新高考数学一轮复习知识清单+巩固练习专题01 集合与常用逻辑用语（2份打包，原卷版+解析版）

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一、知识速览
二、考点速览
知识点1 集合与元素
1、集合元素的三个特性：确定性、互异性、无序性；
2、元素与集合的关系：属于或不属于，用符号 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 表示
3、集合的表示法：列举法、描述法、图示法
4、常见数集的记法与关系图
知识点2 集合间的基本关系
知识点3 集合的基本运算
1、集合交并补运算的表示
2、集合运算中的常用二级结论
（1）并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A.
（2）交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B.
（3）补集的性质：A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅．∁U(∁UA)＝A；
∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)；∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)．
知识点4 充分条件与必要条件
1、充分条件与必要条件
2、充要条件
（1）充要条件的定义
如果“若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ”和它的逆命题“若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ”均为真命题，即既有 SKIPIF 1 < 0 ，又有 SKIPIF 1 < 0 ，就记作 SKIPIF 1 < 0 。
此时， SKIPIF 1 < 0 既是 SKIPIF 1 < 0 的充分条件，也是 SKIPIF 1 < 0 的必要条件，我们说 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的充分必要条件，简称充要条件。
（2）充要条件的含义
若 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的充要条件，则 SKIPIF 1 < 0 也是 SKIPIF 1 < 0 的充要条件，虽然本质上是一样的，但在说法上还是不同的，
因为这两个命题的条件与结论不同。
（3）充要条件的等价说法： SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的充要条件又常说成是 SKIPIF 1 < 0 成立当且仅当 SKIPIF 1 < 0 成立，或 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 等价。
知识点5 全称量词与存在量词
1、全称量词与全称量词命题
（1）全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词，并用符号“ SKIPIF 1 < 0 ”表示．
【注意】（1）全称量词的数量可能是有限的，也可能是无限的，由有题目而定；
（2）常见的全称量词还有“一切”、“任给”等，相应的词语是“都”
（2）全称量词命题：含有全称量词的命题，称为全称量词命题．
符号表示：通常，将含有变量 SKIPIF 1 < 0 的语句用 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…表示，变量 SKIPIF 1 < 0 的取值范围用 SKIPIF 1 < 0 表示，那么，全称量词命题“对 SKIPIF 1 < 0 中任意一个 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成立”可用符号简记为 SKIPIF 1 < 0
【注意】（1）从集合的观点看，全称量词命题是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题；
（2）一个全称量词命题可以包含多个变量；
（3）有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补出来。
如：命题“平行四边形对角线互相平行”理解为“所有平行四边形对角线都互相平行”。
2、存在量词与存在量词命题
（1）存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词，并用符号“ SKIPIF 1 < 0 ”表示．
【注意】常见的存在量词还有“有些”、“有一个”、“对某些”、“有的”等；
（2）存在量词命题：含有存在量词的命题，叫作存在量词命题。
符号表示：存在量词命题“存在 SKIPIF 1 < 0 中的元素 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 成立”可用符号简记为 SKIPIF 1 < 0
【注意】（1）从集合的观点看，存在量词命题是陈述某集合中有一些元素具有某种性质的命题；
（2）一个存在量词命题可以包含多个变量；
（3）有些命题虽然没有写出存在量词，但其意义具备“存在”、“有一个”等特征都是存在量词命题
3、命题的否定：对命题p加以否定，得到一个新的命题，记作“ SKIPIF 1 < 0 ”，读作“非p”或p的否定．
（1）全称量词命题的否定：
一般地，全称量词命题“ SKIPIF 1 < 0 ”的否定是存在量词命题： SKIPIF 1 < 0 ．
（2）存在量词命题的否定：
一般地，存在量词命题“ SKIPIF 1 < 0 ”的否定是全称量词命题： SKIPIF 1 < 0 ．
（3）命题与命题的否定的真假判断：
一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假．
即：如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定是假命题，反之亦然．
（4）常见正面词语的否定：
一、子集的个数问题
如果集合A中含有n个元素，则有
（1）A的子集的个数有2n个． （2）A的非空子集的个数有2n－1个．
（3）A的真子集的个数有2n－1个 （4）A的非空真子集的个数有2n－2个．
【典例1】数集 SKIPIF 1 < 0 的非空真子集个数为（ ）
A．32 B．31 C．30 D．29
【典例2】若集合 SKIPIF 1 < 0 ，集合 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的子集个数为（ ）
A．5 B．6 C．16 D．32
二、已知一个元素属于集合，求集合中所含的参数值．
（1）确定性的运用：利用集合中元素的确定性解出参数的所有可能值；
（2）互异性的运用：根据集合中元素的互异性对集合中元素进行检验．
【典例1】已知集合 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则a等于（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．3 D． SKIPIF 1 < 0
【典例2】设集合 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 ．
三、利用两个集合之间的关系确定参数的取值范围
第一步：弄清两个集合之间的关系，谁是谁的子集；
第二步：看集合中是否含有参数，若，
且A中含参数应考虑参数使该集合为空集的情形；
第三步：将集合间的包含关系转化为方程(组)或不等式(组)，求出相关的参数的值或取值范围.
常采用数形结合的思想，借助数轴解答.
【典例1】设集合 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则实数a的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．（3,4） C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【典例2】（多选）已知集合A＝ SKIPIF 1 < 0 ，B＝{x|ax＋1＝0}，且B⊆A，则实数a的取值可能为（ ）
A．－3 B．－2 C．0 D．3
四、根据集合运算的结果确定参数的取值范围
法一：根据集合运算结果确定集合对应区间的端点值之间的大小关系，确定参数的取值范围.
法二：（1）化简所给集合；（2）用数轴表示所给集合；
（3）根据集合端点间关系列出不等式（组）；（4）解不等式（组）；（5）检验.
【注意】（1）确定不等式解集的端点之间的大小关系时，需检验能否取“=”；（2）千万不要忘记考虑空集。
【典例1】已知集合 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【典例2】设集合 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
五、利用充分必要条件求参数的策略
1、巧用转化法求参数：把充分条件、必要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（不等式组）求解；
2、端点取值需谨慎：在求参数范围时，要注意边界或区间端点值的检验，从而确定取舍。
【典例1】已知集合 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．若“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的充分不必要条件，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【典例2】已知“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”成立的必要不充分条件，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
易错点1 对集合表示方法的理解存在偏差
点拨：对集合表示法的理解不能只流于形式上的“掌握”，要对本质进行剖析，需要明确集合中的代表元素类型（点集或者数集）及代表元素的含义。
【典例1】集合 SKIPIF 1 < 0 ，集合 SKIPIF 1 < 0 ，全集 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【典例2】已知集合 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
易错点2 忽视（漏）空集导致错误
点拨：空集不含任何元素，在解题过程中容易被忽略，特别是在隐含有空集参与的集合问题中，往往容易因忽略空集的特殊性而导致漏解。
【典例1】已知集合 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 或1 B．0或1 C．1 D． SKIPIF 1 < 0
【典例2】设集合 SKIPIF 1 < 0 若 SKIPIF 1 < 0 ，则实数p的取值范围是 ．
易错点3 忽视集合元素的互异性
点拨：集合元素的互异性是集合的特征之一，集合中不可出现相同的元素。
【典例1】由实数 SKIPIF 1 < 0 所组成的集合，最多可含有（ ）个元素
A．2 B．3 C．4 D．5
【典例2】已知集合 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．0 C．1 D．2
易错点4 判断充分性必要性位置颠倒
点拨：需要多注意倒装句的标志，解题时先翻译成正常的结构再判断计算。
【典例1】使 SKIPIF 1 < 0 成立的一个充分不必要条件是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．x<2 D． SKIPIF 1 < 0
【典例2】若 SKIPIF 1 < 0 ，则p成立的一个必要不充分条件是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
易错点5 对含有一个量词命题的否定理解错误
点拨：对含有一个量词的命题进行否定时，除了将存在量词命题变为全称量词命题，全称量词命题变为存在量词命题外，不等式的否定只否定结论。
【典例】命题“ SKIPIF 1 < 0 ”的否定是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*(或N＋)
Z
Q
R
表示
关系
文字语言
符号语言
图形语言
基本关系
子集
集合A的所有元素都是集合B的元素（ SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 ）
SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
真子集
集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于A
SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
相等
集合A，B的元素完全相同
SKIPIF 1 < 0
空集
不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集
SKIPIF 1 < 0
集合的并集
集合的交集
集合的补集
图形语言
符号语言
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
“若p，则q”为真命题
“若p，则q”为假命题
推出关系
p⇒q
p⇏q
条件关系
p是q的充分条件
q是p的必要条件
p不是q的充分条件
q不是p的必要条件
定理关系
判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件
性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件
正面词语
等于（＝）
大于（＞）
小于（＜）
是
都是
否定
不等式（≠）
不大于（≤）
不小于（≥）
不是
不都是
正面词语
至多有一个
至少有一个
任意
所有
至多有n个
否定
至少有两个
一个都没有
某个
某些
至少有n+1个