高中数学压轴题小题专项训练专题21三角函数中的新定义、数学文化问题含解析答案

这是一份高中数学压轴题小题专项训练专题21三角函数中的新定义、数学文化问题含解析答案，共37页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．我国古代数学家秦九韶左《数书九章》中记述了了“一斜求积术”，用现代式子表示即为：在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则的面积，根据此公式，若，且，则的面积为（ ）
A．B．
C．D．
2．圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美．为了估算圣·索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物，高约为，在它们之间的地面上的点（三点共线）处测得建筑物顶、教堂顶的仰角分别是和，在建筑物顶处测得教堂顶的仰角为，则可估算圣索菲亚教堂的高度约为（ ）
A．B．C．D．
3．八卦是中国古代的基本哲学概念，八卦文化是中华文化的核心精髓，八卦图与太极图（图1）的轮廓分别为正八边形ABCDEFGH和圆（图2），其中正八边形的中心是点，鱼眼（黑白两点）、是圆半径的中点，且关于点对称．若，圆的半径为6，当太极图转动（即圆面及其内部点绕点转动）时，的最大值为（ ）

A．39B．48C．57D．60
4．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明代科学家徐光启在《农政全书》中用图1描绘了筒车的工作原理.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车的半径为2m，筒车的轴心O到水面的距离为1m，筒车每分钟按逆时针转动2圈.规定：盛水筒M对应的点P从水中浮现（即时的位置）时开始计算时间，设盛水筒M从运动到点P时所用时间为t（单位：s），且此时点P距离水面的高度为h（单位：m）.若以筒车的轴心O为坐标原点，过点O的水平直线为x轴建立平面直角坐标系（如图2），则h与t的函数关系式为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
5．古人把正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、余矢函数这八种三角函数的函数线合称为八线.其中余切函数，正割函数，余割函数，正矢函数，余矢函数.如图角始边为轴的非负半轴，其终边与单位圆交点，、分别是单位圆与轴和轴正半轴的交点，过点作垂直轴，作垂直轴，垂足分别为、，过点作轴的垂线，过点作轴的垂线分别交的终边于、，其中、、、为有向线段，下列表示正确的是（ ）

A．B．
C．D．
6．石雕、木雕、砖雕被称为建筑三雕．源远流长的砖雕，由东周瓦当、汉代画像砖等发展而来，明清时代进入巅峰，形成北京、天津、山西、徽州、广东、临夏以及苏派砖雕七大主要流派．苏派砖雕被称为“南方之秀”，是南方地区砖雕艺术的典型代表，被广泛运用到墙壁、门窗、檐廊、栏槛等建筑中．图（1）是一个梅花砖雕，其正面是一个扇环，如图（2），砖雕厚度为6cm，，，所对的圆心角为直角，则该梅花砖雕的表面积为（单位：）（ ）

A．B．C．D．
7．“阻尼器是一种以提供运动的阻力，从而达到减振效果的专业工程装置.如图，我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“镇楼神器”.某阻尼器模型的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移和时间的函数关系式为，其中，若该阻尼器模型在摆动过程中连续三次位移为的时间分别为，且，，则的单调区间是（ ）
A．B．
C．D．
8．“曼哈顿距离”是由赫尔曼·闵可夫斯基所创的词汇，是一种使用在几何度量空间的几何学用语.在平面直角坐标系中，点，的曼哈顿距离为.若点，Q是圆上任意一点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
9．十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”它的答案是：当三角形的三个角均小于120°时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角；当三角形有一内角大于或等于时，所求点为三角形最大内角的顶点．在费马问题中所求的点称为费马点．已知分别是三个内角的对边，且，，若点P为的费马点，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
10．由倍角公式，可知可以表示为的二次多项式．一般地，存在一个次多项式，使得，这些多项式称为切比雪夫（P．L．Tschebyscheff）多项式．运用探究切比雪夫多项式的方法可得（ ）
A．B．
C．D．
11．重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，荣昌折扇平面图为下图的扇形，其中，，动点在上（含端点），连结交扇形的弧于点Q，且，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．D．
12．中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.把以上文字写成公式，即（为三角形的面积，、、为三角形的三边）.现有满足，且的面积，则下列结论正确的是（ ）
A．的周长为B．的三个内角、、成等差数列
C．的外接圆半径为D．的中线的长为
13．主动降噪耳机让我们在嘈杂的环境中享受一丝宁静，它的工作原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与振幅相同的反相位声波来抵消噪声，已知某噪声的声波曲线，且经过点，则下列说法正确的是（ ）
A．函数是奇函数
B．函数在区间上单调递减
C．，使得
D．的值为定值
三、填空题
14．著名的费马问题是法国数学家皮埃尔德费马（1601-1665）于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于时，则使得的点即为费马点．已知点为的费马点，且，若，则实数的最小值为 ．
15．“弦图”是我国古代三国时期的数学家赵爽为《周髀算经》作注时为证明勾股定理所绘制，此图曾作为2002年在北京召开的第24届国际数学家大会的会标如图，在正方形中，有4个全等的直角三角形，若图中的两锐角分别为，且小正方形与大正方形的面积之比为，则的值为 ．

16．阿基米德螺线广泛存在于自然界中，具有重要作用.如图，在平面直角坐标系中，螺线与坐标轴依次交于点，，，，，，，，并按这样的规律继续下去.给出下列四个结论：
①对于任意正整数，为整数；②对于任意正整数，为整数；③存在正整数，三角形的面积为2025；④存在正整数，三角形为锐角三角形.其中所有正确结论的序号是 .
17．意大利画家列奥纳多.达·芬奇的画作《抱银貂的女人》中，女士脖颈上悬挂的黑色珍珠项链与主人相互映衬呈现出不一样的美与光泽，达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，后人给出了悬链线的函数解析式：，其中a为悬链线系数，称为双曲余弦函数，其函数表达式为，相应地双曲正弦函数的函数表达式为.若直线与双曲余弦函数与双曲正弦函数分别相交于点、，曲线在点处的切线，曲线在点处的切线相交于点，且为锐角三角形，则实数的取值范围为 .
18．声音是物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数．纯音的数学模型是函数y＝Asin ωt，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音．若一个复合音的数学模型是函数f(x)＝sin x＋sin 2x，则下列结论正确的是 ．(填序号)
①2π是f(x)的一个周期；
②f(x)在[0，2π]上有3个零点；
③f(x)的最大值为；
④f(x)在上是增函数．
19．法国著名的军事家拿破仑.波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”.在三角形中，角，以为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为，若三角形的面积为，则三角形的周长最小值为
20．大雁塔作为现存最早、规模最大的唐代四方楼阁式砖塔，是凝聚了中国古代劳动人民智慧结晶的标志性建筑．如图所示，已知∠ABE＝α，∠ADE＝β，垂直放置的标杆BC的高度h＝4米，大雁塔高度H＝64米．某数学兴趣小组准备用数学知识探究大雁塔的高度与α，β的关系．该小组测得α，β的若干数据并分析测得的数据后，发现适当调整标杆到大雁塔的距离d，使α与β的差较大时，可以提高测量精确度，求α﹣β最大时，标杆到大雁塔的距离d为 米．
21．拿破仑是十九世纪法国伟大的军事家、政治家，对数学也很有兴趣，他发现并证明了著名的拿破仑定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的中心恰为另一个等边三角形的顶点”，在△ABC中，以AB，BC，CA为边向外构造的三个等边三角形的中心依次为D，E，F，若，利用拿破仑定理可求得AB＋AC的最大值为 ．
22．法国数学家费马被称为业余数学之王，很多数学定理以他的名字命名．对而言，若其内部的点P满足，则称P为的费马点．如图所示，在中，已知，设P为的费马点，且满足．则的外接圆直径长为 ．
23．十七世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里面有两件宝，一个是勾股定理，一个是黄金分割，如果把勾股定理比作金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石．”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为最美的三角形，它是一个顶角为的等腰三角形（另一种是顶角为的等腰三角形），如图所示的五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，在其中一个黄金中，.根据这些信息，可得到 ．

24．随着智能手机的普及，手机摄影越来越得到人们的喜爱，要得到美观的照片，构图是很重要的，用“黄金分割构图法”可以让照片感觉更自然，更舒适．“黄金九宫格”是黄金分割构图的一种形式，是指把画面横竖各分三部分，以比例1：0.618：1为分隔，4个交叉点即为黄金分割点．如图，分别用A，B，C，D表示黄金分割点．若照片长、宽比例为4：3，设，则 ．

25．剪纸，又叫刻纸，是一种镂空艺术，是中国汉族最古老的民间艺术之一．如图，纸片为一圆形，直径，需要剪去四边形，可以经过对折、沿裁剪、展开就可以得到．
已知点在圆上且．要使得镂空的四边形面积最小，的长应为 ．
26．法国数学家费马被称为业余数学之王，很多数学定理以他的名字命名.对而言，若其内部的点满足，则称为的费马点.如图所示，在中，已知，设为的费马点，且满足，.则的外接圆直径长为 .
27．甲烷是一种有机化合物，分子式是，它作为燃料广泛应用与民用和工业中，近年来科学家通过观测数据，证明了甲烷会导致地球表面温室效应不断增加，深入研究甲烷，趋利避害，成为科学家面临的新课题，甲烷分子的结构为正四面体结构，四个氢原子位于正四面体的四个顶点，碳原子位于正四面体的中心，碳原子和氢原子之间形成的四个碳氢键的键长相同，键角相等，请你用学过的数学知识计算甲烷碳氢键之间的夹角余弦值 .
28．赵爽是我国汉代数学家，他在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”被选为第24届国际数学家大会的会徽.如图所示，“赵爽弦”图中的大正方形是由4个全等的直角三角形和小正方形拼成，现连接，当正方形的边长为1且其面积与正方形的面积之比为1∶5时， .
29．圣彼得大教堂坐落在梵蒂冈城内，是世界上最大的天主教教堂作为最杰出的文艺复兴建筑和世界上最大的教堂，它是典型的哥特式建筑，哥特式建筑的特点之一就是窗门处使用尖拱造型，其结构是由两段不同圆心的圆弧组成的对称图形．如图，所在圆的圆心O在线段AB上，若，，则扇形OAC的面积为 ．
30．共和国勋章，是中华人民共和国最高荣誉勋章，授予在中国特色社会主义建设和保卫国家中作出巨大贡献、建立卓越功勋的杰出人士.2020年8月11日，国家主席习近平签署主席令，授予钟南山“共和国勋章”.某市为表彰在抗疫中表现突出的个人，制作的荣誉勋章的挂坠结构示意图如图，O为图中两个同心圆的圆心，三角形ABC中，，大圆半径，小圆半径，记为三角形OAB与三角形OAC的面积之和.设阴影部分的面积为，当取得最大值时 .
参考答案：
1．B
【分析】由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简，求得，再结合已知及余弦定理，求得的值，代入已知公式，即可求解.
【详解】由题意，因为，所以，
即，
又由，所以，
由因为，所以，所以，即，
因为，
由余弦定理可得，解得，
则的面积为.
故选：B.
【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和两角和与差的正弦函数公式的化简求值的综合应用，意在考查推理与运算能力，属于中档试题.
2．B
【分析】根据题意求得，在中由正弦定理求出，即可在直角中求出.
【详解】由题可得在直角中，，，所以，
在中，，，
所以，
所以由正弦定理可得，所以，
则在直角中，，即圣·索菲亚教堂的高度约为.
故选：B
3．A
【分析】建立平面直角坐标系，写出A、C的坐标，再根据已知条件可得P在以O为圆心，3为半径的圆上，且P、Q关于原点对称，设出P、Q坐标，运用平面向量数量积运算及三角恒等变换可得，进而可求得其最大值.
【详解】如图所示建立平面直角坐标系，

因为正八边形的每个内角为，
所以，
所以，
又因为，
所以，，
由题意知，P在以O为圆心，3为半径的圆上，且P、Q关于原点对称，
所以设，则，
所以
，（），
所以当时，取得最大值为.
故选：A.
4．A
【解析】首先先求以为终边的角为，再根据三角函数的定义求点的纵坐标，以及根据图形表示.
【详解】，所以对应的角是，
由在内转过的角为，
可知以为始边，以为终边的角为，
则点的纵坐标为，
所以点距水面的高度表示为的函数是.
故选：A
【点睛】关键点点睛：本题的关键读懂题意，并能抽象出函数关系，关键是求以在内转过的角为，再求以为终边的角为.
5．C
【分析】利用单位圆以及三角函数的定义可知，，，然后结合新定义简单计算可判断各个选项.
【详解】根据题意，易得，
对于A，因为，即，故A错误；
对于B，根据三角函数定义结合相似三角形相似比可得，，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，根据三角函数定义结合相似三角形相似比可得，故D错误.
故选：C.
【点睛】关键点睛：本题属于新定义题，解题关键是读懂题意，根据新定义，利用三角函数定义结合相似三角形相似比求解，注意有向线段.
6．C
【分析】先求出，，进而求得梅花砖雕的侧面积及扇环的面积可得该梅花砖雕的表面积.
【详解】
延长与交于点．由，，得，．
因为所对的圆心角为直角，所以，．
所以该梅花砖雕的侧面积，
扇环的面积为，
则该梅花砖雕的表面积．
故选：C．
7．A
【分析】根据，，得到周期和是函数的一条对称轴方程，进而求得函数的解析式，然后求得其单调区间判断.
【详解】因为阻尼器模型在摆动过程中连续三次位移为的时间分别为，
且，，所以，，
由，得是函数的一条对称轴方程，
则，即，
当时，
由，
解得，
故其单调增区间是，则减区间是，
所以的单调区间是.
当时，
由，解得，
故其单调增区间是，则减区间是，
所以的单调区间是.
综上，的单调区间是.
故选：A.
8．B
【分析】本题利用圆的参数方程，设出，再根据题意得到，然后去绝对值分类讨论即可.
【详解】根据题意,是圆上任意一点,
设的坐标为,，
则，
若，即时，则
，，
则当时，即时，取得最大值，
当时，即时，取得最小值，则有,
若,即时，则
，
则当时，即时，取得最大值，
当时，即时，，但此时无法取到，
综上所述,
故选：B.
【点睛】本题为新文化试题，有关曼哈顿距离的问题曾经考察过多次，是模考题的热点问题之一，这类问题从数学家思想出发，一定要将他的概念理解清楚，这样才能得到有关距离的函数，再进行分类讨论即可.
9．C
【分析】由余弦定理和两角和的余弦公式化简，可得，，再根据等面积法即可求得，“费马点”定义可得该点与三角形的三个顶点的连线两两成角，从而求得答案.
【详解】,
即 ,
又 ,
,
即 ,
, 又.
由三角形内角和性质知：△ABC内角均小于120°，结合题设易知：P点一定在三角形的内部，
再由余弦定理知, ,,
,
.
由等号左右两边同时乘以可得：
，
.
故选：C.
【点睛】本题主要考查两角和差的余弦公式、余弦定理，平面向量的数量积以及等面积法的应用；理解新概念灵活运用，属于较难题.
10．BC
【分析】根据题意利用三角恒等变换逐项分析判断.
【详解】对于A：因为
，
所以，故A错误；
对于B：因为，
则
，
所以，故B正确；
对于C、D：因为，
因为为锐角，则，即，
则，解得或（舍去），
所以，故C正确；
但，所以，故D错误；
故选：BC.
11．BD
【分析】作，分别以，为轴，轴建系，写出各点的坐标，设，由可得，， 根据可判断A；利用向量数量积的坐标表示可判断B；转化为三角函数求值域可判断C；利用向量数量积的坐标表示转化为三角函数可判断D.
【详解】如图，作，分别以，为轴，轴建立平面直角坐标系，
则，，，，
设，则，
由可得，，
对于A，若，则，解得（负值舍去），故，故A错误；
对于B，若，则，则，所以，故B正确；
对于C，，
由于，故，故，所以，故C错误；
对于D，由于，，
，
而，所以，所以，故D正确.
故选：BD.
12．AB
【解析】本题首先可根据得出，然后根据以及求出三边的长，即可判断出A正确，然后根据余弦定理求出，则，，B正确，再然后根据即可判断出C错误，最后根据余弦定理求出，再根据求出长，D错误.
【详解】A项：设的内角、、所对的边分别为、、，
因为，所以由正弦定理可得，
设，，，
因为，所以，
解得，则，，，
故的周长为，A正确；
B项：因为，
所以，，
故的三个内角、、成等差数列，B正确；
C项：因为，所以，
由正弦定理得，，C错误；
D项：由余弦定理得，
在中，，
由余弦定理得，解得，D错误，
故选：AB.
【点睛】本题考查解三角形相关问题的求解，考查的公式有、，考查正弦定理边角互换的灵活应用，考查根据等差中项的性质证明数列是等差数列，考查计算能力，考查转化与化归思想，是难题.
13．ABD
【分析】由经过可求出的解析式，利用奇偶性定义可判断A；利用正弦函数的单调性可判断B；求的值可判断D，利用，分、、，三种情况求的化简式可判断C．
【详解】因为经过，
所以，即，，解得，，
又，所以，则，
对于A，，
时，令，可得，
故为奇函数，所以A正确；
对于B，时，，
对于在上单调递减，可得在上单调递减，所以B正确；
对于D，
，
所以恒为，
即对的值为定值，所以D正确；
对于C，当，时，，
当，时，，
当，时，
，所以C错误．
故答案为：ABD.
14．
【分析】根据题意，不妨设，故，进而得，所以在和中，由正弦定理得，，故，在结合三角恒等变换化简整理求函数最值即可.
【详解】根据题意, 点为的费马点，的三个内角均小于,
所以，
设，
所以在和中，，且均为锐角，
所以
所以由正弦定理得：，，
所以，，
因为
所以
，
因为，所以，所以，
所以
故实数的最小值为.
故答案为：
【点睛】本题考查数学文化背景下的解三角形，三角恒等变换解决三角函数取值范围问题，考查运算求解能力，数学建模能力，化归转化思想，是难题.本题解题的关键在于根据题目背景，通过设，进而建立解三角形的模型，再根据正弦定理及三角恒等变换化简求最值即可.
15．
【分析】由面积之比得到，不妨设，，再由锐角三角函数推导出，，将两式相乘结合诱导公式及两角差的余弦公式计算可得.
【详解】因为小正方形与大正方形的面积之比为，所以，
设，则，又，
不妨设，，所以，，
所以，
又，，所以，
又，所以，，
所以，即，
所以，即，
所以.
故答案为：
16．②③
【分析】根据时，判断①；根据任意正整数，判断②；根据时判断③；根据为最大角，进而结合余弦定理判断④.
【详解】解：当时，，故①错误；
对于任意正整数，，故②正确；
由于，解得，故存在正整数，三角形的面积为2025，故③正确；，
，
，
因为，
所以在三角形中，为最大角，，
所以，为钝角，即三角形为钝角三角形，故④错误；
故答案为：②③
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于根据阿基米德螺线的规律，结合两点间的距离公式，面积公式，余弦定理等探究求解即可.
17．
【分析】设，，设直线的倾斜角为、直线的倾斜角为，可得出、，分析得出，可得出关于的不等式，由此可解得实数的取值范围.
【详解】设，，
则，.
设直线的倾斜角为，则，则为钝角，
设直线的倾斜角为，则，则为锐角，
由于轴，则、均为锐角，
因为是锐角三角形，则为锐角，
设直线、分别交轴于点、，则为钝角，
，
可得，整理可得，
，则，解得，解得.
因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用切线所围成的三角形形状来求参数，解题的关键在于分析出为钝角，进而结合两角差的正切公式求解.
18．①②③
【分析】对①，根据正弦函数的周期判断即可；对②，根据正弦的二倍角公式化简，再求解零点即可；对③④，求导分析f(x)的单调性，再求最值即可
【详解】y＝sin x的最小正周期是2π，y＝sin 2x的最小正周期是＝π，
所以f(x)＝sin x＋sin 2x的最小正周期是2π，故①正确；
当f(x)＝sin x＋sin 2x＝0，x∈[0，2π]时，
sin x＋sin xcs x＝0，即sin x(1＋cs x)＝0，
即sin x＝0或1＋cs x＝0，解得x＝0或x＝π或x＝2π，
所以f(x)在[0，2π]上有3个零点，故②正确；
f(x)＝sin x＋sin 2x＝sin x＋sin xcs x，
f′(x)＝cs x＋cs2x－sin2x＝2cs2x＋cs x－1，
令f′(x)＝0，解得cs x＝或cs x＝－1，
当x∈或x∈时，