高中数学压轴题小题专项训练专题2三次函数问题含解析答案

这是一份高中数学压轴题小题专项训练专题2三次函数问题含解析答案，共44页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知直线与曲线相交，交点依次为，，，且，则直线的方程为
A．B．C．D．
2．已知，函数，若函数恰有三个零点，则
A．B．
C．D．
3．如图，某公园需要修建一段围绕绿地的弯曲绿道（图中虚线）与两条直道（图中实线）平滑连续（相切），已知环绕绿地的弯曲绿道为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为（ ）
A．B．C．D．
4．对于三次函数，若曲线在点处的切线与曲线在点处点的切线重合，则（ ）
A．B．C．D．
5．三次函数在上是减函数，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．已知三次函数的零点从小到大依次为m，0，2，其图象在处的切线l经过点，则（ ）
A．B．C．D．
7．下列关于三次函数叙述正确的是（ ）
①函数的图象一定是中心对称图形；
②函数可能只有一个极值点；
③当时，在处的切线与函数的图象有且仅有两个交点；
④当时，则过点的切线可能有一条或者三条．
A．①③B．②③C．①④D．②④
8．如图是某高山滑雪场的一段滑道的示意图，图中该段滑道对应的曲线可以近似看作某个三次函数图像的一部分，A，B两点分别是这段滑道的最高点和最低点（在这个三次函数的极值处）.在A，B两点之间的滑道的最陡处，滑道的坡度为（坡度即坡面与水平面所成角的正切值），经测量A，B两点在水平方向的距离为90m，则它们在竖直方向上的距离约为（ ）
A．20m B．30m C．45m D．60m
9．若三次函数（）的图象上存在相互平行且距离为的两条切线，则称这两条切线为一组“距离为的友好切线组”.已知，则函数的图象上“距离为4的友好切线组”有组？
A．0B．1C．2D．3
10．设函数（）满足，现给出如下结论：
①若是上的增函数，则是的增函数；
②若，则有极值；
③对任意实数，直线与曲线有唯一公共点.
其中正确结论的个数为
A．0B．1C．2D．3
11．已知，，，若三次函数有三个零点，，，且满足，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
12．对于三次函数给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”，同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心，若，请你根据这一发现计算：（ ）
A．2021B．2022C．2023D．2024
13．已知三次函数的导函数为，若方程有四个实数根，则实数a的范围为（ ）
A．B．
C．D．
14．设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．已知：任何三次函数既有拐点，又有对称中心，且拐点就是对称中心．设，数列的通项公式为，则（ ）
A．8B．7C．6D．5
15．一般地，对于一元三次函数，若，则为三次函数的对称中心，已知函数图象的对称中心的横坐标为（），且有三个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
16．已知为三次函数，其图象如图所示.若有9个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
17．对于三次函数，若在处的切线与在处的切线重合，则下列命题中真命题的为（ ）
A．B．C．为奇函数D．图象关于对称
18．在直角坐标系内，由，，，四点所确定的“型函数”指的是三次函数，其图象过，两点，且的图像在点处的切线经过点，在点处的切线经过点.若将由，，，四点所确定的“型函数”记为，则下列选项正确的是（ ）
A．曲线在点处的切线方程为
B．
C．曲线关于点对称
D．当时，
19．定义：设 是 的导函数，是函数 的导数，若方程有实数解 ，则称点 为函数 的“拐点”．经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图像的对称中心． 已知函数 的对称中心为 ，则下列说法中正确的有（ ）
A．B．函数 既有极大值又有极小值
C．函数 有三个零点D．对任意 ，都有
20．定义：设是的导函数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数图象的对称中心为，则下列说法中正确的有（ ）
A．，B．函数的极大值与极小值之和为6
C．函数有三个零点D．函数在区间上的最小值为1
21．已知三次函数有三个不同的零点，若函数也有三个不同的零点，则下列等式或不等式一定成立的有（ ）
A．B．
C．D．
22．经研究发现：任意一个三次多项式函数的图象都只有一个对称中心点，其中是的根，是的导数，是的导数．若函数图象的对称点为，且不等式对任意恒成立，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．的值可能是D．的值可能是
23．定义：设是的导函数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数的对称中心为，则下列说法中正确的有（ ）
A．，
B．函数既有极大值又有极小值
C．函数有三个零点
D．过可以作三条直线与图象相切
24．定义：设是的导函数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数图象的对称中心为，则下列说法中正确的有（ ）
A．，B．函数的极大值与极小值之和为2
C．函数有三个零点D．在区间上单调递减
25．下列关于三次函数叙述正确的是（ ）
A．函数的图象一定是中心对称图形
B．函数可能只有一个极值点
C．当时，在处的切线与函数的图象有且仅有两个交点
D．当时，则过点的切线可能有一条或者三条
26．经研究发现：任意一个三次多项式函数的图象上都有且只有一个对称中心点，其中是的根，是的导数，是的导数．若函数图象的对称中心点为，且不等式对任意恒成立，则（ ）
A．B．C．m的值可能是D．m的值不可能是
27．已知三次函数的图象如图，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．的解集为
28．对于三次函数，给出定义：是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.某同学经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.若函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的极大值为
B．有且仅有2个零点
C．点是的对称中心
D．
三、填空题
29．若函数在上不是单调函数，则实数a的取值范围是 .
30．已知函数，其导函数的图象如图所示，过点和.函数的单调递减区间为 ，极大值点为 .
31．设是的导函数.某同学经过探究发现，任意一个三次函数的图象都有对称中心，其中满足.
（1）函数的对称中心为 ；
（2）现已知当直线和的图象交于、、三点时，的图象在点、点处的切线总平行，则过点可作的 条切线.
32．已知函数的图象过，，若，则 .
33．已知三次函数有三个零点，，，且在点处切线的斜率为，则 .
34．若函数在上存在最小值，则实数a的取值范围是 .
35．经研究发现，三次函数都有对称中心，设其为，则，反之也成立，其中是函数的导函数的导数.已知，若对任意的实数，函数在和处的切线互相平行，则实数 .
36．若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为 ．
37．已知有两个极值点，，如果和两点所在的直线与轴的交点在曲线上，则 .
38．已知直线与曲线相交，交点依次为，，，且，则直线的方程为 .
39．已知，函数恰有两个零点，则的取值范围为 .
40．三次函数在其对称中心处的切线的斜截式方程为 ．
41．已知三次函数，下列命题正确的是 .
①函数关于原点中心对称；
②以，两不同的点为切点作两条互相平行的切线，分别与交于两点，则这四个点的横坐标满足关系；
③以为切点，作切线与图像交于点，再以点为切点作直线与图像交于点，再以点作切点作直线与图像交于点，则点横坐标为；
④若，函数图像上存在四点，使得以它们为顶点的四边形有且仅有一个正方形.
42．已知函数，，，则 ．
43．已知直线与曲线有三个不同的交点，且,则 .
44．已知三次函数无极值，且满足，则 .
45．设函数是的导函数.某同学经过探究发现，任意一个三次函数的图像都有对称中心，其中满足.已知三次函数，若，则 ；若，分别满足方程，则 .
46．设三次函数，若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线重合，则 ．
47．已知三次函数，其导函数为，存在，满足．记的极大值为，则的取值范围是 ．
参考答案：
1．B
【分析】判断直线经过曲线的对称中心，利用函数的导数求解对称中心的坐标，验证直线方程即可．
【详解】由函数的解析式可得：，
导函数的对称轴为原函数的对称中心横坐标，
则原函数对称中心纵坐标为：，
则对称中心为，由可知直线经过点，
联立方程组：可得：或，
据此可得直线过点：，
则直线方程为：.
故选：B
2．C
【分析】当时，最多一个零点；当时，，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画函数草图，根据草图可得．
【详解】当时，，得；最多一个零点；
当时，，
，
当，即时，，在，上递增，最多一个零点．不合题意；
当，即时，令得，，函数递增，令得，，函数递减；函数最多有2个零点；
根据题意函数恰有3个零点函数在上有一个零点，在，上有2个零点，
如图：
且，
解得，，．
故选．

【点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.由于方程中涉及两个参数，故按“一元化”想法，逐步分类讨论，这一过程中有可能分类不全面、不彻底.
3．A
【分析】由图象设函数式为，然后求导，利用，求解．
【详解】由题意设三次函数的解析式为，即，
，
∴，解得，
∴，
故选：A．
4．B
【分析】
由得，然后求得，由求得，设，由得及，再由得，解得后可得．
【详解】
设，
，
设，则，即……①
又，即
……②
由①②可得，
.
故选：B.
5．A
【分析】根据题意可得在上恒成立，结合恒成立问题分析运算.
【详解】对函数求导，得
因为函数在上是减函数，则在上恒成立，
即恒成立，
当，即时，恒成立；
当，即时，，则，即，
因为，所以，即；
又因为当时，不是三次函数，不满足题意，
所以.
故选：A．
6．B
【分析】由题意可设，求导，根据导数的几何意义可得切线方程为，代入点运算求解即可.
【详解】由题意可设，
则，
可得，
即切点坐标为，切线斜率，
则切线方程为，
代入点得，
且，得，解得.
故选：B.
7．A
【解析】根据对称中心的性质，导数与单调性，导数的几何意义求解后判断．
【详解】①的对称轴为的轴对称图形，所以必定是中心对称图形，且对称中心为，所以①正确：（或者可用证明）
②由于函数的图象是中心对称图形，如果存在极大值，那么一定存在极小值，故②错误；
③设切点为，，斜率，
切线为，所以
，化简得：，∴或者，所以当时，即时，切线与有唯一的交点，当时，切线与有两个不同的交点，所以③正确；
④过点的切线的切点不一定是，设切点为，则切线方程为，因为在切线上，所以，将，，代入化简可得：，∴或者，所以当时，即时，切线只有一条，当时，切线有两条，所以④错误；
故选：A
【点睛】本题考查导数与函数的对称性的关系，考查导数与极值，考查导数的几何意义，解题中难度较大．特别是求切线方程，计算难度很大，对学生的逻辑思维能力，运算求解能力要求较高，本题属于困难题．
8．B
【分析】把函数图象平移到在轴，在轴上，如图，新函数计算出的竖直方向上的距离与原函数结果相同，在新坐标系中，可设三次函数的导函数为，由的最小值为求得，反向求得的表达式，由得出函数式，然后计算即得．
【详解】把函数图象平移到在轴，在轴上，如图，新函数计算出的竖直方向上的距离与原函数结果相同，
由题意题中三次函数的导函数是二次函数，记为，的最小值是，设，则，，，
因此可设，，，
，
所以它们在竖直方向上的距离约为30 m，
故选：B．
9．D
【分析】设出切点，求导求得斜率，写出切线方程，利用距离公式得到关于的方程，解得共有3解，即可得到结论.
【详解】∵，则=，设两切点分别为A(,)，B(,)，若两切线平行，则的两根为，，且+=2，
不妨设，过A的切线方程为, 过B的切线方程为,
∴两条切线距离为,
化简得=1+9，令，显然u=1为一解，
又-8u+10=0有两个异于1的正根，
∴这样的u有3解，而，，且+=2，即与是一一对应的，
∴这样的，有3组，故选D.
【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了新定义的理解与应用，考查了运算能力及推理能力，属于难题.
10．D
【分析】先根据求出，结合选项逐个求解.
【详解】因为，
所以，化简得.
对于①，，其对称轴为，如果在上递增，其关于对称的区间上导函数为正值，故也是其增区间，①正确.
由，得，
对于②，当时，，导函数的判别式， ，判别式为正数，
当时，，其判别式为正数，综上可知导函数有零点，根据二次函数的性质可知原函数有极值，②正确.
对于③，注意到，则③转化为，即函数图像上任意两点连线的斜率和函数在处的切线的斜率相等的有且仅有一个点.由于是导函数的最小值点，即有且仅有一个最小值点，故③正确.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查函数单调性、极值与导数的知识，考查化归与转化的数学思想方法.求解的关键是首先根据题目所给条件，化简后可得到的一个关系式，从而消去，将题目的参数减少一个.然后利用导数这个工具，结合二次函数的对称轴与最值来判断各个结论的真假.
11．D
【分析】根据条件建立方程求出，的值，然后回代，求出的范围，结合零点式求出，，的等式关系，结合不等式的性质进行求解即可．
【详解】∵，
，即，
得，代入得，
∵，
，解得，
设三次函数的零点式为，
比较系数得，，
故
故选：D.
【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，利用条件求出参数，，利用函数零点式以及不等式的关系进行转化是解决本题的关键．
12．C
【分析】根据题意求出函数的对称中心为，可得出，用倒序相加法即可求解.
【详解】由题意可知，所以，令，则，
所以，由题意可知函数的对称中心为，
所以，即，
所以，
所以
，
所以.
故选：C
【点睛】对称性常用结论;
1、若对于上的任意，函数都有，则图象关于直线对称.
2、若对于上的任意，函数都有，则图象关于点中心对称.
13．A
【分析】令得或，可得在上单调递增，在单调递减，在上单调递增，算出的极值，又方程有四个实数根可转化为方程，或方程共有四个实数根，结合函数图象列出满足的条件即可.
【详解】，
由得或，又，
所以在上单调递增，在单调递减，在上单调递增，
的极大值为，的极小值为；
又有四个实数根，故方程，或方程共有四个实数根，

或或，
解得：.
故选：A
【点睛】本题主要考查了导数的应用，考查了函数与方程的思想，数形结合，转化与化归的思想.
14．C
【分析】根据题意对已知函数求两次导数可得图象关于点对称，即可得，然后利用此结论可求得答案.
【详解】由，得 ，
由 可得：，
因为
所以的图象关于点对称，
所以，
因为，
所以，
所以，，，
所以，
故选：C
15．A
【分析】根据给定条件，用a表示，再求出的极大值与极小值，列式求解作答.
【详解】由函数求导得：，则，
由解得，则有，
，当或时，，当时，，
则在，上单调递增，在上单调递减，
因此，当时，取得极大值，当时，取得极小值，
因函数有三个零点，即函数的图象与x轴有三个公共点，由三次函数图象与性质知，，
于是得，解得，
综上得：，
实数a的取值范围是.
故选：A.
16．A
【分析】作出图像，令，结合和的图像，列出的不等式组，进而求出的取值范围.
【详解】作出的图像如图所示，由的图像可知，
的极大值为，极小值为，
有9个零点，令，结合和的图像可知，
有3个解，
分别设为，且，
且每个对应都有3个满足，
欲使有9个零点，
由图可知：，
且，，，
由函数的解析式知：
，，，
由图像可知，
，
则，
解得，
得，
故选：A.
17．BD
【分析】根据题意设出三次函数的解析式，由题意在上得，切线经过与得，对函数进行求导，把代入得
，再求出函数，由与得与，即可得到三次函数的解析式，即可判断选项A、B、C，在验证，即可判断选项D.
【详解】设三次函数
在上

切线经过与，故切线斜率为


，
，


故选项A错误；
，故选项B正确；
，故选项C错误；

故图象关于对称，即选项D正确.
故选：BD.
18．ABC
【分析】A.根据函数在点处的切线经过点，利用点斜式求解判断；B.根据的图象过点及，设(其中)，然后再利用，求解判断；C.由B得到判断；D. 由B结合，有，判断.
【详解】因为直线的斜率为，所以的方程为，即，所以A正确.
因为的图象过点及，所以有两个零点0，4，故可设(其中)，则，由，，得，，所以，故B正确.
由选项B可知，，所以曲线关于点对称，故C正确.
当时，有，，所以，故D不正确.
故答案为：ABC.
【点睛】本题考查导数的几何意义以及函数的性质，还考查了运算求解能力，属于中档题.
19．AB
【分析】根据拐点定义二次求导可计算可求出函数解析式即可判定A，根据导数研究其极值可判定B，结合B项结论及零点存在性定理可判定C，利用函数解析式取特殊值可判定D.
【详解】由题意可知，，
而，故A正确；
此时，，
显然或时，，则在上单调递增，
时，，即在上单调递减，所以在时取得极大值，在时取得极小值，故B正确；
易知，
结合B结论及零点存在性定理可知在存在一个零点，故C错误；
易知，故D错误.
故选：AB
20．AB
【分析】根据函数对称中心的定义求出，的值，可判断A的真假；用导数分析函数的单调性，求出极值，可判断B的真假；结合函数极值的符号，判断函数零点的个数，判断C的真假；求函数在区间端点处的函数值，与极值点的函数值比较，得到函数的最小值，判断D的真假.
【详解】由题意，点在函数的图象上，故；
又.
由，即.故A正确；
所以，所以.
由或.
所以在和上单调递增，在上单调递减，
所以的极大值为；极小值为，
所以极大值与极小值之和为：，故B正确；
因为函数的极小值，所以三次函数只有一个零点，故C错误；
又，，
所以函数在上的最小值为，故D错.
故选：AB
21．BC
【分析】对于A，由题意可得有两个不同的实根，则，从而可进行判断，对于B，根据图象分析判断，对于CD，由零点的定义结合方程化简变形进行判断.
【详解】，因为原函数有三个不同的零点，则有两个不同的实根，
即，则，即，所以A错误；
因为三次函数有三个不同的零点，
所以，
所以，
同理，
所以，故C正确，D错误；
由的图象与直线的交点可知，B正确．
故选：BC．

22．ABC
【分析】先根据题意求出的解析式，再对不等式分离参数转化为对任意恒成立，通过同构和切线不等式放缩得到即可求解.
【详解】由题意可得，因为，所以，所以，
解得，所以．
因为，所以等价于对任意恒成立．令，则.
设，则，从而在上单调递增．因为，所以，即，
则（当且仅当时，等号成立），
从而，所以．
故选：ABC．
【点睛】方法点睛：分离参数法破解不等式的恒成立问题的步骤：
第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；
第二步：利用导数求该函数的最值；
第三步：根据要求得所求范围．
23．AB
【分析】利用导数结合已知求出判断A；利用导数求出极值，结合三次函数的图象特征判断BC；求出切线方程判断D.
【详解】由，求导得，，
令，得，由函数的对称中心为，
得，且，解得，A正确；
于是，，
当或时，，当时，，
则函数在，上都单调递增，在上单调递减，
因此函数既有极大值，又有极小值，B正确；
由于极小值，因此函数不可能有三个零点， C错误；
显然，若是切点，则，切线方程为；
若不是切点，设过点 的直线与图象相切于点，，
由，解得，即切点，切线方程为，
过 只可以作两条直线与图象相切，D错误.
故选：AB
24．AB
【分析】根据题意，对函数进行二次求导，可得“拐点”，而“拐点”同时也满足函数解析式，这样就可以得到参数的值，进而根据三次函数的图象与性质，可得正确答案.
【详解】由，可得，，
令，得，
因为函数图象的对称中心为，
因此，解得，，故选项A正确；
由以上过程可知，，
且当或时，；当时，.
于是在和上都是增函数，在上是减函数，
故选项D错误；
因为关于点对称，
所以的极大值与极小值之和为，故选项B正确；
因为函数极小值，
由三次函数的性质知，只有一个零点，所以选项C错误，
故选：AB.
25．AC
【分析】根据为定值可判断A的正误，求出结合判别式可判断B的正误，求出切线方程，结合构建方程判断其解后可判断C的正误，再将代入切线方程后判断解的个数后可得D的正误.
【详解】对于A，
，
故为定值，故函数的图象一定是中心对称图形.
对于B，，
若有极值点，则有变号零点，而的图像为抛物线，
故，故有两个变号零点，
故有两个极值点，故B错误.
对于C，在处的切线方程为，
令，
则，当时，，
所以，
因为，故，不妨设，
若，则当或时，，当时，，
故在上为增函数，在上为减函数，
而，故，
而时，，故有两个不同的零点，
故的图像与切线有且只有两个不同交点，
同理可得当时，故的图象与切线有且只有两个不同的交点，故C正确.
对于D，过点的切线的切点为，
由（2）的切线方程可得，
故，
整理得到：，
故或，
下面考虑的解，
整理得到：，
，
而，
故方程有且只有一个异于的实数根，
过点的切线有且只有两条，故D错误.
故选：AC.
【点睛】关键点点睛：
（1）判断函数的图象是否关于对称，可检验是否恒成立；
（2）切线问题的核心是切点的横坐标，切线条数问题可转化为关于切点横坐标的方程的解的个数问题.
26．ACD
【分析】先根据对称中心求解出的值，再根据求解出的值，由此可求的解析式；根据不等式恒成立，通过分离参数得到，借助不等式得到，由此求解出的范围并判断.
【详解】由题意可得，
因为，所以，
所以，
解得，故.
因为，所以等价于.
设，则，
从而在上单调递增.
因为，所以，即，
则（当且仅当时，等号成立），
从而，故.
故选：ACD.
27．BC
【分析】设，分析可知的极值点为、，以及为奇函数，可求得，，根据函数的单调性可得出，逐项分析可得出合适的选项.
【详解】由图可知，三次函数为奇函数，且的极值点为、，
设，则，可得，
由奇函数的定义可得，即，
所以，，可得，则，
由题意可得，可得，则，
由图可知，函数的单调递增区间为，
故不等式的解集为，所以，，
对于A选项，，，
所以，，A错；
对于B选项，，所以，，B对；
对于C选项，由题意可知，，
由导数的定义可得，C对；
对于D选项，由，
可得，解得或，
因此，不等式的解集为，D错.
故选：BC.
28．ACD
【分析】求得，得出函数单调性，结合极值的概念，可判定A正确；根据极大值为，极小值，进而得到函数有3个零点，可判定B错误；求得，令，求得，得出，可判定C正确；根据对称性，得到，结合倒序相加法，可判定D正确.
【详解】由函数，可得，
令，解得或；令，解得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，在单调递增，
当时，取得极大值，极大值为，所以A正确；
又由极小值，且当时，，
当时，，所以函数有3个零点，所以B错误；
由，可得，令，可得，
又由，所以点是函数的对称中心，
所以C正确；
因为是函数的对称中心，所以，
令，
可得，
所以，
所以，即，
所以D正确.
故选：ACD.
29．
【分析】先将问题转化成求或在上恒成立，注意到，从而转化成在上恒成立，从而求得，再求其补集，即可解决问题.
【详解】若在上单调函数，则或在上恒成立，
由题意，，注意到，所以只能恒成立，即在上恒成立，
所以，解得：，
因为在上不是单调函数，所以的取值范围是.
故答案为：.
30．
【分析】根据导函数的符号确定原函数的单调性，可直接写出原函数的单调区间；分析原函数的单调性，可以得到函数的极大值点.
【详解】如图：
导函数的图象过点和，
则当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增.
∴函数的单调递减区间为，极大值点为.
故答案为：；
31．
【分析】（1）解方程求得，求出的值，即可得出函数的对称中心坐标；
（2）分析出函数的对称中心为，可得出关于实数、的方程组，解出这两个未知数的值，可得出函数的解析式，设出切点坐标，利用导数求出切线方程，将点的坐标代入切线方程，可得出关于的方程，解方程即可得出结论.
【详解】（1），则，，
由，可得，且，
故函数的对称中心为；
（2）的图象在点、点处的切线总平行，
所以，点、关于的对称中心对称，故点为函数的对称中心，
又因为直线恒过定点，
所以，函数的对称中心为，即点，
因为，则，，
所以，，解得，即，则.
所以，函数在处的切线方程为，
即，
将点代入切线方程得，整理得，
即，解得或.
故过点的函数的图象的切线有条.
故答案为：（1）；（2）.
32．
【分析】利用二阶导数为零求出的对称中心即可求解.
【详解】由题意可得，
令，则，
令解得，此时，所以的图象关于对称，
由可得点关于对称，所以，
故答案为：
33．0
【分析】令，其中，，，互不相等，对求导，由导数的几何意义求解即可.
【详解】令，其中，，，互不相等.
则.
.
故答案为：0.
34．
【分析】利用导数判断函数的单调性，得到函数的极大极小值，结合函数的简图，由题意即可判断参数的范围.
【详解】由题意，，
由可得或，由可得，
从而在上递增，在上递减，在上递增，
故有极大值，极小值，如图所示，
注意到，由图可知，要使函数在上存在最小值，应有.
故答案为：.
35．-3
【分析】由求导得，根据题意知恒成立，可得出函数对称轴，即可求解.
【详解】由求导得：
,
因为对任意的实数，函数在和处的切线互相平行，
所以，
故的对称轴为，
即，
所以，
故答案为：
【点睛】本题主要考查了函数的导数，导数的几何意义，函数的对称性，属于中档题.
36．
【分析】方法一：利用导数判断函数在上的单调性，确定零点位置，求出参数,再根据函数在上的单调性确定函数最值，即可解出.
【详解】［方法一］：【通性通法】单调性法
求导得，
当时，函数在区间内单调递增，且，所以函数在内无零点；
当时，函数在区间内单调递减，在区间内单调递增．
当时，；当时，．
要使函数在区间内有且仅有一个零点，只需，解得．
于是函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，，所以最大值与最小值之和为．
故答案为：．
［方法二］： 等价转化
由条件知有唯一的正实根，于是．令，则，所以在区间内单调递减，在区间内单调递增，且，当时，；当时，．
只需直线与的图像有一个交点，故，下同方法一．
［方法三］：【最优解】三元基本不等式
同方法二得，，当且仅当时取等号，
要满足条件只需，下同方法一．
［方法四］：等价转化
由条件知有唯一的正实根，即方程有唯一的正实根，整理得，即函数与直线在第一象限内有唯一的交点．于是平移直线与曲线相切时，满足题意，如图．
设切点，因为，于是，解得，
下同方法一．
【整体点评】方法一：利用导数得出函数在上的单调性，确定零点位置，求出参数，进而问题转化为闭区间上的最值问题，从而解出，是该类型题的通性通法；
方法二：利用等价转化思想，函数在上有唯一零点转化为两函数图象有唯一交点，从而求出参数，使问题得解；
方法三：通过三元基本不等式确定取最值条件，从而求出参数，使问题得解，是该题的最优解；
方法四：将函数在上有唯一零点转化为直线与曲线相切，从而求出参数，使问题得解．
37．或或
【分析】对求导可得，代入，可得在直线上，因为在曲线上，代入化简即可得出答案.
【详解】，由，.
得，，
故
，
同理得.
故在直线上，所以，
令，则，解得：，
所以直线交轴于点，又该交点在曲线上.
代入可得.
化简可得即，，.
故答案为：或或.
38．
【分析】由题意知为三次函数的对称中心，再求导求出对称中心，设出点坐标，联立方程组解出，从而得到直线的方程.
【详解】因为三次函数（且）
其导函数为，的两根为函数的极大值点和极小值点，且关于导函数的对称轴为对称，
当附近图像有增减变化，即有正有负，可得是三次曲线凹弧和凸弧的分界点，
从而点是三次函数的拐点，也是三次函数的对称中心，
所以图象对称中心在导函数的对称轴上，同时也是二阶导的零点.
因为直线与曲线相交，交点依次为，，，
且，可知为三次函数的对称中心，
，可得，，
令，解得，所以曲线的对称中心，
设，由得，
联立方程组：，可得，或，
故不妨设，，易知直线方程为.
故答案为：.
39．
【分析】根据导数判断单调性，结合零点和极值点求出，构造函数，求导可得的取值范围.
【详解】∵且，
∴，.
则方程必有两个不等的实根.
设，则，.
则必有，且①.
当或时，；当时，.
因此函数的单调递增区间为，单调递减区间为和.
由于，若函数有两个零点，则②.
联立①②得，解得，∴.
令，令，则.
从而，解得.
因此.
故当时，，函数单调递增.
因此.
故答案为：
40．
【分析】由的对称中心是，可得，根据，设关于对称点为，得出，即可得出，再利用切线方程的求解方法求解即可.
【详解】因为的对称中心是，
所以，，
又，
设关于对称点为，
则，，，，
所以在图像上，
则，，
由，解得，
，，
，
则切线方程为，.
故答案为：
41．①②④
【分析】由奇函数性质可判断①；利用导数的几何意义求得切线方程，联立方程组可判断②；由②可判断③；联立直线与曲线方程结合距离公式可判断④.
【详解】①函数满足是奇函数，所以关于原点（0,0）成中心对称，正确；
②因为，根据切线平行，得到,所以,根据①可知，,以点A为切点的切线方程为,
整理得：,该切线方程与函数联立可得，,所以,
同理：,又因为，代入关系式可得，故②正确；
③由②可知，以为切点，作切线与图象交于点，再以点为切点作直线与图象交于点，再以点作切点作直线与图象交于点，此时满足，, 所以，所以③错误；
④当函数为，设正方形ABCD的对角线AC所在的直线方程为，
设正方形ABCD的对角线BD所在的直线方程为，，解得：，所以，
同理：，因为
所以
，设，即，
，当时，，等价于，
解得，或，，
所以正方形唯一确定，故正确选项为①②④.
故答案为：①②④
【点睛】本题的难点是②和④，计算量都比较大，②的难点是过点A的切线方程与函数方程联立，得到交点C的坐标，这个求交点的过程需要计算能力比较好才可以求解出结果；④的难点是需根据正方形的几何关系，转化为代数运算，这种化归与转化会让很多同学感觉无从下手，同时运算量也比较大，稍有疏忽，就会出错，所以平时训练时，带参数的化简需所练习.
42．
【分析】根据给定函数，探讨其图象的对称中心，再利用对称性求出.
【详解】设函数图象的对称中心为，则有，
即，
整理得，比较系数可得，
因此函数图象的对称中心为，又，，且，
则点关于对称，所以.
故答案为：6
43．
【分析】求得函数的导函数，可得函数的对称点，再由，检验可得对称性，再由条件可得为的中点，计算可得所求和的值．
【详解】解：由题意，
所以，
令，则，令，解得，
当时，，
又，
可得函数的图象关于点对称，
由，可得为的中点，
则．
故答案为：
44．
【分析】由已知无变号零点可得，即，结合不等关系及基本不等式有，即可求目标式的值.
【详解】由题设，则，即，
所以，当且仅当时等号成立，
又，故，可得，
所以.
故答案为：
45． 2
【分析】由题，求出，通过可求得对称中心，由可知和关于对称，即可求的值；
构造，同理求出对称中心，通过讨论的单调性说明是一一对应的函数，即可由，得出和关于对称，即可求的值.
【详解】由题，，，由可得，的图像的对称中心为，即，
，所以和关于对称，故；
令，同理可求的对称中心，，，由可得，对称中心为，即，
，故，
由，故单调递增，即是一一对应的函数，故和关于对称，故，
故答案为：；2
46．
【分析】根据条件，由两条切线重合解得的解析式，进而得到的值.
【详解】由题知：，∴，
在处的切线为，即，
∵，，
∴在处的切线方程为：
又因为两条切线重合，∴，∴，
又∵，
∴，∴解得
∴，，
∴.
故答案为：.
47．
【分析】根据，得到是的零点也是极值点，也是的零点，设，求导，得到函数的单调性，进而得到的极大值，求出取值范围.
【详解】因为，
所以是的零点也是极值点，也是的零点，
不妨设，
故，
因为，所以，
故当或时，，单调递增，
当时，，单调递减，
可得的极大值，
因为，所以．
故答案为：