高中数学压轴题小题专项训练专题17解三角形的范围（最值）问题含解析答案

这是一份高中数学压轴题小题专项训练专题17解三角形的范围（最值）问题含解析答案，共29页。试卷主要包含了单选题，填空题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．在锐角中，角的对边分别为的面积为，若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．设是的外心，点为的中点，满足，若，则面积的最大值为（ ）
A．2B．4C．D．8
3．在中，角所对应的边分别为，设的面积为，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
4．在锐角中，角的对边分别为，且的面积，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
5．在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积为S，若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
6．已知中，角所对的边分别为，若，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
7．已知锐角三角形中，角所对的边分别为的面积为，且，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．在等边三角形的三边上各取一点，，，满足，，，则三角形的面积的最大值是（ ）
A．B．C．D．
9．在中，的平分线交AC于点D，，，则面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．16
二、填空题
10．的内角所对的边分别为.已知，，点是外一点，平分，且，则的面积的取值范围为 .
11．已知锐角中角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，，则的取值范围是 ．
12．锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，若，则面积S的取值范围 .
13．中，为边上的中线，，则的取值范围是 ．
14．已知四边形中，，，设与面积分别为，．则的最大值为 ．
15．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则的最大值为 ．
16．已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其外接圆半径为为边BC的中点，，为钝角，则的取值范围是 ．
17．在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且，则的取值范围为 .
18．在中，角、、所对的边分别为、、，若为锐角三角形，且满足，则的取值范围是 .
19．四边形ABCD中，，，，设△ABD与△BCD的面积分别为，，则的最大值为 .
20．在锐角中，角所对的边分别为，且，则= ， 的取值范围为 .
21．在中，是的角平分线，且的面积为1，当最短时， ．
22．在中，内角的对边分别为，若且为的外心，为的重心，则的最小值为 ．
23．已知内接于单位圆，以BC，AC，AB为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为，，．若，则的面积最大值为 ．
24．在锐角三角形中，角所对的边为，且.若点为的垂心，则的最小值为 ．
25．如图，在三角形中，若，，，则的长度的最大值为 .

参考答案：
1．C
【分析】由面积公式与正余弦定理化简后得出关系后求解
【详解】由题意，而，
所以，由余弦定理得，
故，
又由正弦定理得，
整理得，
故或（舍去），得，
因为是锐角三角形，
故，
解得，故，
.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：关键是适当结合正弦定理、余弦定理进行边角转换由此即可顺利得解.
2．B
【分析】首先由，，结合余弦定理得出，进一步由三角形面积公式、同角三角函数关系恒等式得，由此即可得解.
【详解】
因为，，
所以，
从而，即，
所以，所以，
所以的面积为
，
等号成立当且仅当，
综上所述，面积的最大值为4.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：关键是依次得出，，由此即可顺利得解.
3．A
【分析】由面积公式和余弦定理，基本不等式对进行变形，得到关于的关系式，结合三角函数的有界性，列出关于t的不等式，求出最大值.
【详解】，，
则设
所以，即
，
故选：A.
【点睛】三角函数最值问题，要充分使用题干中的条件及一些工具，比如正余弦定理，面积公式，基本不等式等对不等式进行变形，这道题目的难点在于使用了三角函数的有界性，辅助角公式来求解最值.
4．B
【分析】先由三角形面积公式求出，然后引入参数，将所求表示为的函数，再根据正弦定理边化角、诱导公式、两角和差得，注意到在锐角中，有，从而可以求出的范围，由此即可得解
【详解】由三角形面积公式结合，可知，即，
又由平方关系，所以，即，
解得或（舍去），
由余弦定理有，所以，
令，所以 ，故只需求出的范围即可，
由正弦定理边化角得，
注意到在锐角中，有，简单说明如下：
若，则，即不是锐角，但这与是锐角三角形矛盾，
所以在锐角中，有，
所以在锐角中，有，
因为正切函数在上单调递增，
所以，
从而，
而函数在单调递减，在单调递增，
所以.
综上所述：的取值范围为.
故选：B.
【点睛】关键点睛：本题考查了正余弦定理综合应用，以及诱导公式、两角和差的正弦公式等来化简表达式，关键就是将所求化繁为简，化未知为已知，并且注意锐角三角形的特殊性，即注意到在锐角中，有，结合以上关键点即可顺利求解.
5．C
【分析】由面积公式与正余弦定理化简后得出关系后求解
【详解】在中，，
故题干条件可化为，由余弦定理得，
故，又由正弦定理化简得：
，
整理得，故或（舍去），得
为锐角三角形，故，解得，故
故选：C
6．C
【分析】根据题意，求得，再由，求得，结合余弦定理和基本不等式，即可求解.
【详解】因为，可得，
即，即，
可得，
因为，则，所以，解得，
又因为，所以，所以，
所以，由余弦定理得，所以，
所以，即，当且仅当时等号成立.
故选：C．
7．A
【分析】根据面积公式，余弦定理和题干条件得到，结合正弦定理得到，由为锐角三角形，求出，从而求出，求出的取值范围.
【详解】因为，所以，
即，
所以，
整理得：，
因为，
所以，
由正弦定理得：，
因为，
所以，
因为为锐角三角形，
所以为锐角，
所以，即，
由，解得：，
因为，
所以，
解得：，
故选：A
【点睛】三角形相关的边的取值范围问题，通常转化为角，利用三角函数恒等变换及三角函数的值域等求出边的取值范围，或利用基本不等式进行求解.
8．A
【分析】首先求出，设，，在、分别利用正弦定理表示出、，从而得到，利用三角恒等变换公式及辅助角公式求出的最大值，即可求出三角形面积最大值.
【详解】因为，，，所以，
设，，
则，，，
在中由正弦定理，即，
所以，
在中由正弦定理，即，
所以，
所以
（其中），
所以，
则，
即三角形的面积的最大值是.
故选：A
【点睛】关键点点睛：本题关键是用含的式子表示出、，再利用三角恒等变换公式及辅助角公式求出.
9．A
【分析】设，即可表示出，，在和中，利用正弦定理表示出、，再根据面积公式及三角恒等变换公式化简得到，即可求出三角形面积的最小值；
【详解】设，则，
，
在中，由正弦定理，故；
在中，由正弦定理，故；
所以
，
当且仅当即时取等号，故面积的最小值为.
故选：A
【点睛】关键点点睛：在和中，利用正弦定理表示出、，再根据面积公式及三角恒等变换公式求面积的最小值.
10．
【分析】根据条件，利用正弦定理得到，，从而得到，令，得到，构造函数，利用导数与函数单调性关系，求出的单调区间，即可求解.
【详解】如图，由正弦定理，得到，
，得到，
又平分，所以，
因为四边形的内角和为，且，易知，
所以，
设，则，
令，
则，
因为在中，所以，所以，
故恒成立，又在区间单调递减，
当，时，，当，时，，
所以，得到，
故答案为：.
11．
【分析】由正弦定理将边化成角后得到，再用辅助角公式得到，再结合正弦函数的单调性和角的范围求出结果即可.
【详解】因为，且，故，
设三角形外接圆半径为，由正弦定理得：，
故
．
因为是锐角三角形，故，且，故，
即，又，
令锐角满足，故，，且，
故在上单调递增，在上单调递减，
故时，取得最大值．
又时，，
又当时，，
故的取值范围是．
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用正弦定理把化成，然后再结合角的范围和三角函数的值域求出结果.
12．
【分析】本题为正余弦定理的综合运用题型，先利用正余弦定理进行角化边得出角A，再根据已有条件选定面积公式为，面积变为关于边c的函数，再利用角B和角C的关系进行边化角和角归一即可求出答案.
【详解】因为，所以由正弦定理有，整理得，
所以由余弦定理有，又，所以，
又，所以由正弦定理有，
因为为锐角三角形，所以且，所以，
所以，则，所以，即，
所以.
故答案为：.
13．
【分析】结合向量数量积的运算求得的关系式，设代入上述关系式，结合一元二次方程根的分布求得，也即的取值范围.
【详解】设，为正数，
依题意：中，为边上的中线，，
，两边平方得，
，①，
设，代入①得，
整理得②，此方程至少有个正根，
首先，解得③，
在三角形中，由余弦定理得恒成立，
即恒成立，整理得恒成立，
由于，当且仅当时等号成立，
所以，结合③可得.
对于方程②：
若对称轴，方程②变为，符合题意.
若对称轴，则方程②至少有一个正根，符合题意，
若对称轴，要使方程②至少有一个正根，则需，解得.
综上所述，也即的取值范围是.
故答案为：
【点睛】有关三角形中线长度问题的求解，可考虑利用向量运算来建立关系式.有关三角形边长的和、差的取值范围，可考虑余弦定理（或正弦定理），结合基本不等式（或三角函数的取值范围）等知识来求解.
14．
【分析】根据余弦定理得到，利用三角形面积公式得到，得到最大值.
【详解】四边形中，，，
设与面积分别为，，
则，．
在中，利用余弦定理：，
即，
在中，利用余弦定理：，
即，
所以．
则
，
当，即时，最大值，最大值为，
故答案为：
15．
【分析】利用正余弦定理，结合三角恒等变换得到，再利用基本不等式即可得解.
【详解】由余弦定理得，
两式相减得，
因为，所以，
由正弦定理得，
即，
所以，
则，
因为在中，不同时为，，故，
所以，
又，所以，则，故，则，
所以
，
当且仅当，即时，等号成立，
则的最大值为.
故答案为：.
【点睛】易错点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
16．
【分析】解法一：利用正弦定理求得，延长AD到点E，使得，连接BE，CE，设，利用正弦定理将b，c用角的三角函数表示出来，即得关于的表达式，利用三角恒等变换及三角函数的有界性即可求解.解法二：运用三角形中线的性质可得，令，结合二次方程分析求解；解法三：运用余弦定理可得，令，结合二次方程分析求解.
【详解】如图，
解法一： 根据正弦定理得，，所以，
因为为钝角，所以；
延长AD到点E，使得，连接BE，CE，易知四边ABEC为平行四边形，
则，
设，则，
在中，
，所以，，
故，
因为，所以，所以，
，所以的取值范围是．
解法二:根据正弦定理得， ，所以，
因为为钝角，所以．
因为D为边BC的中点，所以，
两边平方，，得①．
设，则，将其代入①得， ②，
所以关于b的方程至少有1个正实数根．
当，即时，经检验，不符合题意；
所以或，解得，
故的取值范围是；
解法三：根据正弦定理得，，
所以，因为为钝角，所以．
则根据余弦定理得，，
又，，
所以，即，
将代入，得 ①．
设，则，将其代入①得， ②，
所以关于b的方程至少有1个正实数根．
当，即时，经检验，不符合题意；
所以或，解得，
故的取值范围是；
故答案为：
【点睛】方法点睛： 解三角形中的最值或范围问题主要有两种解决方法：
一是将所求量表示为与边有关的形式，利用基本不等式求得最值或范围；
二是将所求量用三角形的某一个角的三角函数表示，结合角的范围确定最值或范围．
17．
【分析】利用三角形面积公式与余弦定理，可得，再根据同角关系式可得，然后利用正弦定理与三角恒等变换公式化简可得，结合条件可得取值范围，进而求得的取值范围，令，则，然后由对勾函数的单调性即可求出．
【详解】在中，由余弦定理得，
且的面积，
由，得，化简得，
又，，联立得，
解得或（舍去），
所以，
因为为锐角三角形，
所以，，所以，
所以，所以，所以，
设，其中，所以，
由对勾函数单调性知在上单调递减，在上单调递增，
当时，；当时，；当时，，
所以，即的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用正弦定理与三角恒等变换公式化简可得，进而可以求解.
18．
【分析】利用正弦定理的边角变换与两角和差的正弦公式，结合锐角三角形得到及的取值范围，再化简所求，利用正弦函数的性质即可得解.
【详解】因为，所以由正弦定理得，
即，则，
即，
因为是锐角三角形，所以，所以，
所以，且，所以，则，
所以，
由于，所以.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，利用正弦定理的边角公式与三角恒等变换得到，进而得到，从而得解.
19．/
【分析】根据正弦定理得，再结合余弦定理及基本不等式得，得，设，由，可求得，从而可求解.
【详解】因为，由正弦定理得，
所以，即，因为，所以，，，
所以，，
由余弦定理得，所以，当时取等号，
所以，
设，则，在中由余弦定理得
，
所以，
当时，取得最大值，
所以的最大值为.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，
常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；
②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法；
③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值.
20． 20
【分析】由正弦定理得到，结合和角公式得到；再由余弦定理得到，结合向量数量积公式化简得到，换元后先得到，从而得到，得到，由函数单调性得到答案.
【详解】锐角中，，所以，
由正弦定理得，故，
；
由余弦定理得，即，
，
，
故，
令，则，
因为，
所以
，
其中锐角的终边经过点，故，
因为为锐角三角形，所以，故，
注意到，，
所以，所以，
因为，所以，
从而，
因为，
故在上单调递减，
其中，，
所以的取值范围是.
故答案为：20，
【点睛】平面向量解决几何最值问题，通常有两种思路：
①形化，即用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行求解；
②数化，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解.
21．/
【分析】记，，然后计算得到，再使用余弦定理说明，并通过基本不等式的取等条件得知当取到最小值时，，最后通过即得结果.
【详解】记，，则，从而.
因为，
且，
所以，且，
从而.
在中，由余弦定理可得：
，
当且仅当即时取等号.
所以当取到最小值时，，此时，
所以．
故答案为：.
22．
【分析】由正弦定理边化角化简，可得角C，即可求得三角形外接圆半径，建立平面直角坐标系，表示出相关点坐标，即可求得的表达式，结合三角函数性质求得其最小值，即可求得答案.
【详解】由题意知在中，若，则，
则
即，
则，而，则，
而，
则的外接圆半径为，
设的中点为，以为坐标原点，以所在直线为x轴，的中垂线为y轴，
建立平面直角坐标系，
则，而，故，
则的外接圆的方程为，
设，
为的重心，则，
故，
当，即时取等号，
故的最小值为，
故答案为：
【点睛】关键点睛：本题考查了解三角形的相关知识，涉及到正弦定理的应用以及圆的方程的应用，综合性较强，解答的关键是建立平面直角坐标系，求出的表达式，结合三角函数知识求解.
23．
【分析】首先判断并证明为等边三角形（拿破仑三角形），再利用正三角形内角结合题目条件计算出，则的边长可通过勾股定理用的两边、表示，最后根据中余弦定理关系，由基本不等式求出其最大值.
【详解】如图，根据题意为等边三角形（拿破仑三角形），稍后证明.
为等边三角形的外心， ，同理.
记，，
则.
由余弦定理得
同理计算可得
故，即为等边三角形.
，.
，
.
由余弦定理得，，
，
解得.
.
故答案为：.
24．
【分析】由，结合正弦定理和诱导公式，，连接AH并延长，与BC交于点D，延长CH与AB交于点E，则，，然后利用面积公式和和差角公式，结合三角函数的有界性求解即得.
【详解】根据，
由正弦定理得，，
因为锐角三角形，所以，
，
又，
，易知，，又，所以，
然后利用面积公式和和差角公式求解即得.
如图，连接AH并延长，与BC交于点D，延长CH与AB交于点E，则，，
所以，，，
所以，
所以，
所以，
又，
，又，
所以，
，
因为，所以，
所以，
所以，所以，
所以， ，
故答案为：
【点睛】关键点点睛：将用关于的三角函数表示，进而借助三角函数的有界性求解
25．6
【分析】先根据正弦定理和余弦定理得到，由基本不等式得到，求出，，为等边三角形，设，表达出，，，在中，由余弦定理可得，从而得到答案.
【详解】，
由正弦定理得，
由余弦定理得，代入上式中，
，
整理可得，
又，当且仅当，即时，等号成立，
故，
由于，所以，
因为，所以，
又此时，故为等边三角形，
设，
那么由余弦定理得
，
即，故，
在中，由正弦定理得，即，
整理得，
因为，所以为锐角，那么，
则，
在中，由余弦定理可得，
所以
，
当且仅当时，等号成立，
所以的最大值为6.
故答案为：6
【点睛】解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，
常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；
②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法；
③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值.