新高考数学一轮复习知识清单+巩固练习专题10 复数及其应用（2份打包，原卷版+解析版）

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一、知识速览
二、考点速览
知识点1 复数的基本概念
1、复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中实部是a，虚部是b.
2、复数的分类：
eq \a\vs4\al(复数z＝a＋bi,a，b∈R)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(实数b＝0，,虚数b≠0\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(纯虚数a＝0，,非纯虚数a≠0.))))
3、复数的有关概念
知识点2 复数的几何意义
1、复平面的概念：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面；
2、实轴、虚轴：在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除原点以外，虚轴上的点都表示纯虚数；
3、复数的几何表示：复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)平面向量 SKIPIF 1 < 0
知识点3 复数的四则运算
1、复数的运算法则
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 (a，b，c，d∈R)，则：
（1）z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
（2）z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
（3）z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
（4） SKIPIF 1 < 0
2、复数运算的几个重要结论
（1）|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2(|z1|2＋|z2|2)．
（2）eq \x\t(z)·z＝|z|2＝|eq \x\t(z)|2.
（3）若z为虚数，则|z|2≠z2.
（4）(1±i)2＝±2i.
（4）eq \f(1＋i,1－i)＝i；eq \f(1－i,1＋i)＝－i.
（5）i4n＝1；i4n＋1＝i；i4n＋2＝－1；i4n＋3＝－i.
知识点4 复数的三角形式
1、复数的辅角
（1）辅角的定义：设复数的对应向量为，以轴的非负半轴为始边，向量所在的射线（射线）为终边的角，叫做复数的辅角.
（2）辅角的主值：根据辅角的定义及任意角的概念可知，任何一个不为零的复数辅角有无限多个值，且这些值相差的整数倍.
规定：其中在范围内的辅角的值为辅角的主值，通常记作
【注意】因为复数0对应零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辅角是任意的。
2、复数的三角形式
定义：任何一个复数都可以表示成的形式，其中是复数的模，是复数的辅角.
【注意】复数的三角形式必须满足：模非负，角相同，余正弦，加号连。
3、复数的代数式与三角式互化
将复数化为三角形式时，要注意以下两点：
（1），
（2），，其中终边所在象限与点所在象限相同，
当，时，
【注意】每一个不等于零的复数有唯依的模与辅角的主值，并且由它的模与辅角的主值唯一确定。因此，两个非零复数相等当且仅当它们的模与辅角的主值分别相等。
4、复数乘法运算的三角表示及其几何意义
（1）复数乘法运算的三角表示：已知，，
则
这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辅角等于各复数的辅角的和。
（2）复数乘法运算的几何意义：两个复数，相乘时，分别画出与，对应的向量，，
然后把向量绕点按逆时针方向旋转（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变成原来的倍，得到向量，表示的复数就是积，这就是复数乘法的几何意义。
（3）复数乘法运算三角表示推广：


特别的，当时，
5、复数除法运算的三角表示及其几何意义
（1）复数除法运算的三角表示：已知，
则
这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，
商的辅角等于被除数的辅角减去除数的辅角所得的差.
（2）两个复数，相除时，先分别画出与，对应的向量，，然后把向量绕点按顺时针方向旋转（如果，就要把绕点按逆时针方向旋转角），再把它的模变成原来的倍，得到向量，表示的复数就是商，这就是复数除法的几何意义。
一、复数的分类
对于复数a＋bi，
（1）当且仅当b＝0时，它是实数；
（2）当且仅当a＝b＝0时，它是实数0；
（3）当b≠0时，叫做虚数；
（4）当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数．
【典例1】若复数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为虚数单位， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ）为实数，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【典例2】已知 SKIPIF 1 < 0 为虚数单位，若 SKIPIF 1 < 0 为实数，则实数 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．4 C．2 D． SKIPIF 1 < 0
【典例3】已知复数 SKIPIF 1 < 0 是虚数，则实数m的取值范围是（ ）
A．R B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
二、求复数标准代数式形式的两种方法
1、直接法：将复数用已知复数式表示出来，利用复数的四则运算化简为复数的标准代数式；
2、待定系数法：将复数设为标准式，代入已知的等式中，利用复数相等的条件列出关于复数实部和虚部的方程（组），通过解方程（组）求出复数的实部与虚部。
【典例1】若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【典例2】已知复数 SKIPIF 1 < 0 的共轭复数为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．1 C．2 D．3
三、复数的几何意义
（1）任一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)是一一对应的．
（2）一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的向量是一一对应的．
【典例1】复数 SKIPIF 1 < 0 在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【典例2】已知复数z满足 SKIPIF 1 < 0 （其中 SKIPIF 1 < 0 为虚数单位），则复数z在复平面上对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
四、虚数单位i的乘方
计算复数的乘积要用到虚数的单位i的乘方，in有如下性质：
i1＝i，i2＝－1，i3＝i·i2＝－i，i4＝i3·i＝－i·i＝1，
从而对于任何n∈N＋，都有i4n＋1＝i4n·i＝(i4)n·i＝i，
同理可证i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1.
这就是说，如果n∈N＋，那么有i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1.
由此可进一步得(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，eq \f(1－i,1＋i)＝－1，eq \f(1＋i,1－i)＝i，eq \f(1,i)＝－i.
【典例1】已知i为虚数单位，则 SKIPIF 1 < 0 = .
【典例2】若 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 是虚数单位，则 SKIPIF 1 < 0 ．
五、复数方程的解
在复数范围内，实系数一元二次方程的求解方法：
（1）求根公式法：
= 1 \* GB3 ①当时， = 2 \* GB3 ②当时，
（2）利用复数相等的定义求解，设方程的根为，
将此代入方程，化简后利用复数相等的定义求解。
【典例1】设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是方程 SKIPIF 1 < 0 在复数范围内的两个解，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【典例2】已知 SKIPIF 1 < 0 是关于 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 的一个根，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为实数，则 SKIPIF 1 < 0 .
六、复数的代数式与三角式互化
将复数化为三角形式时，要注意以下两点：
（1），
（2），，其中终边所在象限与点所在象限相同，
当，时，
【典例1】（多选）已知 SKIPIF 1 < 0 为虚数单位， SKIPIF 1 < 0 ，则下列选项不是 SKIPIF 1 < 0 的三角形式的有（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【典例2】（多选）把复数 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 对应的向量 SKIPIF 1 < 0 分别按逆时针方向旋转 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 后，重合于向量 SKIPIF 1 < 0 且模相等，已知 SKIPIF 1 < 0 ，则复数 SKIPIF 1 < 0 的代数形式和它的辐角分别是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【典例3】复数 SKIPIF 1 < 0 的三角形式是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
易错点1 忽视复数 SKIPIF 1 < 0 是纯虚数的充要条件
点拨：对复数为纯虚数理解不透彻，对于复数 SKIPIF 1 < 0 为纯虚数 SKIPIF 1 < 0 ，往往容易忽略虚部不等于0.
【典例1】若 SKIPIF 1 < 0 为纯虚数，则复数 SKIPIF 1 < 0 的虚部为 .
【典例2】i是虚数单位，若复数 SKIPIF 1 < 0 为纯虚数，则 SKIPIF 1 < 0 ．
易错点2 错误的理解复数比大小
点拨：两个复数不能直接比大小，但如果 SKIPIF 1 < 0 成立，等价于 SKIPIF 1 < 0 。
【典例1】已知复数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为虚数单位），若 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 的值为 .
【典例2】已知 SKIPIF 1 < 0 为虚数单位，若复数 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 的值为 ．
【典例3】若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，求实数x的取值范围．
易错点3 错误的惯性思维理解复数的模
点拨：对复数模长的理解错误，复数的模长计算与实数不同，尤其要注意模长性质的应用。
【典例1】已知复数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【典例2】设复数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为虚数单位），则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
复数相等
a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)
共轭复数
a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)
复数的模
向量OZ―→的模叫做复数z＝a＋bi的模，
记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝r＝eq \r(a2＋b2)(r≥0，a，b∈R)