2023-2024学年北京市顺义区八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年北京市顺义区八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.在平面直角坐标系中，点P(−1,2)关于y轴对称的点的坐标是( )
A. (1,2)B. (−1,−2)C. (−1,2)D. (−2,1)
2.方程x2−9=0的解是( )
A. x=−3B. x=3
C. x1=−3，x2=3D. x1=− 3，x2= 3
3.若一个多边形的内角和为540∘，则这个多边形是( )
A. 三角形B. 四边形C. 五边形D. 六边形
4.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
5.甲、乙两台机床生产同一种零件，这两台机床一周5天生产次品的数量(单位：个)如表：
甲、乙两台机床这周5天生产次品数量的平均数分别为x−甲，x−乙，方差分别为s甲2，s乙2，则正确的结论是( )
A. x−甲=x−乙,s甲2s乙2
C. x−甲>x−乙,s甲2>s乙2D. x−甲6.一元二次方程x2−6x−1=0配方后可变形为( )
A. (x+3)2=10B. (x+3)2=8C. (x−3)2=10D. (x−3)2=8
7.一组数据x1，x2，…，xn的平均数为x−，方差为s2，将这组数据的每个数都减去200得到一组新的数据，这组新数据的平均数和方差分别为( )
A. x−,s2B. x−−200,s2
C. x−−200，s2−200D. x−−200，s2−40000
8.如图所示的4×4正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的两个端点都在格点上.若线段AB为▱ABCD的一边，▱ABCD的四个顶点都在4×4正方形网格的格点上，则这样的平行四边形的个数为( )
A. 3个
B. 4个
C. 8个
D. 11个
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9.函数y=5x−2中自变量x的取值范围是______.
10.若y=(m−3)x+5是关于x的一次函数，则m的值可能是______(写出一个即可).
11.如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，∠B=50∘，D为AB的中点，则∠ACD=______ ∘.
12.如图，在矩形ABCD中，点E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点.若DG=3，DH=4，则四边形EFGH的周长为______.
13.若关于x的一元二次方程2x2+mx+1=0的一个根是−1，则m的值是______.
14.如图是利用平面直角坐标系画出的北京地铁15号线的线路图，若这个坐标系分别以正东和正北方向为x轴和y轴的正方向，当表示花梨坎站的点的坐标为(2,1)，表示马泉营站的点的坐标为(−1,−2)时，表示顺义站的点的坐标为______
15.若关于x的一元二次方程x2+2x+n=0有两个相等的实数根，则n的值为______.
16.已知点A(0,−2)，点B在直线l：y=2x+4上，直线l与y轴的交点为C.若△ABC的面积为3，则点B的坐标为______.
三、解答题：本题共12小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题5分)
已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点A(0,1)，B(2,3)，求这个一次函数的表达式.
18.(本小题5分)
如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C，∠ADB=∠CBD.求证：四边形ABCD是平行四边形.
19.(本小题5分)
解一元二次方程：x2+2x−3=0.
20.(本小题5分)
列方程解应用题：
斑马鱼是生物学研究的模式生物，具有很高的科研价值.若选取一条斑马鱼作为观察实验样本，对其视网膜厚度进行量化分析，此时它的视网膜厚度为150μm(微米)，两周后视网膜厚度达到了216μm(微米).假设每周视网膜厚度的增长率相同，求这条斑马鱼视网膜厚度的周平均增长率.
21.(本小题5分)
已知：△ABC，AB求作：边AC的中线.
作法：①以点A为圆心，BC的长为半径作弧；以点C为圆心，AB的长为半径作弧；两弧相交于点D(点D在直线BC的上方)；
②连接AD，BD，CD；
③BD交AC于点O.
所以BO为边AC的中线.
(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形(保留作图痕迹)；
(2)完成下面的证明.
证明：∵AD=BC，AB=DC，
∴______(______)(填推理的依据).
∴O为AC中点(______)(填推理的依据).
∴BO为边AC的中线.
22.(本小题6分)
为了解学生体育锻炼的情况，从某校八年级学生中随机抽取部分学生，获得了这些学生“每天体育锻炼时长”的数据，并对数据进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息.
频数分布表
根据以上信息，回答下列问题：
(1)频数分布表中的a=______，b=______，n=______；
(2)补全频数分布直方图；
(3)若该校八年级共有500名学生，估计该校八年级学生每天体育运动时长不低于90min的学生人数.
23.(本小题6分)
关于x的一元二次方程x2+mx+m−1=0.
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程的一个根小于−2，求m的取值范围.
24.(本小题6分)
小明和小新两家计划各自驾驶电动汽车去京郊游玩.在某充电站充电后准备一同出发，此时这两辆汽车的电池电量(单位：度)和剩余里程(单位：千米)如表：
设电池电量为y(单位：度)，行驶路程为x(单位：千米)，y可以近似看作x的一次函数，两个函数的图象交于点P，如图所示.
(1)图中点A的坐标为______，点 B的坐标为______；
(2)小明家的电动汽车比小新家的电动汽车平均每千米少耗电多少度？
(3)各自行驶______千米时，两辆车的电池电量相同；此时两车的电池电量均为______度.
25.(本小题6分)
如图，在四边形ABCD中，AB//DC，AC⊥BD于点O，O为AC中点.(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)延长AB到点E，使得BE=AB，连接CE.若AC=8，BC=5，求CE的长.
26.(本小题5分)
在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=x+b的图象经过点(1,3)，与x轴交于点B.
(1)求这个一次函数的表达式及点B的坐标；
(2)当x<−2时，对于x的每一个值，函数y=−x+m的值大于一次函数y=x+b的值，直接写出m的取值范围.
27.(本小题7分)
在正方形ABCD中，点E在边CD上，点F在边AD上，CE=DF，连接BE，CF.
(1)求证：BE⊥CF；
(2)在边AB取点M，使得AM=AF，过点M作MN//BE交CF于点N，连接AN.
①依题意补全图形；
②用等式表示线段AN，FN，MN之间的数量关系，并证明.
28.(本小题7分)
在平面直角坐标系xOy中，对于点P和图形N，给出如下定义：如果图形N上存在点Q，使得PQ=1，那么称点P为图形N的“拉手点”.
已知点A(−4,0)，B(0,4).
(1)在点P1(0,5)，P2(−4,1)，P3(−2,0)中，线段AB的“拉手点”是______；
(2)若直线y=x+b上存在线段AB的“拉手点”，求b的取值范围，
(3)O是边长为a的正方形CDEF的对角线的交点.若正方形CDEF上存在线段AB的“拉手点”，直接写出a的取值范围.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标关系是解题关键.直接利用关于y轴对称点的性质得出答案.
【解答】
解：点P(−1,2)关于y轴的对称点的坐标是(1,2).
故选A.
2.【答案】C
【解析】解：x2−9=0，
移项得：x2=9，
两边直接开平方得：x=±3，
∴x1=−3，x2=3.
故选：C.
首先移项，把−9移到方程右边，再两边直接开平方即可．
此题主要考查了解一元二次方程-直接开平方法，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2=a(a≥0)的形式，利用数的开方直接求解．
3.【答案】C
【解析】解：(n−2)⋅180∘=540∘，故n=5.
所以这个多边形为五边形．
故选C.
根据多边形的内角和公式(n−2)⋅180∘列方程即可求解．
本题难度简单，主要考查的是多边形内角和的相关知识．
4.【答案】D
【解析】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确．
故选：D.
根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
5.【答案】A
【解析】解：∵x−甲=1+1+1+0+25=1，x−乙=0+1+2+0+25=1，
s甲2=15×[(1−1)2×3+(0−1)2+(2−1)2]=0.6，
s乙2=15×[(0−1)2×2+(1−1)2+2×(2−1)2]=0.8，
∴x−甲=x−乙，s甲2故选：A.
分别计算出甲、乙两组数据的平均数及方差，即可得出答案．
此题主要考查了方差和算术平均数，关键是掌握算术平均数及方差公式．
6.【答案】C
【解析】解：∵x2−6x−1=0，
∴x2−6x=1，
∴x2−6x+9=10，
∴(x−3)2=10，
故选：C.
根据配方法即可求出答案．
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
7.【答案】B
【解析】解：∵数据x1，x2，…，xn的平均数为x−，方差为s2，
∴x1+x2+…+xn=nx−，
则x1−200+x2−200+…+xn−200
=1n(nx−−200n)
=x−−200，
而每个数据都减去200，数据的波动幅度不变，
所以方差仍然为s2，
故选：B.
分别依据平均数的定义和方差的意义求解即可．
本题主要考查方差和平均数，解题的关键是掌握平均数的定义和方差的意义．
8.【答案】D
【解析】解：如图，
若线段AB为▱ABCD的一边，▱ABCD的四个顶点都在4×4正方形网格的格点上，则这样的平行四边形的个数为11个，
故选：D.
根据题意画出图形，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法，正确作出图形是解题的关键．
9.【答案】x≠2
【解析】解：根据题意，有x−2≠0，
解可得x≠2；
故自变量x的取值范围是x≠2.
故答案为：x≠2.
根据分式有意义的条件是分母不为0；分析原函数式可得关系式x−2≠0，解可得自变量x的取值范围．
本题主要考查了分式有意义的条件：分母不等于0.函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
10.【答案】4(答案不唯一)
【解析】解：∵y=(m−3)x+5是关于x的一次函数，
∴m−3≠0，
∴m≠3，
∴m的值可能是4.
故答案为：4(答案不唯一).
根据一次函数的定义得m−3≠0，即m≠3，即可得出答案．
本题考查了一次函数的定义，注意：形如y=kx+b(k、b为常数，k≠0)的函数叫一次函数．
11.【答案】40
【解析】解：∵△ABC中，∠ACB=90∘，点D是斜边AB的中点，
∴CD=BD=12AB，
∴∠B=∠DCB=50∘，
又∵∠ACB=90∘，
∴∠ACD=90∘−50∘=40∘，
故答案为：40.
先根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，得出CD=BD，进而得到∠B=∠DCB=50∘，再根据∠ACB=90∘，即可得出∠ACD的度数．
本题主要考查了直角三角形斜边上中线的性质，解题时注意：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．
12.【答案】20
【解析】解：连接AC，BD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，
∵DG=3，DH=4，
∴HG= 32+42=5，
∵点E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点．
∴HG，GF，FE，EH分别是△ADC，△BDC，△ABC，△ABD的中位线，
∴HG=GF=FE=EH=5，
∴四边形EFGH的周长为5×4=20，
故答案为：20.
连接AC，BD，首先利用勾股定理求得HG= 32+42=5，然后利用中位线定理得到HG=GF=FE=EH=5，进一步解答即可．
本题考查勾股定理和菱形的判定和性质，中点四边形，三角形中位线定理，矩形的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
13.【答案】3
【解析】解：∵一元二次方程2x2+mx+1=0的一个根是−1，
∴2×(−1)2+m×(−1)+1=0，
解得m=3，
故答案为：3.
根据一元二次方程2x2+mx+1=0的一个根是−1，可以得到2×(−1)2+m×(−1)+1=0，然后求解即可．
本题考查一元二次方程的解，解答本题的关键是明确方程的解一定使得原方程成立．
14.【答案】(7,4)
【解析】解：根据题意可建立如下坐标系：
由坐标系可知，表示中顺义站的点的坐标是(7,4)，
故答案为：(7,4).
根据花梨坎站的点的坐标和马泉营站的点的坐标，建立平面直角坐标，进而得出顺义站的点的坐标．
此题主要考查了坐标确定位置，正确建立平面直角坐标系是解题关键．
15.【答案】1
【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x+n=0有两个相等的实数根，
∴Δ=0，
∴22−4n=0，
∴n=1，
故答案为：1.
由于关于x的一元二次方程x2+2x+n=0有两个相等的实数根，可知其判别式为0，据此列出关于n的方程，解答即可．
本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解答本题的关键是掌握一元二次方程有两个相等的实数根，则可得Δ=0，此题难度不大．
16.【答案】(−1,2)或(1,6)
【解析】解：依照题意，画出图形，如图所示．
当x=0时，y=2×0+4=4，
∴点C的坐标为(0,4)，
又∵点A的坐标为(0,−2)，
∴AC=4−(−2)=6.
设点B的坐标为(m,2m+4)，
∵△ABC的面积为3，
∴12AC⋅|m|=3，
∴12×6|m|=3，
∴m=±1.
当m=1时，点B的坐标为(1,6)；
当m=−1时，点B的坐标为(−1,2).
∴点B的坐标为(−1,2)或(1,6).
故答案为：(−1,2)或(1,6).
利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点C的坐标，结合点A的坐标，可得出AC的长，设点B的坐标为(m,2m+4)，结合△ABC的面积为3，可求出m的值，再将其代入点B的坐标中，即可得出结论．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、解含绝对值符号的一元一次方程以及三角形的面积，通过解方程，求出点B的横坐标是解题的关键．
17.【答案】解：∵一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点(0,1)和点(2,3)，
∴b=12k+b=3，
解得：k=1b=1，
∴这个函数的解析式为：y=x+1.
【解析】利用待定系数法求一次函数解析式即可．
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
18.【答案】证明：在△ABD和△CDB中，
∠A=∠C∠ADB=∠CBDDB=BD，
∴△ABD≌△CDB(AAS)，
∴AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
【解析】证明△ABD≌△CDB(AAS)，推出AB=CD，AD=BC，可得结论．
本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
19.【答案】解：移项，得：x2+2x=3，
两边都加上1得：x2+2x+1=3+1，
即(x+1)2=22，
两边开平方得：x+1=±2，
解得x1=1，x2=−3.
【解析】将该方程进行配方即可得解.
本题考查了用配方法法解一元二次方程，此种方法比较简单，一定要掌握．
20.【答案】解：设这条斑马鱼视网膜厚度的周平均增长率为x，
根据题意得：150(1+x)2=216，
解得：x1=0.2=20%，x2=−2.2(不符合题意，舍去).
答：这条斑马鱼视网膜厚度的周平均增长率为20%.
【解析】设这条斑马鱼视网膜厚度的周平均增长率为x，利用两周后这条斑马鱼视网膜厚度=初检时这条斑马鱼视网膜厚度×(1+这条斑马鱼视网膜厚度的周平均增长率)2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
21.【答案】四边形ABCD是平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 平行四边形的对角线互相平分
【解析】(1)解：图形如图所示：
(2)证明：∵AD=BC，AB=DC，
∴四边形ABCD是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)，
∴O为AC中点(平行四边形的对角线互相平分)，
∴BO为边AC的中线．
故答案为：四边形ABCD是平行四边形，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，平行四边形的对角线互相平分．
(1)根据要求作出图形；
(2)利用平行四边形的判定和性质解决问题．
本题考查作图-复杂作图，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图．
22.【答案】180.1650
【解析】解：(1)n=6÷0.12=50；
a=50×0.36=18；
b=8÷50=0.16，
故答案为：18，0.16，50；
(2)补全频数分布直方图如下：
；
(3)∵(0.36+0.16+0.08)×500=300(人)，
∴估计该校八年级学生每天体育运动时长不低于90min的学生人数约300人．
(1)将给定的一组频数除以频率即可求出n；将90≤t<120组的频率乘以n即可求出a；将120≤t<150组的频数除以n即可求出b；
(2)根据a的值即可补全频数分布直方图；
(3)将运动时长不低于90min的频率和乘以500，即可估计该校八年级学生每天体育运动时长不低于90min的学生人数．
本题考查频数分布表，频数分布直方图，用给样本估计总体，能从统计图表中获取有用数据是解题的关键．
23.【答案】(1)证明：∵a=1，b=m，c=m−1，
∴Δ=b2−4ac
=m2−4(m−1)
=m2−4m+4
=(m−2)2≥0，
∴方程总有两个实数根．
(2)解：∵Δ=(m−2)2≥0，
∴x=−m±|m−2|2，
∴x1=−m+1，x2=−1.
∵此方程有一个根小于−2，
∴−m+1<−2，
∴m>3.
故m的取值范围是m>3.
【解析】(1)计算根的判别式的值，利用配方法得到Δ=(m−2)2，根据非负数的性质得到Δ≥0，然后根据判别式的意义得到结论．
(2)利用求根公式得到x1=m−1，x2=1.根据题意得到−m+1<−2，即可求得m>3.
本题考查的是根的判别式及一元二次方程的解的定义，在解答(2)时得到方程的两个根是解题的关键．
24.【答案】(0,80)(500,0)25030
【解析】解：(1)由题意得，图中点A的坐标为(0,80)，点B的坐标为(500,0).
故答案为：(0,80)；(500,0).
(2)80400−60500=0.2−0.12=0.08(度)，
答：小明家的电动汽车比小新家的电动汽车平均每千米少耗电0.08度．
(3)设直线AP的解析式为y=kx+b，
将(0,80)，(400,0)代入，
即80=b400x+b=0
解得：k=−0.2b=80，
则直线AP的解析式为y=−0.2x+80，
同理，由(500,0)，(0,60)可得直线BP的解析式为y=−0.12x+60，
联立，y=−0.2x+80y=−0.12x+60，
解得：x=250y=30，
则点P的坐标为(250,30)，
故各自行驶250千米时，两辆车的电池电量相同；此时两车的电池电量均为30度．
故答案为：250；30.
(1)根据两车的电池电量、剩余里程可得答案；
(2)计算出两车的每千米耗电量，作差即可；
(3)将两直线的解析式联立，进而得出答案．
本题主要考查一次函数的应用，写出函数关系式是解题的关键．
25.【答案】(1)证明：∵AB//DC，
∴∠OAB=∠OCD，∠OBA=∠ODC，
∵O为AC中点，
∴OA=OC，
在△ABO和△CDO中，
∠OAB=∠OCD∠OBA=∠ODCOA=OC，
∴△ABO≌△CDO(AAS)，
∴OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD
∴平行四边形ABCD是菱形；
(2)解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC=12AC=12×8=4，OB=OD=12BD，AC⊥BD，AB//CD，AB=CD，
在Rt△BCO中，
OB= BC2−OC2= 52−42=3，
∴BD=2OB=6，
∵BE=AB，
∴CD=BE，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴CE=BD=6，
即CE的长为6.
【解析】(1)证明△ABO≌△CDO，得到OB=OD，四边证得ABCD是平行四边形，由AC⊥BD，可得平行四边形ABCD是菱形；
(2)根据勾股定理求出OB，进而求出BD，证明四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的性质即可求得答案．
本题主要考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理，综合运用这些性质定理是解决问题的关键．
26.【答案】解：(1)∵一次函数y=x+b的图象经过点(1,3)，
∴1+b=3，
∴b=2，
∴这个一次函数的表达式为y=x+2；
令y=x+2=0，
得x=−2，
∴点B的坐标为(−2,0)；
(2)将(−2,0)代入y=−x+m，
得：−(−2)+m=0，解得m=−2，
∴直线y=−x−2与直线y=x+2交于点(−2,0)，
∵当m的值变大时，y=−x+m的图象向上平移，函数y=−x+m的值变大，
∴m的取值范围为m≥−2.
【解析】(1)将(1,3)代入y=x+b可得一次函数解析式，令y=x+2=0可得B点坐标；
(2)将(−2,0)代入y=−x+m求出m的值，当m的值变大时，函数y=−x+m的值变大，由此可得答案．
本题考查求一次函数解析式，一次函数的平移，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
27.【答案】(1)证明：设BE、CF相交于点H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠A=∠ABC=∠BCD=∠D=90∘，
又CE=DF，
∴△BCE≌△CDF(SAS)，
∴∠CBE=∠DCF，∠BEC=∠CFD，
∵∠CBE+∠BEC=90∘，
∴∠DCF+∠CEB=90∘，
∵∠ECH+∠CEH+∠EHC=180∘，
∴∠CEHE=90∘，
∴BE⊥CF；
(2)解：①如图，即为所作：
②MN+FN= 2AN，
理由如下：延长NM到点Q，使MQ=FN，连接AQ，如图，
由(1)得，∠CBE+∠BEC=90∘，∠DCF+∠CFD=90∘，
∴∠CBE+∠CFD=90∘，
又∠CBE+∠ABE=90∘，
∴∠ABE=∠CFD，
∵MN//BE，
∴∠AMN=∠ABE，
∴∠AMN=∠CFD，
∴∠AMQ=∠AFN，
又AM=AF，MQ=FN，
∴△AMQ≌AFN(SAS)，
AQ=AN，∠QAM=∠NAF，
∵∠FAN+∠MAN=90∘，
∴∠MAQ+∠MAN=90∘，
即∠QAN=90∘，
∴△AQN是等腰直角三角形，
∴QN= 2AN，
即QM+MN= 2AN，
∴MN+FN= 2AN.
【解析】(1)设BE、CF相交于点H，根据SAS证明△BCE≌△CDF，得∠CBE=∠DCF，∠BEC=∠CFD，∠CBE+∠BEC=90∘得∠DCF+∠CEB=90∘，由三角形内角和定理得∠CHE=90∘，即BE⊥CF；
(2)①根据题意补全图形即可；
②延长NM到点Q，使MQ=FN，连接AQ，证明∠AFN=∠AMQ，根据SAS证明△AMQ≌△AFN，得AQ=AN，∠QAM=∠NAF，再证明∠QAN=90∘，得△AQN是等腰直角三角形，得到QN= 2AN，从而可得结论．
本题是四边形综合题，主要考查正方形的性质，等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质以及勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定和性质．
28.【答案】P1，P2
【解析】解：(1)由图可知，P1B=1，P2A=1，
∴在点P1(0,5)，P2(−4,1)，P3(−2,0)中，线段AB的“拉手点”是P1，P2，
故答案为：P1，P2；
(2)如图，当直线y=x+b在点B上方时，延长AB交直线y=−x+b于点C，设直线y=−x+b与y轴交于点D，y=−x+b与x轴交于点N，
∵A(−4,0)，B(0,4)，∠AOB=90∘，
∴OA=4，OB=4，
∴∠OBA=∠OAB=45∘，
∴∠CBD=45∘，
∵在直线y=−x+b中，x=0，y=b；y=0，x=b，
∴DO=ON，
∵∠DON=90∘，
∴∠CDB=45∘=∠CBD，
∴∠DCB=90∘，
此时点B到直线y=−x+b的距离是BC，
∴当BC=CD=1，则BD= BC2+CD2= 12+12= 2，
过点B作BH⊥DF(DF：y=x+b)，则BH=CD=1，直线y=x+b与线段AB有“拉手点”，
∴b=OB+BD=4+ 2；
当往下平移也满足条件，即b≤4+ 2，
假设点D1满足DB=D1B，则符合直线y=x+b上存在线段AB的“拉手点”，
∴DB=D1B= 2，
∴b≥4− 2，
∴直线y=x+b上存在线段AB的“拉手点”，则b的取值范围为4− 2≤b≤4+ 2；
(3)当线段AB在正方形CDEF内部时，如图，
由(2)知OD=4+ 2，
∴OE=4+ 2，
由勾股定理得DE= OD2+OE2= 2OD=4 2+2，
∴a=4 2+2；
当线段AB在正方形CDEF外部时，过点E作EG⊥AB于点G，
∵∠GAE=45∘=∠GEA，
∴△GEA是等腰直角三角形，
当GE=1时，AE= AG2+GE2= 2，
∴OE=OA−AE=4− 2，
∴DE= 2OE=4 2−2，
∴当正方形CDEF上存在线段AB的“拉手点”，
则a的取值范围为4 2−2≤a≤4 2+2.
(1)根据“拉手点”的定义求解即可；
(2)分两种情况求出b的最大值即可；
(3)分线段AB在正方形CDEF外部和内部两种情况，由勾股定理求出正方形的边长即可．
本题考查一次函数的综合应用，主要考查坐标与图形，一次函数的应用以及勾股定理等知识，掌握函数中的新定义问题是解题的关键．时间
次品个数
机床
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
甲
1
1
1
0
2
乙
0
1
2
0
2
运动时长t/min
频数
频率
30≤t<60
6
0.12
60≤t<90
14
0.28
90≤t<120
a
0.36
120≤t<150
8
b
150≤t≤180
4
0.08
合计
n
1
小明家的电动汽车
小新家的电动汽车
电池电量
60度
80度
剩余里程
500千米
400千米