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新高考数学一轮复习课件 第2章 §2.7 指数与指数函数（含详解）
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这是一份新高考数学一轮复习课件 第2章 §2.7 指数与指数函数（含详解），共60页。PPT课件主要包含了落实主干知识，探究核心题型，课时精练，ar＋s，ars，arbr，0＋∞，增函数，减函数，例1计算等内容，欢迎下载使用。
1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质.2.通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象.3.理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用.
2.分数指数幂正数的正分数指数幂： ＝______ (a>0，m，n∈N*，n>1).正数的负分数指数幂： ＝____＝ (a>0，m，n∈N*，n>1).0的正分数指数幂等于 ，0的负分数指数幂没有意义.
3.指数幂的运算性质aras＝ ；(ar)s＝ ；(ab)r＝ (a>0，b>0，r，s∈Q).4.指数函数及其性质(1)概念：一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是___.
(2)指数函数的图象与性质
1.指数函数图象的关键点(0,1)，(1，a)，2.如图所示是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，则c>d>1>a>b>0，即在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象越高，底数越大.
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1) ＝－4.( )(2)2a·2b＝2ab.( )(3)函数y＝ 的值域是(0，＋∞).( )(4)若am0，且a≠1)，则m
由函数y＝a·2x是指数函数，得a＝1，由y＝2x＋b是指数函数，得b＝0，所以a＋b＝1.
2.计算： ＝_____.
原式＝ ＋1－3－2＝3－2＋1－3－2＝1.
3.若指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在[－1,1]上的最大值为2，则a＝________.
若a>1，则f (x)max＝f(1)＝a＝2；
＝1＋1－10＋27＝19.
(2) (a>0，b>0).
(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加.②运算的先后顺序.(2)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.
跟踪训练1 计算：(1) ；
原式＝ ＝10－1＋8＋23·32＝89.
例2 (1)(多选)已知非零实数a，b满足3a＝2b，则下列不等关系中正确的是A.a
在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示.∴当0
跟踪训练2 (多选)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是A.a>1B.00D.b<0
由函数f(x)＝ax－b的图象可知，函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，∴00，∴b<0，故D正确.
命题点1 比较指数式大小例3 设a＝30.7，b＝2－0.4，c＝90.4，则A.b
∵y＝4x－3·2x＋3的值域为[1,7]，∴1≤4x－3·2x＋3≤7.∴－1≤2x≤1或2≤2x≤4.∴x≤0或1≤x≤2.
命题点3 指数函数性质的综合应用例5 已知函数f(x)＝ (a为常数，且a≠0，a∈R)，且f(x)是奇函数.(1)求a的值；
因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
(2)若∀x∈[1,2], 都有f(2x)－mf(x)≥0成立，求实数m的取值范围.
令t＝2x，t∈[2,4]，
(1)利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量.(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，要借助“同增异减”这一性质分析判断.
跟踪训练3 (1)(多选)(2023·杭州模拟)已知函数f(x)＝ ，下列说法正确的有A.f(x)的图象关于原点对称B.f(x)的图象关于y轴对称C.f(x)的值域为(－1,1)D.∀x1，x2∈R，且x1≠x2， <0
可得函数f(x)为奇函数，函数f(x)的图象关于原点对称，故选项A正确，选项B错误；
(2)已知函数f(x)＝ ，若f(x)有最大值3，则a的值为_____.
∵f(x)有最大值3，∴g(x)有最小值－1，
A.－7 B.－1 C.1 D.7
m＋n＝π－3＋|π－4|＝π－3＋4－π＝1.
2.已知指数函数f(x)＝(2a2－5a＋3)ax在(0，＋∞)上单调递增，则实数a的值为
当a＝2时，f(x)＝2x在(0，＋∞)上单调递增，符合题意；
因为 ＝5，所以 ＝52，即x＋x－1＋2＝25，所以x＋x－1＝23，
4.已知 ＝5，则 的值为A.5 B.23 C.25 D.27
5.(多选)(2023·泰安模拟)已知函数f(x)＝|2x－1|，实数a，b满足f(a)＝f(b)(a2B.∃a，b∈R，使得0
所以2a＋b<1，则a＋b<0，故B错，D对.
6.(2023·枣庄模拟)对任意实数a>1，函数y＝(a－1)x－1＋1的图象必过定点A(m，n)，f(x)＝ 的定义域为[0,2]，g(x)＝f(2x)＋f(x)，则g(x)的值域为A.(0,6] B.(0,20]C.[2,6] D.[2,20]
令x－1＝0得x＝1，y＝2，即函数图象必过定点(1,2)，所以m＝1，n＝2，
解得x∈[0,1]，g(x)＝f(2x)＋f(x)＝22x＋2x，令t＝2x，则y＝t2＋t，t∈[1,2]，所以g(x)的值域为[2,6].
7.计算化简：(1) ＝________；
(2) ＝________.
8.已知函数f(x)＝3x＋1－4x－5，则不等式f(x)<0的解集是________.
因为函数f(x)＝3x＋1－4x－5，所以不等式f(x)<0即为3x＋1<4x＋5，在同一平面直角坐标系中作出y＝3x＋1，y＝4x＋5的图象，如图所示，
因为y＝3x＋1，y＝4x＋5的图象都经过A(1,9)，B(－1,1)，所以f(x)<0，即y＝3x＋1的图象在y＝4x＋5图象的下方，所以由图象知，不等式f(x)<0的解集是(－1,1).
9.已知定义域为R的函数f(x)＝ax－(k－1)a－x(a>0，且a≠1)是奇函数.(1)求实数k的值；
∵f(x)是定义域为R的奇函数，∴f(0)＝a0－(k－1)a0＝1－(k－1)＝0，∴k＝2，经检验k＝2符合题意，∴k＝2.
(2)若f(1)<0，判断函数f(x)的单调性，若f(m2－2)＋f(m)>0，求实数m的取值范围.
f(x)＝ax－a－x(a>0，且a≠1)，∵f(1)<0，
∴00
可化为f(m2－2)>f(－m)，∴m2－2<－m，即m2＋m－2<0，解得－2
由f(x)＝a2x＋ax＋1，令ax＝t，则t>0，
故当t＝a，即x＝1时，ymax＝a2＋a＋1＝13，解得a＝3或a＝－4(舍去).②若0
由于f(x)为偶函数，故若f(x)＝f(y)，且x≠y，则x＝－y，即x＋y＝0，故B正确；
由于在(－∞，0)上，f(x)＝2－2·2x单调递减，故若xf(y)，故C错误；
12.(2022·长沙模拟)若ex－ey＝e，x，y∈R，则2x－y的最小值为________.
依题意，ex＝ey＋e，ey>0，
此时，(2x－y)min＝1＋2ln 2，所以当x＝1＋ln 2，y＝1时，2x－y取最小值1＋2ln 2.
13.(2023·龙岩模拟)已知函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(0)＝3，则f(bx)与f(cx)的大小关系为A.f(cx)≥f(bx) B.f(cx)≤f(bx)C.f(cx)>f(bx) D.f(cx)＝f(bx)
根据题意，函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(x＋1)＝f(1－x)，
又由f(0)＝3，得c＝3，所以bx＝2x，cx＝3x，若x<0，则有cx
∵f(x)＝3x＋m－1是定义在[－1,1]上的“倒戈函数”，∴存在x0∈[－1,1]满足f(－x0)＝－f(x0)，∴ ＋m－1＝－ －m＋1，∴2m＝－ － ＋2，构造函数y＝－ － ＋2，x0∈[－1,1]，
在(1,3]上单调递减，∴当t＝1时，函数取得最大值0，
1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质.2.通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象.3.理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用.
2.分数指数幂正数的正分数指数幂： ＝______ (a>0，m，n∈N*，n>1).正数的负分数指数幂： ＝____＝ (a>0，m，n∈N*，n>1).0的正分数指数幂等于 ，0的负分数指数幂没有意义.
3.指数幂的运算性质aras＝ ；(ar)s＝ ；(ab)r＝ (a>0，b>0，r，s∈Q).4.指数函数及其性质(1)概念：一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是___.
(2)指数函数的图象与性质
1.指数函数图象的关键点(0,1)，(1，a)，2.如图所示是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，则c>d>1>a>b>0，即在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象越高，底数越大.
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1) ＝－4.( )(2)2a·2b＝2ab.( )(3)函数y＝ 的值域是(0，＋∞).( )(4)若am
由函数y＝a·2x是指数函数，得a＝1，由y＝2x＋b是指数函数，得b＝0，所以a＋b＝1.
2.计算： ＝_____.
原式＝ ＋1－3－2＝3－2＋1－3－2＝1.
3.若指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在[－1,1]上的最大值为2，则a＝________.
若a>1，则f (x)max＝f(1)＝a＝2；
＝1＋1－10＋27＝19.
(2) (a>0，b>0).
(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加.②运算的先后顺序.(2)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.
跟踪训练1 计算：(1) ；
原式＝ ＝10－1＋8＋23·32＝89.
例2 (1)(多选)已知非零实数a，b满足3a＝2b，则下列不等关系中正确的是A.a
在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示.∴当0
跟踪训练2 (多选)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是A.a>1B.0
由函数f(x)＝ax－b的图象可知，函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，∴0
命题点1 比较指数式大小例3 设a＝30.7，b＝2－0.4，c＝90.4，则A.b
∵y＝4x－3·2x＋3的值域为[1,7]，∴1≤4x－3·2x＋3≤7.∴－1≤2x≤1或2≤2x≤4.∴x≤0或1≤x≤2.
命题点3 指数函数性质的综合应用例5 已知函数f(x)＝ (a为常数，且a≠0，a∈R)，且f(x)是奇函数.(1)求a的值；
因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
(2)若∀x∈[1,2], 都有f(2x)－mf(x)≥0成立，求实数m的取值范围.
令t＝2x，t∈[2,4]，
(1)利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量.(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，要借助“同增异减”这一性质分析判断.
跟踪训练3 (1)(多选)(2023·杭州模拟)已知函数f(x)＝ ，下列说法正确的有A.f(x)的图象关于原点对称B.f(x)的图象关于y轴对称C.f(x)的值域为(－1,1)D.∀x1，x2∈R，且x1≠x2， <0
可得函数f(x)为奇函数，函数f(x)的图象关于原点对称，故选项A正确，选项B错误；
(2)已知函数f(x)＝ ，若f(x)有最大值3，则a的值为_____.
∵f(x)有最大值3，∴g(x)有最小值－1，
A.－7 B.－1 C.1 D.7
m＋n＝π－3＋|π－4|＝π－3＋4－π＝1.
2.已知指数函数f(x)＝(2a2－5a＋3)ax在(0，＋∞)上单调递增，则实数a的值为
当a＝2时，f(x)＝2x在(0，＋∞)上单调递增，符合题意；
因为 ＝5，所以 ＝52，即x＋x－1＋2＝25，所以x＋x－1＝23，
4.已知 ＝5，则 的值为A.5 B.23 C.25 D.27
5.(多选)(2023·泰安模拟)已知函数f(x)＝|2x－1|，实数a，b满足f(a)＝f(b)(a
所以2a＋b<1，则a＋b<0，故B错，D对.
6.(2023·枣庄模拟)对任意实数a>1，函数y＝(a－1)x－1＋1的图象必过定点A(m，n)，f(x)＝ 的定义域为[0,2]，g(x)＝f(2x)＋f(x)，则g(x)的值域为A.(0,6] B.(0,20]C.[2,6] D.[2,20]
令x－1＝0得x＝1，y＝2，即函数图象必过定点(1,2)，所以m＝1，n＝2，
解得x∈[0,1]，g(x)＝f(2x)＋f(x)＝22x＋2x，令t＝2x，则y＝t2＋t，t∈[1,2]，所以g(x)的值域为[2,6].
7.计算化简：(1) ＝________；
(2) ＝________.
8.已知函数f(x)＝3x＋1－4x－5，则不等式f(x)<0的解集是________.
因为函数f(x)＝3x＋1－4x－5，所以不等式f(x)<0即为3x＋1<4x＋5，在同一平面直角坐标系中作出y＝3x＋1，y＝4x＋5的图象，如图所示，
因为y＝3x＋1，y＝4x＋5的图象都经过A(1,9)，B(－1,1)，所以f(x)<0，即y＝3x＋1的图象在y＝4x＋5图象的下方，所以由图象知，不等式f(x)<0的解集是(－1,1).
9.已知定义域为R的函数f(x)＝ax－(k－1)a－x(a>0，且a≠1)是奇函数.(1)求实数k的值；
∵f(x)是定义域为R的奇函数，∴f(0)＝a0－(k－1)a0＝1－(k－1)＝0，∴k＝2，经检验k＝2符合题意，∴k＝2.
(2)若f(1)<0，判断函数f(x)的单调性，若f(m2－2)＋f(m)>0，求实数m的取值范围.
f(x)＝ax－a－x(a>0，且a≠1)，∵f(1)<0，
∴0
可化为f(m2－2)>f(－m)，∴m2－2<－m，即m2＋m－2<0，解得－2
由f(x)＝a2x＋ax＋1，令ax＝t，则t>0，
故当t＝a，即x＝1时，ymax＝a2＋a＋1＝13，解得a＝3或a＝－4(舍去).②若0
由于f(x)为偶函数，故若f(x)＝f(y)，且x≠y，则x＝－y，即x＋y＝0，故B正确；
由于在(－∞，0)上，f(x)＝2－2·2x单调递减，故若x
12.(2022·长沙模拟)若ex－ey＝e，x，y∈R，则2x－y的最小值为________.
依题意，ex＝ey＋e，ey>0，
此时，(2x－y)min＝1＋2ln 2，所以当x＝1＋ln 2，y＝1时，2x－y取最小值1＋2ln 2.
13.(2023·龙岩模拟)已知函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(0)＝3，则f(bx)与f(cx)的大小关系为A.f(cx)≥f(bx) B.f(cx)≤f(bx)C.f(cx)>f(bx) D.f(cx)＝f(bx)
根据题意，函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(x＋1)＝f(1－x)，
又由f(0)＝3，得c＝3，所以bx＝2x，cx＝3x，若x<0，则有cx
∵f(x)＝3x＋m－1是定义在[－1,1]上的“倒戈函数”，∴存在x0∈[－1,1]满足f(－x0)＝－f(x0)，∴ ＋m－1＝－ －m＋1，∴2m＝－ － ＋2，构造函数y＝－ － ＋2，x0∈[－1,1]，
在(1,3]上单调递减，∴当t＝1时，函数取得最大值0，
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