新高考数学一轮复习知识清单+巩固练习专题19 计数原理与二项式定理（2份打包，原卷版+解析版）

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一、知识速览
二、考点速览
知识点1 两个计数原理
1、分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案．在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法。
2、分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤．做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，完成这件事共有N＝m·n种不同的方法。
3、两个计数原理的综合应用
如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理．
知识点2 排列与组合
1、排列与排列数
（1）定义：从 SKIPIF 1 < 0 个不同元素中取出 SKIPIF 1 < 0 个元素排成一列，叫做从 SKIPIF 1 < 0 个不同元素中取出 SKIPIF 1 < 0 个元素的一个排列．从 SKIPIF 1 < 0 个不同元素中取出 SKIPIF 1 < 0 个元素的所有排列的个数，叫做从 SKIPIF 1 < 0 个不同元素中取出 SKIPIF 1 < 0 个元素的排列数，用符号 SKIPIF 1 < 0 表示．
（2）排列数的公式： SKIPIF 1 < 0 ．
特例：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；规定： SKIPIF 1 < 0 ．
（3）排列数的性质：① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 ．
2、组合与组合数
（1）定义：从 SKIPIF 1 < 0 个不同元素中取出 SKIPIF 1 < 0 个元素并成一组，叫做从 SKIPIF 1 < 0 个不同元素中取出 SKIPIF 1 < 0 个元素的一个组合．从 SKIPIF 1 < 0 个不同元素中取出 SKIPIF 1 < 0 个元素的所有组合的个数，叫做从 SKIPIF 1 < 0 个不同元素中取出 SKIPIF 1 < 0 个元素的组合数，用符号 SKIPIF 1 < 0 表示．
（2）组合数公式及其推导
求从 SKIPIF 1 < 0 个不同元素中取出 SKIPIF 1 < 0 个元素的排列数 SKIPIF 1 < 0 ，可以按以下两步来考虑：
第一步，先求出从这 SKIPIF 1 < 0 个不同元素中取出 SKIPIF 1 < 0 个元素的组合数 SKIPIF 1 < 0 ；
第二步，求每一个组合中 SKIPIF 1 < 0 个元素的全排列数 SKIPIF 1 < 0 ；
根据分步计数原理，得到 SKIPIF 1 < 0 ；
因此 SKIPIF 1 < 0 ．
这里 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，这个公式叫做组合数公式．因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以组合数公式还可表示为： SKIPIF 1 < 0 ．特例： SKIPIF 1 < 0 ．
注意：组合数公式的推导方法是一种重要的解题方法！在以后学习排列组合的混合问题时，一般都是按先取后排（先组合后排列）的顺序解决问题．公式 SKIPIF 1 < 0 常用于具体数字计算， SKIPIF 1 < 0 常用于含字母算式的化简或证明．
（3）组合数的主要性质：① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ．
3、排列和组合的区别
（1）组合：取出的元素地位平等，没有不同去向和分工．
（2）排列：取出的元素地位不同，去向、分工或职位不同．
【注意】排列、组合都是研究事物在某种给定的模式下所有可能的配置数目问题，它们之间的主要区别在于是否要考虑选出元素的先后顺序，不需要考虑顺序的是组合问题，需要考虑顺序的是排列问题．排列是在组合的基础上对入选的元素进行排队，因此，分析解决排列组合综合问题的基本思维是“先组合，后排列”．
知识点3 二项式定理
1、二项式定理
（1）二项式定理： SKIPIF 1 < 0 ，
（2）通项公式： SKIPIF 1 < 0 ，表示展开式的第 SKIPIF 1 < 0 项：，
（3）二项式系数：系数 SKIPIF 1 < 0 （r=0，1，2，…，n）叫做二项式系数，
（4）两个常用的二项展开式：
①（）
②
2、二项式展开式中的最值问题
（1）二项式系数的性质：
= 1 \* GB3 ①每一行两端都是 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；其余每个数都等于它“肩上”两个数的和，即 SKIPIF 1 < 0 ．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②对称性每一行中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）二项式系数先增后减中间项最大
= 1 \* GB3 ①如果二项式的幂指数 SKIPIF 1 < 0 是偶数，则中间一项 SKIPIF 1 < 0 的二项式系数 SKIPIF 1 < 0 最大；
= 2 \* GB3 ②如果二项式的幂指数 SKIPIF 1 < 0 是奇数，则中间两项 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的二项式系数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 相等且最大．
（3）系数的最大项
求 SKIPIF 1 < 0 展开式中最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为 SKIPIF 1 < 0 ，
设第 SKIPIF 1 < 0 项系数最大，应有 SKIPIF 1 < 0 ，从而解出 SKIPIF 1 < 0 来．
3、二项展开式中的系数和问题
（1）二项式系数和令 SKIPIF 1 < 0 ，则二项式系数的和为 SKIPIF 1 < 0 ，
变形式 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和在二项式定理中，令 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
从而得到： SKIPIF 1 < 0 ．
（3）若 SKIPIF 1 < 0 ，则
①常数项：令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ．
②各项系数和：令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ．
一、求解排列应用问题的六种常用方法
1、直接法：把符合条件的排列数直接列式计算；
2、优先法：优先安排特殊元素或特殊位置；
3、捆绑法：相隔问题把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列；
4、插空法：不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中；
5、定序问题除法处理：对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后再除以定序元素的全排列
6、间接法：正难则反、等价转化的方法
【典例1】（2023上·贵州贵阳·高三校联考阶段练习）贵州省首届“美丽乡村”篮球联赛总决赛在黔东南苗族侗族自治州台江县台盘村开赛.该联赛由台盘村“六月六”吃新节篮球赛发展演变而来，被网友称为“村BA”.村BA给全国人民展现的不仅是贵州人热爱生活的精神，更展现了如今欣欣向荣的贵州山水人文，同时给贵州的旅游带来巨大的收益.2023年8月20日晚上村BA西南大区赛总决赛落下帷幕，为庆祝比赛顺利结束，主办方设置一场扣篮表演，分别由重庆、贵州、四川、云南代表队每队各选出2名球员参加扣篮表演，贵州队作为东道主，扣篮表演必须在第一位及最后一位，那么一共有（ ）种表演顺序.
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】由题意易知，一共有8个人需要排列.
先确定贵州两名球员的顺序为 SKIPIF 1 < 0 ，在确定其余6人顺序为 SKIPIF 1 < 0 ，
由分步乘法原理可得一共有 SKIPIF 1 < 0 种顺序.故选：C.
【典例2】（2023上·重庆·高三重庆一中校考阶段练习）现有4男3女共7个人排成一排照相，其中三个女生不全相邻的排法种数为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】7个人全排列诚去3个女生全部相邻的情形，即 SKIPIF 1 < 0 ，故选：B.
【典例3】（2022上·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）高三年级某班组织元旦晚会，共准备了甲、乙、丙、丁、戊五个节目，出场时要求甲、乙、丙三个节目顺序为“甲、乙、丙”或“丙、乙、甲”（可以不相邻），则这样的出场排序有（ ）
A．24种 B．40种 C．60种 D．84种
【答案】B
【解析】五个元素的全排列数为 SKIPIF 1 < 0 ，
由于要求甲、乙、丙在排列中顺序为“甲、乙、丙”或“丙、乙、甲” 2种排法，
所以满足条件的排法有 SKIPIF 1 < 0 .故选：B．
【典例4】（2023·湖南永州·统考一模）为全面推进乡村振兴，永州市举办了“村晚兴乡村”活动，晚会有《走，去永州》《扬鞭催马运粮忙》《数幸福》《乡村振兴唱起来》四个节目，若要对这四个节目进行排序，要求《数幸福》与《乡村振兴唱起来》相邻，则不同的排列种数为 （用数字作答）．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】由于《数幸福》与《乡村振兴唱起来》相邻，所以两者“捆绑”，
则不同的排列种数为 SKIPIF 1 < 0 种.
【典例5】（2023上·上海·高三延安中学校考期中）从甲､乙等5人中任选3人参加三个不同项目的比赛，要求每个项目都有人参加，则甲､乙中至少有1人入选的不同参赛方案共有 种.
【答案】54
【解析】若甲､乙等5人中任选3人参加三个不同项目的比赛，共有 SKIPIF 1 < 0 种不同参赛方案，
若没有甲､乙入选的不同参赛方案共有 SKIPIF 1 < 0 种，
所以甲､乙中至少有1人入选的不同参赛方案共有 SKIPIF 1 < 0 种.
二、组合问题的常见类型与处理方法
（1）“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中选取．
（2）“至少”或“至多”含有几个元素的题型：若直接法分类复杂时，逆向思维，间接求解．
【典例1】（2023上·河北邢台·高三校联考期中）现有红色、黄色、蓝色的小球各4个，每个小球上都标有不同的编号.从中任取3个小球，若这3个小球颜色不全相同，且至少有一个红色小球，不同取法有（ ）
A．160种 B．220种 C．256种 D．472种
【答案】A
【解析】若取出的球中有1个红球，不同的取法有 SKIPIF 1 < 0 种；
若取出的球中有2个红球，不同的取法有 SKIPIF 1 < 0 种.
故不同取法有 SKIPIF 1 < 0 种.故选：A.
【典例2】（2023·云南·高三校联考模拟预测）2023年的五一劳动节是疫情后的第一个小长假，公司筹备优秀员工假期免费旅游．除常见的五个旅游热门地北京、上海、广州、深圳、成都外，淄博烧烤火爆全国，则甲、乙、丙、丁四个部门至少有三个部门所选旅游地全不相同的方法种数共有（ ）
A．1800 B．1080 C．720 D．360
【答案】B
【解析】①恰有2个部门所选的旅游地相同，
第一步，先将选相同的2个部门取出，有 SKIPIF 1 < 0 种；
第二步，从6个旅游地中选出3个排序，有 SKIPIF 1 < 0 种，
根据分步计数原理可得，方法有 SKIPIF 1 < 0 种；
②4个部门所选的旅游地都不相同的方法有 SKIPIF 1 < 0 种，
根据分类加法计数原理得，甲、乙、丙、丁四个部门至少有三个部门所选旅游地全不相同的
方法种数共有 SKIPIF 1 < 0 种．故选：B
三、分组分配问题的解题思路
分组、分配问题是排列组合的综合问题，解题思想是先分组后分配
（1）分组问题属于“组合”问题，常见的分组方法有三种：
①完全均匀分组，每组元素的个数都相等；
②部分均匀分组，应注意不要重复；
③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象．
（2）分配问题属于“排列”问题，常见的分配方法有三种：
①相同元素的分配问题，常用“挡板法”；
②不同元素的分配问题，利用分步乘法计数原理，先分组，后分配；
③有限制条件的分配问题，采用分类求解．
【典例1】（2023上·江苏常州·高三统考期中）将5本不同的书分发给4位同学，其中甲、乙两本书不能同时发给某一位同学，每位同学都发到书，每本书只能给一位同学，则不同的分配方案数为 （用数字作答）
【答案】216
【解析】5本书送4人，每位同学都发到书，每本书只能给一位同学，共有 SKIPIF 1 < 0 种方案，
甲乙两本书同时发给某一个同学，每位同学都发到书，每本书只能给一位同学，
则剩余3本书分别给3位同学，有 SKIPIF 1 < 0 种方案，
综上，不同的分配方案数为 SKIPIF 1 < 0 种．
【典例2】（2023上·广东广州·高三空港实验中学校考期中）将甲、乙、丙、丁四人安排到篮球与演讲比赛现场进行任务工作，每个比赛现场需要两人，则甲、乙安排在一起的概率为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】将四人分成两人两组共有 SKIPIF 1 < 0 种，
再安排四人到篮球与演讲比赛现场进行服务工作有 SKIPIF 1 < 0 种，
又甲、乙安排在一起共有 SKIPIF 1 < 0 种，
所以甲、乙安排在一起的概率为 SKIPIF 1 < 0 .
【典例3】（2023上·安徽·高三宿城一中校联考阶段练习）某高校开设了乒乓球，羽毛球，篮球，小提琴，书法五门选修课程可供学习，要求每位同学每学年至多选2门，该校学生小明想用前3学年将五门选修课程选完，则小明的不同选修方式有 种.（用数字作答）
【答案】90
【解析】由题意，前三年修完5门选修课程，每学年至多选2门，
则小明同学每年所修课程数为1，2，2，
先将5门学科按1，2，2分成三组，有 SKIPIF 1 < 0 种方法，
再分到这三个学年，有 SKIPIF 1 < 0 种不同方法，
由分步乘法计数原理得，不同选修方式共有 SKIPIF 1 < 0 种.
【典例4】（2023上·重庆·高三统考期中）为落实立德树人的根本任务，践行五育并举，某学校开设 SKIPIF 1 < 0 三门劳动教育校本课程，现有甲、乙、丙、丁、戊五位同学报名参加该校劳动教育校本课程的学习，每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，则不同的报名方法有（ ）
A．60种 B．150种 C．180种 D．300种
【答案】B
【解析】根据题意，甲、乙、丙、丁、戊五位同学选 SKIPIF 1 < 0 三门德育校本课程，
每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，需要分三组，有两类情况，
①三组人数为1、1、3，此时有 SKIPIF 1 < 0 种；
②三组人数为2、2、1，此时有 SKIPIF 1 < 0 种.
所以不同的报名方法共有60＋90＝150种．故选：B．
四、二项展开式中的特定项求解
二项展开式中的特定项，是指展开式中的某一项，如第n项、常数项、有理项等，求解二项展开式中的特定项的关键点如下：
（1）求通项，利用(a＋b)n的展开式的通项公式Tr＋1＝Ceq \\al(r,n)an－rbr(r＝0，1，2，…，n)求通项．
（2）列方程(组)或不等式(组)，利用二项展开式的通项及特定项的特征，列出方程(组)或不等式(组)．
（3）求特定项，先由方程(组)或不等式(组)求得相关参数，再根据要求写出特定项．
【典例1】（2023上·天津·高三南开中学校考阶段练习）二项式 SKIPIF 1 < 0 的展开式中的常数项为 .
【答案】240
【解析】二项式 SKIPIF 1 < 0 的展开式通项为 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以所求常数项为 SKIPIF 1 < 0 .
【典例2】（2023上·重庆·高三八中校考阶段练习） SKIPIF 1 < 0 的展开式的第4项是 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】由题设，二项式展开式通项为 SKIPIF 1 < 0 ，
第4项为 SKIPIF 1 < 0 .
【典例3】（2023下·河北邯郸·高三校联考开学考试） SKIPIF 1 < 0 的展开式中,有理项是 .（用关于x的式子表示）
【答案】 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0
【解析】由题知,记 SKIPIF 1 < 0 展开式的通项为 SKIPIF 1 < 0 ,
则 SKIPIF 1 < 0 ,
由 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 或8,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
故有理项是 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 .
五、三项展开式中某些特定项的系数的求法
（1）通过变形先把三项式转化为二项式，再用二项式定理求解．
（2）两次利用二项式定理的通项公式求解．
（3）由二项式定理的推证方法知，可用排列、组合的基本原理去求，即把三项式看作几个因式之积，要得到特定项看有多少种方法从这几个因式中取因式中的量．
【典例1】（2019下·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习） SKIPIF 1 < 0 的展开式中常数项为 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】 SKIPIF 1 < 0 中的常数项为 SKIPIF 1 < 0 ，故答案为:88
【典例2】（2020下·山东枣庄·高二枣庄第三中学校考阶段练习）在 SKIPIF 1 < 0 的展开式中，x2项的系数为（ ）
A．30 B．45 C．60 D．90
【答案】B
【解析】在 SKIPIF 1 < 0 的展开式中，通项公式为Tr+1 SKIPIF 1 < 0 • SKIPIF 1 < 0 .
对于 SKIPIF 1 < 0 ，通项公式为Tk+1 SKIPIF 1 < 0 •xr﹣2021k，k≤r，r、k∈N，r≤10.
令r﹣2021k＝2，可得r＝2+2021k，故k＝0，r＝2，
故x2项的系数为 SKIPIF 1 < 0 • SKIPIF 1 < 0 45，故选：B.
【典例3】（2022上·广东深圳·高三校联考阶段练习）下列各式中，不是 SKIPIF 1 < 0 的展开式中的项是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】 SKIPIF 1 < 0 表示4个因式 SKIPIF 1 < 0 的乘积，
在这4个因式中，有一个因式选 SKIPIF 1 < 0 ，其余的3个因式选 SKIPIF 1 < 0 ，所得的项为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的展开式中的项，
在这4个因式中，有2个因式选 SKIPIF 1 < 0 ，其余的2个因式选 SKIPIF 1 < 0 ，所得的项为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的展开式中的项，
在这4个因式中，有1个因式选 SKIPIF 1 < 0 ，剩下的3个因式选 SKIPIF 1 < 0 ，所得的项为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的展开式中的项，
在这4个因式中，有2个因式选 SKIPIF 1 < 0 ，其余的2个因式中有一个选 SKIPIF 1 < 0 ，剩下的一个因式选 SKIPIF 1 < 0 ，
所得的项为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 不是 SKIPIF 1 < 0 的展开式中的项.故选:D.
六、求解形如(a＋b)n(c＋d)m的展开式问题的思路
（1）若n，m中一个比较小，可考虑把它展开得到多个，如(a＋b)2(c＋d)m＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)m，然后展开分别求解．
（2）观察(a＋b)(c＋d)是否可以合并，如(1＋x)5(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5(1－x)2.
（3）分别得到(a＋b)n，(c＋d)m的通项公式，综合考虑．
【典例1】（2023上·河南·高三实验中学校考期中） SKIPIF 1 < 0 的展开式中， SKIPIF 1 < 0 的系数为（ ）
A．200 B．40 C．120 D．80
【答案】B
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 展开式的通项为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的系数为 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的系数为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的系数为 SKIPIF 1 < 0 ，故选：B
【典例2】（2023·全国·模拟预测） SKIPIF 1 < 0 的展开式中，常数项为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．180 D．300
【答案】B
【解析】 SKIPIF 1 < 0 的展开式的通项为 SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 为常数时， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 为常数时， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的展开式中常数项为 SKIPIF 1 < 0 ．故选：B．
【典例3】（2023·河南·高三校联考模拟预测）在 SKIPIF 1 < 0 的展开式中，按 SKIPIF 1 < 0 的升幂排列的第三项为 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】易知，展开式中有常数项、一次项、二次项等，故所求的项为 SKIPIF 1 < 0 项．
整个式子中 SKIPIF 1 < 0 项可由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的展开式中的常数项
与二次项、一次项与一次项、二次项与常数项相乘得到，
其中 SKIPIF 1 < 0 展开式的通项为 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），
SKIPIF 1 < 0 展开式的通项为 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）；
故所求为 SKIPIF 1 < 0 ．
七、二项式系数的和与各项的系数和问题
（1）系数和问题常用“赋值法”求解
赋值法是指对二项式中的未知元素赋值，从而求得二项展开式的各项系数和的方法．求解有关系数和题的关键点如下：
①赋值，观察已知等式与所求式子的结构特征，确定所赋的值，常赋的值有：－1，0，1等．
②求参数，通过赋值，建立参数的相关方程，解方程，可得参数值．
③求值，根据题意，得出指定项的系数和．
（2）二项式系数和：(a＋b)n的展开式中二项式系数的和为Ceq \\al(0,n)＋Ceq \\al(1,n)＋…＋Ceq \\al(n,n)＝2n.
【典例1】（2023·浙江·模拟预测）若 SKIPIF 1 < 0 ，且奇数项二项式系数之和为512，则 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】由题意， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，两边同时求导得，
SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
∵奇数项二项式系数之和为512，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 .
【典例2】（2023·福建宁德·校考模拟预测）（多选）若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】AC
【解析】令 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，所以选项A正确；
令 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以选项B错误；
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 选项C正确；
SKIPIF 1 < 0 ，
两边对 SKIPIF 1 < 0 求导得： SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，选项D错误；故选：AC.
【典例3】（2023上·山西大同·高三统考阶段练习）若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 ，
其中二项式 SKIPIF 1 < 0 展开式的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
八、二项式系数最大与最小
二项式系数先增后减中间项最大
（1）如果二项式的幂指数 SKIPIF 1 < 0 是偶数，则中间一项 SKIPIF 1 < 0 的二项式系数 SKIPIF 1 < 0 最大；
（2）如果二项式的幂指数 SKIPIF 1 < 0 是奇数，则中间两项 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的二项式系数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 相等且最大．
【典例1】（2023下·云南·高三师大附中校考阶段练习） SKIPIF 1 < 0 的展开式中二项式系数最大的项是（ ）
A．160 B．240 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的展开式中二项式系数最大为 SKIPIF 1 < 0 ，
即展开式的第4项，即 SKIPIF 1 < 0 .故选：C．
【典例2】（2023上·海南·高三洋浦中学校考阶段练习）若 SKIPIF 1 < 0 的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的 SKIPIF 1 < 0 项为 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】由题意，只有第5项的二项式系数最大知，展开式中有共 SKIPIF 1 < 0 项，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的展开式的通项为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故展开式中的 SKIPIF 1 < 0 项为 SKIPIF 1 < 0 .
【典例3】（2023·山东·高三省实验中学校考二模） SKIPIF 1 < 0 展开式中二项式系数最大的项的系数为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】由二项式系数的基本性质可知，
SKIPIF 1 < 0 展开式中二项式系数最大的项为 SKIPIF 1 < 0 .
因此，展开式中二项式系数最大的项的系数为 SKIPIF 1 < 0 .
九、二项展开式系数最大项的求法
如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第k项系数最大，应用eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Ak≥Ak－1，,Ak≥Ak＋1，)) 从而解出k来，即得．
【典例1】（2023上·全国·高三阶段练习）已知 SKIPIF 1 < 0 的展开式中唯有第5项的系数最大，则a的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】 SKIPIF 1 < 0 的展开式的通项为 SKIPIF 1 < 0 ，
由题可知 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．故选：A
【典例2】（2023·湖北襄阳·高三襄阳四中校考模拟预测）已知 SKIPIF 1 < 0 的展开式中前三项的二项式系数和为 SKIPIF 1 < 0 ，则展开式中系数最大的项为第（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 项 B． SKIPIF 1 < 0 项 C． SKIPIF 1 < 0 项 D． SKIPIF 1 < 0 项
【答案】D
【解析】 SKIPIF 1 < 0 的展开式中前三项的二项式系数和为 SKIPIF 1 < 0 ，
整理可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的展开式通项为 SKIPIF 1 < 0 ，
设展开式中第 SKIPIF 1 < 0 项的系数最大，则 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，因此，展开式中系数最大的项为第 SKIPIF 1 < 0 项.故选：D.
易错点1 利用分步乘法原理计数，分步标准错误
点拨：仔细区分是“分类”还是“分步”是运用两个原理的关键.两个原理的区别在于一个与分类有关，一个与分步有关.如果完成一件事有n类办法，这n类办法彼此之间是相互独立的，无论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事，求完成这件事的方法种数，就用分类加法计数原理；如果完成一件事需要分成n个步骤，缺一不可，即需要依次完成n个步骤，才能完成这件事，而完成每一个步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事的方法种数，就用分步乘法计数原理.
【典例1】（2023上·广东佛山·高三统考阶段练习）5名同学去听同时举行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择听其中的1个讲座，且甲乙听同一个讲座，则不同选择的种数是 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】根据题意，把甲乙看成一个同学，由分步计数原理，可得不同选择的种类是 SKIPIF 1 < 0 ．
5．（2023·全国·高三专题练习）如图，一个地区分为5个行政区域，现给该地区的5个区域涂色，要求相邻区域不得使用同一种颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的涂色方法共有 种.
【答案】72
【解析】观察图形知，2区与4区不相邻，3区与5区不相邻，且不相邻的区域可用同1种颜色涂色，
因此计算涂色方法可用3色和4色，
使用3种颜色，则2区与4区同色，3区与5区必同色，涂2区与4区有4种方法，
涂3区与5区有3种方法，涂1区有2种方法，则涂色方法有 SKIPIF 1 < 0 （种）；
使用4种颜色，选取同色的方案有2种，涂同色的两块有4种方法，
涂另外3块依次有3，2，1种方法，则涂色方法有 SKIPIF 1 < 0 （种），
所以不同的涂色方法共有 SKIPIF 1 < 0 （种）.
【典例2】（2023上·陕西西安·高三阶段练习）五岳是中国汉文化中五大名山的总称，分别为东岳泰山、西岳华山、中岳嵩山、北岳恒山、南岳衡山.某旅游博主为领略五岳之美，决定用两个月的时间游览完五岳，且每个月只游览五岳中的两大名山或三大名山（五岳只游览一次），则恰好在同一个月游览华山和恒山的概率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】由题意，确定一个月的游览方案，则另一个月游览其余名山即可.
该旅游博主游览五岳可分两类方法：
第一类，第一个月游览两大名山，从五大名山中任选两大名山，有 SKIPIF 1 < 0 种方法；
第二类，第一个月游览三大名山，从五大名山中任选三大名山，有 SKIPIF 1 < 0 种方法；
由分类计数原理可得，共有 SKIPIF 1 < 0 种方法.
设 SKIPIF 1 < 0 “该旅游博主恰好在同一个月游览华山和恒山”，可分两步完成这件事：
第一步，从两个月中选一个月游览华山和恒山，有 SKIPIF 1 < 0 种方法；
第二步，确定游览华山和恒山的这个月的游览方案，分为两类：
若该月只游览两大名山，则只有 SKIPIF 1 < 0 种方法；
若该月浏览三大名山，则再从其余三大山中任取一大山游览，有 SKIPIF 1 < 0 种方法，
则第二步共有 SKIPIF 1 < 0 种方法；
由分步计数原理，则完成事件 SKIPIF 1 < 0 共有 SKIPIF 1 < 0 种方法.
由古典概型概率公式得 SKIPIF 1 < 0 .故选：C.
易错点2 数字排列中“0”的位置不明
点拨：对于数字排列问题，0是特殊的数字，在解题过程中往往会忽视0不在首位的特殊要求。
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）从0，1，…，9中选出三个不同数字组成四位数（其中的一个数字可以出现两次），如5224．则这样的四位数共有 个．
【答案】3888
【解析】分三种情形讨论．
四位数中不含0的有 SKIPIF 1 < 0 （个）；
四位数中含0且0只出现一次的有 SKIPIF 1 < 0 （个）．
从而，共有 SKIPIF 1 < 0 个．
【典例2】（2023·福建泉州·高三统考模拟预测）将 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 任意排成一行，可以组成 个不同的6位数．（用数字作答）
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】将 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 任意排成一行，且数字 SKIPIF 1 < 0 不在首位，则有 SKIPIF 1 < 0 种，
数字 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 相邻且 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 之前的排法有 SKIPIF 1 < 0 种，
故所求满足题意的 SKIPIF 1 < 0 位数有 SKIPIF 1 < 0 个.
【典例3】（2023·广东·高三深圳中学校联考模拟预测）用0，1，2，3，4，5这六个数字组成无重复数字的六位数，要求任意两个偶数数字之间至少有一个奇数数字，则符合要求的六位数的个数有 个.
【答案】108
【解析】满足要求的六位数按照偶数数字所在的位置可以分宜以下几类：
第一类：0,2,4排在从左至右的第一位，第三位，第五位，
先排第一位有两种排法，再排第三位和第五位有 SKIPIF 1 < 0 种排法，
再将奇数排在第二，四，六位有 SKIPIF 1 < 0 种排法，所以第一类包含的六位数的个数为 SKIPIF 1 < 0 ，
第二类：0,2,4排在从左至右的第一位，第三位，第六位，
先排第一位有两种排法，再排第三位和第六位有 SKIPIF 1 < 0 种排法，
再将奇数排在第二，四，五位有 SKIPIF 1 < 0 种排法，所以第二类包含的六位数的个数为 SKIPIF 1 < 0 ，
第三类：0,2,4排在从左至右的第一位，第四位，第六位，
先排第一位有两种排法，再排第四位和第六位有 SKIPIF 1 < 0 种排法，
再将奇数排在第二，三，五位有 SKIPIF 1 < 0 种排法，所以第三类包含的六位数的个数为 SKIPIF 1 < 0 ，
第四类：0,2,4排在从左至右的第二位，第四位，第六位，
先排偶数数字有 SKIPIF 1 < 0 种排法，再将奇数排在第一，三，五位有 SKIPIF 1 < 0 种排法，
所以第四类包含的六位数的个数为 SKIPIF 1 < 0 ，
由分类加法计数原理可得满足条件的六位共有 SKIPIF 1 < 0 个.故答案为：108.
易错点3 忽略二项式中的负号
点拨：在二项式定理(a-b)n的问题要注意b的系数为-1，展开求解释不要忽略。
【典例1】（2023上·北京·高三三十五中学校考期中）二项式 SKIPIF 1 < 0 展开式的常数项为 ．
【答案】60
【解析】 SKIPIF 1 < 0 展开式的通项为 SKIPIF 1 < 0 ，
取 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，常数项为 SKIPIF 1 < 0 .
【典例2】（2023·浙江·高三统考一模） SKIPIF 1 < 0 展开式中 SKIPIF 1 < 0 的系数为 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 的通项为 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
易错点4 混淆二项式系数与系数
点拨： 要注意二项展开式中二项式系数与某一项系数的区别. (a＋b)n的展开式中第r+1项的系数是 SKIPIF 1 < 0 ，其值只与 SKIPIF 1 < 0 有关，与 SKIPIF 1 < 0 无个，系数是该项中的常数，在(a＋b)n的展开式中，系数最大的项是中间项；但当a，b的系数不是1时，系数最大的项的位置就不一定在中间，需要利用通项公式，根据系数的增减性具体讨论而定.
【典例1】（2023上·重庆·高三巴蜀中学校考阶段练习）（多选）在二项式 SKIPIF 1 < 0 的展开式中，下列说法正确的是（ ）
A．第6项的二项式系数最大 B．第6项的系数最大
C．所有项的二项式系数之和为 SKIPIF 1 < 0 D．所有项的系数之和为1
【答案】ACD
【解析】通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
其二项式系数为 SKIPIF 1 < 0 ，二项式 SKIPIF 1 < 0 的展开式共 SKIPIF 1 < 0 项，中间项的二项式系数最大，
故第6项的二项式系数 SKIPIF 1 < 0 是最大的，故A正确；
二项式系数和为 SKIPIF 1 < 0 ，所以C正确；
令 SKIPIF 1 < 0 得所有项的系数和为1，故D正确；
因为展开式中第六项的系数为负数，所以第六项的系数不可能为最大，故B选项错误，故选：ACD.
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）（多选）下列关于 SKIPIF 1 < 0 的展开式的说法中正确的是（ ）
A．常数项为－160 B．第4项的系数最大
C．第4项的二项式系数最大 D．所有项的系数和为1
【答案】ACD
【解析】 SKIPIF 1 < 0 展开式的通项为 SKIPIF 1 < 0 .
对于A，令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，∴常数项为 SKIPIF 1 < 0 ，A正确；
对于B，由通项公式知，若要系数最大，k所有可能的取值为0，2，4，6，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴展开式第5项的系数最大，B错误；
对于C，展开式共有7项，得第4项的二项式系数最大，C正确；
对于D，令x＝1，则所有项的系数和为 SKIPIF 1 < 0 ，D正确.故选：ACD.