2023-2024学年湖南省益阳市沅江市两校联考七年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年湖南省益阳市沅江市两校联考七年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.2023年全国城市节约用水宣传周活动时间为5月14日至20日，成都市宣传主题为“推进城市节水，建设宜居城市”，如图所示倡导节约用水的标志中，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列各式正确的是( )
A. x5⋅x2=x10B. (a2b)3=a6b3
C. x2+y2=(x+y)2D. 3n+3n=6n
3.下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是( )
A. B.
C. D.
4.下列说法中错误的是( )
A. 同一个角的两个邻补角是对顶角B. 对顶角相等，相等的角是对顶角
C. 对顶角的平分线在一条直线上D. ∠α的补角与∠α的和是180∘
5.小明、小华、小亮、小雨4位同学在射箭训练中的平均成绩相同，他们的方差分别是s小明2=0.5，s小华2=1，s小亮2=4，s小雨2=6，你认为谁在训练中的发挥更稳定( )
A. 小明B. 小华C. 小亮D. 小雨
6.下列因式分解正确的是( )
A. x2−xy+x=x(x−y)B. a3+2a2b+ab2=a(a+b)2
C. x2−2x+4=(x−1)2+3D. ax2−9=a(x+3)(x−3)
7.已知x=2y=−1是关于x，y的方程2x+ay=6的解，则a的值为( )
A. −3B. −2C. 2D. 3
8.如图，平面直角坐标系中放置一个直角三角板OAB，∠OAB=60∘，顶点A的坐标为(−1,0)，现将该三角板向右平移使点A与点O重合，得到△OCB′，则点B的对应点B′的坐标是( )
A. (1,0)
B. ( 3, 3)
C. (1, 3)
D. (−1, 3)
9.《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安.今乙发已先二日，甲仍发长安.问：几何日相逢？译文：甲从长安出发，5日到齐国；乙从齐国出发，7日到长安.现乙先出发2日，甲才从长安出发.问：多久后甲、乙相逢？设甲出发x日，乙出发y日后甲、乙相逢，则所列方程组正确的是( )
A. x−2=y17x+15y=1B. x+2=y17x+15y=1C. x−2=y15x+17y=1D. x+2=y15x+17y=1
10.如图，一个质点在第一象限及x轴、y轴上运动，在第一秒钟，它从原点(0,0)运动到(0,1)，然后接着按图中箭头所示方向运动，即(0,0)→(0,1)→(1,1)→(1,0)→⋯，且每秒移动一个单位长度，那么第99秒时质点所在位置的坐标是( )
A. (9,0)
B. (0,9)
C. (8,0)
D. (0,8)
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.如果一组数据：5，x，9，4的中位数为6，那么x的值是______.
12.若xa−1+y=1是关于x，y的二元一次方程，则a=______.
13.已知，如图，在△ABC中，AB=BC，∠B=70∘，则∠A=______ ∘.
14.若x−y=3，xy=5，则x2+y2=______.
15.图中阴影部分的面积为______.
16.下表中的每一对x、y的值都是二元一次方程ax+by=6的一个解，则表中“？”表示的数为______.
17.如图，四边形ABCD中，AB//DC，AC=AB，∠BAC=2∠DAC=30∘，则AB与AD的数量关系是______.
18.如图，MN//PQ，一块含30∘的直角三角板ABC的顶点B在直线PQ上，边AC与MN相交于点D.若∠ADM=32∘，则∠ABP的度数是______.
三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题6分)
(1)因式分解：(2a+b)2−(a+2b)2；
(2)因式分解：(a−b−2)(a−b)+1.
20.(本小题6分)
(1)解方程组：3x+2y=105x−y=21；
(2)解方程组：5x+4y=62x+3y=1.
21.(本小题8分)
先化简，再求值：
[(a−2b)2−(2a−b)(2a+b)−5b2]÷(−12a)，其中a=2，b=−1.
22.(本小题8分)
如图，在边长为1的正方形网格中，三角形ABC的三个顶点都在格点上.请按下列要求作图.
(1)将三角形ABC向右平移8个单位长度后得到三角形A′B′C′，请画出三角形A′B′C′，并求出其面积；
(2)过点A画BC的垂线AP，标出垂足P；
(3)过点A画BC的平行线AQ.
23.(本小题9分)
某班有20名男生，老师为了解这些男生的体能情况，对20名男生进行体能测试，并对测试成绩(百分制，单位：分)进行了统计和分析：
数据收集：100 89 79 81 60 79 83 64 78 87 76 79 91 71 77 79 72 75 86 73
数据整理：
对这20名男生成绩(用x表示)整理，老师规定：x≤59为不合格，59数据分析：
解决问题：
(1)填空：b=______，c=______，d=______；
(2)老师对本次测试数据分析以后，准备对成绩排在前一半的男生进行表扬.班上的男同学小林说：“我的测试成绩是78分，比平均数79低，所以肯定不会被表扬”，你认为小林的说法对吗？并请说明理由.
24.(本小题9分)
学习完第五章“相交线与平行线”后，王老师布置了一道几何题如下：“如图，已知直线AB，CD被直线EF所截，FG平分∠EFD，∠1=∠2=80∘，求∠BGF的度数.”善于动脑的小军快速思考，找到了解题方案，并书写出了如下不完整的解题过程.请你将该题解题过程补充完整：
解：∵∠1=∠2=80∘(已知)，
∴AB//CD(______).
∴∠BGF+∠3=180∘(______).
∵∠2+∠EFD=180∘(邻补角的定义)，
∴∠EFD=180∘−∠2=______ ∘(等式性质).
∵FG平分∠EFD(已知)，
∴∠3=12∠EFD(角平分线的定义).
∴∠3=______ ∘(等式性质).
∴∠BGF=180∘−∠3=______ ∘(等式性质).
25.(本小题10分)
某超市第一次用6500元购进甲、乙两种商品，其中甲商品件数比乙商品件数的2倍少60件，甲、乙两种商品的进价和售价如表(利润=售价-进价)：
(1)该超市第一次购进甲、乙两种商品的件数分别是多少？
(2)第一次甲、乙两种商品全部售完后，该超市第二次以同样的进价又购进甲、乙两种商品.其中甲商品件数是第一次的2倍，乙商品的件数不变.甲商品打折销售，乙商品按原价销售.第二次甲、乙两种商品销售完以后获得的利润比第一次获得的利润多300元，求第二次甲商品是按原价打几折销售的？
26.(本小题10分)
如图1，把一块含30∘的直角三角板ABC的BC边放置于长方形直尺DEFG的EF边上.
(1)【特例初探】如图2，现把三角板绕B点逆时针旋转n∘，当0(2)【技能提升】在(1)的条件下，若∠2比∠1的一半多90∘，求n的值.
(3)【综合运用】如图2，现将射线BC绕点B以每秒5∘的转速逆时针旋转得到射线BC′，同时射线QA绕点Q以每秒4∘的转速顺时针旋转得到射线QA′，当射线QA旋转至与QB重合时，则射线BC、QA均停止转动，设旋转时间为t(s).在旋转过程中，是否存在QA′//BC′？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：B，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
A选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：A.
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【答案】B
【解析】解：A、x5⋅x2=x7，故A不符合题意；
B、(a2b)3=a6b3，故B符合题意；
C、x2+2xy+y2=(x+y)2，故C不符合题意；
D、3n+3n=2×3n，故D不符合题意；
故选：B.
利用同底数幂的乘法的法则，积的乘方的法则，完全平方公式，合并同类项的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查整式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
3.【答案】B
【解析】解：A、∠1与∠2不是对顶角，故此选项不符合题意；
B、∠1与∠2是对顶角，故此选项符合题意；
C、∠1与∠2是内错角，不是对顶角，故此选项不符合题意；
D、∠1与∠2不是对顶角，故此选项不符合题意．
故选：B.
两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角．根据对顶角的定义对各图形判断即可．
本题主要考查对顶角的定义，掌握对顶角的定义是解题的关键．对顶角的定义：两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角．
4.【答案】B
【解析】解：A、同一个角的两个邻补角是对顶角是正确的；
B、对顶角相等是正确的，相等的角是对顶角是错误的；
C、对顶角的平分线在一条直线上是正确的；
D、∠α的补角是180∘−∠α，180∘−∠α+∠α=180∘，是正确的．
故选：B.
利用邻补角的和为180∘，对顶角相等来进行判断即可．
本题考查的是邻补角的定义，对顶角的定义，解题的关键就是熟练掌握定义．
5.【答案】A
【解析】解：∵小明、小华、小亮、小雨4位同学在射箭训练中的平均成绩相同，他们的方差分别是s小明2=0.5，s小华2=1，s小亮2=4，s小雨2=6，
∴s小明2∴在训练中的发挥更稳定小明，
故选：A.
根据方差的定义，方差越小数据越稳定，即可得出答案．
本题考查了方差的意义，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
6.【答案】B
【解析】解：A、x2−xy+x=x(x−y+1)，故此选项错误；
B、a3+2a2b+ab2=a(a+b)2，正确；
C、x2−2x+4=(x−1)2+3，不是因式分解，故此选项错误；
D、ax2−9，无法分解因式，故此选项错误；
故选：B.
直接利用提取公因式法以及公式法分解因式，进而分析即可．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
7.【答案】B
【解析】解：∵x=2y=−1是关于x，y的方程2x+ay=6的解，
∴2×2−a=6，
解得a=−2，
故选：B.
将x，y值代入二元一次方程后解方程即可求解．
本题主要考查二元一次方程的解，根据方程解的定义代入计算是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：∵A(−1,0)，
∴OA=1，
在Rt△AOB中，∵∠AOB=90∘，∠BAO=60∘，OA=1，
∴OB= 3OA= 3，
平移后，OC=1，CB′=OB= 3，
∴B′(1, 3)，
故选：C.
解直角三角形求出OB的长即可解决问题．
本题考查解直角三角形，坐标平移等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
9.【答案】D
【解析】解：由题可知，甲的效率为15，乙的效率为17，
设甲出发x日，乙出发y日后甲、乙相逢，根据题意列方程组：
x+2=y15x+17y=1.
故选：D.
可将此题看作是工作效率类的应用题，根据效率×时间=总量列方程即可．
此题考查二元一次方程的实际应用，解题关键是找到数据之间的数量关系列方程．
10.【答案】A
【解析】解：由题意可知：
当点移动到(1,1)时，用时2秒，
当点移动到(2,2)时，用时6秒，
当点移动到(3,3)时，用时12秒；
⋯
∴点移动到(n,n)时，用的时间为n(n+1)秒，
当点移动到(0,1)时，先向右移动1秒，得到(1,1)，再向下移动1秒得到(1,0)，
当点移动到(0,2)时，向上移动1秒，得到(0,3)，
当点移动到(0,3)时，先向右移动3秒，得到(3,3)，再向下移动3秒得到(3,0)，
⋯
∴当点移动到(0,n)时，n为奇数时，先向右移动n秒，得到(n,n)，再向下移动n秒，得到(n,0)，n为偶数时，向上移动1秒，得到(0,n+1)，
∴当点移动到(9,9)时，用时9×10=90秒，再向下移动9秒，得到(9,0)，
即：第99秒时质点所在位置的坐标是为(9,0)；
故选：A.
根据已知点的坐标，以及点的移动速度，得到点移动到(n,n)时，用的时间为n(n+1)秒，且当点移动到(0,n)时，n为奇数时，先向右移动n秒，得到(n,n)，再向下移动n秒，得到(n,0)，n为偶数时，向上移动一个单位，得到(0,n+1)，进行求解即可．
本题考查点的规律探究，正确找出规律是解题的关键．
11.【答案】7
【解析】解：∵共6个数，
∴中位数是第2和第3个的平均数，
∵中位数为6，
∴x+52=6，
解得：x=7，
故答案为：7.
根据求中位数的方法，可知加上一个数x，那么这组数据的个数就是6，所以处于最中间的两数的平均数就是此组数据的中位数；再根据中位数是6，求得x的值．
此题考查中位数的意义及求解方法的灵活运用，关键是明确这组数据有偶数个，中位数是最中间的那两个数字的平均数．
12.【答案】2
【解析】解：∵xa−1+y=1是关于x，y的二元一次方程，
∴a−1=1，
解得a=2.
故答案为：2.
利用二元一次方程定义可得答案．含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做二元一次方程．
此题主要考查了二元一次方程定义，掌握二元一次方程定义是解答本题的关键．
13.【答案】55
【解析】解：∵AB=BC，
∴∠A=∠C，
∵∠B=70∘，
∴∠A=180∘−∠B2=55∘，
故答案为：55.
根据等腰三角形的性质得到∠A=∠C，由三角形的内角和即可得到结论．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和，熟记等腰三角形的性质是解题的关键．
14.【答案】19
【解析】解：∵(x−y)2=x2−2xy+y2=32=9，
∴x2+y2−2×5=9，
∴x2+y2=19.
故答案为：19.
根据完全平方公式变形计算即可得解．
本题考查整体代入法和完全平方公式，掌握这两点是解题关键．
15.【答案】am+bm−m2
【解析】解：由题意可得，图中阴影部分的面积为am+m(b−m)=am+bm−m2.
故答案为：am+bm−m2.
阴影部分的面积为两个长方形面积的和．
本题考查了整式的混合运算，长方形的面积，正确列式是解题的关键．
16.【答案】−1009
【解析】解：将x=2y=2，x=1y=4代入原方程得：2a+2b=6a+4b=6，
解得：a=2b=1，
∴原方程为2x+y=6，
当y=2024时，2x+2024=6，
解得：x=−1009，
∴表中“？”表示的数为−1009.
故答案为：−1009.
把二元一次方程的解代入原方程，可得出关于a，b的二元一次方程组，解之可得出a，b的值，进而可得出原方程为2x+y=6，再代入y=2024，即可求出表中“？”表示的数．
本题考查了二元一次方程的解以及解二元一次方程组，解题的关键是掌握解方程组的方法．
17.【答案】AB= 2AD
【解析】解：作DE⊥AB于点E，CF⊥AB于点F，则∠AFC=∠AED=90∘，
∵AB//DC，
∴CF=DE，
∵AC=AB，∠BAC=2∠DAC=30∘，
∴AC=2CF，∠DAC=15∘，
∴AB=2CF，∠DAE=∠BAC+∠DAC=45∘，
∴∠ADE=∠DAE=45∘，
∴DE=AE，
∴AD= AE2+DE2= 2DE2= 2DE，
∴CF=DE= 22AD，
∴AB=2× 22AD= 2AD，
故答案为：AB= 2AD.
作DE⊥AB于点E，CF⊥AB于点F，则CF=DE，由∠BAC=2∠DAC=30∘，得AC=2CF，∠DAC=15∘，则AB=2CF，∠DAE=45∘，所以∠ADE=∠DAE=45∘，则DE=AE，由勾股定理得AD= AE2+DE2= 2DE，则CF=DE= 22AD，所以AB= 2AD，于是得到问题的答案．
此题重点考查直角三角形中30∘角所对的直角边等于斜边的一半、两条平行线之间的距离处处相等、等腰三角形的判定、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
18.【答案】62∘
【解析】解：如图，
由题意得：∠A=30∘，
∵∠ADM=32∘，∠AEM是△ADE的外角，
∴∠AEM=∠A+∠ADM=62∘，
∵MN//PQ，
∴∠ABP=∠AEM=62∘.
故答案为：62∘.
由题意可得∠A=30∘，由三角形的外角性质可求得∠AEM=62∘，再结合平行线的性质可得∠ABP=62∘.
本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等．
19.【答案】解：(1)原式=[(2a+b)+(a+2b)][(2a+b)−(a+2b)]
=(3a+3b)(a−b)
=3(a+b)(a−b)；
(2)设N=a−b，
原式=N(N−2)+1
=N2−2N+1
=(N−1)2，
将N换回去得：原式=(a−b−1)2.
【解析】(1)先利用平方差公式进行因式分解，化简后再提公因式即得答案；
(2)设N=a−b，先计算整式的乘法，再利用完全平方公式进行因式分解，然后将N换回去即可得．
本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法和“整体思想”是解题关键．
20.【答案】解：(1){3x+2y=10①5x−y=21②，
①+②×2得：13x=52，
解得：x=4，
将x=4代入①得：20−y=21，
解得：y=−1，
故原方程组的解为x=4y=−1；
(2){5x+4y=6①2x+3y=1②，
②×5−①×2得：7y=−7，
解得：y=−1，
将y=−1代入②得：2x−3=1，
解得：x=2，
故原方程组的解为x=2y=−1.
【解析】(1)利用加减消元法解方程组即可；
(2)利用加减消元法解方程组即可．
本题考查解二元一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键．
21.【答案】解：原式=(a2−4ab+4b2−4a2+b2−5b2)÷(−12a)
=(−3a2−4ab)÷(−12a)
=6a+8b，
当a=2，b=−1时，
原式=6×2+8×(−1)
=4.
【解析】先利用完全平方公式，平方差公式计算括号里，再算括号外，然后把a，b的值代入化简后的式子，进行计算即可解答．
本题考查了整式的混合运算-化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
22.【答案】解：(1)如图，三角形A′B′C′即为所求．
三角形A′B′C′的面积为12×(4+5)×4−12×5×1−12×4×3=18−52−6=192.
(2)如图，AP即为所求．
(3)如图，AQ即为所求．

【解析】(1)根据平移的性质作图即可；利用割补法求三角形的面积即可．
(2)利用网格，根据垂线的定义画图即可．
(3)利用网格，根据平行线的判定画图即可．
本题考查作图-平移变换、垂线、平行线的判定，熟练掌握平移的性质、垂线、平行线的判定是解答本题的关键．
23.【答案】7 79 79
【解析】解：(1)七年级数据中满足7920名男生进行体能测试成绩从小到大排列得：60，64，71，72，73，75，76，77，78，79，79，79，79，81，83，86，87，89，91，100中间的数是79，79，
所以中位数d=(79+79)÷2=79，
数据79出现两次，出现次数最多，所以这组数据的众数是79，即c的值为79，
故答案为：7，79，79；
(2)小林的说法对，理由如下：
因为小林的分数78分小于平均数和中位数，所以肯定不会被表扬．
(1)根据中位数、众数的定义直接求解即可；
(2)根据中位数的定义判断即可．
本题考查了统计表、中位数、众数等知识，熟练掌握中位数、众数的定义是解答此题的关键．
24.【答案】同位角相等，两直线平行 两直线平行，同旁内角互补 100 50 130
【解析】解：∵∠1=∠2=80∘(已知)，
∴AB//CD(同位角相等，两直线平行)，
∴∠BGF+∠3=180∘(两直线平行，同旁内角互补)，
∵∠2+∠EFD=180∘(邻补角的定义)，
∴∠EFD=180∘−∠2=100∘(等式性质)，
∵FG平分∠EFD(已知)，
∴∠3=12∠EFD(角平分线的定义)，
∴∠3=50∘(等式性质)，
∴∠BGF=180∘−∠3=130∘(等式性质)，
故答案为：同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；100；50；130.
根据平行线的判定和性质一一判断即可．
本题考查平行线的判定和性质，关键是平行性判定定理的熟练应用．
25.【答案】解：(1)设第一次购进甲种商品x件，购进乙种商品y件，
根据题意得：37x+35y=6500x=2y−60，
解得x=100y=80，
答：该超市第一次购进甲种商品100件，购进乙种商品80件；
(2)设第二次甲种商品是按原价打m折销售的，
根据题意得：(42−35)×80+(50×m10−37)×100×2=(50−37)×100+(42−35)×80+300，
解得：m=9.
答：第二次甲商品是按原价打九折销售．
【解析】(1)设第一次购进甲种商品x件，购进乙种商品y件，根据单价×数量=总价，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设第二次甲种商品是按原价打m折销售，根据总利润=单件利润×销售数量，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．
本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组和一元一次方程．
26.【答案】解：(1)∵DG//EF，∠ABF=∠ABC+∠CBF=60∘+n∘，
∴∠AQG=∠ABF=60∘+n∘，∠DCB=∠CBF=n∘，
∴∠1=180∘−∠AQG=120∘−n∘，∠ACD=90∘−n∘，
∴∠2=180∘−∠ACD=90∘+n∘，
∴∠1+∠2=210∘；
(2)∵∠2比∠1的一半多90∘，
∴90+n=12(120−n)+90，
解得n=40，
∴n的值是40.
(3)存在QA′//BC′，理由如下：
QA旋转至QB时共花时间t=1804=45(s)，
第一种情况：如图所示，
∵∠AQA′=4∘t=∠ABC′，
∴∠CBC′=60∘−4∘t，
又∵∠CBC′=5∘t，
∴60−4t=5t，
∴t=203<45，符合题意；
第二种情况：如图所示，
∵∠BQA′=∠QBC′，而∠BQA′=180∘−4∘t，∠QBC′=∠CBC′−∠CBA=5∘t−60∘，
∴180−4t=5t−60，
∴t=803<45，符合题意，
综上所述，当t=203秒或803秒，存在QA′//BC′.
【解析】(1)根据DG//EF，∠ABF=60∘+n∘，∠AQG=∠ABF=60∘+n∘，根据平行线的性质得出∠DCB=∠CBF=n∘，∠1=120∘−n∘，∠ACD=90∘−n∘，∠2=180∘−∠ACD=90∘+n∘，即可求解；
(2)根据∠2比∠1的一半多90∘列方程，计算可求解；
(3)分两种情况，分别画出图形，根据内错角和同位角相等列方程可解得答案．
本题考查四边形的综合应用，主要考查平行线的性质及应用，解题的关键是掌握平行线的性质定理并能熟练应用．x
2
1
0
−1
…
？
y
2
4
6
8
…
2024
测试成绩
x≤59
596979等级
不合格
合格
良好
优秀
频数
0
a
11
b
平均数
众数
中位数
79
c
d
甲
乙
进价(元/件)
37
35
售价(元/件)
50
42