2023-2024学年湖南省长沙一中广雅中学七年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

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这是一份2023-2024学年湖南省长沙一中广雅中学七年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列各数中是无理数的是( )
A. −25B. πC. 0.24D. 2024
2.在平面直角坐标系中，点P的坐标为(3,4)，则点P所在的位置是( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3.若a>b，则下列不等式成立的是( )
A. 2a>2bB. a−2−2bD. a24.下列各式中，正确的是( )
A. (−3)2=−3B. 33=±3C. (−3)2=±3D. − 32=−3
5.在△ABC中，AB=8，BC=2，AC的长为奇数，△ABC的周长为( )
A. 17B. 19C. 17或21D. 17或19
6.明代《算法统宗》有一首饮酒数学诗：“醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多醇酒几多醇？”这首诗是说：“好酒一瓶，可以醉倒3位客人：薄酒三瓶，可以醉倒1位客人，如今33位客人醉倒了，他们总共饮19瓶酒.试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶？”设有好酒x瓶，薄酒y瓶.根据题意，可列方程组为( )
A. x+y=193x+13y=33B. x+y=19x+3y=33C. x+y=1913x+3y=33D. x+y=193x+y=33
7.以下调查中，适宜抽样调查的是( )
A. 了解某班学生是否存在水痘患者B. 调查某海域的海水质量
C. 选出全校长跑最快的同学参加全市比赛D. 旅客登机前的安全检查
8.如图，直线a，b被直线c，d所截，则下列条件可以判定直线c//d的是( )
A. ∠2=∠3
B. ∠1=∠3
C. ∠1+∠5=180∘
D. ∠4+∠5=180∘
9.关于x的不等式组x−1>0x−a<0无解，则a的取值范围是( )
A. a<1B. a=1C. a>1D. a≤1
10.如图，有一个三角形纸片ABC，∠A=65∘，∠B=75∘，将纸片的一角进行折叠，使点C落在△ABC外，若∠2=36∘，则∠1的度数为( )
A. 96∘
B. 106∘
C. 116∘
D. 126∘
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.9的算术平方根是______.
12.如图，已知∠A=35∘，∠B=25∘，点B、C、D在一条直线上，则∠ACD=______度.
13.已知x=1y=−2是关于x，y的二元一次方程3kx+y=7的解，则k的值为______.
14.一个多边形的内角和为1440∘，则这个多边形是______边形．
15.在平面直角坐标系中，点A(a−3,a+1)在x轴上，则点A的坐标为______.
16.如图，已知CD和BE是△ABC的角平分线，∠A=60∘，则∠BOC=______.
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
计算：(−1)2024+| 5−2|+3−8+ (−3)2.
18.(本小题6分)
解不等式组：2x+3<53x−2<4(x+1).
19.(本小题6分)
如图，A、D、B、F在一条直线上，DE//CB，BC=DE，AD=BF.求证：△ABC≌△FDE.
20.(本小题8分)
我市中小学全面开展“阳光体育”活动，某校在大课间中开设了A(体操)、B(乒乓球)、C(毽球)、D(跳绳)四项活动.为了解学生最喜欢哪一项活动，随机抽了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了如图两幅不完整的统计图，请根据统计图回答下列问题：
(1)这次被调查的学生共有______人；
(2)请将统计图2补充完整；
(3)统计图1中B项目对应的扇形的圆心角是______度.
(4)已知该校共有学生2500人，根据调查结果估计该校喜欢体操的学生有______人.
21.(本小题8分)
已知关于x、y的方程组x+2y=ax−4y=4a.
(1)若方程组的解也是方程3x+2y=10的一个解，求a的值；
(2)若方程组的解满足x−y>5，求a的取值范围.
22.(本小题9分)
如图，AD、AE分别是△ABC的高和角平分线，∠B=40∘，∠ACB=80∘.点F在BC的延长线上，FG⊥AE，垂足为H，FG与AB相交于点G.
(1)求∠AGF的度数；
(2)求∠EAD的度数．
23.(本小题9分)
某中学为了给同学们提供更好的学习环境，计划购买一批桂花树和香樟树来绿化校园，经市场调查发现购买2棵桂花树和3棵香樟树共需460元，购买3棵桂花树和2棵香樟树共需440元.
(1)求桂花树和香樟树的单价各是多少元？
(2)根据学校实际情况，需购买两种树苗共130棵，总费用不超过12000元，且购买香樟树的棵数不少于桂花树的1.5倍，请你算算，该校本次购买桂花树和香樟树共有哪几种方案.
24.(本小题10分)
我们定义：使方程(组)与不等式(组)同时成立的未知数的值称为此方程(组)和不等式(组)的“梦想解”.
例：已知方程2x−3=1与不等式x+3>0，方程的解为x=2，使得不等式也成立，则称“x=2”为方程2x−3=1和不等式x+3>0的“梦想解”
(1)已知①x−12>32，②2(x+3)<4，③x−12<3，试判断方程2x+3=1解是否为它与它们中某个不等式的“梦想解”；
(2)若关于x，y的二元一次方程组3x−2y=m+22x−y=m−5的解是不等式组x+y>−5x+y<1的梦想解，且m为整数，求m的值.
(3)若关于x的方程x+4=3m的解是关于x的不等式组x>m−1x−1≤3m的“梦想解”，且此时不等式组有7个整数解，试求m的取值范围.
25.(本小题10分)
如图1：在平面直角坐标系内，O为坐标原点，线段AB两端点在坐标轴上，点A(−4,0)，点B(0,3)，将AB向右平移4个单位长度至OC的位置.
(1)点C的坐标______；
(2)如图2，过点C作CD⊥x轴于点D，在x轴正半轴有一点E(1,0)，过点E作x轴的垂线，在垂线上有一动点P，求△PCD的面积；
(3)如图3，在(2)的条件下，连接AC，是否存在点P，使得△ACP的面积为492，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A.−25是分数，属于有理数，故此选项不符合题意；
B.π是无理数，故此选项符合题意；
是有限小数，属于有理数，故此选项不符合题意；
D.2024是整数，属于有理数，故此选项不符合题意；
故选：B.
根据无理数、有理数的定义逐项判断即可．
此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π， 6，0.8080080008…(每两个8之间依次多1个0)等形式．
2.【答案】A
【解析】解：∵3>0，4>0，
∴点P(3,4)在第一象限．
故选：A.
根据第一象限内点的坐标特点解答即可．
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限(+,+)；第二象限(−,+)；第三象限(−,−)；第四象限(+,−).
3.【答案】A
【解析】解：A、∵a>b，∴2a>2b，不等式成立，符合题意；
B、∵a>b，∴a−2>b−2，原变形错误，不符合题意；
C、∵a>b，∴−2a<−2b，原变形错误，不符合题意；
D、∵a>b，∴a2>b2，原变形错误，不符合题意．
故选：A.
根据不等式的基本性质对各选项进行逐一判断即可．
本题考查的是不等式的基本性质，熟知：①不等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：A、 (−3)2=3，故选项A不符合题意；
B、 33=3 3，故选项B不符合题意；
C、 (−3)2=3，故选项C不符合题意；
D、− 32=−3，故选项D符合题意；
故选：D.
根据二次根式的性质化简即可．
本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质是关键．
5.【答案】D
【解析】解：由题意得：8−2即：6∵AC为奇数，
∴AC=7或9，
∴△ABC的周长为17或19.
故选：D.
首先根据三角形的三边关系定理可得2−2此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．
6.【答案】A
【解析】解：设有好酒x瓶，薄酒y瓶，根据题意得：
x+y=193x+13y=33，
故选：A.
设有好酒x瓶，薄酒y瓶，根据“好酒一瓶，可以醉倒3位客人；薄酒三瓶，可以醉倒1位客人，如今33位客人醉倒了，他们总共饮19瓶酒”列出方程组，即可求解．
本题主要考查了二元一次方程组的应用，找到等量关系是关键．
7.【答案】B
【解析】解：了解某班学生是否存在水痘患者适宜全面调查，则A不符合题意；
调查某海域的海水质量适宜抽样调查，则B符合题意；
选出全校长跑最快的同学参加全市比赛适宜全面调查，则C不符合题意；
旅客登机前的安全检查适宜全面调查，则D不符合题意；
故选：B.
如何选择调查方法要根据具体情况而定．一般来讲：通过普查可以直接得到较为全面、可靠的信息，但花费的时间较长，耗费大，且一些调查项目并不适合普查．其一，调查者能力有限，不能进行普查；据此进行判断即可．
本题考查全面调查及抽样调查，熟练掌握其定义是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：由∠2=∠3，不能判定c//d，
故A不符合题意；
∵∠1=∠3，∠2=∠3，
∴∠1=∠2，
∴a//b，
故B不符合题意；
∵∠1+∠5=180∘，
∴c//d，
故C符合题意；
∵∠4+∠5=180∘，
∴a//b，
故D不符合题意；
故选：C.
根据平行线的判定定理判断求解即可．
此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：不等式组整理得：x>1x∵不等式组无解，
∴a≤1.
故选：D.
不等式组整理后，根据无解确定出a的范围即可．
此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：如图，
∵∠A=65∘，∠B=75∘，
∴∠C=180∘−∠A−∠B=180∘−65∘−75∘=40∘，
又∵将三角形纸片的一角折叠，使点C落在△ABC外，
∴∠C′=∠C=40∘，
而∠3+∠2+∠5+∠C′=180∘，∠5=∠4+∠C=∠4+40∘，∠2=36∘，
∴∠3+36∘+∠4+40∘+40∘=180∘，
∴∠3+∠4=64∘，
∴∠1=180∘−64∘=116∘，
故选：C.
先根据三角形的内角和定理可出∠C=180∘−∠A−∠B=180∘−65∘−75∘=40∘；再根据折叠的性质得到∠C′=∠C=40∘，再利用三角形的内角和定理以及外角性质得∠3+∠2+∠5+∠C′=180∘，∠5=∠4+∠C=∠4+40∘，即可得到∠3+∠4=65∘，然后利用平角的定义即可求出∠1.
本题考查了三角形内角和定理，翻折变换(折叠问题)，熟练掌握折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等．也考查了三角形的内角和定理以及外角性质．
11.【答案】3
【解析】解：∵32=9，
∴9的算术平方根是3，
故答案为：3.
根据算术平方根的定义计算即可．
本题考查了算术平方根的定义，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．
12.【答案】60
【解析】解：∵∠A=35∘，∠B=25∘，
∴∠ACD=∠A+∠B=35∘+25∘=60∘.
故答案为：60.
三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和．据此即可获得答案．
本题主要考查了三角形外角的定义和性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题关键．
13.【答案】3
【解析】解：把x=1y=−2代入方程3kx+y=7，
得3k−2=7，解得：k=3.
故答案为：3.
把x=1y=−2代入已知方程可得关于k的方程，解方程即得答案．
本题考查了二元一次方程的解，掌握二元一次方程解的定义是关键．
14.【答案】十
【解析】解：设这个多边形的边数为n，
则(n−2)×180∘=1440∘，
解得：n=10，
即这个多边形是十边形，
故答案为：十．
设这个多边形的边数为n，根据内角和公式得出(n−2)×180∘=1440，求出方程的解即可．
本题考查了多边形的内角与外角，能熟记多边形的内角和公式是解此题的关键，注意：边数为n(n≥3)的多边形的内角和=(n−2)×180∘.
15.【答案】(−4,0)
【解析】解：∵点A(a−3,a+1)在x轴上，
∴a+1=0，
即a=−1，
当a=−1时，a−3=−4，
∴点A的坐标为(−4,0)，
故答案为：(−4,0).
根据坐标轴上点的坐标特征进行计算即可
本题考查点的坐标，掌握在x轴上的点的坐标特征是正确解答的关键．
16.【答案】120∘
【解析】解：∵CD和BE是△ABC的角平分线，
∴∠CBE=∠ABE=12∠ABC，∠BCD=∠ACD=12∠ACB，
∴∠BOC=180∘−∠CBO−∠BCO
=180∘−12(∠ABC+∠ACB)
=180∘−12(180∘−∠A)
=90∘+12∠A
=90∘+12×60∘
=120∘，
故答案为：120∘.
根据角平分线的定义得出∴∠CBE=∠ABE=12∠ABC，∠BCD=∠ACD=12∠ACB，利用三角形内角和定理可得∠BOC=90∘+12∠A，再代入计算即可．
本题考查角平分线，三角形内角和定理，掌握角平分线的定义，三角形内角和是180∘是正确解答的前提．
17.【答案】解：(−1)2024+| 5−2|+3−8+ (−3)2
=1+ 5−2+(−2)+3
= 5.
【解析】首先计算有理数的乘方，化简绝对值，立方根和算术平方根，然后计算加减．
此题考查了有理数的乘方，化简绝对值，立方根和算术平方根，解题的关键是掌握以上知识点．
18.【答案】解：{2x+3<5①3x−2<4(x+1)②，
解不等式①，得x<1；
解不等式②，得x>−6；
∴不等式组的解集为−6【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19.【答案】证明：∵AD=BF，
∴AD+DB=DB+BF，
∴AB=FD，
∵DE//CB，
∴∠ABC=∠FDE，
在△ABC与△FDE中，
BC=DE∠ABC=∠FDEAB=FD，
∴△ABC≌△FDE(SAS).
【解析】由SAS可证△ABC≌△FDE即可．
本题考查全等三角形判定，解题的关键是掌握全等三角形判定定理．
20.【答案】400 108 250
【解析】解：(1)这次被调查的学生共有：160÷40%=400(人)，
故答案为：400；
(2)喜欢D的学生有：400×20%=80(人)，
喜欢A的学生有：400−120−160−80=40(人)，
补全的统计图2如图所示；
(3)统计图1中B项目对应的扇形的圆心角是：360∘×120400=108∘，
故答案为：108；
(4)2500×40400=250(人)，
即该校喜欢体操的学生有250人．
(1)根据喜欢C的人数和所占的百分比，可以求得这次被调查的学生人数；
(2)根据(1)中的结果和条形统计图中的数据，可以得到喜欢A和D的人数，从而可以将统计图2补充完整；
(3)根据条形统计图中的数据，可以计算出统计图1中B项目对应的扇形的圆心角的度数；
(4)根据统计图中的数据，可以计算出该校喜欢体操的学生的人数．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
21.【答案】解：(1)解方程组x+2y=ax−4y=4a得：x=2ay=−12a，
∵方程组的解也是方程3x+2y=10的一个解，
∴6a−a=10，
解得：a=2；
(2)∵x−y>5，
∴2a+12a>5，
解得：a>2.
【解析】(1)首先解不等式组，利用a表示出x，y的值，然后根据方程组的解也是方程3x+2y=10的一个解，可得关于a的方程，解方程可求a的值；
(2)根据x−y>5，列不等式组求得a的范围．
本题考查了解一元一次不等式组的解法与二元一次方程组的解法，正确解方程组是关键．
22.【答案】解：(1)∵∠B=40∘，∠ACB=80∘，
∴∠BAC=180∘−40∘−80∘=60∘，
∵AE是△ABC的角平分线，
∴∠BAE=12∠BAC=30∘，
∵FG⊥AE，
∴∠AHG=90∘，
∴∠AGF=180∘−90∘−30∘=60∘；
(2)∵AD是△ABC的高，
∴∠ADC=90∘，
∵∠ACB=80∘，
∴∠CAD=180∘−90∘−80∘=10∘，
∵∠BAC=60∘，AE是△ABC的角平分线，
∴∠CAE=12∠BAC=30∘，
∴∠EAD=∠CAE−∠CAD=30∘−10∘=20∘.
【解析】(1)根据三角形内角和定理和角平分线定义即可得到结论；
(2)根据高线定义得到∠ADB=90∘，再根据角平分线定义，即可得到结论．
本题考查了三角形内角和定理，垂直的定义，角平分线定义等知识，正确识别图形，理清角之间的和差关系是解决问题的关键．
23.【答案】解：(1)设桂花树每棵x元，香樟树每棵y元．
根据题意得：2x+3y=4603x+2y=440，
解得x=80y=100，
答：桂花树每棵80元，香樟树每棵100元；
(2)设桂花树a棵，则香樟树(130−a)棵．
根据题意得：80a+100(130−a)≤12000130−a≥1.5a，
解得：50≤a≤52，
∵a取整数，
∴a=50，51，52，
所以有三种购买方案：
①购买桂花树50棵，香樟树80棵，
②购买桂花树51棵，香樟树79棵，
③购买桂花树52棵，香樟树78棵．
【解析】(1)设桂花树的单价为x元/棵，香樟树的单价是y元/棵，然后根据购买2棵桂花树和3棵香樟树共需460元，购买3棵桂花树和2棵香樟树共需440元，列出二元一次方程组，求解即可；
(2)设购买桂花树a棵，表示出香樟树为(130−a)棵，然后根据总费用和两种树的棵数关系列出不等式组，求出a的取值范围，在根据a是正整数确定出购买方案．
本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系．
24.【答案】解：(1)解方程2x+3=1得x=−1，
解①得：x>2，故方程2x+3=1不是①的“梦想解”；
解②得：x<−1，故方程2x+3=1不是②“梦想解”；
解③得：x<7，故方程2x+3=1是③的“梦想解”；
故答案为：③
(2)解方程3x−2y=m+22x−y=m−5
得：x=m−12y=m−19
∴x+y=2m−31
∵解是不等式组x+y>−5x+y<1的梦想解
∴−5<2m−31<1
∴13∵m为整数，
∴m为14或15；
(3)解不等式组x>m−1x−1≤3m得：m−1∵不等式组的整数解有7个，
令整数的值为n，n+1，n+2，n+3，n+4，n+5，n+6
则有：n−1故n∴n∴1∴n=2，
∴2∴73≤m<83，
解方程x+4=3m得：x=3m−4，
∵方程x+4=3m是关于x的不等式组x>m−1x−1≤3m的“梦想解”，
∴m−1<3m−43m−4≤3m+1，
解得m>32，
综上m的取值范围是73≤m<83.
【解析】(1)先求出方程的解和不等式组的解集，即可判断；
(2)先求出方程组的解和不等式组的解集，根据题意得出−5<2m−31<1，解不等式组即可；
(3)先求出不等式组的解集，不等式组有7个整数解，即可得出73≤m<83，然后解方程x+4=3m得：x=3m−4，根据“梦想解”的定义得出m>32，即可得出73≤m<83.
本题考查了解一元一次不等式(组)，一元一次方程的解，理解材料中的不等式组的“关联方程”是解题的关键．
25.【答案】(4,3)
【解析】解：(1)由平移得：C(4,3)，
故答案为：(4,3)；
(2)如图2，
∵CD⊥x轴，
∴xD=xC=4，
∴DE=4−1=3，
∵CD=3，PE⊥x轴，
∴S△PCD=12CD⋅DE
=12×3×3
=92；
故△PCD的面积为92；
(3)①当P在AC的上方时，
如图3.1，将△PAC补成直角梯形ACFG，
设P(1,m)，
∴AG=DF=m，GP=AE=5，FP=DE=3，CF=m−3，FG=AD=8，
∴S△PAC=S梯形ACFG−S△AGP−S△CFP
=12FG⋅(CF+AG)−12AG⋅GP−12CF⋅FP
=12×8(m−3+m)−12m×5−12(m−3)×3
=4m−152，
∵△ACP的面积为492，
∴4m−152=492，
解得：m=8，
∴P(1,8)；
②当P在x轴上方，AC的下方时，如图3.2，
因为S△PAC<12AD⋅CD=12
但是492>12
∴此种情况不存在；
③当P在x的下方时，
如图3.3，将△PAC补成直角梯形ACMN，
设P(1,m)，
∴AN=DM=−m，NP=AE=5，PM=DE=3，CM=3−m，MN=AD=8，
∴S△PAC=S梯形ACMN−S△ANP−S△CMP
=12MN⋅(AN+CM)−12AN⋅NP−12PM⋅CM
=12×8(−m+3−m)−12(−m)×5−12×3(3−m)
=−4m+152，
∵△ACP的面积为492，
∴−4m+152=492，
解得：m=−174，
∴P(1,−174)；
综上所述：点P的坐标为(1,8)或(1,−174).
(1)由点的平移即可求解；
(2)由S△PCD=12CD⋅DE即可求解；
(3)①当P在AC的上方时，将△PAC补成直角梯形ACFG，设P(1,m)，由S△PAC=S梯形ACFG−S△AGP−S△CFP即可求解；②当P在x轴上方，AC的下方时，由S△PAC=12AD⋅CD可判断此情况不存在；③当P在x的下方时，将△PAC补成直角梯形ACMN，同理①即可求解；
本题考查了点的平移，在平面直角坐标系中动点产生三角形的面积，掌握“割补法”求面积，能根据动点的位置进行分类讨论，并将面积转化为S△PAC=S梯形ACFG−S△AGP−S△CFP是解题的关键．