展前抽取的学生中周末使用时长在哪个区间的人数最多？占抽取人数的百分之几？
(2)该校共有学生1500人，请估计讲座开展后全校周末使用手机8小时以上的学生人数；
(3)小军认为，活动开展后的样本中周末使用手机6小时以上的人数与讲座前相比变化不大，所以讲座并没有起到效果.请结合统计图表，对小军分析数据的方法及讲座宣传活动的效果谈谈你的看法.
22.(本小题9分)
古人曰：“读万卷书，行万里路”，七年级同学开启了期盼已久的研学活动，师生一起去参观珠海博物馆.下面是王老师和小真、小萱同学有关租车问题的对话：
王老师：“客运公司有60座和45座两种型号的客车可供租用，60座客车每辆每天的租金比45座的贵200元.”小真：“八年级师生昨天在这个客运公司租了3辆60座和4辆45座的客车到该博物馆参观，一天的租金共计6200元.”
小萱：“如果我们七年级租用45座的客车a辆，那么还有15人没有座位；如果租用60座的客车可少租2辆，且正好坐满.”
根据以上对话，解答下列问题：
(1)客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别是多少元？
(2)①参加此次活动的七年级师生共有______人；
②若同时租用两种或一种客车，要使每位师生都有座位，且每辆客车恰好坐满，应该怎样租用才合算？
23.(本小题12分)
对x，y定义一种新的运算A，规定A(x,y)=ax+by(x≥y)ay+bx(x(1)若已知a=−2，b=1，则A(4,3)=______；
(2)已知A(1,1)=5，A(−1,2)=1，求a，b的值；
(3)在(2)问的基础上，若关于正数p的不等式组A(3p,2p−1)>4A(−1−3p,−2p)≥m恰好有2个整数解，求m的取值范围.
24.(本小题12分)
【问题提出】小颖同学在学习中自主探究以下问题，请你解答她提出的问题：
(1)如图1所示，已知AB//CD，点E为AB，CD之间一点，连接BE，DE，得到∠BED，若∠B=20∘，∠D=30∘，则∠BED的度数为______；
(2)【类比迁移】如图2所示，已知AB//CD，点E为AB，CD之间一点，∠ABE和∠CDE的平分线相交于点F，若∠E=α，请用含α的式子表示∠F；
(3)【变式挑战】小颖结合角平分线的知识将问题进行深入探究，如图3所示，已知AB//CD，点E的位置移到AB上方，点F在EB延长线上，∠ABF与∠CDE的平分线相交于点G，请猜想∠G与∠E之间的数量关系，并说明理由.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、13是分数，属于有理数，不符合题意；
B、−1是整数，属于有理数，不符合题意；
C、 4=2，2是整数，属于有理数，故此选项不符合题意；
D、π是无理数，符合题意，
故选：D.
分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．
此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π， 6，0.8080080008…(每两个8之间依次多1个0)等形式．
2.【答案】A
【解析】解：A、对旅客上飞机前的安检，最适合采用全面调查，故A符合题意；
B、检测某市的空气质量，最适合采用抽样调查，故B不符合题意；
C、了解一批节能灯泡的使用寿命，最适合采用抽样调查，故C不符合题意；
D、对五一节假日期间居民出行方式的调查，最适合采用抽样调查，故D不符合题意；
故选：A.
根据全面调查与抽样调查的特点，逐一判断即可解答．
本题考查了全面调查与抽样调查，熟练掌握全面调查与抽样调查的特点是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：点M(−4,3)所在的象限是第二象限．
故选：B.
根据各象限内点的坐标特征解答即可．
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限(+,+)；第二象限(−,+)；第三象限(−,−)；第四象限(+,−).
4.【答案】C
【解析】解：依据的数学原理是垂线段最短．
故选：C.
根据垂线段的性质：垂线段最短进行解答即可．
此题主要考查了垂线段的性质，关键是掌握性质定理．
5.【答案】B
【解析】解：A.∵a∴a3B.∵a∴a−1C.取a=2，b=3，则a2=4，b2=9，
∵4<9，
∴a2D.当c<0时，由abc，故本选项不符合题意；
故选：B.
根据不等式的性质逐个判断即可．
本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质是解此题的关键，①不等式的性质1：不等式的两边都加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变，②不等式的性质2：不等式的两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变，③不等式的性质3：不等式的两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
6.【答案】B
【解析】解：在数轴上表示不等式组x≤5x>3的解集为选项B所示．
故选：B.
先根据在数轴上表示不等式组解集的方法把此不等式组的解集表示出来，再找出符合条件的选项即可．
本题考查的是在数轴上表示一元一次不等式组的解集，即把每个不等式的解集在数轴上表示出来(>,≥向右画；<，≤向左画)，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“<”，“>”要用空心圆点表示．
7.【答案】D
【解析】解：如图所示：棋子“炮”的点的坐标为：(1,3).
故选：D.
根据棋子“馬”和“車”的点的坐标可得出原点的位置，进而得出答案．
此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点的位置是解题关键．
8.【答案】B
【解析】解：∵水面和杯底互相平行，
∴∠1+∠3=180∘，
∴∠3=180∘−∠1=180∘−122∘=58∘.
∵水中的两条折射光线平行，
∴∠2=∠3=58∘.
故选：B.
由水面和杯底互相平行，利用“两直线平行，同旁内角互补”可求出∠3的度数，由水中的两条折射光线平行，利用“两直线平行，同位角相等”可得出∠2的度数．
本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，同旁内角互补”和“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：由题意可得，
1004x>100+10，
故选：A.
根据题意可知，李明在张华之前到达终点，那么在张华从100m处到终点所用的时间内，李明跑的路程要大于100+10，从而可以得到不等式1004x>100+10.
本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式．
10.【答案】A
【解析】解：∵四边形ADCB是长方形，且A(−1,2)，C(3,−3)，
∴AD=3−(−1)=4，CD=2−(−3)=5，
∴长方形的周长为：2×(4+5)=18.
∵2024÷18=112余8，
∴细线的另一个端点在DC边上，且与点C的距离是1个单位长度，
∴另一个端点的坐标为(3,−2).
故选：A.
根据点A和点C的坐标，求出长方形的周长，再根据细线的长度，求出绕点A顺时针旋转后另一个端点所在边即可解决问题．
本题考查点的坐标变化规律，能通过计算得出细线另一个端点所处的位置是解题的关键．
11.【答案】3y+5
【解析】解：方程x−3y=5，
移项得：x=3y+5.
故答案为：3y+5.
把y看作已知数求出x即可．
此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将一个未知数看作已知数求出另一个未知数．
12.【答案】19.99≤L≤20.01
【解析】解：由L=20±0.01，得
19.99≤L≤20.01，
故答案为：19.99≤L≤20.01.
根据有理数的加减法，可得合格范围．
本题考查了不等式的定义，利用有理数的加减法是解题关键．
13.【答案】28人
【解析】解：10÷20%×(1−8%−16%−20%)
=50×0.66
=28(人)，
即由统计图可得选C的人数是28人，
故答案为：28人．
根据题意列式计算即可．
本题考查有理数混合运算的实际应用，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键．
14.【答案】4
【解析】解：把x=2y=1代入ax+by=3可得：
2a+b=3，
4a+2b−2
=2(2a+b)−2
=2×3−2
=6−2
=4.
故答案为：4.
把x和y的值代入方程即可求出a与b的关系式，然后再求值．
本题主要考查了二元一次方程的知识，整体代入的思想是解答的关键．
15.【答案】105
【解析】解：因为AD//BC，∠DEF=25∘，
所以∠BFE=∠DEF=25∘，
所以∠EFC=155∘(图a)，
所以∠BFC=155∘−25∘=130∘(图b)，
所以∠CFE=130∘−25∘=105∘(图c).
故答案为：105.
根据两条直线平行，内错角相等，则∠BFE=∠DEF=25∘，根据平角定义，则∠EFC=155∘(图a)，进一步求得∠BFC=155∘−25∘=130∘(图b)，进而求得∠CFE=130∘−25∘=105∘(图c).
此题主要是根据折叠能够发现相等的角，同时运用了平行线的性质和平角定义．
16.【答案】解：原式=4+2− 3−2
=4− 3.
【解析】首先计算乘方、开方和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
17.【答案】解：{2x−3y=−4①4x+y=6②，
②×3得：12x+3y=18③，
①+③得：x=1，
把x=1代入②得：y=2，
∴方程组的解为：x=1y=2.
【解析】先把方程②乘3得③，再把①和③相加，消去y，求出x，再把x代入②求出y即可．
本题主要考查了解二元一次方程组，解题关键是熟练掌握利用加减消元和代入消元法解二元一次方程组．
18.【答案】证明：∵∠1+∠2=180∘，
∴AD//BC，
∴∠D+∠BCD=180∘，
∵∠B=∠D，
∴∠B+∠BCD=180∘，
∴AB//CD.
【解析】根据平行线的判定与性质求证即可．
此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定与性质是解题的关键．
19.【答案】2 2
【解析】解：(1)根据题意，大正方形的边长为 16=4，
大正方形的边长是小正方形的对角线，
∴小正方形的边长为4÷ 2=2 2.
故答案为：2 2.
(2)不能，理由如下：
∵长方形长宽之比为2：1，
∴设长方形的长和宽分别为2x cm，x cm，
∴2x⋅x=12，
∴x2=6，
∵x>0，
∴x= 6，
∴2x=2 6，
∵2< 6<3，
∴2 6= 24>4.
∴沿此大正方形纸片边的方向不能裁剪出符合要求的长方形．
(1)由正方形的面积公式即可求解；
(2)设长方形纸片的长和宽分别是4x cm，3x cm，得到3x⋅4x=24，求出x的值，即可解决问题．
本题考查算术平方根，正方形面积公式，关键是由题意求出长方形纸片的长和宽．
20.【答案】(−4,2)(−1,0)
【解析】解：(1)由题意知，三角形ABC是向左平移5个单位长度，向下平移1个单位长度得到三角形A′B′C′，
如图，三角形A′B′C′即为所求．
(2)由图可得，B′(−4,2)，C′(−1,0).
故答案为：(−4,2)；(−1,0).
(3)△ABC的面积为12×(1+3)×3−12×2×1−12×1×3=6−1−32=72.
设点D的坐标为(m,0)，
∵△BOD的面积是△ABC面积的2倍，
∴12|m|×3=2×72，
解得m=143或−143，
∴点D的坐标为(143,0)或(−143,0).
(1)由题意知，三角形ABC是向左平移5个单位长度，向下平移1个单位长度得到三角形A′B′C′，根据平移的性质作图即可．
(2)由图可得答案．
(3)利用割补法可求得△ABC的面积为72.设点D的坐标为(m,0)，根据题意可列方程为12|m|×3=2×72，求出m的值，即可得出答案．
本题考查作图-平移变换，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键．
21.【答案】解：(1)在讲座开展前抽取的学生中周末使用时长在4∼6小时的同学最多；
占抽取人数的155+8+15+12+10×100%=30%；
(2)根据题意得：
1500×416+24+40+16+4×100%=60(人)，
答：估计讲座开展后全校周末使用手机8小时以上的学生人数有60人；
(3)因为忽略了两次样本容量的差异，所以小军分析的方法不合理，样本中周末使用手机时长6小时以上的人数由12+1050×100%=44%下降为16+4100×100%=20%，所以此次讲座宣传活动是有效的．
【解析】(1)根据图表给出的数据得出在讲座开展前抽取的学生中周末使用时长在4∼6小时的同学最多，再用4∼6小时的人数除以总人数即可；
(2)用总人数乘以讲座开展后全校周末使用手机8小时以上的学生人数所占的百分比即可；
(3)根据给出的数据先算出周末使用手机时长6小时以上的人数由44%下降为20%，从而得出此次讲座宣传活动是有效的．
此题考查了用样本估计总体和方差的意义，掌握用样本估计总体的计算公式和方差的意义是解题的关键．
22.【答案】420
【解析】解：(1)设45座客车每辆每天租金为x元，则60座客车每辆每天租金为(x+200)元，
3(x+200)+4x=6200，
解得x=800，
∴x+200=1000(元)，
答：客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别是1000元和800元．
(2)①根据题意得：45a+15=60(a−2)，
解得：a=9，
∴45a+15=45×9+15=420，
∴参加此次活动的七年级师生共有420人．
故答案为：420.
②设租用45座客车m辆，租用60座客车n辆，
则45m+60n=420，
①当m=0时，n=7，租金：1000×7=7000(元)，
②当m=4时，n=4，租金：800×4+1000×4=7200(元)，
③当m=8时，n=1，租金：800×8+1000×1=7400(元)，
∵7000<7200<7400，
∴当租用60座客车7辆时最划算．
(1)设45座客车每辆每天租金为x元，则60座客车每辆每天租金为(x+200)元，根据题意列出方程组解之即可得出结论；
(2)①根据“如果我们七年级租用45座的客车a辆，那么还有15人没有座位；如果租用60座的客车可少租2辆，且正好坐满”，可得出关于a的一元一次方程，解之即可求出a的值，再将其代入45a+15中，即可求出结论；
②设租用60座客车m辆，45座客车n辆，根据“租用的客车要使每位师生都有座位，且每辆客车恰好坐满”，可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为自然数，可得出各租车方案，再求出各租车方案所需租车费用，比较后即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程．
23.【答案】−5
【解析】解：(1)∵4>3，
∴A(4,3)=4a+3b，
又∵b=1，a=−2，
∴A(4,3)=4×(−2)+3×1=−8+3=−5，
故答案为：−5；
(2)由题意可得：a+b=52a−b=1，
解得：a=2b=3；
∴a的值为2，b的值为3；
(3)在(2)问的基础上，可得A(x,y)=2x+3y(x≥y)2y+3x(x∵p为正数，
∴3p>2p−1，−1−3p<−2p，
∴A(3p,2p−1)=2×3p+3×(2p−1)=12p−3，
A(−1−3p,−2p)=2×(−2p)+3×(−1−3p)=−13p−3，
∴{12p−3>4①−13p−3⩾m②，
解得：712∵不等式组恰好有2个整数解，
∴2个整数解为1，2，
∴2≤−m+313<3，
解得：−42(1)根据新定义运算列出算式求解；
(2)根据题中的新定义列出方程组，求出方程组的解即可得到a与b的值；
(3)由(2)化简得A(x,y)的关系式，先判断括号内数的大小，再转化成不等式组求解即可．
本题考查了一元一次不等式组的整数解，有理数的混合运算，解二元一次方程组，理解新定义运算程序，列出二元一次方程组和不等式组是解题关键．
24.【答案】50∘
【解析】解：(1)如图1，过点E作EF//AB，
∵AB//CD，
∴EF//CD，
∴∠BEF=∠B=20∘，∠DEF=∠D=30∘，
∴∠BED=∠BEF+∠DEF=50∘.
故答案为：50∘.
(2)如图2，过点E作EG//AB，过点F作FH//AB，
∵AB//CD，
∴EG//AB//FH//CD，
∴∠ABF=∠BFH，∠CDF=∠DFH，∠ABE+∠BEG=180∘，∠GED+∠CDE=180∘，
∴∠ABE+∠BEG+∠GED+∠CDE=360∘.
∵∠BED=α，
∴∠ABE+∠CDE=360∘−α.
∵∠ABE和∠CDE的平分线相交于点F，
∴∠ABF+∠CDF=12∠ABE+12∠CDE=12(360∘−α)=180∘−12α，
∴∠BFD=∠BFH+∠DFH=∠ABF+∠CDF=180∘−12α，
即∠F=180∘−12α.
(3)∠E+180∘=2∠G.
理由：如图3，过点E作EM//AB，过点G作GN//AB，
∵AB//CD，
∴AB//EM//GN//CD，
∴∠MEF=∠ABF，∠CDE=180∘−∠DEM.
由(2)知，∠BGD=∠ABG+∠CDG，
∵∠ABF与∠CDE的平分线相交于点G，
∴∠ABG=12∠ABF，∠CDG=12∠CDE，
∴∠BGD=12(∠ABF+∠CDE)，
∴∠ABF+∠CDE=2∠BGD，
∴∠BED=∠MEF−∠MED=∠ABF−(180∘−∠CDE)=∠ABF+∠CDE−180∘=2∠BGD−180∘，
即∠E+180∘=2∠G.
(1)过点E作EF//AB，根据平行线的性质可得EF//CD，则∠BEF=∠B=20∘，∠DEF=∠D=30∘，再根据∠BED=∠BEF+∠DEF可得答案．
(2)过点E作EG//AB，过点F作FH//AB，根据平行线的性质可得EG//AB//FH//CD，则可得∠ABF=∠BFH，∠CDF=∠DFH，∠ABE+∠BEG=180∘，∠GED+∠CDE=180∘，进而可得∠ABE+∠CDE=360∘−α.根据题意可得∠ABF+∠CDF=12∠ABE+12∠CDE=180∘−12α，则∠BFD=∠BFH+∠DFH=∠ABF+∠CDF=180∘−12α.
(3)过点E作EM//AB，过点G作GN//AB，根据平行线的性质可得AB//EM//GN//CD，则可得∠MEF=∠ABF，∠CDE=180∘−∠DEM.由(2)知，∠BGD=∠ABG+∠CDG，进而可得∠ABF+∠CDE=2∠BGD，再根据∠BED=∠MEF−∠MED可得答案．
本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键．开展活动前学生周末手机使用时间
人数
0−2小时
5
2−4小时
8
4∼6小时
15
6−8小时
12
8小时以上
10