高中数学压轴题小题专项训练专题34平面向量的新定义问题含解析答案

这是一份高中数学压轴题小题专项训练专题34平面向量的新定义问题含解析答案，共24页。试卷主要包含了单选题，填空题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．定义向量一种运算“”如下：对任意的，，令，下面错误的是（ ）
A．若与共线，则
B．
C．对任意的，有
D．
2．对于向量，把能够使得取到最小值的点称为的“平衡点”.如图，矩形的两条对角线相交于点，延长至，使得，联结，分别交于两点.下列的结论中，正确的是（ ）
A．的“平衡点”为.
B．的“平衡点”为的中点.
C．的“平衡点”存在且唯一.
D．的“平衡点”必为
3．设向量，，当，且时，则记作；当，且时，则记作，有下面四个结论：
①若，，则；
②若且，则；
③若，则对于任意向量，都有；
④若，则对于任意向量，都有；
其中所有正确结论的序号为（ ）
A．①②③B．②③④C．①③D．①④
4．对任意两个非零的平面向量和，定义．若平面向量、满足，与的夹角，且和都在集合中，则（ ）．
A．B．C．D．
5．设非零向量，的夹角为，定义运算.下列叙述错误的是（ ）
A．若，则
B．（为任意非零向量）
C．设在中，，，则
D．若，则
6．定义为两个向量，间的“距离”，若向量，满足下列条件：(ⅰ)；(ⅱ)；(ⅲ)对于任意的，恒有，现给出下面结论的编号，
①.②.③.④.⑤.
则以上正确的编号为（ ）
A．①③B．②④C．③④D．①⑤
7．记，设，为平面内的非零向量，则（ ）
A．B．
C．D．
8．对任意量给非零向量，，定义新运算：．已知非零向量，满足，且向量，的夹角，若和都是整数，则的值可能是（ ）
A．2B．3C．4D．
9．如图，定义、的向量积，为当、的起点相同时，由的方向逆时针旋转到与方向相同时，旋转过的最小角，对于，，的向量积有如下的五个结论：
①； ②；
③； ④；
⑤；
其中正确结论的个数为（ ）
A．1个B．2个
C．3个D．4个
10．在实数集中，我们定义的大小关系“”为全体实数排了一个“序”，类似的，我们这平面向量集合上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“”．定义如下：对于任意两个向量，，当且仅当“”或“且”，按上述定义的关系“”，给出下列四个命题：
①若，，，则；
②若，，则；
③若，则对于任意的，；
④对于任意的向量，其中，若，则．
其中正确的命题的个数为( )
A．4B．3C．2D．1
11．设定义一种向量积：．已知， ，点 在的图象上运动，点Q在的图象上运动，且满足 (其中O为坐标原点)，则的最大值A及最小正周期T分别为( )
A．2，πB．2,4π
C．，4πD．，π
12．如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是轴、轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标，在此坐标系下，假设，，，则下列命题不正确的是（ ）

A．B．C．D．
二、填空题
13．如图，在平面斜坐标系中，，平面上任意一点P关于斜坐标系的斜坐标这样定义：若（其中，分别是轴，轴同方向的单位向量），则P点和向量的斜坐标为(x，y)．给出以下结论：
若，P(2,－1)，则；
若，，则；
若，，则；
若，以O为圆心，1为半径的圆的斜坐标方程为．
其中所有正确的结论的序号是 ．
14．已知向量，是平面内的一组基向量，为内的定点，对于内任意一点，当时，则称有序实数对为点的广义坐标，若点、的广义坐标分别为、，对于下列命题:
① 线段的中点的广义坐标为
② 向量平行于向量的充要条件是
③ 向量垂直于向量的充要条件是
其中，真命题是 .（请写出所有真命题的序号）
15．向量集合，对于任意，，以及任意，都有，则称集合是“凸集”，现有四个命题：
①集合是“凸集”；
② 若为“凸集”，则集合也是“凸集”；
③若都是“凸集”，则也是“凸集”；
④若都是“凸集”，且交集非空，则也是“凸集”．
其中，所有正确的命题的序号是 ．
16．已知向量及向量序列: 满足如下条件: ，且,当且时, 的最大值为 ．
17．有一列向量{}：=(x1，y1)，=(x2，y2)，……，=(xn，yn)，如果从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一个向量，那么这列向量称为等差向量列.已知等差向量列{}，满足=(20，13)，=(18，15)，那么这列向量{}中模最小的向量的序号n= .
18．如图，在平面斜坐标系中，，斜坐标定义：如果（其中,分别是轴，轴的单位向量），则叫做P的斜坐标.
（1）已知P得斜坐标为，则 ．
（2）在此坐标系内，已知，动点P满足，则P的轨迹方程是 ．
19．如图，在平面斜坐标系中，，平面上任意一点关于斜坐标系的斜坐标这样定义：若(其中，分别是轴，轴正方向的单位向量)，则点的斜坐标为，向量的斜坐标为.给出以下结论：
①若，，则；
②若，，则；
③若，，则；
④若，，则；
⑤若，以为圆心，1为半径的圆的斜坐标方程为.
其中所有正确的结论的序号是 .
20．定义：对于实数和两个定点、，在某图形上恰有个不同的点，使得，称该图形满足“度囧合”，若在边长为的正方形中，，，且该正方形满足“度囧合”，则实数的取值范围是 .
21．向量集合,对于任意,以及任意,都有,则称为“类集”,现有四个命题:
①若为“类集”,则集合也是“类集”;
②若,都是“类集”,则集合也是“类集”;
③若都是“类集”,则也是“类集”;
④若都是“类集”,且交集非空,则也是“类集”.
其中正确的命题有 (填所有正确命题的序号)
22．设为平面内的任意两个向量，定义一种向量运算“”：对于同一平面内的向量，给出下列结论：
①；②；
③；④若是单位向量，则．
以上所有正确结论的序号是 ．
23．定义向量，其中，，若存在实数t，使得对任意的正整数，都有成立，则x的最小值是 .
参考答案：
1．D
【分析】根据向量共线、向量数量积以及新定义化简判断命题真假.
【详解】对于A，因为若与共线，则，
所以，故A正确；
对于B，，，
，
，故B正确；
对于C，因为，故C正确；
对于D，因为，，不相等，故D错误；
故选：D.
2．D
【分析】利用“平衡点”的定义、三角形中两边之和大于第三边，对选项进行一一验证．
【详解】对，、的“平衡点”为线段上的任意一点，故错误；
对，、、的“平衡点”为三角形内部对3条边的张角均为的点，故错误；
对，、、、的“平衡点”是线段上的任意一点，故错误；
对，因为矩形的两条对角线相交于点，延长至，使得，联结，分别交、于、两点，所以、、、的“平衡点”必为，故正确．
故选：．
【点睛】本题考查“平衡点”的求法，考查对新定义的理解与应用，求解时要注意平面向量知识的合理运用．
3．C
【分析】根据题意结合向量的坐标运算逐项分析①③，举反例判断②④.
【详解】对于①：若，，则，所以，故①正确；
对于②：取，满足，
则，满足，但，故②错误；
对于③：若，则，且，
设，则，
可知，所以，故③正确；
对于④：取，可知，
但，即，故④错误；
故选：C.
4．B
【分析】由已知得集合的元素特征，再分析和的范围，由定义得， ，可得出、的值，即可得解.
【详解】首先观察集合，从而分析和的范围如下：
因为，所以，，而，且，可得，
又因为，所以，，从而，
所以，，
又因为，所以．且也在集合中，
故有，因此，.
故选：B.
5．B
【分析】根据新定义逐一判断A、C、D选项，举反例说明B选项即可.
【详解】对于A，因为，所以，
所以或，所以，故A正确；
对于B，设分别是与，与，与的夹角，
则，，
不妨取，此时，，
此时不成立，故B错误；
对于C，在中，，，则，所以，故C正确；
对于D，因为，所以当时，，当且仅当时取等号，
所以，故D正确；
故选：B.
6．B
【分析】根据题意可得，转化为对于任意的恒成立，即，整理得，再利用向量的数量积逐一判断即可.
【详解】由于，又对于，恒有，
显然有，即，
则对于任意的恒成立，
显然有成立，
即，则，故序号①错误，
进而，
∵，于是，得，即序号④正确.
再由得，得，
∴，显然序号②正确.从而序号③错误，
再由②，故序号⑤错误.
综上知本题正确的序号为②④.
故选：B.
【点睛】本题命制是以新定义为背景，考查向量长度及数量积等知识概念，同时考查了等价转换、不等式恒成立问题，符合以生考熟的高考理念，考查知识内容源于教材，试题面向全体考生，不同思维能力层次的考生度可以利用熟悉的通法来解决问题，从而增强考生的自信心，有利于考生正常发挥，属于中档题.
7．D
【分析】根据向量加法减法的几何意义和向量数量积运算，结合排除法解题.
【详解】对于A选项：考虑，根据向量加法减法法则几何意义知： ，所以A错误；
B选项：根据平面向量数量积可知：不能保证恒成立，
，
所以它们的较小者一定小于等于，所以B错误D正确；
C选项：考虑 ，所以C错误.
故选：D
【点睛】此题考查向量相关新定义问题，其本质考查向量加减法运算的几何意义，平面向量数量积的运算和辨析，综合性较强，解题中结合排除法得选项.
8．B
【分析】由结合可得，从而求得,可得，确定，再根据即可确定答案.
【详解】由题意可得．因为，所以．
因为，所以，所以，即，
解得．因为，所以，
所以，则，
则，得，故,
符合该条件的是3，
故选：B
9．C
【分析】结合题目中的新定义的概念逐项分析即可得出结论.
【详解】①至少有一个为0时，显然成立；
都不为0时，
若 ，则；
若 ，则；
综上：，故①正确；
②，所以，故②错误；
③，故③正确；
④由③知：，故④正确；
⑤与不一定相等，故⑤错误；
故选：C.
10．B
【分析】按照新定义，对每一个命题进行判断.
【详解】对于①，由定义可知①是正确的；
对于②，中，满足已知，则，只要有一个没有等号，则一定，若，则，都满足，正确；
对于③，∵，∴命题正确，
对于④，中若，则，但，错误，因此有①②③正确.
故选:B.
【方法点睛】新定义问题，关键是正确理解新概念，并掌握解决新概念下问题的方法，有一定的难度.本题中新概念关系“＞”与向量的坐标之间的大小关系联系在一起，由实数大小关系的传递性可得新关系“＞”的传递性，但向量的数量积与新关系“＞”之间没有必然的联系，这可通过举反例说明.实际上举反例说明一个命题是错误的，是数学中一个常用的方法.
11．C
【分析】根据题意,设出Q的坐标，根据的运算得到P、Q坐标间的关系，从而得到的解析式，即可求得最大值和最小正周期．
【详解】由题意知可设，
则根据可得
即
所以
而P在的图象上运动，满足
所以，即
所以最大值为，即A=
最小正周期为
故选：C．
12．B
【分析】利用定义判断A；利用数量积公式判断B；根据向量共线定理判断C；利用数量积是否为0可判断故D.
【详解】，故A正确；
，故B错误；
，，，所以，
，所以，故C正确；
，，所以，所以，故D正确.
故选：B.
13．
【分析】根据点的斜坐标得到向量的斜坐标，进而得到向量用基底，的线性表达式，直接利用向量的模的性质和平面向量的数量积的运算求解|OP|即可判定①；利用向量的加法运算性质求得两个向量的和向量关于基底，的线性表达形式，再根据协作表的定义即可判定②的正确性；利用两个向量关于基底的线型表达式相乘，利用平面向量的数量积的运算法则运算后即可判定一般情况下③不成立；利用轨迹方程的求法，结合向量的模和数量积的运算即可得到以原点为圆心，1为半径的圆的斜坐标方程，从而判定④．
【详解】中，；
中若，，
则，
故②正确；
，
故当θ≠90°时③不正确；
设圆上动点P的斜坐标为(x,y),则，
两边平方得：
,
∵， ，都是单位向量，夹角为θ=60°，
,
,
即，
这就是以原点为圆心，半径为1的圆的斜坐标方程，故正确．
故答案为：
14．①②
【解析】根据定义，分别写出中点的广义坐标，根据向量平行的坐标表示和向量垂直的坐标表示进行判断，得到答案.
【详解】点、的广义坐标分别为、
可得，
设为中点，则
所以线段的中点的广义坐标为，故命题①正确
向量平行于向量，则
即，
所以，故命题②正确，
向量垂直于向量，则
即
，故命题③不一定正确.
故答案为：①②.
【点睛】本题考查向量的新定义运算，向量平行和垂直的表示，向量的数量积的运算，考查理解推理能力，属于中档题.
15．①②④
【分析】理解新定义，对结论逐一判断
【详解】由题意得，若对于任意，线段上任意一点，都有，则集合是“凸集”，由此对结论逐一分析
对于①，，若对于任意满足，则，
由函数的图象知，对线段上任意一点，都有，即，故为“凸集”，①正确
对于②，若为“凸集”，则对于任意，此时，其中
对于任意，，故为“凸集”，②正确
对于③，可举反例，若，
易知都是“凸集”，而不是“凸集”，故③错误
对于④，若都是“凸集”， 则对于任意，任意
则，且，
故，故也是“凸集”
故答案为：①②④
16．
【分析】由可得，进而得，结合二次函数的性质即可求得的最大值.
【详解】解：，
又，
，
==
，
根据二次函数的性质可得，当，有最大值.
故答案为:.
17．4或5
【分析】求出等差向量列的差向量，得出的通项公式，代入模长公式求解最小值．
【详解】是等差向量列，，是等差数列，设，的公差分别是，，
，解得，，，，．
．
当或时，取得最小值．
故答案为：4或5．
【点睛】解题关键：理解新定义求出的通项公式是关键．
18． 1
【分析】（1）根据给定定义，利用平面向量的数量积的运算律及性质计算即得；（2）根据给定条件及定义，列式求解作答.
【详解】（1） 依题意，单位向量与的夹角为，，又，
所以.
（2）设，有，
由得：，
即，整理得，
所以点P的轨迹方程是.
故答案为：1；
19．①②③⑤.
【分析】在①中，；
在②中，；
在③中，；
在④中，；
在⑤中，设，则，化为，从而满足条件的圆的斜坐标方程为.
【详解】①∵，，
∴，故①正确；
②∵，，
∴，
∴，故②正确；
③∵，，
∴，
∴，故③正确；
④，故④错误；
⑤若，以为圆心，1为半径的圆满足，
设，则，
化为，
∴.
故满足条件的圆的斜坐标方程为.故⑤正确.
故答案为：①②③⑤.
20．
【分析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，设点，求出点的轨迹方程为，分析可知，圆与正方形有个交点，数形结合可得出关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围.
【详解】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
则、、、，
因为，，则、，
设，，，
则，
整理可得，则，可得，
所以，点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆，
因此，只需圆与正方形有个交点即可，
当时，即当时（图中从内往外第一个圆），
此时圆与正方形有个交点，
当动圆在图中第二个圆与第三个圆之间（从内往外）时，圆与正方形有个交点，
此时，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于求出点的轨迹方程，将问题转化为动圆与正方形有个交点来处理.
21．①②④
【解析】因为集合,对于任意,且任意,都有,可以把这个“类集”理解成,任意两个中的向量所表示的点的连线段上所表示的点都在上,因此可以理解它的图象成直线,逐项判断,即可求得答案.
【详解】集合,对于任意,
且任意,都有
可以把这个“类集”理解成,任意两个中的向量所表示的点的连线段上所表示的点都在上,因此可以理解它的图象成直线
对于①,,向量整体倍,还是表示的是直线,故①正确;
对于②,因为,都是“类集”,故还是表示的是直线,故②正确;
对于③,因为都是“类集”,可得是表示两条直线,故③错误;
对于④,都是“类集”,且交集非空,可得表示一个点或者两直线共线时还是一条直线.
综上所述,正确的是①②④.
故答案为:①②④.
【点睛】本题考查了集合的新定义,解题关键是要充分理解新定义,结合向量和集合知识求解,考查了分析能力和计算能力,属于难题.
22．①④
【分析】分与是否共线，根据新定义和向量数量积性质，以及向量模的性质可判断①；按照新定义验证与共线的情形可判断②；按照新定义验证，，共线的情形可判断③；根据新定义，结合单位向量的定义可判断④.
【详解】对于①，当与不共线时，；
当与共线时，，①正确.
对于②，当与共线时，，，
所以与不一定相等，②错误.
对于③，当，，共线时，，，
所以与不一定相等，③错误.
对于④，当与不共线时，记，则；
当与共线时，，④正确.
故答案为：①④
23．/
【分析】依题意将问题转化为系列点到的距离大于，从而结合图形分析系列点的情况，得到与，从而得解.
【详解】依题意得，则，
所以，
故，
等价于点到的距离，
易知与是单位圆上的点，

且由于，则是一系列点，
因为存在实数t，使得对任意的正整数n，都有成立，即，
所以系列点在必然出现周期重叠现象，即为单位圆上有限个点，
否则系列点为无限个数，且会出现与距离趋于的现象，
易知此时不可能存在满足题意，
所以必有，使得，则，即，
此时，易知系列点中每两个点之间的距离为定值，
又易知与所夹的弧所对的圆心角为，
为使得对任意的正整数n，都有，则也要成立，
故当点为 的中点时，取得满足要求的最小值，
此时，记的中点为，连接，易得，，
所以，故，
所以，即，
因为，
所以，
易知，所以，故，则，
又，所以，即x的最小值为.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是将问题转化为系列点到的距离大于，再分析系列点的特点，从而得解.