高中数学压轴题小题专项训练专题38与圆有关的最值问题含解析答案

这是一份高中数学压轴题小题专项训练专题38与圆有关的最值问题含解析答案，共55页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．如果直线和函数的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆的内部或圆上，那么的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．已知圆上两点满足，则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
3．已知平面内两个定点，及动点，若（且），则点的轨迹是圆.后世把这种圆称为阿波罗尼斯圆.已知，，直线，直线，若为，的交点，则的最小值为（ ）
A．3B．C．D．
4．已知：，直线l：，P为l上的动点，过点P作的切线，切点为A、B，当弦长最小时，则直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
5．已知实数a，b满足，则的最小值是（ ）
A．1B．2C．4D．16
6．已知C，D是圆：上两个不同动点，直线恒过定点P，若以CD为直径的圆过点P，则CD最小值为（ ）
A．B．C．D．
7．已知A，B是圆C：上的两个动点，且，若，则点P到直线AB距离的最大值为（ ）
A．2B．3C．4D．7
8．已知，点P为直线上的一点，点Q为圆上的一点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
9．已知点是圆上任意一点，，则（ ）
A．的最大值是B．的最小值是
C．的最小值是D．的最大值是
10．已知直线与轴和轴分别交于，两点，且，动点满足，则当，变化时，点到点的距离的最大值为（ ）
A．B．C．D．
11．若圆与圆外切，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
12．已知O为坐标原点，，设动点C满足，动点P满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．2D．
13．已知圆与轴正半轴的交点为，从直线上任一动点向圆作切线，切点分别为，，过点作直线的垂线，垂足为，则的最小值为（ ）
A．B．C．1D．
14．设O为坐标原点，A为圆C：上一个动点，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
15．已知为圆上动点，直线和直线（，）的交点为，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
16．已知圆与轴正半轴的交点为，从直线上任一动点向圆作切线，切点分别为，，过点作直线的垂线，垂足为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
17．已知点，点为圆上一动点，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
18．过点作斜率为的直线交圆于，两点，动点满足，若对每一个确定的实数，记的最大值为，则当变化时，的最小值是（ ）
A．1B．C．2D．
19．在平面直角坐标系中，为原点，已知，设动点满足，动点满足，则的最大值为（ ）
A．1B．C．D．2
二、多选题
20．（多选题）已知圆，点是圆上的一个动点，点，则（ ）
A．B．的最大值为
C．面积的最大值为2D．的最大值为12
21．过圆：内一点作两条互相垂直的弦，，得到四边形，则（ ）
A．的最小值为4
B．当时，
C．四边形面积的最大值为16
D．为定值
22．数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.平面直角坐标系中，曲线C：就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，如下结论中正确的是（ ）
A．曲线C围成的图形的周长是；
B．曲线C围成的图形的面积是2π；
C．曲线C上的任意两点间的距离不超过2；
D．若P（m，n）是曲线C上任意一点，的最小值是
23．已知平面上两点M、N之间的距离为6，动点P满足，则（ ）
A．动点P的轨迹长度为
B．不存在满足的点
C．的取值范围为
D．当P、M、N不共线时，的最大面积为50
24．已知圆：，点为直线：上一动点，点在圆上，以下四个命题表述正确的是（ ）
A．直线与圆相离
B．圆上有2个点到直线的距离等于1
C．过点向圆引一条切线，其中为切点，则的最小值为
D．过点向圆引两条切线、，、为切点，则直线经过点
25．已知点，，，且点是圆：上的一个动点，则的值可以是（ ）
A．66B．79C．86D．89
26．已知平面内一点在圆上，分别过定点的两条直线相交于点，则下列结论正确的是（ ）
A．动点的轨迹是除去点的一个圆
B．的最大值是
C．点到直线的距离的最小值为
D．动点的轨迹与圆一定没有交点
27．已知圆，点是直线上一动点，过点作圆的切线，，切点分别为和，线段的中点为，则下列说法正确的有（ ）
A．若，则这样的点只有一个
B．四边形面积的最小值为1
C．直线恒过点
D．平面内存在一定点，使得线段的长度为定值
28．如图，经过坐标原点且互相垂直的两条直线和与圆相交于四点，为弦的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．线段长度的最大值为；
B．弦长度的最小值为；
C．点的轨迹是一个圆；
D．四边形面积的取值范围为.
29．已知圆，直线过点，且交圆于B，C两点，点为线段的中点，点为圆上任意一点，，则下列说法正确的是（ ）
A．若圆上仅有三个点到直线的距离为，则的方程是
B．使为整数的直线共有8条
C．若直线的斜率一定，则是关于的单调递增函数
D．的最小值为
30．在平面直角坐标系xOy中，已知点是圆上的一个动点，直线与圆交于另一点，过点作直线的一条垂线，与圆交于点，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．若，则D．的最大正切值为
三、填空题
31．已知，求的取值范围 ．
32．已知圆，点在直线上运动，过作的两条切线，切点分别为、，当四边形的面积最小时， ．
33．过直线上的一点P向圆作两条切线．设与的夹角为θ，则的最大值为 ．
34．如果实数满足，则的取值范围是 ．
35．已知平面上任意一点，直线，则点P到直线l的距离为；当点在函数图象上时，点P到直线l的距离为，请参考该公式求出的最小值为 ．
36．已知，直线为上的动点.过点作的切线，切点分别为，当最小时，点的坐标为 ，直线的方程为 .
37．在平面直角坐标系中，已知是圆的一条弦，且，是的中点，当弦在圆上运动时，直线上存在两点，使得恒成立，则线段长度的最小值是 .
38．已知直线与圆交于两点，且，则的最大值为 .
39．在中，，，，动点在以点为圆心，半径为的圆上，则的最小值为 .
40．已知抛物线与圆相交于四个不同的点，则r的取值范围为 ，四边形面积的最大值为 ．
41．若点在曲线：上运动，则的最大值为 .
42．已知实数，满足，则的取值范围为 ．
43．过圆外一点作圆的两条切线，切点为，则的最小值为 ，此时， ．
44．已知点为直线上的动点，过点作圆的切线，切点为，当最小时，直线的方程为
45．已知，，过x轴上一点P分别作两圆的切线，切点分别是M，N，当取到最小值时，点P坐标为 .
46．已知函数的图象恒过定点A，圆上两点，满足，则的最小值为 ．
47．已知直线l：与x轴相交于点A，过直线l上的动点P作圆的两条切线，切点分别为C，D两点，则直线CD恒过定点坐标为 ；记M是CD的中点，则的最小值为 .
48．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：若动点M与两个定点A，B的距离之比为常数（，），则点M的轨迹是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知，M是平面内一动点，且，则点M的轨迹方程为 .若点Р在圆上，则的最小值是 .
参考答案：
1．C
【分析】由已知可得．再由由点在圆内部或圆上可得．由此可解得点在以和为端点的线段上运动．由表示以和为端点的线段上的点与坐标原点连线的斜率可得选项．
【详解】函数恒过定点．将点代入直线可得，即．
由点在圆内部或圆上可得，
即．或．所以点在以和为端点的线段上运动．
表示以和为端点的线段上的点与坐标原点连线的斜率．所以，．所以．
故选：C．

【点睛】关键点点睛：解决本题类型的问题，关键在于由已知条件得出所满足的可行域，以及明确所表示的几何意义.
2．D
【分析】根据题意，由发现，又的几何意义是两点到直线的距离之和的倍，进而利用数形结合即可求解.
【详解】由得，即，则.
因为，
所以，由点到直线的距离公式可知表示两点到直线的距离之和的倍，如图所示：

设的中点分别为，易知，由梯形的中位线可得，
则，即点到直线的距离之和的4倍，
因为是直角三角形，所以，
则点在圆上运动，
显然，最小值为原点到直线距离与圆半径之差的4倍，
原点到直线距离，半径，
所以的最小值为.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于，将转化为两点到直线的距离之和的倍，从而得解.
3．A
【分析】由直线方程可得，则点的轨迹是以为直径的圆，除去点，得到的轨迹方程为，即，可得，取，则，结合，可得，进而求解.
【详解】由已知过定点，
过定点，
因为，，所以，即，
所以点的轨迹是以为直径的圆，除去点，故圆心为，半径为3，
则的轨迹方程为，即，易知O、Q在该圆内，
又，
即，
取，则，又，
所以，
所以的最小值为.
故选：A.
4．C
【分析】由题设得，半径，在等腰中分析最小时最小，进而得到最大，此时且，即最小，此时再应用余弦定理、倍角正弦公式求，设直线，点线距离公式和圆中弦长的几何求法确定直线的方程.
【详解】由题设，，则，半径，如下图示，
等腰中，要使最小，只需最小，即有最大，
当且仅当，即最小时，最大，此时，且，
所以，而，，
所以，
所以到直线的距离，
令直线，则或，
由图知：，即直线.

故选：C
5．A
【分析】将已知表示成一个以为圆心，1为半径的圆，将问题转化为圆上一点到直线距离最小值问题，从而找到解题关键.
【详解】
依题意可知曲线表示一个以为圆心，1为半径的圆，
求的最小值相当于先求的最小值，
即求圆上一点到直线的距离d的最小值，
所以，
即的最小值为1．
故选：A．
6．A
【分析】根据题意，设以为直径的圆的圆心为，当三点共线时，半径有最小值，此时有最小值，即可求出答案.
【详解】依题意，设以为直径的圆的圆心为，半径为，
将直线化简得，
即，得，所以直线恒过定点，
在中，，
因为，所以，
即，解得（舍），，
所以，
故选：A.
7．D
【分析】设P、C到直线AB的距离分别为，根据题意结合垂径定理可得，再根据结合几何关系分析求解.
【详解】由题意可知：圆C：的圆心，半径，
则，
设P、C到直线AB的距离分别为，
因为，解得，
分别过P、C作，垂足分别为，再过C作，垂足为，
显然当P、C位于直线AB的同侧时，点P到直线AB的距离较大，

则，
当且仅当，即直线AB与直线PC垂直时，等号成立，
所以点P到直线AB距离的最大值为7.
故选：D.
8．D
【分析】令，可得M点的坐标为，则，即可得答案.
【详解】设，令，
则
，则M.
如图，当三点共线时，且垂直于直线时，有最小值，为，即直线到点M距离，为.
故选：D
9．B
【分析】利用三角换元的思想，结合三角函数最值的求法对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】圆的方程可化为，
设，且， 且，
则，
当，时，取得最大值，故A错误；
，
所以当时，取得最小值，故B正确；
，
所以当时，取得最小值，故C错误；
，
所以当时，取得最大值，故D错误.
故选：B
【点睛】利用三角换元的思想来求最值，是一个很好的方法.在圆的标准方程可转化为，类比，可以得到，则可进行三角换元如下：.
10．B
【分析】先求得A，两点坐标，根据得到，再结合可得到C轨迹为动圆，求得该动圆圆心的方程，即可求得答案.
【详解】由，得，由，得，
由，得，设 ，则，
即，因此点C的轨迹为一动圆，
设该动圆圆心为 ，即有，则代入，
整理得： ，即C轨迹的圆心在圆上（除此圆与坐标轴的交点外），
点与圆上点连线的距离加上圆的半径即为点到点的距离的最大值，
所以最大值为.
故选：B

【点睛】思路点睛：涉及与圆相离的图形F上的点与圆上点的距离最值问题，转化为图形F上的点与圆心距离加或减圆半径求解.
11．D
【分析】由题意外切条件等价于，进一步求圆弧上一点到定点的距离的范围即可求解.
【详解】两圆的方程分别为和，故外切条件等价于和之间的距离为，即.
记，，则点在轨迹上，所求的即为的取值范围.
由于，故，
且
，
同时，上面的上界和下界分别在和时取到.
而是在一个连续的圆弧上，故上的值都可以取到，所以取值范围是.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：关键是将原问题转换为求圆弧上的点到定点的距离，由此即可顺利得解.
12．A
【分析】根据条件得到点在圆的内部或圆周上，点的轨迹是以为直径的圆，再结合平面图形的性质和基本不等式即可得出答案.
【详解】因为，所以点C在圆O：的内部或圆周上，
又动点P满足，
所以当A，C，P三点不重合时，点P的轨迹是以为AC直径的圆，如图：
当点C在圆O内时，延长AC交圆O于点D，设AC的中点为M，AD的中点为N，
则，，，
当点C在圆O上时，M，N两点重合，C，D两点重合，所以，
当且仅当点C在圆O上时取等号，则，当且仅当O，M，P三点共线时取等号，
因为，
当且仅当M，N重合时取等号，因为，所以，
所以，当且仅当时取等号，此时，
所以，当且仅当O，M，P三点共线且点C在圆与y轴的交点处时取等号，
所以的最大值为，
故选：A．
13．B
【分析】将直线转化为两个圆的公共弦方程，利用垂足确定的轨迹为一个圆,然后结合点到圆心的距离求最小值即可.
【详解】

易得，设，
因为是圆的两条切线，所以
所以在以为直径的圆上,
又因为,且的中点为，
所以以为直径的圆的方程为：.
所以为以为直径的圆和圆的的公共弦，
两个圆的方程相减得：
所以直线,
直线恒过定点，
过点作直线的垂线，垂足为,
则在以为直径的圆上，设圆的圆心为，半径为，
所以，
所以的最小值为:．
故选：B
14．C
【分析】利用直线与圆的位置关系解三角形即可.
【详解】

如图所示，当直线与圆相切时，A为切点，此时最大，易得,
由，即，
所以.
故选：C
15．A
【分析】由、可得，且过定点，过定点，则可得点在以为直径的圆上，则的最大值为.
【详解】由、，
有，故，
对有，故过定点，
对有，故过定点，
则中点为，即，
，则，
故点在以为直径的圆上，该圆圆心为，半径为，
又在原，该圆圆心为，半径为，
又，则.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题关键点在于由直线、的方程得到，且过定点，过定点，从而确定点的轨迹为以为直径的圆，进而将问题转化为圆上两点的距离最值问题.
16．B
【分析】将直线转化为两个圆的公共弦方程，利用垂足确定的轨迹为一个圆,然后结合点到圆心的距离求最小值即可.
【详解】易得，设，
因为是圆的两条切线，所以
所以在以为直径的圆上,
又因为,且的中点为，
所以以为直径的圆的方程为：.
所以为以为直径的圆和圆的的公共弦，
两个圆的方程相减得：
所以直线,
直线恒过定点，
过点作直线的垂线，垂足为,
则在以为直径的圆上，设圆的圆心为，半径为，
所以，
所以的最小值为:．
故选：B
17．A
【分析】设，可求出的表达式，利用换元法，结合三角函数辅助角公式以及三角函数性质即可求得答案.
【详解】因为点为圆上一动点，故设，
则，
令，则，
即，则，
其中为辅助角，，
则，整理得，
故的最大值为，
故选：A
18．C
【分析】首先确定与圆的位置关系，令且是内分比点，若为外分比点，由阿氏圆易知在以的中点为圆心的圆上，且最大值为圆的直径，讨论及数形结合判断的最大情况的最小值.
【详解】由题设，即在圆内，
令且，显然是内分比点，若为外分比点，

则，此时的中点为所在阿氏圆的圆心，
对于每一个确定的实数，最大值为，即重合时为对应圆直径，
根据圆的对称性，如上图，讨论的情况，而，
当为直径时，，
此时，可得，
故的最大值为；
当不为直径时，，且增减趋势相同，
由，得，显然接近于1时趋向无穷大，
此时的最大值为趋向无穷大.
综上，的最小值是2.
故选：C
【点睛】关键点点睛：根据题设及阿氏圆知识，设，、分别是内外分比点，讨论情况并求最大情况的最小值，即最小阿氏圆.
19．C
【分析】根据题意可得点在圆内部和圆周上，点的轨迹是以的直径的圆，延长交圆于点，设的中点为，的中点为，则，易得，再结合平面图形的性质和基本不等式即可得出答案.
【详解】因为，设动点满足，
所以点在圆内部和圆周上，
因为动点满足，
所以点的轨迹是以的直径的圆，
如图，延长交圆于点，设的中点为，的中点为，
则，
若点在圆上时，两点重合，两点重合，
若点在圆内时，则，
所以，当且仅当点在圆上时，取等号，
则，当且仅当三点共线时，取等号，
因为，当且仅当重合时，取等号，
因为，所以，
所以，
当且仅当时，取等号，此时，
所以，当且仅当三点共线且点在圆与轴的交点处时，取等号，
所以的最大值为.
故选：C.
【点睛】本题考查了圆的轨迹问题及动圆上的点到定点的距离的最值问题，考查了转化思想，难度较大.
20．ACD
【分析】对于A选项，根据 判断；对于B选项，当时，取的最大值，再根据几何关系求解判断；对于C选项，当时，的面积最大，再求解判断；对于D选项，当三点共线且时判断即可．
【详解】

对于A选项，圆的圆心为，半径为，
圆心到的距离为，∴，
即，故A正确；
对于B选项，根据题意，如图，当时，取的最大值，
此时为直角三角形，由于，∴，
故的最大值为，故B选项错误；
对于C选项，由于，∴当时，的面积最大，
即面积的最大值为，故C正确；

对于D选项，如图，当三点共线时，与共线且同向，
，，∴，故D选项正确.
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：对于D选项，当三点共线且时判断即可．三点共线解最值是解析几何中常见方法
21．ABD
【分析】当为中点时最小，即可求出，从而判断A；设到，的距离分别为，，则，求出，即可得到，从而求出，即可判断B；根据利用基本不等式求出四边形面积的最大值，即可判断C；分别取，的中点，，根据数量积的运算律求出的值，即可判断D.
【详解】解：当为中点时最小，，，故A正确；
设到，的距离分别为，，，∴，
又，∴，，故B正确；
因为，所以，则，当且仅当时取等号，
所以
，故C错误.
分别取，的中点，，
则
为定值，故D正确.
故选：ABD.
22．AD
【分析】根据方程分析曲线C的性质以及图象，根据曲线C的性质和图象结合直线与圆的相关知识逐项分析判断.
【详解】对于曲线C:上任一点，则，
点关于y轴对称的点为，则，
即点在曲线C上，故曲线C关于y轴对称；
点关于x轴对称的点为，则，
即点在曲线C上，故曲线C关于x轴对称；
点关于原点对称的点为，
则，即点在曲线C上，
故曲线C关于原点对称；综上所述：曲线C关于坐标轴和原点对称.
对于方程，令，则，解得或，
即曲线C与x轴的交点坐标为，
同理可得：曲线C与y轴的交点坐标为，
当时，，则，
整理得，且，
故曲线C在第一象限内为以为圆心，半径的半圆，
由对称性可得曲线C为四个半圆外加坐标原点，
对A：曲线C围成的图形的周长是， A正确；
对B：曲线C围成的图形的面积， B错误；
对C：联立方程，解得或，
即曲线C与直线在第一象限内的交点坐标为，
由对称可知曲线C与直线在第三象限内的交点坐标为，
则，C错误；
对D：由图结合对称性可知：当在第一象限时，
点到直线的距离相对较小，
∵到直线的距离，
则点到直线的距离，
∴，
故的最小值是，D正确.

故选：AD.
【点睛】(1)通过方程研究曲线的对称性时，往往通过点的对称证明曲线的对称性；
(2)研究直线与圆的位置关系主要通过圆心到直线的距离和半径的比较实现，两个圆的位置关系的判断依据是两圆心距离与两半径差与和的比较．
23．AC
【分析】根据给定条件，建立平面直角坐标系，求出动点P的轨迹方程，再逐项分析、计算判断即得.
【详解】以点为坐标原点，直线为轴建立平面直角坐标系，如图，
设，显然，
由，得，整理得，
因此点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，点的轨迹长度为，A正确；
当时，，由得，显然，
于是直线与圆的交点满足，B错误；
显然，而点到定点的距离，
则，即的取值范围为，C正确；
显然点到直线，即轴距离的最大值为，，D错误.
故选：AC
【点睛】思路点睛：涉及与圆相离的图形F上的点与圆上点的距离最值问题，转化为图形F上的点与圆心距离加或减圆半径求解.
24．ABD
【分析】A、B应用点线距离公式求圆心到直线的距离，结合圆的半径，判断直线与圆的位置及点到直线的距离等于1的个数；C由圆切线性质求最小切线长；D设点，写出以为直径的圆，结合已知圆求公共弦的方程为，进而求定点即可判断.
【详解】A：圆：的圆心，半径，
圆心到直线的距离，所以直线与圆相离．正确；
B：圆心到直线的距离，
所以，则圆上有2个点到直线的距离等于1，正确；
C：由切线的性质知，为直角三角形，，
当且仅当与直线垂直时等号成立，所以的最小值为，错误；
D：设点，，，所以四点，，，共圆，
以为直径，圆心为，半径，圆的方程为，
又圆：，两圆相减得，所以直线的方程为，
因为点在直线上，所以，
所以，整理得，
由，得，所以直线过定点，正确．
故选：ABD

25．BC
【分析】利用三角方法设出点的坐标，利用两点间的距离表示出，进而根据三角函数的有界性即可得到答案．
【详解】依题意，设，
则，
，
，
，
又，，则
故选：BC．
26．ABD
【分析】首先判断两直线经过的定点,以及，从而推得动点的轨迹（去掉不符合的点）；在直角三角形中借助于设角，将转化为正弦型函数，即可求其最大值；再将圆外一点到定直线的距离最小值转化为圆心到直线的距离减去半径；最后，根据两个圆的方程判断两圆的位置关系即得.
【详解】由配方得: ,易得直线过定点,
直线过定点，且直线的斜率必存在，由可得：,如图.
对于A项，由，且可知点的轨迹是以线段为直径的圆，其方程为：，
又因直线的斜率必存在，故需要去掉圆上的点，即动点的轨迹是除去点的一个圆，选项A正确；
对于B项，设，因,则其中，
因当时，，故的最大值是，选项B正确；
对于C项，由，易得：，因圆心到直线的距离为：，
故圆上的点到直线的距离的最小值为，选项C错误；
对于D项，因动点的轨迹方程为，(去掉点)，
设圆心为由可得两圆没有交点，故选项D正确．
故选：ABD．
【点睛】方法点睛：本题主要考查直线过定点和动点轨迹问题,属于较难题.
解决动点轨迹的主要方法有：
（1）定义法:对于符合常见的圆锥曲线之类的定义的轨迹题，首选此法；
（2）相关点法：通过另一个已知曲线上的动点轨迹方程求解未知曲线的动点轨迹；
（3）列出等式推导法：即通过设动点坐标，建立与题设之间的关系式化简即得.
27．ABD
【分析】对于A：设出切线方程，根据直线与圆相切列式，得到关于斜率的二次方程，利用韦达定理可得答案；对于B：通过计算得到，求出的最小值即可；对于C：求出以为直径的圆的方程，与已知圆做差可得公共弦所在直线方程，根据方程可得定点；对于D：转化为求点的轨迹，如果点的轨迹是一个圆即可.
【详解】对于A：设，过点作圆的切线，切线斜率不存在时显然不满足题意，
设切线方程为，
即，
则，整理得
则方程的根为，
又，所以
所以，解得，即若，则这样的点只有一个，A正确；

对于B：
要四边形面积的最小值为1，则最小，
当为点到直线距离时最小，
此时，
所以四边形面积的最小值为，B正确；

对于C：由于直线为以为直径的圆与圆的公共弦，
设，则以为直径的圆的方程为，
即，结合，
两圆方程做差可得，
变形为，令，解得，
即直线恒过点，C错误；
对于D：由选线C得直线的方程为，即
又直线的方程为，即
两式相乘得，
当时，，整理得，
当时，直线与直线的交点为，满足，
故直线与直线的交点轨迹方程为，即为点的轨迹方程，故存在点，使得线段的长度为定值，D正确.

故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：①两相交圆的方程做差可得公共弦所在直线方程；
②是否存在一定点，使得线段的长度为定值，即求点的轨迹是否是圆.
28．BCD
【分析】根据方程写出已知圆的圆心和半径，由长度表示圆上点到原点的距离即可判断A；由圆的性质判断B；若分别是的中点，圆心到直线和的距离且，易证为矩形且其中心对角线长度恒定，即可确定的轨迹判断C；根据得到四边形面积关于的表达式，结合二次函数性质求范围判断D.
【详解】由题设圆的方程为，
设圆心为，则，半径，
由三角形两边之和大于第三边可知，且，
所以当长度最大时圆心与共线且在它们中间，此时错误；
由圆的性质知当即圆心与直线距离最大时长度的最小，
此时圆心与直线距离为，故正确；
若分别是的中点，则且且，
又，易知：为矩形，而，
若圆心到直线的距离且，
所以，则，故，
所以在以为直径，交点为圆心的圆上，C正确；
由上分析：，而，
所以，
令，则，
当，即时，；
当或5，即或时，；
所以，D正确；
故选：BCD
【点睛】难点在于CD选项，选项C：证明分别是的中点所形成的四边形为矩形且对角线长度及中心恒定，判断轨迹形状；选项D：利用得到四边形面积关于的表达式，结合二次函数性质求范围.
29．AD
【分析】对A：根据几何关系，求得直线的斜率，结合点斜式即可求得直线方程；对B：求得的范围，再结合圆的对称性，即可求得结果；对C：取特殊状态即可验证；对D：根据三角形中三边关系，求得，再求的最大值即可.
【详解】圆，即，
故，圆半径，；
对A：因为，

若圆上仅有三个点到直线的距离为，则直线与垂直，
设直线斜率为，则，解得，
故直线的方程为，即，故A正确；
对B：因为直线过点，且，
则当直线过时，取得最大值，此时；
当直线与垂直时，取得最小值，此时，

故当为整数，则，
当时，根据圆的对称性，对应的直线共有6条；
当时，对应的直线只有条，
故使为整数的直线共有条，B错误；
对C：当直线过点时，此时点与点重合，为定值，故C错误；

对D：在三角形中，
，即，
又当为线段的延长线与圆的交点时，，
当为线段的延长线与圆的交点时，，

综上所述：，故，
又当重合时，也即与直线垂直时，取得最大值，最大值为，
故，
当且仅当与直线垂直，且为线段的延长线与圆的交点时取得最小值，故D正确.
故选：AD.
【点睛】关键点点睛：本题选项D的解决关键是根据三角形中三边的关系，求得，再求的最大值.
30．ABD
【分析】数形结合是解决这类问题的最佳途径.设直线的倾斜角为，此时都可以用含的三角函数式进行表示，这样将所有的计算都转化为三角函数式的计算化简，可以使得问题得到解决.
【详解】由图可知，点在第一象限，
设直线的倾斜角为，当直线与圆相切时，有，，
此时，即，
因为直线与圆交于另一点，所以可知，.
对A，如图所示，在中，，,
故可知，由正弦定理可知，化简得.

所以，故选项A正确；

对B，因为点是角终边上的一点，所以有,
将代入得，即，故选项B正确；
对C，由图可知，，
设的中点为，连接，在中，，所以，
在中，， ，所以.
而已知，所以，
解得，故，所以，
而，
所以，故选项C错误；
对D，由上可知，，，而，
故，
不妨设点在点的左边，此时，,
所以,
化简得，
令，则，，
设，，则，
令，解得，
故，此时，
故的最大正切值为，选项D正确.
故选：ABD
31．
【分析】令，利用圆心到直线距离小于等于半径可解.
【详解】将化为，表示以为圆心，为半径的圆，
令，即，
由题可知，直线和圆有公共点，所以，即，解得.
即的取值范围为.
故答案为：
32．
【分析】证明出，计算出的最小值，可得出的最小值，可得出四边形的面积最小值，可求得的值，进而可得出的值.
【详解】如图所示：
由圆的几何性质可得，，
由切线长定理可得，又因为，，
所以，，
圆的标准方程为，圆心为，半径为，
所以，，
当与直线垂直时，取最小值，且，
所以，，
所以，，此时，
因此，.
故答案为：.
33．/
【分析】由题可得圆心为，半径为2，设与圆切于，根据圆的性质结合条件可得，进而即得.
【详解】由，可得圆心为，半径为2，
设与圆切于，则，
在中，，，
又到直线的距离为，
所以，，
所以的最大值为，即的最大值为.
故答案为：.
34．
【分析】的取值范围等价于求经过点P和圆上的点的所有直线的斜率范围，然后结合图形，求出直线与圆相切时的的值可得答案.
【详解】令，即，
的取值范围等价于求经过点P和圆上的点的所有直线的斜率范围，
从图中可知，斜率取最大值时对应的直线斜率为正且与圆相切，斜率取最小值时对应的直线斜率为负且与圆相切，
因为圆心到直线的距离，解得.
所以的取值范围为.
故答案为：
35．/
【分析】令，将问题转化为函数图象上的点到直线、的距离之和的倍，即可求得最小值．
【详解】令，，
∴表示函数图象上的点到直线的距离，
表示函数图象上的点到直线的距离，
∴目标式几何意义：半圆上的点到直线、的距离之和的倍，

∴最小值为 ．
故答案为：.
36．
【分析】由题意可知，则，当与直线垂直时最小，结合点斜式方程可求解直线PM方程，进而求出点P的坐标；利用勾股定理可得，以为圆心，为半径作圆，将两圆方程相减即可求出直线AB方程.
【详解】的标准方程为，其圆心为，半径为2.如图，

由题意可知，则，
所以当最小时，最小，此时与直线垂直，
所以直线的方程为，即.
联立，解得，
所以点的坐标为，.
在Rt中，，同理.
以为圆心，为半径作圆，如图，则线段为与的公共弦，
的方程为，即，
两圆方程相减得，即直线的方程为.
故答案为：；
【点睛】关键点睛：本题的难点是能够明确AB即为以为圆心，为半径的与的公共弦，由此可求得直线AB方程.
37．
【分析】先根据题意，得到三角形为等腰直角三角形，求出点的轨迹方程；再由恒成立，得到点所在的圆在以为直径的圆的内部，进而得到的最小值为圆的直径的最小值，即可得出结果.
【详解】因为是的中点，所以,
又因为，所以三角形为等腰直角三角形，所以,
即点在以为圆心，以为半径的圆上，
因此，点的轨迹方程为；
要使恒成立，则点所在的圆在以为直径的圆的内部，
而在直线上，
点到直线的距离,
所以，以为直径的圆的半径的最小值为,
所以线段长度的最小值是.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查直线与圆的方程的应用，属于常考题型.
38．/
【分析】的几何意义为点到直线的距离之和，根据梯形中位线知其最大值是的中点到直线的距离的2倍.求出M的轨迹即可求得该最大值.
【详解】的几何意义为点到直线的距离之和，其最大值是的中点到直线的距离的2倍.
由题可知，为等边三角形，则，
∴AB中点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，
故点到直线的最大距离为，
∴的最大值为，
∴的最大值为＝.
故答案为：.
39．
【分析】根据题意建立平面直角坐标系，设，然后将数量积用点的坐标表示出来，再结合圆中的最值问题求解即可．
【详解】如图，以点为原点，边所在直线为轴建立平面直角坐标系．
因为，，，
所以
所以，
设，则，
∴
，
其中表示圆上的点与点间距离的平方，
由几何图形可得，
∴．
故答案为：．

40．
【分析】联立抛物线与圆的方程利用判别式及根的分布计算可求第一空，由对称性设点坐标，根据坐标含参表示四边形面积，换元结合求导判定单调性与最值即可.
【详解】

联立，由题意知该方程有两个不等正根，
即，所以；
如图所示，由图形的对称性，不妨设，
易知四边形为等腰梯形，
其面积为，
又点在抛物线上则有：，
而，
所以，
，
则，
令，则，
令，
易得时，此时单调递增，
时，此时单调递减，即，
则，时取得等号.
故答案为：；.
【点睛】思路点睛：第一空联立方程利用韦达定理计算即可，注意根的分布；第二空利用对称性设点，利用点坐标表示面积，注意运用点特征及韦达定理消元转化得面积与半径的关系，换元结合求导计算最值即可.
41．/
【分析】先根据已知求出圆心，半径，再把分式转化为斜率，最后化简为直线结合直线和圆的位置关系应用点到直线距离求解即可.
【详解】曲线方程化为，是以为圆心，3为半径的圆，
表示点与点连线的斜率，不妨设即直线：，
又在圆上运动，故直线与圆有公共点，则，
化简得解得，故的最大值为.
故答案为:.
42．
【分析】依题意可得，其中表示圆上的点与定点的距离的平方，求出圆心的坐标，即可求出，从而求出的取值范围，即可求出的取值范围，即可得解.
【详解】解：因为，
又实数，满足，
所以点在以为圆心，半径的圆上，
又表示圆上的点与定点的距离的平方，
因为，所以，
即，所以，
所以，
所以，即.
故答案为：
43．
【分析】利用切线与圆心切点的连线垂直，设，通过解直角三角形求出PA，PB的长，利用向量的数量积公式表示出，结合二倍角公式和基本不等式求最小值及此时的值.
【详解】圆的标准方程为，设，

则，有，
又，
则，
当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为，
此时．
故答案为：；.
【点睛】方法点睛：
求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．
44．
【分析】先利用圆切线的性质推得、、、四点共圆，，从而将转化为，进而确定时取得最小值，再求得以为直径的圆的方程，由此利用两圆相交弦方程的求法即可得解.
【详解】圆：可化为，
，，
，是圆的两条切线，则，，
、、、四点共圆，且，，
，
，
当最小，即时，取得最小值，
此时方程为，
联立，解得，，即，
以为直径的圆的方程为，
即，
圆：，两圆相交，
两圆方程相减即为的方程.
故答案为：.

【点睛】关键点睛：本题解决的关键是将转化为，从而确定最小时的坐标，从而利用两圆相减可得相交弦方程的技巧得解.
45．
【分析】，则，可看成点到两定点，的距离和，而两点在轴的两侧，所以连线与轴的交点就是所求点.
【详解】的圆心为，半径，
的圆心为，半径，
设，则，
所以，
取，
则，
当三点共线时取等号，
此时直线：
令，则，，
故答案为：

【点睛】关键点点睛：此题考查直线与圆的位置关系，考查距离公式的应用，解题的关键是将问题转化为点到两定点，的距离和的最小值，结合图形求解，考查数形结合的思想，属于较难题.
46．
【分析】求出定点的坐标，由条件可得点三点共线，结合点到直线的距离公式求的最小值.
【详解】因为时，，
所以函数的图象过定点，
因为，
所以点三点共线，，
因为，为圆上两点，
所以点为过点的直线与圆的两个交点，
设线段的中点为，则，
因为表示点，到
直线的距离和，
表示表示点到直线的距离，
分别过点作与直线垂直，垂足为，
则，
所以，
因为，直线过点，所以，
所以，
所以，化简可得，
即点在圆上，
所以点的轨迹为以为圆心，半径为的圆，
所以点到直线的距离的最小值为，
所以，
所以，
所以，
故答案为：.
【点睛】本题的关键在于确定所求解析式的几何意义，并将所求值转化为线段的中点到直线的距离问题.
47．
【分析】利用圆的性质，结合图像，把问题转化为跟圆有关的最值问题进行处理.
【详解】由题意设点，，，
因为，是圆的切线，所以，，
所以在以为直径的圆上，其圆的方程为:
，又在圆上，
将两个圆的方程作差得直线的方程为：，
即，所以直线恒过定点，
又因为，，，，四点共线，所以，
即在以为直径的圆上，
其圆心为，半径为，如图所示:
所以，
所以的最小值为.
故答案为：.
【点睛】本题考察直线与圆的综合，涉及切点弦方程，圆的最值问题，属于压轴题.
第一空关键在于积累有关切点弦的方程：圆外一点向圆作切线，两个切点的连线方程为（类似的其余圆锥曲线都有此类方程）；
第二空关键在于找出动点M的轨迹，再利用圆外一点到圆上一点的距离最值处理.
48．
【分析】根据两点距离公式计算即可得第一空，设点P坐标及点，根据圆的方程与两点距离公式化简得出，根据三角形三边关系求最值即可.
【详解】设，则，
整理得（或）.
设，则，
故
.
令，则=.
故答案为：；
.
【点睛】思路点睛：利用阿氏圆的定义取点，构造，转化线段和结合三角形三边关系计算即可.
+
0
↗
极大值
↘