2023-2024学年山西省运城市盐湖区八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年山西省运城市盐湖区八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.芯片是半导体元件产品的统称，是一种将电路小型化的技术，常制造在半导体晶圆表面上.下列关于芯片的图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.在交通行驶中，看到“停”，表示车主需要停下车让行，一般情况会出现在路口视线较差的地方，需停车观察后再通行，其形状是一个正八边形，则其中一个外角度数为( )
A. 135∘
B. 120∘
C. 45∘
D. 60∘
3.如果把分式2xyx+y中的x和y的值都扩大为原来的2倍，那么该分式的值( )
A. 扩大为原来的2倍B. 不变C. 扩大为原来的4倍D. 缩小为原来的2倍
4.下列各数中，能整除20182−36的是( )
A. 2021B. 2022C. 2023D. 2024
5.解分式方程1−xx−2+2=12−x，可知方程( )
A. 解为x=2B. 解为x=4C. 解为x=3D. 无解
6.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，其中AB=5，AD=3，AD⊥BD，则AC等于( )
A. 4B. 13C. 2 13D. 2
7.如图，在四边形ABCD中，AD=BC，E、F、G分别是AB，CD，AC的中点，若∠DAC=17∘，∠ACB=91∘，则∠FEG等于( )
A. 36∘
B. 72∘
C. 74∘
D. 37∘
8.如图，一次函数y1=ax+b和y2=mx+n的图象相交于点A(3,−1)，则不等式ax+b≤mx+n的解集为( )
A. x>3B. x<3C. x≥3D. x≤3
9.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在格点(每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点)上，点A、B，C的坐标分别为A(−3,2)，B(0,1)，C(−2,0)，将△ABC绕坐标平面内某点旋转一定的角度，得到△A′B′C′，点A，B，C的对应点分别为A′，B′，C′，若点B′的坐标为(3,0)，则旋转中心的坐标为( )
A. (2,1)B. (2,2)C. (2,0)D. (−1,0)
10.为迎接区级运动会，我校决定对操场进行翻新，工程在进行招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，据调查甲、乙两队完成翻新效果一样，但工作时间不同，方案如下：甲队单独完成这项工程，比规定时间多2天；乙队单独完成这项工程，比规定时间多6天；若甲、乙两队先合作5天，余下的工程由乙队单独做完，正好按规定时间完成，若设规定时间为x天，则下列所列方程不正确的是( )
A. 5x+2+xx+6=1B. 5×(1x+2+1x+6)+x−5x+6=1
C. 5x+2=6x+6D. 2x+2=5x+6
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.因式分解：2y3−18y=______.
12.若x2+kx+81是完全平方式，则k的值应是______.
13.如图，四边形ABCD是平行四边形，其周长为20厘米，对角线AC、BD相交于点O，过点O作直线交AD、BC分别于点E、F，其中OE=1.5厘米，则四边形EFCD的周长为______厘米.
14.如图，在Rt△ABC中，∠B=90∘，∠BAC=75∘，分别以A、C为圆心，以大于12AC的长为半径画弧，两弧相交于G、H两点，过G、H两点作直线，分别交BC、AC于E、F两点，已知CE=4厘米，则BC=______厘米.
15.如图，△ABC是等边三角形，点P为三角形内一点，连接PA、PB、PC，且PA=2，PB=1，PC= 5，则阴影部分的面积为______.
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
(1)解不等式组2x−13−5x+12≤15x−1<3(x+1)，并把其解集在数轴上表示出来.
(2)因式分解：−x2y−4y3+4xy2.
17.(本小题7分)
下面是小明化简分式的过程，请仔细阅读，并回答问题.
2aa2−4−1a−2
=2a(a+2)(a−2)−1a−2第一步
=2a(a+2)(a−2)−a+2(a−2)(a+2)第二步
=2a−a+2(a+2)(a−2)第三步
=a+2(a+2)(a−2)第四步
=1a−2第五步
任务一：填空
①在以上化简过程中，第______步对分式进行了通分，通分的依据是______.
②第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______.
任务二：请直接写出该分式化简后的正确答案______.
任务三：除纠正以上错误外，请你根据平时学习经验，就分式化简时还需要注意什么事项，给其他同学一条建议______.
18.(本小题9分)
为了配合初三学生的体育训练，学校计划购买100个篮球和若干根跳绳(跳绳的数量不少于60根).现有甲、乙两家体育用品店经营这两种体育用品，且品牌和标价均相同，篮球标价为每个200元，跳绳标价为每根40元.经过协商，甲、乙两店都可以给以优惠.甲店的优惠方法：若学校本次的全部体育用品都在该店购买，则全部给予八折优惠；乙店的优惠方法：若学校本次的全部体育用品都在该店购买，则篮球给予八五折优惠，跳绳给予六折优惠.请帮学校分析在哪家商店购买更合算？
19.(本小题8分)
如图，在四边形ABCD中，AB=CD，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E、F且DE=BF，求证四边形ABCD是平行四边形.
20.(本小题10分)
洋葱是百合科，葱属多年生草本植物，味辛、甘，性温，归肺经，富含钾、维生素C、叶酸、锌、硒等纤维质等营养素，具有保护心脑血管、美容养颜的功效.由于临近初二中考，考生物实验，生物实验课上要求：制作并观察洋葱鳞片叶肉内表皮细胞临时装片，上周生物老师用18元购买了一部分洋葱，本周实验时发现洋葱不够用，由于天气原因，本周洋葱单价上涨了12，生物老师花了30元，但只比上周多买了2斤洋葱.
(1)求上周生物老师买的洋葱单价为每斤多少元？
(2)经调查发现，一个洋葱可供12名同学使用，两个洋葱正好1斤，本校参加生物实验的同学共1392人，如果本周洋葱价格不变，那么生物老师至少应再买多少斤洋葱才能供给本校参加生物实验的同学所用？
21.(本小题7分)
阅读下列材料，并完成相应任务.
关于同一种多边形的平面密铺
平面密铺的定义：平面密铺是指用一些形状大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠的铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称做平面图形的镶嵌.
任务一：探究同一种正多边形的密铺.
如图1，通过拼图发现正方形、正六边形都可以进行密铺，此时公共顶点处的几个角正好拼成了一个周角.
问题①铺的条件为：当公共顶点处所有角的和为______ ∘，并使相等的边重合时，该图形就可以进行密铺.
问题②认为正五边形可以进行密铺吗？并说明理由.
任务二：探究同一种一般多边形的密铺
经过同学们动手实验，每小组画出自己小组的拼接图，如图2.
问题③观察图2，可以发现任意______和任意______都可以单独密铺.
经过研究发现三对对边平行的六边形可以单独密铺，人们借助六边形的密铺，发现虽然正五边形不能进行密铺，但有些特殊五边形可以进行密铺，从此展开了对一般五边形的密铺探究.
目前可以密铺的凸五边形共有15种，如图3为其中一种五边形的密铺图.
问题④图4为图3中抽象出的一个五边形，其中∠C=∠E=90∘，∠A=∠B=∠D，则∠A的度数为______.
22.(本小题12分)
综合与探究
已知Rt△ABO在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中边OA在x轴上且OA=4，边OB在y轴上，且OB=3，AD平分∠OAB，交y轴于点D.
(1)请直接写出点A、B的坐标：A ______， B ______.
(2)求点D的坐标.
(3)在平面直角坐标系中是否存在一点Q，使A、D、B、Q四点组成的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由.
23.(本小题14分)
综合与实践
【问题情境】
在数学课上，老师让同学们探究旋转中的数学问题，如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90∘，AB=AC，点D为线段BC上一动点，连接AD.若将线段AD绕点A沿逆时针的方向旋转90∘得到AM，连接CM，易证CM与BD的数量关系为：______，位置关系为：______.
【变式探究】
“创新”小组提出：当点D在如图2所示位置时，若将线段AD绕点D沿顺时针的方向旋转90∘，得到DE，过点D作DF垂直于BC交AB于点F，连接EF、EC，试探究∠BCE的度数.
①“善思”小组经过研究发现线段AC与EF的关系为：AC//EF，AC=EF，请你帮“善思”小组写出此结论的证明过程.
②从而“明辨”小组得出∠BCE=______ ∘.
【问题拓展】
同学们提出当点D在BC上继续向右运动时，∠BCE的度数会发生变化，那么当点D运动到如图3所示的位置时，∠BCE=______ ∘，(请你直接写出答案)此时“变通”小组发现AF、DF、EF之间存在某种数量关系，请你写出AF、DF、EF三条线段之间的数量关系______.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A、绕某一点旋转180∘后，能够与原图形重合，是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，故符合题意；
B、绕某一点旋转180∘后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，故不符合题意；
C、绕某一点旋转180∘后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，故不符合题意；
D、绕某一点旋转180∘后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，故不符合题意；
故选：A.
把一个图形绕某一点旋转180∘后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，据此解答．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识，熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的概念是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：正八边形的一个外角度数为：360∘÷8=45∘，
故选：C.
根据多边形的外角公式为360n(n为n边形的边数)即可求．
本题考查了多边形的外角，多边形内角和定理：(n−2)⋅180∘(n≥3且n为整数).
3.【答案】A
【解析】解：原式=2×2x×2y2x+2y
=4xyx+y，
故选：A.
根据分式的基本性质即可求出答案．
本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．
4.【答案】D
【解析】解：20182−36
=20182−62
=(2018+6)(2018−6)
=2024×2012，
∴能整除20182−36的是2024，
故选：D.
利用平方差公式分解20182−36得到2024×2012，即可得出答案．
本题考查了因式分解的应用，正确进行计算是解题关键．
5.【答案】D
【解析】解：原方程可变形为1−xx−2+2=−1x−2，两边都乘以(x−2)，得(1−x)+2(x−2)=−1.
解之得x=2.代入最简公分母x−2=0，因此原分式方程无解．故选D.
本题考查分式方程的解法．1−xx−2+2=12−x，可变形为1−xx−2+2=−1x−2，可确定公分母为(x−2).
本题考查分式方程的解法，此题两个分母互为相反数，因此去分母化为整式方程时要注意符号变化．同时要注意去分母时会出现增根，要检验的环节，否则容易出错．
6.【答案】C
【解析】解：∵AB=5，AD=3，AD⊥BD，
∴BD= AB2−AD2=4，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OD=12BD=2，OA=OC，
∴OA= OD2+AD2= 13，
∴AC=2OA=2 13，
故选：C.
由勾股定理得出BD=4，由平行四边形的性质得出OD=12BD=2，OA=OC，再由勾股定理求出OA的长，即可得解．
本题考查了勾股定理、平行四边形的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：如图，延长FG交AB于点M，
∵AD=BC，E、F、G分别是AB，CD，AC的中点，∠DAC=17∘，∠ACB=91∘，
∴GF//AD,GF=12AD,GE//BC,GE=12BC,GE=GF，
∴∠FEG=∠EFG，∠DAC=∠FGC=∠AGM=17∘，∠AGE=∠ACB=91∘，
∴∠MGE=∠AGE−∠AGM=∠FEG+∠EFG=2∠FEG=91∘−17∘=74∘，
解得∠FEG=37∘.
故选：D.
根据三角形中位线定理得到GE=GF，利用等腰三角形的性质得到∠FEG=∠EFG，延长FG交AB于点M，利用平行线的性质，三角形外角性质计算即可．
本题考查了三角形中位线定理，三角形外角性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：一次函数y1=ax+b和y2=mx+n的图象相交于点A(3,−1)，
由图象可知，不等式ax+b≤mx+n的解集为x≤3.
故选：D.
观察函数图象得到，当x<3时，直线y1=ax+b都在直线y2=mx+n的下方，于是可得到不等式ax+b≤mx+n的解集．
本题主要考查了利用一次函数与一元一次不等式，两条直线相交或平行问题，能直接利用函数图象得出不等式的解集是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：如图所示，
∴旋转中心的坐标为(2,2).
故选：B.
根据旋转前后对应点连线的垂直平分线经过旋转中心即可解决问题．
本题考查坐标与图形变化-旋转，熟知图形旋转的性质是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：设规定时间为x天，则甲队单独完成这项工程需要(x+2)天，乙队单独完成这项工程需要(x+6)天，
由题意得：5x+2+xx+6=1或5×(1x+2+1x+6)+x−5x+6=1或5x+2=6x+6，
故选：D.
设规定时间为x天，则甲队单独完成这项工程需要(x+2)天，乙队单独完成这项工程需要(x+6)天，根据题意列出分式方程即可得出答案．
本题考查了列分式方程，关键是根据题意找到等量关系式．
11.【答案】2y(y+3)(y−3)
【解析】解：原式=2y(y2−9)
=2y(y+3)(y−3)，
故答案为：2y(y+3)(y−3).
提公因式后利用平方差公式因式分解即可．
本题考查提公因式法及公式法因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
12.【答案】±18
【解析】解：∵x2+kx+81是完全平方式，
∴k=±18.
故答案为：±18.
利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出k的值．
此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
13.【答案】13
【解析】解：∵四边形ABCD为平行四边形，周长为20厘米，
∴AD+CD=10cm，OA=OC，AD//BC，
∴∠EAO=∠FCO，
∵∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COF(AAS)，
∴OE=OF=1.5cm，CF=AE，
∴四边形EFCD的周长=CF+CD+DE+EF
=AE+DE+CD+OE+OF
=AD+CD+OE+OF
=10+1.5+1.5
=13(厘米)，
故答案为：13.
由平行四边形的性质得出AD+CD=10cm，OA=OC，AD//BC，证明△AOE≌△COF(AAS)得出OE=OF=1.5cm，CF=AE，由此即可得出答案．
本题考查了平行四边形的性质、三角形全等的判定与性质，熟练掌握各知识点是解题的关键．
14.【答案】(2 3+4)
【解析】解：如图，连接AE，
，
∵Rt△ABC中，∠B=90∘，∠BAC=75∘，
∴∠ACB=90∘−∠BAC=15∘，
由作图可得：GH垂直平分AC，
∴AE=CE=4cm，
∴∠EAC=∠ECA=15∘，
∴∠AEB=∠EAC+∠ECA=30∘，
∴AB=12AE=2cm，
∴BE= AE2−AB2=2 3cm，
∴BC=BE+CE=(2 3+4)cm，
故答案为：(2 3+4).
连接AE，求出∠ACB=15∘，由线段垂直平分线的性质结合等边对等角得出∠EAC=∠ECA=15∘，从而得出∠AEB=∠EAC+∠ECA=30∘，由含30∘角的直角三角形的性质结合勾股定理计算即可得出答案．
本题考查了作图-基本作图，线段垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形，勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
15.【答案】1+ 34
【解析】解：∵△ABC为等边三角形，
∴BC=AB，∠ABC=60∘，
如图，将△BCP绕点B逆时针旋转60∘得到△BAP′，连接PP′，
由旋转的性质可得：S△BAP′=S△BCP，BP=BP′=1，CP=AP′= 5，∠PBP′=60∘，
∴△PBP′为等边三角形，
∴PP′=1，
∵PP′2+AP2=1+4=5=AP′2，
∴△APP′为直角三角形，
作BD⊥PP′于D，则DP=12PP′=12，BD= BP2−DP2= 32，
∴S阴影=S△BCP+S△ABP=S△BAP′+S△ABP=S△BPP′+S△APP′=12×1× 32+12×1×2=1+ 34，
故答案为：1+ 34.
由等边三角形的性质可得BC=AB，∠ABC=60∘，将△BCP绕点B逆时针旋转60∘得到△BAP′，连接PP′，由旋转的性质可得：S△BAP′=S△BCP，BP=BP′=1，CP=AP′= 5，∠PBP′=60∘，证明△PBP′为等边三角形，得出PP′=1，由勾股定理逆定理得出△APP′为直角三角形，作BD⊥PP′于D，则DP=12PP′=12，BD= BP2−DP2= 32，再由S阴影=S△BCP+S△ABP=S△BAP′+S△ABP=S△BPP′+S△APP′计算即可得出答案．
本题考查了等边三角形的判定与性质、旋转的性质、勾股定理、勾股定理逆定理，熟练掌握各知识点是解题的关键．
16.【答案】解：(1){2x−13−5x+12⩽1①5x−1<3(x+1)②，
解不等式①得：x≥−1，
解不等式②得：x<2，
把两个不等式的解集在同一条数轴表示为：
所以原不等式组的解集为：−1≤x<2；
(2)原式=−(x2y+4y3−4xy2)
=−y(x2+4y2−4xy)
=−y(x−2y)2.
【解析】(1)根据一元一次不等式组的解法先求出两个不等式的解集，再在数轴上表示这两个不等式的解集，进而得到不等式组的解集即可；
(2)先提公因式−y，再利用完全平方公式进行因式分解即可．
本题考查提公因式法、公式法分解因式，解一元一次不等式组，掌握提公因式法、公式法分解因式以及一元一次不等式组的解法是正确解答的关键．
17.【答案】二 分式的基本性质 三 减去整体要带括号或者去掉括号括号里各项要变号 1a+2 最后要化为最简分式
【解析】解：下面是小明化简分式的过程，请仔细阅读，并回答问题．
2aa2−4−1a−2
=2a(a+2)(a−2)−1a−2第一步
=2a(a+2)(a−2)−a+2(a−2)(a+2)第二步
=2a−a−2(a+2)(a−2)第三步
=a−2(a+2)(a−2)第四步
=1a+2第五步，
故答案为：
任务一：
①二，分式的基本性质；
③三，减去整体要带括号或者去掉括号括号里各项要变号；
任务二：1a+2；
任务三：最后要化为最简分式．
根据分式混合运算的法则把原式进行化简即可．
本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
18.【答案】解：设学校需购买跳绳x根，
在甲店购买需付810(200×100+40x)=(16000+32x)元，
在乙店购买需付85100×200×100+610×40x=(17000+24x)元，
当16000+32x=17000+24x时，
解得x=125，此时两家店购买一样合算；
当16000+32x>17000+24x时，
解得x>125，此时在乙店购买更合算；
当16000+32x<17000+24x时，
解得x<125，
又因为x≥60，
所以当60≤x<125时在甲店购买更合算；
综上所述：当60≤x<125时在甲店购买更合算；当x=125时，两家店购买一样合算；当x>125时在乙店购买更合算．
【解析】设学校需购买跳绳x根，分别表示出在甲、乙店购买需付多少钱，再列出方程和不等式求解即可．
本题考查了一元一次不等式的应用、一元一次方程的应用，关键是根据题意找到关系式．
19.【答案】证明：∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠DEC=∠AFB=90∘，
∵AB=CD，DE=BF，
∴Rt△BFA≌Rt△DEC(HL)，
∴∠DCA=∠BAF，
∴AB//CD，
又∵CD=AB，
∴四边形ABCD是平行四边形．
【解析】由“HL”可证Rt△BFA≌Rt△DEC，可得∠DCA=∠BAF，可得AB//CD，由平行四边形的判定可得结论．
本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
20.【答案】解：(1)设上周生物老师购买洋葱的单价为x元/斤，则本周所买洋葱的单价为(1+12)x元/斤，
根据题意可列方程：18x=30(1+12)x−2，
解得x=1，
经检验：x=1是原方程的根且符合题意．
答：上周生物老师购买洋葱的单价为1元/斤；
(2)设生物老师还需再购买洋葱m斤，
则有181×12×2+(181+2)×12×2+m×12×2≥1392，
解得m≥20，
答：生物老师至少要再购买20斤洋葱．
【解析】(1)设上周生物老师购买洋葱的单价为x元/斤，则本周所买洋葱的单价为(1+12)x元/斤，根据“生物老师花了30元，但只比上周多买了2斤洋葱”列出分式方程，求解即可得出答案；
(2)设生物老师还需再购买洋葱m斤，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可得出答案．
本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出分式方程与一元一次不等式是解此题的关键．
21.【答案】360 三角形 四边形 120∘
【解析】解：任务一：问题①密铺的条件为：当公共顶点处所有角的和为360∘，并使相等的边重合时，该图形就可以进行密铺；
故答案为：360；
问题②：正五边形不可以进行密铺，理由如下：
∵正五边形的每一个内角度数为(5−2)×180∘5=108∘，360÷108=3…36，
∴正五边形不以进行密铺；
任务二：问题③：观察图2，可以发现任意三角形和任意四边形都可以单独密铺；
故答案为：三角形；四边形；
问题④：由图形并结合题意可得：∠A的度数为(540∘−2×90∘)÷3=120∘.
故答案为：120∘.
任务一：问题①：根据题意即可得出答案；问题②：求出正五边形的内角度数，结合①的结论即可得出答案；
任务二：问题③：结合图形即可得出答案；问题④：由图形并结合题意计算可得答案．
本题考查了多边形内角和、平面镶嵌，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
22.【答案】(4,0)(0,3)
【解析】解；(1)∵边OA在x轴上且OA=4，点A在x轴正半轴；边OB在y轴上，且OB=3，点B在y轴正半轴，
∴A(4,0)，B(0,3)，
故答案为：(4,0)，(0,3)；
(2)∵OA=4，OB=3，∠AOB=90∘，
∴AB= OA2+OB2=5，
如图1，作DE⊥AB于E，
，
∵AD平分∠OAB，
∴OD=DE，
∵S△AOB=12OA⋅OB=12×3×4=6，S△AOB=S△AOD+S△ABD=12OA⋅OD+12AB⋅DE=12×4×OD+12×5×OD=92OD，
∴92OD=6，
∴OD=43，
∴D(0,43)；
(3)由(2)可得：OD=43，
∴BD=3−43=53，
如图2，当点Q在第一象限时，此时四边形BDAQ为平行四边形，
，
则AQ=BD，AQ//BD，
∴此时点Q的坐标为Q1(4,53)；
如图3，当点Q在第四象限时，此时四边形BDQA为平行四边形，
，
则AQ=BD，AQ//BD，
∴此时点Q的坐标为Q2(4,−53)；
如图4，当点Q在第二象限时，此时四边形ADQB为平行四边形，作QP⊥y轴于P，
，
则∠QPB=∠AOD=90∘，QB=AD，QB//AD，
∴∠QBD=∠BDA，
∵∠QBD+QBP=∠BDA+∠ADO=180∘，
∴QBP=∠ADO，
∴△PQB≌△OAD(AAS)，
∴OD=BP=53，PQ=OA=4，
∴OP=OB+PB=3+53=143，
∴此时点Q的坐标为Q3(−4,133)；
综上所述，点Q的坐标为Q1(4,53)，Q2(4,−53)，Q3(−4,133).
(1)根据题意可直接写出点A、B的坐标；
(2)由勾股定理得出AB=5，作DE⊥AB于E，由角平分线的性质定理得出OD=DE，再根据三角形的面积求出OD的长，即可得解；
(3)分三种情况，分别利用平行四边形的性质、三角形全等的判定与性质求解即可得出答案．
本题考查了坐标与图形、勾股定理、角平分线的性质定理、平行四边形的性质、三角形全等的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
23.【答案】CM=BDCM⊥BD45135 2DF=EF+AF
【解析】【问题情境】解：∵在Rt△ABC中，∠BAC=90∘，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=45∘，
由旋转的性质可得：AD=AM，∠DAM=90∘，
∵∠DAM−∠DAC=∠BAC−∠DAC，
∴∠CAM=∠BAD，
∴△BAD≌△CAM(SAS)，
∴CM=BD，∠ACM=∠ABD=45∘，
∴BCM=∠ACM+∠ACB=90∘，即CM⊥BD，
故答案为：CM=BD，CM⊥BD；
【变式探究】①证明：在Rt△ABC中，∠BAC=90∘，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=45∘，
∵DF⊥BC，
∴△BDF为等腰直角三角形，
∴BD=DF，∠BDF=90∘，∠B=∠BFD=45∘，
由旋转的性质可得：AD=DE，∠ADE=90∘，
∴∠BDF+∠ADF=∠ADE+∠ADF，即∠ADB=∠EDF，
∴△BAD≌△FED(SAS)，
∴EF=AB，∠DFE=∠ABC=45∘，
∴EF=AC，∠EFB=∠BFD+∠DFE=90∘，
∴∠EFB=∠BAC，
∴AC//EF；
②解：由①可得：AC//EF，AC=EF，
∴四边形ACEF为平行四边形，
∵∠FAC=90∘，
∴四边形ACEF为矩形，
∴∠ACE=90∘，
∴∠BCE=∠ACE−∠ACB=45∘，
故答案为：45；
【问题拓展】解：由变式探究可得：四边形ACEF为矩形，△BDF为等腰直角三角形，
∴∠ACE=90∘，EF=AC=AB，BF= 2DF
∴∠BCE=∠ACE+∠ACB=135∘，
∵BF=AB+AF=EF+AF，
∴ 2DF=EF+AF，
故答案为：135； 2DF=EF+AF.
【问题情境】由题意得出∠B=∠ACB=45∘，由旋转的性质可得：AD=AM，∠DAM=90∘，证明△BAD≌△CAM(SAS)，得出CM=BD，∠ACM=∠ABD=45∘，从而得出BCM=∠ACM+∠ACB=90∘，即可得解；
【变式探究】①由题意得出∠B=∠ACB=45∘，证明△BDF为等腰直角三角形，得出BD=DF，∠BDF=90∘，∠B=∠BFD=45∘，由旋转的性质可得：AD=DE，∠ADE=90∘，证明△BAD≌△FED(SAS)，得出EF=AB，∠DFE=∠ABC=45∘，求出∠EFB=∠BFD+∠DFE=90∘，得到∠EFB=∠BAC，从而推出AC//EF；②证明四边形ACEF为矩形，得出∠ACE=90∘，即可得解；
【问题拓展】由变式探究可得：四边形ACEF为矩形，△BDF为等腰直角三角形，从而得出∠ACE=90∘，EF=AC=AB，BF= 2DF，可得出答案．
本题考查了旋转的性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、矩形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．