高中数学压轴题小题专项训练专题10切线问题含解析答案

这是一份高中数学压轴题小题专项训练专题10切线问题含解析答案，共58页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．设函数，直线是曲线的切线，则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
2．若过点与曲线相切的直线有两条，则实数的取值范围是（ ）.
A．B．C．D．
3．若曲线与曲线存在公切线，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
4．设函数，，若存在直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．已知曲线在点处的切线与圆也相切，当半径最大时圆的方程是（ ）
A．B．
C．D．
6．设对于曲线上任一点处的切线，总存在曲线上一点处的切线，使得，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．过直线上一点可以作曲线的两条切线，则点横坐标的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
8．若曲线与曲线有公切线，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
9．若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A．B．
C．D．
10．已知两点，和曲线，若C经过原点的切线为，且直线，则（ ）
A．B．C．D．
11．若函数与的图象存在公共切线，则实数a的最大值为（ ）
A．B．C．D．
12．若函数的图象上存在两条相互垂直的切线，则实数的值是（ ）
A．B．C．D．
13．若函数的图像上存在两个不同的点，使得在这两点处的切线重合，则称为“切线重合函数”，下列函数中不是“切线重合函数”的为（ ）
A．B．
C．D．
14．已知函数的图象经过两点，且的图象在处的切线互相垂直，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
15．经过曲线与的公共点，且与曲线和的公切线垂直的直线方程为（ ）
A．B．C．D．
16．设函数．过点作函数图象的所有切线，则所有切点的横坐标之和为（ ）
A．B．C．D．
17．已知过点不可能作曲线的切线．对于满足上述条件的任意的b，函数恒有两个不同的极值点，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
18．若曲线与曲线存在公切线，则实数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
19．已知两条不同的直线与曲线都相切，则这两直线在y轴上的截距之和为（ ）
A．－2B．－1C．1D．2
20．已知直线与函数的图象恰有两个切点，设满足条件的所有可能取值中最大的两个值分别为和，且，则（ ）
A．B．C．D．
21．已知函数，过点作的切线，若（），则直线的条数为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
22．我国著名数学家华罗庚先生说：“就数学本身而言，是壮丽多彩､千姿百态､引人入胜的……认为数学枯燥乏味的人，只是看到了数学的严谨性，而没有体会出数学的内在美.”图形美是数学美的重要方面.如图，由抛物线分别逆时针旋转可围成“四角花瓣”图案（阴影区域），则（ ）
A．开口向下的抛物线的方程为
B．若，则
C．设，则时，直线截第一象限花瓣的弦长最大
D．无论为何值，过点且与第二象限花瓣相切的两条直线的夹角为定值
23．假设直线与曲线相切，若切点唯一，则称直线与曲线单切；若切点有两个，则称直线与曲线双切；若还与曲线相交，则称直线与曲线交切.已知函数，则（ ）
A．直线与曲线双切
B．直线与曲线单切
C．直线与曲线交切
D．存在唯一的直线，与曲线单切且交切
24．已知直线与曲线相交于不同两点，，曲线在点处的切线与在点处的切线相交于点，则（ ）
A．B．C．D．
25．已知点，（）是函数（）图象上两点，则（ ）
A．对任意点A，存在无数个点B，使得曲线在点A，B处的切线倾斜角相等
B．若存在点A，B，使得曲线在点A，B处的切线垂直，则
C．若对于任意点A，B，直线AB的斜率恒小于1，则a的取值范围是
D．若且曲线在点A，B处的切线都过原点，则
26．若的图象在，处的切线分别为，，且，则（ ）
A．B．的最小值为2
C．直线，在轴上的截距之差的绝对值为2D．直线，在轴上的截距之积可能为
27．已知，若过点恰能作两条直线与曲线相切，其中，则m与n可能满足的关系式为（ ）
A．B．
C．D．
28．已知函数，下列结论中正确的是（ ）
A．函数恒有个极值点
B．当时，曲线在点处的切线方程为
C．若函数有个零点，则
D．若过点存在条直线与曲线相切，则
29．已知，为函数图象上两点，且轴，直线，分别是函数图象在点处的切线，且，的交点为，，与轴的交点分别为，则下列结论正确的是（ ）．
A．B．
C．的面积D．存在直线，使与函数图象相切
30．若直线与两曲线、分别交于、两点，且曲线在点处的切线为，曲线在点处的切线为，则下列结论正确的有（ ）
A．存在，使B．当时，取得最小值
C．没有最小值D．
31．已知函数，过点作曲线的切线，下列说法正确的是（ ）
A．当，时，有且仅有一条切线
B．当时，可作三条切线，则
C．当，时，可作两条切线
D．当时，可作两条切线，则b的取值范围为或
32．已知，若恒成立，则不正确的是（ ）
A．的单调递增区间为
B．方程可能有三个实数根
C．若函数在处的切线经过原点，则
D．过图象上任何一点，最多可作函数的8条切线
33．已知直线与曲线相交于不同两点，曲线在点处的切线与在点处的切线相交于点，则（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
34．在平面直角坐标系中，点在曲线上，且该曲线在点处的切线经过点（为自然对数的底数），则点的坐标是 ，切线方程为
35．若函数在不同两点，处的切线互相平行，则这两条平行线间距离的最大值为 .
36．已知函数，设曲线在点处切线的斜率为，若均不相等，且，则的最小值为 ．
37．如图，对于曲线G所在平面内的点O，若存在以O为顶点的角，使得对于曲线G上的任意两个不同的点恒有成立，则称角为曲线G的相对于点O的“界角”，并称其中最小的“界角”为曲线G的相对于点O的“确界角”.已知曲线C：（其中e是自然对数的底数），点O为坐标原点，曲线C的相对于点O的“确界角”为，则 .
38．设函数，曲线在点和点的两条切线相互垂直，且分别交轴于两点，则 ；的取值范围是 .
39．直线与曲线：及曲线：分别交于点A，B.曲线在A处的切线为，曲线在B处的切线为.若，相交于点C，则面积的最小值为 .
40．已知直线与曲线相切，则的最小值是 ．
41．已知函数的导函数为，点为函数上任意一点，则在点处函数的切线的一般式方程为 ，该切线在轴上截距之和的极大值为 ．
42．若曲线有三条经过点的切线，则的范围为 ．
43．设点P在曲线上，点Q在曲线上，则|PQ|的最小值为 .
44．曲线过点的切线也是曲线的切线，则 ；若此公切线恒在函数的图象上方，则a的取值范围是 .
45．曲线与曲线公切线（切线相同）的条数为 ．
46．已知函数，动直线与的图象分别交于A，B两点，曲线在点A和点B的两条切线相交于点C，当为直角三角形时，它的面积为 .
47．已知函数在处有极小值，则等于 ；若曲线有条过点的切线，则实数的取值范围是 ．
参考答案：
1．C
【分析】先设切点写出切线方程，再求的解析式，最后通过求导判断单调性求出最小值.
【详解】令的切点为，因为，
所以过切点的切线方程为，
即，所以，
所以，
令，则，
所以当时恒成立，此时单调递减，
当时恒成立，此时单调递增，
所以，所以，
故选：C
2．A
【分析】设切点坐标，根据导数的几何意义列等式，把有两条切线的问题转化为方程有两个解的问题，再把方程有两个解的问题转化为函数图像有两个交点的问题，结合函数图像求的范围即可.
【详解】设切点为，的导函数为，
可得切线的斜率，
由切线经过点，可得，
化简可得①，
由题意可得方程①有两解，
设，可得，
当时，，所以在上递减，
当时，，所以在上递增，
可得在处取得最大值，
如图所示，所以，解得.
故选：A.
3．D
【分析】求出两个函数的导函数，由导函数相等列方程，再由方程有根转化为求最值，求得的范围.
【详解】由，得；由，得，
因为曲线与曲线存在公切线，
设公切线与曲线切于点，与曲线切于点，
则，又，则，
将代入，得，则，
所以，令，则，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以，则的范围是.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，利用公切线的性质得到，从而得到关于的表达式，从而得解.
4．D
【分析】分别设出直线与两曲线的切点坐标，，利用导数的几何意义求出切线方程，根据题意得到，记且，利用导数与函数的单调性即可求解.
【详解】设直线为曲线在点处的切线，，
所以，即；
设直线为曲线在点处的切线，，
所以，即，
由题意知，因为，
由可得，
将其代入可得：，
显然，整理得.
记且，则，
当时，；当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，则，即，
化简得，解得.
故选：D.
【点睛】求曲线的切线问题主要分两大类：
一类是切点已知，那么只需将切点横坐标代入到原函数与导函数中求出切点和斜率即可；
另一类是切点未知，那么先要设出切点坐标，利用导数表示切线的斜率以及切线方程，根据所过的点求切点，得出切线方程.
5．D
【分析】首先利用导数的几何意义求得切线的方程，接着利用圆与直线相切得到，整理化简之后，利用基本不等式求出r的最大值，进而求得t的值，最后写出圆的方程.
【详解】因为，所以在处的取值为，
所以曲线在点处的切线的方程为： ，
即，
因为切线与圆也相切，
所以 ，
，
当且仅当时，有最大值，
此时圆的方程为：，
故选：D
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．
6．B
【分析】由题设两曲线任意一点切线斜率分别为、，根据垂直关系及指数函数、正弦函数的性质确定、的范围，进而判断包含关系，即可求参数范围.
【详解】由，则的切线斜率为，
由，则的切线斜率为，
而两曲线上总存在切线、有，即，
而，即，故，
所以，解得.
故选：B
【点睛】关键点点睛：由导数的几何意义及指数函数、正弦函数的性质确定切线斜率的范围，根据恒存在确定包含关系求参数范围.
7．C
【分析】根据导数的几何意义得出切线方程，再将方程的根的个数问题转化为函数与函数的图象的交点个数问题，结合图象，即可得出答案.
【详解】解：由题意得，设切点为，，
，，
则过点的切线方程为，整理得，
由点在切线上，则，即，
因为过直线上一点可以作曲线两条切线，
所以关于的方程有两个不等的实数根，
即函数与函数的图象有两个交点，
，
，
则函数在上单调递增，在上单调递减，且，
时，；时，，
则函数与函数的图象如下图所示：
由图可知，，
故选：C.
8．A
【分析】设公切线与函数切于点，设公切线与函数切于点，然后利用导数的几何意义表示出切线方程，则可得，消去，得，再构造函数，然后利用导数可求得结果.
【详解】设公切线与函数切于点，
由，得，所以公切线的斜率为，
所以公切线方程为，化简得，
设公切线与函数切于点，
由，得，则公切线的斜率为，
所以公切线方程为，化简得，
所以，消去，得，
由，得，
令，则，
所以在上递减，
所以，
所以由题意得，
即实数的取值范围是，
故选：A
【点睛】关键点点睛：此题考查导数的几何意义，考查导数的计算，考查利用导数求函数的最值，解题的关键是利用导数的几何意义表示出公切线方程，考查计算能力，属于较难题.
9．D
【分析】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果；
解法二：画出曲线的图象，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.
【详解】在曲线上任取一点，对函数求导得，
所以，曲线在点处的切线方程为，即，
由题意可知，点在直线上，可得，
令，则.
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
所以，，
由题意可知，直线与曲线的图象有两个交点，则，
当时，，当时，，作出函数的图象如下图所示：

由图可知，当时，直线与曲线的图象有两个交点.
故选：D.
解法二：画出函数曲线的图象如图所示，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.由此可知.

故选：D.
【点睛】解法一是严格的证明求解方法，其中的极限处理在中学知识范围内需要用到指数函数的增长特性进行估计，解法二是根据基于对指数函数的图象的清晰的理解与认识的基础上，直观解决问题的有效方法.
10．C
【分析】先求原点的切线的斜率，由，得，等价于，有解，结合根的存在性定理即可求解.
【详解】由，，设切点为
则过原点的切线的斜率为，所以切线方程为：，
代点，则，解得，即斜率为
由，得，
结合图形知．令，，
则，所以在上单调递减，在单调递增．
因为，，所以．
故选：C

11．B
【分析】分别设公切线与和的切点，，根据导数的几何意义列式，再化简可得，再求导分析的最大值即可
【详解】，，设公切线与的图象切于点，与曲线切于点，
∴，故，所以，∴，∵，故，
设，则，
∴在上递增，在上递减，∴，
∴实数a的最大值为e
故选：B.
12．C
【分析】求导，由导数的几何意义和直线垂直的性质，以及余弦函数进行求解.
【详解】因为，所以，
因为函数的图象上存在两条相互垂直的切线，
不妨设函数在和的切线互相垂直，
则，即①，
因为a一定存在，即方程①一定有解，所以，
即，解得或，
又，所以或，，
所以方程①变为，所以，故A，B，D错误.
故选：C.
13．D
【分析】“切线重合函数”的充分条件是，存在 有 ，据此逐项分析验证即可.
【详解】对于A， 显然是偶函数， ，
当 时， ，单调递减，当 时， 单调递增，
当 时， ，单调递减，当 时，单调递增；
在 时， ，都取得极小值，由于是偶函数，在这两点的切线是重合的，故A是“切线重合函数”；
对于B， 是正弦函数，显然在顶点处切线是重合的，故B是“切线重合函数”；
对于C，考察 两点处的切线方程， ，
两点处的切线斜率都等于1，在A点处的切线方程为 ，化简得： ，
在B点处的切线方程为 ，化简得 ，显然重合，
C是“切线重合函数”；
对于D， ，令 ，则 ，
是增函数，不存在 时， ，所以D不是“切线重合函数”；
故选：D.
14．D
【分析】构建，利用导数判断原函数单调性和值域，结合题意分析可知，运算求解即可.
【详解】因为，则，
构建，则，
当时，；当时，；
可知在上单调递增，在上单调递减，
且，当趋近于时，趋近于，
可知的值域为，
由题意可知：存在，使得，
则，即，解得，
所以的取值范围是.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：求的值域为，根据导数的几何意义分析可知存在，使得，结合值域分析求解即可.
15．B
【分析】首先联立与得到方程组，求出方程组的解，即可求出交点坐标，再设与和分别相切于，，利用导数的几何意义得到方程，求出，即可得到切线的斜率，再由点斜式求出所求直线方程.
【详解】由，消去整理得，
令，则，所以在上单调递增，
又，
所以方程组的解为，
即曲线与的公共点的坐标为，
设与和分别相切于，，
而，，
，，
，解得，
，即公切线的斜率为，
故与垂直的直线的斜率为，
所以所求直线方程为，整理得．
故选：B．
16．A
【分析】根据题意，所有切线过点，显然点不一定为切点，因此先设切点，，对求导，得切线斜率，从而写出切线方程，点坐标代入，得到关于的方程：
，注意到函数与函数都关于点对称，因此推出所有切点的横坐标也关于点成对出现，每对和为，当，时，数出共2019对，即可得出结论．
【详解】解：函数，
；
设切点为，切线的斜率为
故切线方程为：；
；
，
令 ；
这两个函数的图象关于对称，
所以他们交点的横坐标关于点对称；
从而所做所有切点的横坐标也关于点成对出现；
又在区间内共有对，每对和为，
所有切点的横坐标之和为．
故选：．
【点睛】本题考查了函数曲线上切线方程的求法，转化思想，数形结合的思想方法，属于难题．
17．A
【分析】先根据已知条件求得的取值范围，然后由进行转化，换元后通过构造函数法，结合导数来求得的取值范围.
【详解】设是曲线上的任意一点，，
所以在点处的切线方程为，
代入点得，，
由于过点不可能作曲线的切线，
则直线与函数的图象没有公共点，
，
所以函数在区间上导数大于零，函数单调递增；
在区间上导数小于零，函数单调递减，
所以当时，函数取得极大值也即是最大值，
则．
对于满足此条件的任意的b，函数恒有两个不同的极值点，
等价于恒有两个不同的变号零点，
等价于方程有两个不同的解．
令，则，，
即直线与函数的图象有两个不同的交点．
记，则，
记，则，
所以在上单调递增．
令，得．
当时，，当时，，
所以在上单调递减，上单调递增．
所以．
所以．因为，所以，所以．
即实数a的取值范围是．
故选：A
【点睛】求解切线有关问题，关键点有3个，第一个是要判断已知点是在曲线上还是在曲线外；第二个是切点的坐标，切点既在曲线上，也在切线上；第三个斜率，斜率可利用导数求得，也可以利用直线上两点坐标来求得.
18．A
【分析】求出函数的导函数，设公切线与切于点，与曲线切于点，，即可得到，则或，从而得到，在令，，利用导数求出函数的最小值，即可得解；
【详解】因为，，
所以，，
设公切线与切于点，与曲线切于点，，
所以，
所以，所以，所以或，
因为，所以，所以，
所以，
令，，
则，所以当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以实数的最小值为.
故选：A
【点睛】思路点睛：涉及公切线问题一般先设切点，在根据斜率相等得到方程，即可找到参数之间的关系，最后构造函数，利用导数求出函数的最值.
19．A
【分析】设曲线上切点为，曲线上切点为，由切线斜率得，消去得，设，利用导数证明其有两解，并且两解的积为1，从而得出曲线上两个切点的横坐标积为1，写出切线方程得出纵截距并求和即得．
【详解】设曲线上切点为，曲线上切点为，
，，
因此有，消去得，
设，
，易知在上是增函数，
，，
因此在也即在上有唯一解，时，，递减，时，，递增，
，，
，而，
，
因此在和上各有一解．
设的解分别为，
即，又，所以也是的解，即，，
所以方程有两解且，
于是切线方程为，在轴上截距为，同理另一条切线在轴上截距是，
两截距和为．
故选：A．
【点睛】未知切点时求函数图象切线的方法：设切点为为，求出导函数，由导数的几何意义得出切线方程，然后代入已知条件求出切点坐标后即可得切线方程．
20．B
【分析】根据结论恒成立可只考虑的情况，假设切点坐标，则只需考虑，，其中的情况，可将表示为；构造函数，，利用导数可求得的单调性，从而对进行放缩即可求得所求范围.
【详解】对于任意，，，的范围恒定，
只需考虑的情况，
设对应的切点为，，，
设对应的切点为，，，
，，，
只需考虑，，其中的情况，
则，
，其中，
；
又，，
，；
令，则，
在上单调递增，，
设，
，又，，
；
令，则，
令，则，
在上单调递增，
，
即，在上单调递减，，
，；
综上所述：.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题考查导数与三角函数综合应用问题，解题关键是能够采用特殊值的方式，考虑不含变量的函数的情况，采用构造函数的方式对所求式子进行放缩，从而求得的范围.
21．C
【分析】先得到在处的切线方程为，点一定不在上，一定为过的一条切线，再设切点坐标为，，得到切线方程，将代入，化简得到，，构造函数，求导，得到其单调性，从而得到除外，过点作的切线还有一条，得到答案.
【详解】，令，则，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
，故在R上单调递增，
又，，故在处的切线方程为，
点在上，
故上只有点满足，
又因为，所以，故点一定不在上，
且一定为过的一条切线，
设切点为，，则切线的斜率为，
故切线方程为，
因为在切线上，故，
整理得，
由可知，恒成立，
故，，
令，，
则
，
令，则在上恒成立，
故在上单调递增，
又，当时，，当时，，
又时，，时，，
故恒成立，在上单调递增，
故，只有1个根，
即除外，过点作的切线还有一条，共2条.
故选：C
【点睛】应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：
(1) 已知切点求斜率,即求该点处的导数；
(2) 己知斜率求切点即解方程；
(3) 已知切线过某点(不是切点) 求切点, 设出切点利用求解.
22．ABD
【分析】根据图象的对称性判断A；由及抛物线方程得到点的坐标，由对称性得到点坐标，代入即可求，判断B；由题意得到直线截第一象限花瓣弦长的函数，借助导数即可判断C；利用导数的几何意义求出过点的切线，借助图象的对称性判断D.
【详解】对于A，因为抛物线的焦点为，
若抛物线逆时针旋转，则开口向下，焦点为，
故开口向下的抛物线方程为：，故A正确；
对于B，由题意可知，关于轴对称，
因为，设，所以，，
因为点在抛物线上，所以，
所以，即，所以，
由在抛物线上，所以，解得，故B正确；
对于C，当，由得，所以，
由题意直线截第一象限花瓣弦长为，，
所以，令，则，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
所以当时，函数取到最大值，故C错误；
对于D，由得，
过第二象限的两抛物线分别为：①，②，
对于①，，则，设切点坐标为，
所以过点的切线方程为：，
将点代入得，解得，
因为，故，
所以切线的斜率为，故无论为何值，切线斜率均为，其与直线的夹角为定值，
由题意可知，与关于直线对称，
故过点的两切线也关于直线对称，故的切线与直线的夹角为定值，
即无论为何值，过点且与第二象限花瓣相切的两条直线的夹角为定值，故D正确.
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：本题的关键是借助抛物线图象的对称性，利用导数的几何意义和导数求单调性及最值解决问题.
23．AC
【分析】利用函数的图象可作出的图象，数形结合，即可判断A，C；结合单切的含义以及导数的几何意义可判断B；根据函数图象的对称性可判断D.
【详解】令，则，
令或；令；
则在上单调递增，在上单调递减，
的极大值为，极小值为，
且时，或，
由此可得的图象，继而可作出的图象，如图：
对于A，C，直线与曲线相切，切点为，
故直线与曲线双切，同时还与曲线相交，
故直线与曲线交切，A，C正确；
对于B，由于，则，故曲线不存在斜率为的切线，
令，解得，即曲线斜率为4的切线的切点横坐标位于内，
结合的图象知：曲线斜率为的切线的切点横坐标位于内，故作出直线与曲线相交，B错误；
对于D，由于定义域为R，满足，故为偶函数，其图象关于y轴对称，
故不存在唯一的直线，与曲线单切且交切，
否则若存在直线与曲线单切且交切，如图，则必存在关于y轴对称的直线与曲线单切且交切，D错误，
故选：AC
24．ACD
【分析】对于A，构造函数，计算即可判断；对于B，写出点处的切线程联立并化简得，而，计算即可判断；对于C，根据斜率相等可得，为两切线的交点代入化简得，再计算可得；对于D，根据，计算即可判断.
【详解】令，则，
故时，递增；时，递减，
所以的极大值，且，，
因为直线与曲线相交于､两点，
所以与图像有2个交点，
所以，故A正确；
设，且，可得，
在点处的切线程为
，得，即，
因为，所以，即，故B错误；
因为，所以，
因为为两切线的交点，
所以，
即，所以，
所以，故C正确；
因为，所以，所以，
同理得，得，即，
因为，所以，故D正确.
故选：ACD.

【点睛】方法点睛：判断B，关键在于根据切线方程联立求得，而两点得斜率即为直线得斜率得，化简可得；判断C，根据斜率相等得，根据在切线上，代入化简计算可得，计算得后即可判断，判断D，关键在于利用不等式进行计算化简即可判断.
25．ABD
【分析】选项A，转化为在点A，B处导数值相同，由方程有无数解可得；选项B，转化为在点A，B处导数值之积为，方程有解可得参数的范围；选项C，转化为函数单调递减，利用导数小于等于恒成立可求；选项D，由切线斜率的两种求法建立等量关系可得.
【详解】对于A，因为，
要使，则，
得，
所以，，即对任意，的值有无数个，故A正确：
对于B，若存在点A，B，使得曲线在点A，B处的切线垂直，
即存在，使得，
因为，，
则且，即，
则的最小值为，
故要使有解，
则有，
解得，满足条件，故B正确；
对于C，对于任意点A，B，直线AB的斜率恒小于1，
则，即，
所以在上是减函数，
所以恒成立，
设，，且，
所以要使恒成立，则，即，故C错误；
对于D，曲线在点A，B处的切线都过原点，
由，则点均不与原点重合，设曲线在处切线的斜率为，
则，由切线过原点，
则切线即直线的斜率，
所以，化简得，
若时，则，这与矛盾，
故，所以有，
同理可得，
所以由，得，故D正确．
故选：ABD．
【点睛】方法点睛：导数与切线有关的问题处理的关键在于以下三个关系的应用：
（1）切点在切线上，即切点的坐标满足切线的方程；
（2）切点在函数图象上，即切点的坐标满足函数的解析式；
（3）在切点处的导数值等于切线的斜率，即斜率的求法可以通过求导运算，也可以通过两点斜率坐标公式求解，或通过算两次建立等量关系.
26．AC
【分析】根据及导数的几何意义得，再借助于基本不等式即可判断A、B，写出、的方程，得到、在轴上的截距，由此判断C，D.
【详解】对于A、B：由题意可得，当时，，
当时，，所以的斜率分别为，
因为，所以，得， 故A正确.
因为，所以， 因为，所以取不到最小值，故B错误．
对于C、D：的方程为，即，
令，得，所以在轴上的截距为，
的方程为，可得在轴上的截距为，
所以在轴上的截距之差为，故C正确.
在轴上的截距之积为，故D错误．
故选：AC
【点睛】关键点点睛：本题关键是找到，各选项均是建立在此结论的基础上，由可求的最小值；转化为的问题都可以利用计算.
27．AD
【分析】利用导数的几何意义求出的切线方程，从而得到，进而将问题转化为与的图象有2个交点，利用导数研究的图像，从而结合图像得到的关系式，从而得解.
【详解】设切点坐标为，因为，则，切线斜率为，
所以，曲线在处的切线方程为
将点的坐标代入切线方程可得，
过点恰能作两条直线与曲线相切，
即方程有2个解，即，
与的图象有2个交点，
，
若，令，得或，令，得，
即在上单调递减，在和上单调递增，

若，令，得或，令，得，
即在上单调递减，在和上单调递增，

又，，
故由图可知，当或时，与的图象有2个交点，
此时，或.
故选：AD.
【点睛】关键点睛：解题的关键在于利用导数的几何意义求出切线方程后，把代入切线方程，将其转化为两个函数的交点问题，求解即可.
28．BCD
【分析】先求导根据参数不同判断极值点个数，然后化归思想把零点问题和切线条数问题转化为方程的根进而转化为函数的交点的个数的问题即可.
【详解】因为，所以，
对于A：因为恒成立，所以当时，此时单调递减，
所以此时不存在极值点，故A错误；
对于B：当，，，所以，
又，所以切线方程为，即，故B正确；
对于C：函数有2个零点等价于方程有两个根，
即有两个根，
令，则，
当时，，当时，,
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，当时，当时，
所以要使得有两个根，则，
所以，故C正确；
对于D：设切点坐标为，则，
又因为切线经过点，所以，
所以，解得，
令，则，所以，
因为过点存在2条直线与曲线相切，所以方程有两个不同的解，
令，则，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，当时，当时，
所以要使得方程有两个根，则，故D正确，
故选：BCD
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
29．ACD
【分析】对于选项A，可以分别求得两点处的斜率，利用斜率之积即可判断；
对于选项B，分析条件可得且，由特殊值即可判断；
对于选项C，根据两点处的切线方程可得点的对应坐标，继而可以表示的面积，即可判断；
对于选项D，设与函数图象相切于点，利用公切线切点斜率相等建立方程，判断方程是否有解即可.
【详解】解:由及图像可得，
而轴，故，
∴，即，
∴
∴，
显然A正确；
当时，，显然，B错误(也可以用基本不等式或对勾函数判定)；
，C正确；
设与函数图象相切于点，由题意可得：，
化简得,
令，则，即在定义域上单调递增，
有，故上存在使得，D正确.
故选：ACD
【点睛】本题关键在于表示两条切线的方程，利用即可解决前三个选项，对于公切线问题关键在于设切点，利用导数的几何意义转化为单变量问题，再利用导数判断方程根的问题，属于难题.
30．ABD
【分析】求出直线、的方程，利用导数的几何意义结合零点存在定理可判断A选项；利用函数的最值与导数的关系以及导数的几何意义可判断BC选项；利用对勾函数的单调性可判断D选项.
【详解】对于A选项，由直线与两曲线、分别交于、两点可知．
曲线上点坐标，可求导数，则切线斜率，
曲线上点坐标，可求得导数，则切线斜率．
令，则，令，则，
所以，函数在上为增函数，
因为，，
由零点存在定理，使，即，使，即，故A正确；
对于BC选项，，令，其中，则，
由A选项可知，函数在上为增函数，
且，，
所以，存在使得，即，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
故当时，取最小值，即当时，取得最小值，故B正确，C错；
对于D选项，由可得，则，
令，则函数在上为减函数，
因为，，，且，
又因为函数在上为增函数，所以，，
所以，，D对.
故选：ABD.
【点睛】方法点睛：求函数最值的方法：
（1）求函数在闭区间上的最值：
①求出函数的导数；②解方程，求出使得的所有点；
③计算出在区间上使得的所有点以及端点的函数值；
④比较以上各个函数值，其中最大的为函数的最大值，最小的为函数的最小值.
（2）求函数在开区间或无穷区间上的最值：先求出函数在给定区间上的极值，再结合单调性、极值情况、函数的正负情况作出函数的大致图象，结合图象观察分析得到函数的最值.
31．AD
【分析】分点为切点、不为切点两种情况，求出切线方程可判断A；设切点坐标为，利用导数求出切线方程为，当时，，设，利用导数求出单调性，结合图象可判断B；当时，求出，设，利用导数求出单调性，结合图象可判断C；当时，由切线方程为得则，设，利用导数判断出 单调性，结合图象可判断D.
【详解】A：当时，点在上，，
若为切点，则切线斜率为，所以切线方程为，
若不为切点，设切点坐标为，所以，
切线斜率为，所以，，即切点为原点，所以时，有且仅有一条切线，正确；
B：设切点坐标为，所以，，
则切线的斜率为，切线方程为，
当时，，则，
设，则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以时有极小值，为，时有极大值，为，
时，画出的图象，
当时，若有三条切线，则与有3个交点，由图得，错误；
C：当时，由切线方程得，则，
设，则，
所以单调递减，且，
如图，
所以当，时，与有且只有一个交点，所以只能作一条切线，错误；
D：当时，由切线方程为得，则，
设，则，
因为，所以当时，单调递增，
所以当时，单调递减，
所以当时，单调递减，
时，有极小值为，
时，有极大值为，
的图象为
若有两条切线，则的取值为或，正确.
故选：AD.
【点睛】方法点睛：利用导数研究含参函数零点问题主要有两中方法：
（1）利用导数研究函数的最（极）值，转化为函数图象与轴的交点问题，主要是应用分类讨论思想，其本质就是在含参函数单调性的基础上再判断函数零点个数问题；
（2）分离参变量，即由分离参变量，得，研究与图象交点问题.
32．ABC
【分析】A选项，根据，得到，画出函数图象，可得单调区间；
B选项，结合函数图象得到方程的根的个数；
C选项，分和两种情况，得到或；
D选项，设上一点，分M为切点和不是切点，结合函数图象可得过图象上任何一点，最多可作函数的8条切线.
【详解】A选项，因为函数，时，由于恒成立，
故要想恒正，则要满足，
时，恒成立，，
当时，在恒成立，
故在单调递增，又当时，，
故在上恒成立，满足要求，
当时，令，故存在，使得，
当时，，当时，，
故在上单调递减，
又当时，，故时，，不合题意，舍去，
综上：，
当时，，，
且，画出函数图象如下，
故的单调递增区间为，A错误；
B选项，可以看出方程最多有两个实数解，不可能有三个实数根，B错误；
C选项，当时，，则，
则函数在处的切线方程为，
将代入切线方程得，解得，
当时，，则，
则函数在处的切线方程为，
将代入切线方程得，，
其中满足上式，不满足，故C错误；
D选项，当时，设上一点，
，当切点为，则，
故切线方程为，此时有一条切线，
当切点不为时，设切点为，
则，此时有，
即，其中表示直线的斜率，
画出与的图象，
最多有6个交点，故可作6条切线，
时，当切点不为时，设切点为，
则，，，
，，
结合图象可得，存在一个点，
使得过点的切线过上时函数的一点，
故可得一条切线，
当M点在时的函数图象上时，由图象可知，
不可能作8条切线，综上，过图象上任何一点，
最多可作函数f(x)的8条切线，D正确.
故选：ABC
【点睛】应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点求斜率,即求该点处的导数；(2) 已知斜率求切点,即解方程；(3) 已知切线过某点(不是切点) 求切点, 设出切点,利用求解.
33．ACD
【分析】对于A，构造函数，计算即可判断；对于B，写出、点处的切线程联立并化简得，而，计算即可判断；对于C，根据斜率相等可得，为两切线的交点代入化简得，再计算可得；对于D，根据，计算即可判断.
【详解】对A，令，则，
故时，单调递增；时，单调递减，
所以的极大值，且，，
因为直线与曲线相交于､两点，
所以与图象有个交点，所以，故A正确；
对B，设，且，可得，
在点处的切线程为
，得，
即，
因为，所以，即，故B错误；
对C，因为，所以，
因为为两切线的交点，
所以
，
即，所以，
所以
，故C正确；
对D，因为，，所以，
又因为，所以，所以，
同理得，得，即，
因为，所以，
所以，即，故D正确.
其中不等式①的证明如下：
不等式①（其中），
构造函数，则．
因为，所以，所以函数在上单调递减，故，从而不等式①成立.
故选：ACD.

【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
34．
【分析】求导，根据点斜式得切线方程，代入可得，构造函数，求导，根据函数的单调性结合，可得，即可求解.
【详解】设点，则.又，
当时，，
曲线在点A处的切线方程为，即，
代入点，得，即，
记，当时，，当时，，
且，当时，单调递增，
注意到，故存在唯一的实数根，此时，
故点的坐标为，切线方程为，
故答案为：，
35．
【分析】先对函数求导，得导函数是偶函数，由在A，B两点处切线互相平行，可得，计算原点O到点A处切线的距离的最大值后可得两条平行线距离最大值.
【详解】由题意有，设，
所以函数在点A处的切线方程为，
所以原点O到点A处切线的距离为，
因为，
所以
当且仅当时等号成立，
因为是偶函数，且在A，B两点处切线互相平行，
所以，即在A，B两点处切线关于原点对称，
所以这两条平行线间的距离的最大值为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于利用是偶函数，得到两条切线关于原点对称，故两条平行线距离最大值即为原点O到点A处切线的距离最大值的2倍.
36．18
【分析】求出函数的导数，可得的表达式，由此化简推出，结合说明，继而利用基本不等式，即可求得答案.
【详解】由于，
故，
故，，
则
，
由，得，
由，即，知位于之间，
不妨设，则，
故，
当且仅当，即时等号成立，
故则的最小值为18，
故答案为：18
【点睛】关键点睛：本题考查了导数的几何意义以及不等式求最值的应用，解答的关键是利用导数的表达式推出，并说明，然后利用基本不等式求最值即可.
37．1
【分析】求过原点曲线的两条切线，求解两切线的夹角即可.
【详解】函数，
因为，
所以该函数在单调递减，在单调递增.
过原点作的切线，设切点，
由，则切线的斜率为，
直线过，
∴，∴，
即，由函数与的图象在有且只有一个交点，
且当时满足方程，故方程有唯一解，则；
过原点作的切线，设切点，
由，得切线的斜率，
则切线过原点，
则有，∴，
则，则有，
∴两切线垂直，曲线C的相对于点O的“确界角”为，
则，.
故答案为：1.
38． 2
【分析】结合导数求得切线的方程，由此求得的坐标，结合两条切线相互垂直求得.求得，由此求得的取值范围.
【详解】当时，；当时，，
依题意可知，且，
切线分别是，
，
故，
由两切线垂直知，
；
由两点间的距离公式得，，
.
故答案为：；
39．2
【分析】利用导数的几何意义，设出直线，求出交点的横坐标，从而求出，再利用基本不等式即可求出结果.
【详解】设，
由，得到，由，得到
所以由导数的几何意义得：，
，联立方程解得：
的面积，
令，所以，
当且仅当，即时取等号.
故答案为：2
40．
【分析】设出切点，得到方程组，得到，故，构造，利用导函数求出最小值，得到答案.
【详解】直线与曲线相切，设切点为，
则，所以，
因为，所以，
即，
又，，故，
将代入得，，
解得，
故，
令，
则，当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
故在处取得极小值，也时最小值，
故，
故的最小值为-1.
故答案为：-1
【点睛】当已知切点坐标为时，根据导函数的几何意义可得到切线的斜率，再利用求出切线方程；
当不知道切点坐标时，要设出切点坐标，结合切点既在函数图象上，又在切线方程上，列出等式，进行求解.
41．
【分析】根据题意，求得，利用导数的几何意义，求得切线方程，再求得坐标轴上的截距，得到，求得，得到函数的单调区间，进而求得极大值.
【详解】由函数，可得，
所以，解得，所以，则，
所以在点处的切线方程为，即，
令，可得；令，可得，
设，可得，
令，即，解得，
当或时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，当时，函数取得极大值，极大值为.
故答案为：；.
42．
【分析】求导后对导函数求导分析函数的凹凸性，再数形结合分析相切的临界条件，从而可得.
【详解】由题意，
令，则，
令可得或.
故当和时，单调递增，图象往下凸；
当时，单调递减，图象往上凸.

又经过的切线方程为，即，
令可得，又经过的切线方程为，故当时有三条经过点的切线.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：求导分析函数切线的问题，需要根据题意求导，并求导数形结合分析切线斜率的单调性，进而可得函数的凹凸性，从而分析切线可能的情况，属于难题.
43．
【分析】令、，易知分别由已知函数向上平移一个单位得到且互为反函数，即关于，所以仅需P、Q关于对称且两点处切线平行于时|PQ|的最小，利用导数的几何意义求点坐标，结合点线距离公式及对称性即可求最小值.
【详解】令、分别向上平移一个单位可得、，而与关于对称，
∴当两条曲线在P、Q处的切线均与平行时，P、Q关于对称，|PQ|有最小，对应曲线平移到、后，P、Q关于对称即可，
∴令，则，
∴有，则，即，
∴到的距离，
∴.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：令、有原函数由它们经过同样的平移得到，且、关于对称，即当P、Q在、上的对应点关于对称且切线与平行时|PQ|最小.
44．
【分析】根据导数的几何意义可求出；将此公切线恒在函数的图象上方，转化为恒成立，再构造函数，利用导数求出最小值即可得解.
【详解】由得，
设曲线过点的切线的切点为，
则切线的斜率为，切线方程为，
由于该切线过点，所以，
设该切线与曲线切于，因为，所以，所以该切线的斜率为，
所以切线方程为，将代入得，得，
所以，所以，所以，所以.
由以上可知该公切线方程为，即，
若此公切线恒在函数的图象上方，
则，即恒成立，
令，则，
令，得，得，
令，得，得或，
所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
因为时，，所以当时，取得最小值.
所以.
【点睛】关键点点睛：求解第二个空时，转化为不等式恒成立，利用导数求解是解题关键.
45．1
【分析】由已知，分别根据两函数的解析式，设出切点写出共切线方程，然后利用待定系数法找到与之间的关系，消掉得到一个关于的函数关系，然后设出函数，利用导数研究函数的单调性和零点即可完成求解.
【详解】由已知，的导数为，的导数为，
设公切线在函数切点为（），函数的切点为，
则切线为，，两切线相同，
则有，消去，整理得，
记，则，
当时，，递减，
且，，
因此在上只有一解，即方程只有一解，
因此所求公切线只有一条．
故答案为：1.
46．1
【分析】根据题意，可得是偶函数，则关于轴对称，C在轴上，设，不妨设点在轴右侧，利用导数的几何意义求出，根据直线与直线垂直，可求得，再求出切线的方程得点坐标，求出.
【详解】由，，
又，所以函数是偶函数.
如图，由对称性可得直线与图象的交点关于轴对称，曲线在点A和点B的两条切线的交点C在轴上，
设，不妨设点在轴右侧，则，即，得，
又，所以曲线在点处切线的斜率为，由对称性得，
，解得，即.
所以切线的方程为，令，解得，
，.
故答案为：1.

【点睛】思路点睛：先证明函数是偶函数，由对称性可得关于轴对称，C在轴上，设出，根据，求出，再求出切线的方程求得点坐标，进而求出三角形的面积.
47．
【分析】利用导数分析函数的单调性，分析可知，根据函数的极小值点可求得的值；设切点为，利用导数写出切线方程，将点的坐标代入切线方程，可知方程有三个不等的实根，设，利用导数分析函数的单调性与极值，分析可知函数与函数的图象有三个公共点，数形结合可得出实数的取值范围.
【详解】因为，则，
由可得或，且与同号，
因为函数在处有极小值，即函数的极小值点为正数，
则必有，此时，，列表如下：
所以，函数的极小值点为，故，则，
设切点为，因为，则，
所以，切线方程为，
将点的坐标代入切线方程可得，
令，则，令，可得或，列表如下：
由题意可知，函数与函数的图象有三个公共点，如下图所示：

由图可知，当时，直线与函数的图象有三个公共点，
因此，实数的取值范围是.
故答案为：；.
【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.
增
极大值
减
极小值
减
减
极小值
增
极大值
减