新高考数学一轮复习课件第3章　§3.2　导数与函数的单调性（含详解）

展开

这是一份新高考数学一轮复习课件第3章　§3.2　导数与函数的单调性（含详解），共60页。PPT课件主要包含了落实主干知识，探究核心题型，课时精练，单调递增，单调递减，常数函数，定义域，0e2，∴a2－1≥1等内容，欢迎下载使用。

1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).3.会利用函数的单调性判断大小，求参数的取值范围等简单应用.
1.函数的单调性与导数的关系
2.利用导数判断函数单调性的步骤第1步，确定函数的；第2步，求出导数f′(x)的；第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性.
1.若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则当x∈(a，b)时，f′(x)≥0恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则当x∈(a，b)时，f′(x)≤0恒成立.2.若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则当x∈(a，b)时，f′(x)>0有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则当x∈(a，b)时，f′(x)<0有解.
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性.(　　)(2)在(a，b)内f′(x)≤0且f′(x)＝0的根有有限个，则f(x)在(a，b)内单调递减.(　　)(3)若函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0，则f(x)在定义域上一定单调递增.(　　)(4)函数f(x)＝x－sin x在R上是增函数.(　　)
1.f′(x)是f(x)的导函数，若f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象可能是
由f′(x)的图象知，当x∈(－∞，0)时，f′(x)>0，∴f(x)单调递增；当x∈(0，x1)时，f′(x)<0，∴f(x)单调递减；当x∈(x1，＋∞)时，f′(x)>0，∴f(x)单调递增.
2.函数f(x)＝x2－2ln x的单调递减区间是A.(0,1) B.(1，＋∞)C.(－∞，1) D.(－1,1)
令f′(x)＝0，得x＝1(负值舍去)，∴当x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增.
例1　(1)函数f(x)＝xln x－3x＋2的单调递减区间为________.
f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ln x－2，当x∈(0，e2)时，f′(x)<0，当x∈(e2，＋∞)时，f′(x)>0，∴f(x)的单调递减区间为(0，e2).
f(x)的定义域为(0，＋∞)，
φ(x)在(0，＋∞)上单调递减，且φ(1)＝0，∴当x∈(0,1)时，φ(x)>0，
当x∈(1，＋∞)时，φ(x)<0，∴f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减.∴函数f(x)的单调递增区间为(0,1).
确定不含参数的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意两点，一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开.
令g(x)＝x－ex，则g′(x)＝1－ex，可得g(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以g(x)0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，所以f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减.
例2　已知函数f(x)＝(2－a)x－ln x－1，a∈R.(1)当a＝1时，求函数y＝f(x)的单调递增区间；
当x>1时，f′(x)>0，∴f(x)的单调递增区间为(1，＋∞).
(2)若a<0，设g(x)＝f(x)＋ax2，求函数g(x)的单调区间.
g(x)＝ax2＋(2－a)x－ln x－1(a<0)，其定义域为(0，＋∞)，
∴g(x)的单调递减区间为(0，＋∞)，无单调递增区间；
当a＝－2时，g(x)的单调递减区间为(0，＋∞)，无单调递增区间；
(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点.
跟踪训练2　已知函数g(x)＝(x－a－1)ex－(x－a)2，讨论函数g(x)的单调性.
g(x)的定义域为R，g′(x)＝(x－a)ex－2(x－a)＝(x－a)(ex－2)，令g′(x)＝0，得x＝a或x＝ln 2，①若a>ln 2，则当x∈(－∞，ln 2)∪(a，＋∞)时，g′(x)>0，当x∈(ln 2，a)时，g′(x)<0，∴g(x)在(－∞，ln 2)，(a，＋∞)上单调递增，在(ln 2，a)上单调递减.②若a＝ln 2，则g′(x)≥0恒成立，∴g(x)在R上单调递增，
③若a0，当x∈(a，ln 2)时，g′(x)<0，∴g(x)在(－∞，a)，(ln 2，＋∞)上单调递增，在(a，ln 2)上单调递减.综上，当a>ln 2时，g(x)在(－∞，ln 2)，(a，＋∞)上单调递增，在(ln 2，a)上单调递减；当a＝ln 2时，g(x)在R上单调递增；当a命题点1　比较大小或解不等式例3　(1)(多选)下列不等式成立的是
所以当00，函数f(x)单调递增；当x>e时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减.
因为e<4<5，所以f(4)>f(5)，即5ln 4>4ln 5，故选项C不正确；因为e<π，所以f(e)>f(π)，即π>eln π，故选项D正确.
f′(x)＝ex－e－x－sin x－x，令g(x)＝ex－e－x－sin x－x，
当且仅当x＝0时等号成立，∴函数g(x)在R上单调递增，又g(0)＝0，∴当x∈[0，＋∞)时，g(x)≥g(0)＝0，∴f′(x)≥0，
∴当x∈(－∞，0)时，g(x)|2x－1|，
命题点2　根据函数的单调性求参数例4　已知函数f(x)＝ln x－ ax2－2x(a≠0).(1)若f(x)在[1,4]上单调递减，求实数a的取值范围；
因为f(x)在[1,4]上单调递减，
(2)若f(x)在[1,4]上存在单调递减区间，求实数a的取值范围.
因为f(x)在[1,4]上存在单调递减区间，
所以a>－1，又因为a≠0，所以实数a的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞).
由函数的单调性求参数的取值范围的方法(1)函数在区间(a，b)上单调，实际上就是在该区间上f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立.(2)函数在区间(a，b)上存在单调区间，实际上就是f′(x)>0 (或f′(x)<0)在该区间上存在解集.
跟踪训练3　(1)已知函数f(x)＝－ex＋2x－ x3，若f(3a2)＋f(2a－1)≥0，则实数a的取值范围是___________.
所以f′(x)≤0，所以函数f(x)在R上单调递减，又f(x)＝－f(－x)，所以f(x)为奇函数，所以f(3a2)＋f(2a－1)≥0⇒f(3a2)≥－f(2a－1)＝f(1－2a)，
(2)已知函数f(x)＝－ x2－3x＋4ln x在(t，t＋2)上不单调，则实数t的取值范围是______.
当f′(x)＝0时，有x2＋3x－4＝0，得x＝－4或x＝1，∵f(x)在(t，t＋2)上不单调，且(t，t＋2)⊆(0，＋∞)，
1.函数f(x)＝xln x＋1的单调递减区间是
f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1＋ln x，
2.已知f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，且y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)函数的图象可能是
根据导函数的图象可得，当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0，则f(x)单调递减；当x∈(0,2)时，f′(x)>0，则f(x)单调递增；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)<0，则f(x)单调递减，所以只有D选项符合.
当x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
4.已知a∈R，则“a≤2”是“f(x)＝ln x＋x2－ax在(0，＋∞)上单调递增”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
因为f(x)＝ln x＋x2－ax在(0，＋∞)上单调递增，
因此，“a≤2”是“f(x)＝ln x＋x2－ax在(0，＋∞)上单调递增”的充分不必要条件.
令f(x)＝ex－ln(x＋1)且x∈(0,1)，
故f(x)在区间(0,1)上单调递增，因为0故f(x)在区间(0,1)上单调递减，因为0f(x2)，
即 > ，
故x2 >x1 ，所以C正确，D错误.
6.(多选)如果函数f(x)对定义域内的任意两实数x1，x2(x1≠x2)都有 >0，则称函数y＝f(x)为“F函数”.下列函数不是“F函数”的是A.f(x)＝ex B.f(x)＝x2C.f(x)＝ln x D.f(x)＝sin x
依题意，函数g(x)＝xf(x)为定义域上的增函数.对于A，g(x)＝xex，g′(x)＝(x＋1)ex，当x∈(－∞，－1)时，g′(x)<0，∴g(x)在(－∞，－1)上单调递减，故A中函数不是“F函数”；对于B，g(x)＝x3在R上单调递增，故B中函数为“F函数”；对于C，g(x)＝xln x，g′(x)＝1＋ln x，x>0，
故C中函数不是“F函数”；对于D，g(x)＝xsin x，g′(x)＝sin x＋xcs x，
故D中函数不是“F函数”.
7.函数f(x)＝e－xcs x(x∈(0，π))的单调递增区间为________.
8.已知函数f(x)＝－2x2＋ln x(a>0)，若函数f(x)在[1,2]上不单调，则实数a的取值范围是________.
9.已知函数f(x)＝aex－x，a∈R.(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
因为a＝1，所以f(x)＝ex－x，则f′(x)＝ex－1，所以f′(1)＝e－1，f(1)＝e－1，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程是y－(e－1)＝(e－1)(x－1)，即y＝(e－1)x.
(2)试讨论函数f(x)的单调性.
因为f(x)＝aex－x，a∈R，x∈R，所以f′(x)＝aex－1，当a≤0时，f′(x)＝aex－1<0，则f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减；当a>0时，令f′(x)＝0，得x＝－ln a，当x<－ln a时，f′(x)<0，当x>－ln a时，f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，－ln a)上单调递减，在(－ln a，＋∞)上单调递增，综上，当a≤0时，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减；当a>0时， f(x)在(－∞，－ln a)上单调递减，在(－ln a，＋∞)上单调递增.
10.已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)ex，x∈R.(1)当a＝2时，求函数f(x)的单调递增区间；
当a＝2时，f(x)＝(－x2＋2x)ex，f′(x)＝－(x2－2)ex，
(2)若函数f(x)在(－1,1)上单调递增，求实数a的取值范围.
f′(x)＝[－x2＋(a－2)x＋a]ex，若f(x)在(－1,1)上单调递增，即当－111.(多选)已知函数f(x)＝ln(e2x＋1)－x，则下列说法正确的是A.f(ln 2)＝B.f(x)是奇函数C.f(x)在(0，＋∞)上单调递增D.f(x)的最小值为ln 2
f(x)＝ln(e2x＋1)－x＝ln(ex＋e－x)定义域为R，其中f(－x)＝ln(e－x＋ex)＝f(x)，故f(x)是偶函数，B错误；
根据f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(x)是偶函数，可得f(x)在(－∞，0)上单调递减，故f(x)的最小值为f(0)＝ln 2，D正确.
12.已知函数f(x)＝ex－e－x＋＋1，实数a，b满足不等式f(3a＋b)＋f(a－1)<2，则下列不等式成立的是A.2a＋b<－1 B.2a＋b>－1C.4a＋b<1 D.4a＋b>1
f(3a＋b)＋f(a－1)<2，即g(3a＋b)＋g(a－1)<0，
∴g(x)是增函数，∵g(3a＋b)＋g(a－1)<0，∴g(3a＋b)<－g(a－1)＝g(1－a)，则3a＋b<1－a，即4a＋b<1.
设y＝x－1－ln x(x>1)，
∴y＝x－1－ln x在(1，＋∞)上单调递增，∴x－1－ln x>0，∴ln x∴f(x)在(1，＋∞)上单调递增，∴f′(x)＝(a2－1)ex－1－x≥0对∀x∈(1，＋∞)恒成立，
当x>1时，g′(x)<0，故g(x)