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新高考数学一轮复习课件 第6章 §6.1 数列的概念（含详解）
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这是一份新高考数学一轮复习课件 第6章 §6.1 数列的概念（含详解），共60页。PPT课件主要包含了落实主干知识，探究核心题型，课时精练，数列的有关概念，确定的顺序，每一个数，序号n，a1＋a2＋＋an，数列的分类，数列的第n项an等内容，欢迎下载使用。
1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.
3.数列与函数的关系数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是 ，对应的函数值是 ，记为an＝f(n).
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)数列的项与项数是同一个概念.( )(2)数列1,2,3与3,2,1是两个不同的数列.( )(3)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列.( )(4)若数列用图象表示，则从图象上看是一群孤立的点.( )
1.(多选)已知数列{an}的通项公式为an＝9＋12n，则在下列各数中，是{an}的项的是A.21 B.33 C.152 D.153
由数列的通项公式得，a1＝21，a2＝33，a12＝153.
2.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2＋n，则a2的值是A.2 B.4 C.5 D.6
由题意，S2＝22＋2＝6，S1＝1＋1＝2，所以a2＝S2－S1＝6－2＝4.
3.在数列1,1,2,3,5,8,13,21，x,55，…中，x＝____.
通过观察数列各项的规律，发现从第三项起，每项都等于它前两项之和，因此x＝13＋21＝34.
例1 (1)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，Sn＋1＝2Sn－1，则a10等于A.128 B.256 C.512 D.1 024
由an与Sn的关系求通项公式
∵Sn＋1＝2Sn－1，∴当n≥2时，Sn＝2Sn－1－1，两式相减得an＋1＝2an.当n＝1时，a1＋a2＝2a1－1，又a1＝2，∴a2＝1.∴数列{an}从第二项开始为等比数列，公比为2.则a10＝a2×28＝1×28＝256.
(2)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝2n＋2－3，则an＝____________.
根据题意，数列{an}满足Sn＝2n＋2－3，当n≥2时，有an＝Sn－Sn－1＝(2n＋2－3)－(2n＋1－3)＝2n＋1，当n＝1时，有a1＝S1＝8－3＝5，不符合an＝2n＋1，
Sn与an的关系问题的求解思路(1)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解.(2)利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解.
∴an＝n2(n≥2)，①
∴an＝n2，n∈N*.
(2)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝_____.
因为an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝SnSn＋1，所以由两式联立得Sn＋1－Sn＝SnSn＋1.
由数列的递推关系求通项公式
例2 设[x]表示不超过x的最大整数，如[－3.14]＝－4，[3.14]＝3.已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝an＋n＋1(n∈N*)，则等于A.1 B.2C.3 D.4
由an＋1＝an＋n＋1，得an－an－1＝n(n≥2).又a1＝1，
当n＝1时，a1＝1满足上式，
例3 在数列{an}中，a1＝1，an＝ (n≥2，n∈N*)，则数列{an}的通项公式为________.
以上(n－1)个式子相乘得，
跟踪训练2 (1)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ ，则an等于A.2＋ln n B.2＋(n－1)ln nC.2＋nln n D.1＋n＋ln n
所以a2－a1＝ln 2－ln 1，a3－a2＝ln 3－ln 2，a4－a3＝ln 4－ln 3，…an－an－1＝ln n－ln(n－1)(n≥2)，把以上各式相加得an－a1＝ln n－ln 1，则an＝2＋ln n(n≥2)，且a1＝2也满足此式，因此an＝2＋ln n(n∈N*).
lg2an＝________.
当n＝1时，a1＝1适合此式，
例4 设数列{an}的前n项和为Sn，且∀n∈N*，an＋1>an，Sn≥S6.请写出一个满足条件的数列{an}的通项公式an＝_________________________.
n－6，n∈N*(答案不唯一)
由∀n∈N*，an＋1>an可知数列{an}是递增数列，又Sn≥S6，故数列{an}从第7项开始为正.而a6≤0，因此不妨设数列是等差数列，公差为1，a6＝0，所以an＝n－6，n∈N*(答案不唯一).
命题点1 数列的单调性
命题点2 数列的周期性
因此数列{an}是周期为4的周期数列，
(1)解决数列的单调性问题的方法用作差比较法，根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列还是常数列.(2)解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值.
跟踪训练3 (1)观察数列1，ln 2，sin 3,4，ln 5，sin 6,7，ln 8，sin 9，…，则该数列的第11项是A.1 111 B.11 C.ln 11 D.sin 11
由数列得出规律，按照1，ln 2，sin 3，…，是按正整数的顺序排列，且以3为循环，由11÷3＝3余2，所以该数列的第11项为ln 11.
因此数列{an}前20项中的最大项与最小项分别为第11项，第10项.a11＝3，a10＝－1.
A.递减数列 B.递增数列C.常数列 D.摆动数列
易知数列{an}是递增数列.
2.已知数列{an}的前n项和Sn满足SnS1＝Sn＋1(n∈N*)，且a1＝2，那么a7等于A.128 B.16 C.32 D.64
因为数列{an}的前n项和Sn满足SnS1＝Sn＋1(n∈N*)，a1＝2，
所以数列{Sn}是以2为公比，以2为首项的等比数列，所以Sn＝2×2n－1＝2n.所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－2n－1＝2n－1.所以a7＝26＝64.
3.已知数列{an}满足a1＝1，an－an＋1＝nanan＋1(n∈N*)，则an等于
4.设数列{an}满足：a1＝2，an＋1＝1－ ，记数列{an}的前n项之积为Pn，则P2 024等于A.－2 B.－1 C.1 D.2
所以数列{an}是周期为3的周期数列.且P3＝－1,2 024＝3×674＋2，所以P2 024＝(－1)674×a1a2＝1.
5.大衍数列，来源于我国的《乾坤谱》，是世界数学史上第一道数列题，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.其前11项依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,60，则大衍数列的第41项为A.760 B.800 C.840 D.924
A.数列{an}的最小项是a1B.数列{an}的最大项是a4C.数列{an}的最大项是a5D.当n≥5时，数列{an}递减
又n∈N*，所以n＝4或n＝5，
故数列{an}中a4与a5均为最大项，
7.Sn为数列{an}的前n项和，且lg2(Sn＋1)＝n＋1，则数列{an}的通项公式为______________.
由lg2(Sn＋1)＝n＋1，得Sn＋1＝2n＋1，当n＝1时，a1＝S1＝3；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n，显然当n＝1时，不满足上式.
8.若数列{an}的前n项和Sn＝n2－10n(n∈N*)，则数列{an}的通项公式an＝________，数列{nan}中数值最小的项是第_____项.
∵Sn＝n2－10n，∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－11；当n＝1时，a1＝S1＝－9也适合上式.∴an＝2n－11(n∈N*).
记f(n)＝nan＝n(2n－11)＝2n2－11n，
∴当n＝3时，f(n)取最小值.∴数列{nan}中数值最小的项是第3项.
9.在①nan＋1－(n＋1)an＝n(n＋1)；②Sn＝2n2－1这两个条件中任选一个补充在下面的横线上，并解答.若数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且数列{an}满足________.注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.(1)求a2，a3；
选择①：a2－2a1＝1×2，则a2＝4.2a3－3a2＝2×3，则a3＝9.选择②：a2＝S2－S1＝2×22－1－1＝6.a3＝S3－S2＝2×32－1－2×22＋1＝10.
(2)求数列{an}的通项公式.
选择①：由nan＋1－(n＋1)an＝n(n＋1)，
所以an＝n2.选择②：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－1－[2(n－1)2－1]＝4n－2；当n＝1时，a1＝S1＝1，不符合上式，
所以cn≠1，cn≠0，
(2)求证：Sn<1.
所以Sn＝c1＋c2＋…＋cn
11.在数列{an}中，a1＝1，a＝(n，an)，b＝(an＋1，n＋1)，且a⊥b，则a100等于
因为a＝(n，an)，b＝(an＋1，n＋1)，且a⊥b，所以nan＋1＋(n＋1)an＝0，
因为a1＝1，所以a100＝－100.
12.(2022·全国乙卷)嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星.为研究嫦娥二号绕日周期与地
A.b1
同理可得b3>b5，b5>b7，…，于是可得b1>b3>b5>b7>…，故A不正确；
同理可得b4
逐一判断选项可知选D.
14.已知[x]表示不超过x的最大整数，例如：[2.3]＝2，[－1.7]＝－2.在数列{an}中，an＝[lg n]，记Sn为数列{an}的前n项和，则a2 024＝____；S2 024＝________.
∵an＝[lg n]，∴当1≤n≤9时，an＝[lg n]＝0；当10≤n≤99时，an＝[lg n]＝1；当100≤n≤999时，an＝[lg n]＝2；当1 000≤n≤9 999时，an＝[lg n]＝3.∴a2 024＝[lg 2 024]＝3，S2 024＝9×0＋90×1＋900×2＋1 025×3＝4 965.
15.(2023·郑州模拟)已知数列{an}满足a2＝2，a2n＝a2n－1＋2n(n∈N*)，a2n＋1＝a2n＋(－1)n(n∈N*)，则数列{an}第2 024项为A.21 012－2 B.21 013－3C.21 011－2 D.21 011－3
由a2n＋1＝a2n＋(－1)n得a2n－1＝a2n－2＋(－1)n－1(n∈N*，n≥2)，又由a2n＝a2n－1＋2n得a2n＝a2n－2＋2n＋(－1)n－1(n∈N*，n≥2)，所以a4＝a2＋22＋(－1)，a6＝a4＋23＋(－1)2，a8＝a6＋24＋(－1)3，…，a2 024＝a2 022＋21 012＋(－1)1 011，
16.在数列{an}中，已知a1＝1，n2an－Sn＝n2an－1－Sn－1(n≥2，n∈N*)，记
由n2an－Sn＝n2an－1－Sn－1(n≥2，n∈N*)，得n2an－(Sn－Sn－1)＝n2an－1，所以(n2－1)an＝n2an－1，
1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.
3.数列与函数的关系数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是 ，对应的函数值是 ，记为an＝f(n).
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)数列的项与项数是同一个概念.( )(2)数列1,2,3与3,2,1是两个不同的数列.( )(3)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列.( )(4)若数列用图象表示，则从图象上看是一群孤立的点.( )
1.(多选)已知数列{an}的通项公式为an＝9＋12n，则在下列各数中，是{an}的项的是A.21 B.33 C.152 D.153
由数列的通项公式得，a1＝21，a2＝33，a12＝153.
2.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2＋n，则a2的值是A.2 B.4 C.5 D.6
由题意，S2＝22＋2＝6，S1＝1＋1＝2，所以a2＝S2－S1＝6－2＝4.
3.在数列1,1,2,3,5,8,13,21，x,55，…中，x＝____.
通过观察数列各项的规律，发现从第三项起，每项都等于它前两项之和，因此x＝13＋21＝34.
例1 (1)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，Sn＋1＝2Sn－1，则a10等于A.128 B.256 C.512 D.1 024
由an与Sn的关系求通项公式
∵Sn＋1＝2Sn－1，∴当n≥2时，Sn＝2Sn－1－1，两式相减得an＋1＝2an.当n＝1时，a1＋a2＝2a1－1，又a1＝2，∴a2＝1.∴数列{an}从第二项开始为等比数列，公比为2.则a10＝a2×28＝1×28＝256.
(2)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝2n＋2－3，则an＝____________.
根据题意，数列{an}满足Sn＝2n＋2－3，当n≥2时，有an＝Sn－Sn－1＝(2n＋2－3)－(2n＋1－3)＝2n＋1，当n＝1时，有a1＝S1＝8－3＝5，不符合an＝2n＋1，
Sn与an的关系问题的求解思路(1)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解.(2)利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解.
∴an＝n2(n≥2)，①
∴an＝n2，n∈N*.
(2)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝_____.
因为an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝SnSn＋1，所以由两式联立得Sn＋1－Sn＝SnSn＋1.
由数列的递推关系求通项公式
例2 设[x]表示不超过x的最大整数，如[－3.14]＝－4，[3.14]＝3.已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝an＋n＋1(n∈N*)，则等于A.1 B.2C.3 D.4
由an＋1＝an＋n＋1，得an－an－1＝n(n≥2).又a1＝1，
当n＝1时，a1＝1满足上式，
例3 在数列{an}中，a1＝1，an＝ (n≥2，n∈N*)，则数列{an}的通项公式为________.
以上(n－1)个式子相乘得，
跟踪训练2 (1)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ ，则an等于A.2＋ln n B.2＋(n－1)ln nC.2＋nln n D.1＋n＋ln n
所以a2－a1＝ln 2－ln 1，a3－a2＝ln 3－ln 2，a4－a3＝ln 4－ln 3，…an－an－1＝ln n－ln(n－1)(n≥2)，把以上各式相加得an－a1＝ln n－ln 1，则an＝2＋ln n(n≥2)，且a1＝2也满足此式，因此an＝2＋ln n(n∈N*).
lg2an＝________.
当n＝1时，a1＝1适合此式，
例4 设数列{an}的前n项和为Sn，且∀n∈N*，an＋1>an，Sn≥S6.请写出一个满足条件的数列{an}的通项公式an＝_________________________.
n－6，n∈N*(答案不唯一)
由∀n∈N*，an＋1>an可知数列{an}是递增数列，又Sn≥S6，故数列{an}从第7项开始为正.而a6≤0，因此不妨设数列是等差数列，公差为1，a6＝0，所以an＝n－6，n∈N*(答案不唯一).
命题点1 数列的单调性
命题点2 数列的周期性
因此数列{an}是周期为4的周期数列，
(1)解决数列的单调性问题的方法用作差比较法，根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列还是常数列.(2)解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值.
跟踪训练3 (1)观察数列1，ln 2，sin 3,4，ln 5，sin 6,7，ln 8，sin 9，…，则该数列的第11项是A.1 111 B.11 C.ln 11 D.sin 11
由数列得出规律，按照1，ln 2，sin 3，…，是按正整数的顺序排列，且以3为循环，由11÷3＝3余2，所以该数列的第11项为ln 11.
因此数列{an}前20项中的最大项与最小项分别为第11项，第10项.a11＝3，a10＝－1.
A.递减数列 B.递增数列C.常数列 D.摆动数列
易知数列{an}是递增数列.
2.已知数列{an}的前n项和Sn满足SnS1＝Sn＋1(n∈N*)，且a1＝2，那么a7等于A.128 B.16 C.32 D.64
因为数列{an}的前n项和Sn满足SnS1＝Sn＋1(n∈N*)，a1＝2，
所以数列{Sn}是以2为公比，以2为首项的等比数列，所以Sn＝2×2n－1＝2n.所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－2n－1＝2n－1.所以a7＝26＝64.
3.已知数列{an}满足a1＝1，an－an＋1＝nanan＋1(n∈N*)，则an等于
4.设数列{an}满足：a1＝2，an＋1＝1－ ，记数列{an}的前n项之积为Pn，则P2 024等于A.－2 B.－1 C.1 D.2
所以数列{an}是周期为3的周期数列.且P3＝－1,2 024＝3×674＋2，所以P2 024＝(－1)674×a1a2＝1.
5.大衍数列，来源于我国的《乾坤谱》，是世界数学史上第一道数列题，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.其前11项依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,60，则大衍数列的第41项为A.760 B.800 C.840 D.924
A.数列{an}的最小项是a1B.数列{an}的最大项是a4C.数列{an}的最大项是a5D.当n≥5时，数列{an}递减
又n∈N*，所以n＝4或n＝5，
故数列{an}中a4与a5均为最大项，
7.Sn为数列{an}的前n项和，且lg2(Sn＋1)＝n＋1，则数列{an}的通项公式为______________.
由lg2(Sn＋1)＝n＋1，得Sn＋1＝2n＋1，当n＝1时，a1＝S1＝3；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n，显然当n＝1时，不满足上式.
8.若数列{an}的前n项和Sn＝n2－10n(n∈N*)，则数列{an}的通项公式an＝________，数列{nan}中数值最小的项是第_____项.
∵Sn＝n2－10n，∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－11；当n＝1时，a1＝S1＝－9也适合上式.∴an＝2n－11(n∈N*).
记f(n)＝nan＝n(2n－11)＝2n2－11n，
∴当n＝3时，f(n)取最小值.∴数列{nan}中数值最小的项是第3项.
9.在①nan＋1－(n＋1)an＝n(n＋1)；②Sn＝2n2－1这两个条件中任选一个补充在下面的横线上，并解答.若数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且数列{an}满足________.注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.(1)求a2，a3；
选择①：a2－2a1＝1×2，则a2＝4.2a3－3a2＝2×3，则a3＝9.选择②：a2＝S2－S1＝2×22－1－1＝6.a3＝S3－S2＝2×32－1－2×22＋1＝10.
(2)求数列{an}的通项公式.
选择①：由nan＋1－(n＋1)an＝n(n＋1)，
所以an＝n2.选择②：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－1－[2(n－1)2－1]＝4n－2；当n＝1时，a1＝S1＝1，不符合上式，
所以cn≠1，cn≠0，
(2)求证：Sn<1.
所以Sn＝c1＋c2＋…＋cn
11.在数列{an}中，a1＝1，a＝(n，an)，b＝(an＋1，n＋1)，且a⊥b，则a100等于
因为a＝(n，an)，b＝(an＋1，n＋1)，且a⊥b，所以nan＋1＋(n＋1)an＝0，
因为a1＝1，所以a100＝－100.
12.(2022·全国乙卷)嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星.为研究嫦娥二号绕日周期与地
A.b1
同理可得b3>b5，b5>b7，…，于是可得b1>b3>b5>b7>…，故A不正确；
同理可得b4
逐一判断选项可知选D.
14.已知[x]表示不超过x的最大整数，例如：[2.3]＝2，[－1.7]＝－2.在数列{an}中，an＝[lg n]，记Sn为数列{an}的前n项和，则a2 024＝____；S2 024＝________.
∵an＝[lg n]，∴当1≤n≤9时，an＝[lg n]＝0；当10≤n≤99时，an＝[lg n]＝1；当100≤n≤999时，an＝[lg n]＝2；当1 000≤n≤9 999时，an＝[lg n]＝3.∴a2 024＝[lg 2 024]＝3，S2 024＝9×0＋90×1＋900×2＋1 025×3＝4 965.
15.(2023·郑州模拟)已知数列{an}满足a2＝2，a2n＝a2n－1＋2n(n∈N*)，a2n＋1＝a2n＋(－1)n(n∈N*)，则数列{an}第2 024项为A.21 012－2 B.21 013－3C.21 011－2 D.21 011－3
由a2n＋1＝a2n＋(－1)n得a2n－1＝a2n－2＋(－1)n－1(n∈N*，n≥2)，又由a2n＝a2n－1＋2n得a2n＝a2n－2＋2n＋(－1)n－1(n∈N*，n≥2)，所以a4＝a2＋22＋(－1)，a6＝a4＋23＋(－1)2，a8＝a6＋24＋(－1)3，…，a2 024＝a2 022＋21 012＋(－1)1 011，
16.在数列{an}中，已知a1＝1，n2an－Sn＝n2an－1－Sn－1(n≥2，n∈N*)，记
由n2an－Sn＝n2an－1－Sn－1(n≥2，n∈N*)，得n2an－(Sn－Sn－1)＝n2an－1，所以(n2－1)an＝n2an－1，
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(新高考)高考数学一轮考点复习6.1《数列的概念及简单表示》课件 (含解析)： 这是一份(新高考)高考数学一轮考点复习6.1《数列的概念及简单表示》课件 (含解析)
