高中数学压轴题小题专项训练专题47立体几何中的范围、最值问题含解析答案

这是一份高中数学压轴题小题专项训练专题47立体几何中的范围、最值问题含解析答案，共40页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知球的半径为5，点到球心的距离为3，则过点的平面被球所截的截面面积的最小值是（ ）
A．B．C．D．
2．在手工课上用半径为2的圆制作一个圆锥，要求圆锥的侧面积是底面面积的2倍，则制作的最大圆锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
3．如图，在棱长为2的正方体中，点E，F分别是和的中点，则（ ）
A．
B．
C．点F到平面EAC的距离为
D．过E作平面与平面ACE垂直，当与正方体所成截面为三角形时，其截面面积的范围为
4．如图，在直三棱柱中，，，分别是棱，上的动点（异于顶点），，为的中点，则下列说法中正确的是（ ）
A．直三棱柱体积的最大值为
B．三棱锥与三棱锥的体积相等
C．当，且时，三棱锥外接球的表面积为
D．设直线，与平面分别相交于点，，若，则的最小值为
5．如图，已知正方体的棱长为，点为的中点，点为正方形内包含边界的动点，则（ ）
A．满足平面的点的轨迹为线段
B．若，则动点的轨迹长度为
C．直线与直线所成角的范围为
D．满足的点的轨迹长度为
6．如图，已知正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为2，点为侧棱（含端点）上的动点，直线平面，则下列说法正确的有（ ）

A．直线与平面不可能平行
B．直线与平面不可能垂直
C．若且，则平面截正四棱柱所得截面多边形的周长为
D．直线与平面所成角的正弦值的范围为
7．已知正四棱台的各个顶点都在球的表面上，，，，是线段上一点，且，下列选项正确的（ ）
A．当时，过点作球的截面的最小面积
B．当时，多面体
C．到平面距离是2
D．与平面的夹角正弦值是
8．已知正方体的棱长为为空间中动点，为中点，则下列结论中正确的是（ ）
A．若为线段上的动点，则与所成为的范围为
B．若为侧面上的动点，且满足平面，则点的轨迹的长度为
C．若为侧面上的动点，且，则点的轨迹的长度为
D．若为侧面上的动点，则存在点满足
9．已知正四棱锥的所有棱长均相等，为顶点在底面内的射影，则下列说法正确的有（ ）
A．平面平面
B．侧面内存在无穷多个点，使得平面
C．在正方形的边上存在点，使得直线与底面所成角大小为
D．动点分别在棱和上（不含端点），则二面角的范围是
10．已知圆锥的轴截面是顶角为的等腰三角形，其母线长为，底面圆周上有，两点，下列说法正确的有（ ）
A．截面的最大面积为
B．若，则直线与平面夹角的正弦值为
C．若一只小蚂蚁从圆锥底面圆周上一点绕侧面一周回到原点，则最短路程为
D．当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为
11．如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是，，的中点，Q是线段上的动点，则（ ）

A．存在点Q，使B，N，P，Q四点共面
B．存在点Q，使平面MBN
C．过Q，M，N三点的平面截正方体所得截面面积的取值范围为
D．经过C，M，B，N四点的球的表面积为
12．如图，正方体的棱长为1，点，分别为和的中点，则（ ）

A．直线平面
B．直线与直线为异面直线
C．点到平面的距离为
D．若点为线段上的动点（含端点），则的范围为
13．下列命题错误的是（ ）
A．对空间任意一点与不共线的三点，若，其中，，且，则四点共面
B．已知，，与的夹角为钝角，则的取值范围是
C．若，共线，则
D．若，共线，则一定存在实数使得
14．已知一圆锥的底面半径为，该圆锥的母线长为2，A，B为底面圆的一条直径上的两个端点，则下列说法正确的是（ ）
A．其侧面展开图是圆心角为的扇形
B．该圆锥的体积为π
C．从A点经过圆锥的侧面到达B点的最短距离为
D．过该圆锥的顶点作圆锥的截面，则截面面积的最大值为2
15．已知正方体的棱长为3，P在棱上，为的中点，则（ ）
A．当时，到平面的距离为B．当时，平面
C．三棱锥的体积不为定值D．与平面所成角的正弦值的取值范围是
三、填空题
16．四棱锥的底面为正方形，平面，且，．四棱锥的各个顶点均在球O的表面上，，，则直线l与平面所成夹角的范围为 ．
17．如图，在棱长为1的正方体中，点P是对角线上的动点（点P与点A，不重合）．给出下列结论：
①存在点P，使得平面平面；
②对任意点P，都有；
③面积的最小值为；
④若是平面与平面的夹角，是平面与平面的夹角，则对任意点P，都有．其中所有正确结论的序号是 ．
18．在四棱锥中，平面平面ABCD，，，.若四棱锥P-ABCD的外接球为球，且四棱锥体积的最大值为，则球O的表面积为 .
19．在棱长为1的正方体中，过面对角线的平面记为，以下四个命题:
①存在平面，使;
②若平面与平面的交线为，则存在直线，使;
③若平面截正方体所得的截面为三角形，则该截面三角形面积的最大值为;
④若平面过点，点在线段上运动，则点到平面的距离为．
其中真命题的序号为 ．
20．如图，在正四棱锥中，若底面边长为，棱锥的高为，且正四棱锥的体积为32，当正四棱锥的外接球的体积最小时，其侧棱长为 ．
21．已知正方体的顶点均在半径为1的球表面上，点在正方体表面上运动，为球的一条直径，则正方体的体积是 ，的范围是 ．
22．如图，在梯形中，，将沿直线翻折至的位置，，当三棱锥的体积最大时，过点的平面截三棱锥的外接球所得的截面面积的最小值是 .
23．三棱锥中，和均为边长为2的等边三角形，分别在棱上，且平面平面，若，则平面与三棱锥的交线围成的面积最大值为 ．
24．在直三棱柱中，，，过作该直三棱柱外接球的截面，所得截面的面积的最小值为 ．
参考答案：
1．C
【分析】根据给定条件，利用球的截面小圆性质求出截面小圆半径即得.
【详解】由点到球心的距离为3，得球心到过点的平面距离的最大值为3，
因此过点的平面被球所截的截面小圆半径最小值为，
所以过点的平面被球所截的截面面积的最小值是.
故选：C
2．B
【分析】根据圆锥的侧面展开图、圆锥的体积公式求解．
【详解】设制作的圆锥的母线长为，底面半径为，
则，所以，
此时圆锥的高，
则圆锥的体积．
又，所以，当时，圆锥的体积最大，最大体积为，
故选：B．
3．BCD
【分析】以点为原点建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断AB；求出平面的法向量，求出点到平面的距离判断C；求出过垂直于平面的直线与平面的交点坐标，再计算判断D.
【详解】在棱长为2的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
对于A，，显然与不共线，即与不平行，A错误；
对于B，，，因此，B正确；
对于C，，设平面的法向量，
则，令，得，而，
点F到平面的距离为，C正确；
对于D，过点垂直于平面的直线与平面相交，令交点为，
则，点，由，得，即，
当平面经过直线并绕着直线旋转时，平面与平面的交线绕着点旋转，
当交线与线段，都相交时，与正方体所成截面为三角形，
令平面与平面的交线交于点G，交于点H，设，，
，，由，
得，，斜边上的高，
则截面边上的高，
截面的面积
，
当时，，，
所以，D正确.
故选：BCD
【点睛】关键点点睛：选项D的求解关键是求出过点垂直于平面的直线与平面相交的交点，转化为过定点的直线旋转问题求解.
4．BCD
【分析】A选项：根据三棱柱体积公式，结合三角函数值域可得最值；B选项：根据等体积转化可判断；C选项：结合正弦定理确定正三角形外心，进而确定球心及半径；D选项：根据相似及基本不等式可得最值.
【详解】A选项：由已知可得，又，
所以，即体积的最大值为，A选项错误；
B选项：如图所示，
由点为的中点，则，设点到平面的距离为，
则，，
又，所以，所以，B选项正确；
C选项：如图所示，
由已知为正三角形，设外接球球心为，中心为，中点为，则平面，且，，即，
所以外接球半径为，外接球表面积为，C选项正确；
D选项：如图所示，
取中点，可知在的延长线上，在的延长线上，
则，即，
设，，
易知，，
则，，
则，,，
所以，
当且仅当，即时取等号，故D选项正确；
故选：BCD.
5．AD
【分析】利用正方体的特值构造面面平行可判定A，利用圆的定义与弧长公式可判定B，设P坐标，利用正切函数的单调性计算判定C，利用线面垂直及勾股定理可判定D.
【详解】对于A，如图所示，取棱的中点分别为，
连接，
根据正方体的特征易知，
则共面，且平面，平面，
又平面且相交于，故平面平面，
所以满足平面的点的轨迹为线段，
故A正确；
对于B，设M到上底面的投影为N，易知，而，所以，
即P在以N为圆心，半径为2的圆上，
且P在正方形内，如图所示，即上，易知，所以的长度为，
故B错误；
对于C，
如图所示建立空间直角坐标系，取的中点Q，连接，作，
设，则，，
易知直线与直线所成角为，
显然当P为的中点时，此时，
当时，，
易知，
若最小，则需，此时，故C错误；
对于D，取，
可知，即共面，
在底面正方形中易知，则，
结合正方体的性质可知底面，底面，
所以，
而平面，
所以平面，故P在线段上运动，
易知，故D正确.
故选：AD
6．BC
【分析】当与重合时可以判断A；利用反证法说明B；证明平面，则平面为平面，即可求出截面周长，从而判断C；建立空间直角坐标系，利用空间向量法判断D.
【详解】对于A ：已知，若，则需，易知当与重合时，
平面，平面，所以，故可能成立，故A错误；
对于B：假设直线与平面垂直，又因为，则，显然不合题意，
因此假设不成立，即直线与平面不可能垂直，故B正确；
对于C：当为的中点时，连接，，
依题意可知，平面，平面，
所以，
又，平面，所以平面，
又平面，所以，
又平面，平面，所以，
又，所以，所以，
又，平面，所以平面，
又平面，所以，
又，平面，
所以平面，则平面为平面，即平面截正四棱柱所得截面多边形为，
又，
所以截面多边形的周长为，故C正确；
对于D：以为原点，直线分别为轴建立如图所示坐标系，
则，则，设，
平面的一个法向量为，设直线与平面所成角为，

所以，又，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值的范围为，故D错误.
故选：BC
7．ABC
【分析】先确定球的半径，然后建立空间直角坐标系.对于A，利用垂直截面时，截面面积最小求解即可；对于B，利用等体积法求解即可；对于C，将平面转化为面求解即可；对于D，利用空间向量求解线面角即可.
【详解】
设正四棱台上下底面所在圆面的半径分别为，圆心为，连接，，
过作的垂线垂足为，过作的垂线垂足为，
可得，,即，
且正四棱台的高,
设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为，
可得，，故或，
即或，解得,
故，即为球心.
易得，两两垂直，故以为原点，建如图所示空间直角坐标系，
则
故，
对于A，当时，，故，
故，
过点作球的截面，当垂直截面时，截面面积最小，
此时截面半径为,
最小面积，故A正确；
对于B，当时，，
故,
故B正确；
对于C，到平面距离即到平面的距离，
易知垂直平面，
故到平面的距离为，故C正确；
对于D，设平面的法向量为，
则令，解得.
设与平面的夹角正弦值是，
则，故D错误.
故选：ABC
8．BC
【分析】利用异面直线所成角的定义推理计算判断A；证明面面平行，可得点的轨迹可判断B；判断轨迹形状并求出长度判断C；利用“将军饮马”模型，化折为直，结合勾股定理，可判断D.
【详解】对于A，当与不重合时，过作交于，连接，如图，
由平面，平面，得，有，显然，
则为与所成的角，，当与重合时，
当由点向点移动过程中，逐渐增大，逐渐减小，则逐渐增大，
因此，，当与点重合时，有，，
所以与所成角的范围为，A错误；
对于B,取的中点,的中点,连接，如图，
由中位线可知，,,平面，则平面，
同理可得：平面，又且都在面GNF内,所以面平面,
因为平面，所以点,则点的轨迹的轨迹的长度，故B正确；

对于C，由平面，易得是直角三角形，，，如图，

点的轨迹是以为圆心，为半径的圆弧，由,则，同理,
所以,轨迹长度为，C正确；
对于D，在平面内延长，截取，连接交于点，（如图）
,
点与点重合时，,
点与点不重合时，，
所以不存在点满足，D错误.
故选：BC
9．BD
【分析】过作直线，则为平面与平面的交线，取中点中点F，连接，求得可判断A；取中点中点H，连接，可得，，可判断B；由已知可知当Q在正方形各边中点时，与底面所成的角最大，可得，判断C；作垂直于，连接，则为二面角的平面角，求得二面角范围是，判断D.
【详解】已知所有棱长都相等，不妨设为1．
对于A：过S作直线，因为，所以，
所以为平面与平面的交线，
取中点中点F，连接，由正四棱锥，
可得，所以，
所以为二面角的平面角，连接，
在中，
所以平面与平面不垂直，故A错误；
对于B：取中点中点H，连接，
因为，又平面 ，平面，
所以平面，平面，又，
所以平面平面，所以当时，平面，这样的点P有无穷多，故B正确；
对于C：由已知可知当Q在正方形各边中点时，与底面所成的角最大，，所以，所以不布存Q使得与底面成的角为，故C错误；
对于D：作垂直于，连接，
因为平面，又平面，所以，
又，所以平面，因为平面，所以，
因为则为二面角的平面角，
当都无限向点B靠拢时，；当时，，
所以二面角范围是，故D正确．
故选：BD.
10．BD
【分析】对于A，利用截面的面积为，即得的最大面积判断A；对于B，求出直线与平面夹角判断B；对于C，圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为，最短路程；对于D，设，则，当，体积最大，进而得到其外接球表面积.
【详解】对于A，截面的面积为，所以当时，截面的面积最大，为，A错误．
对于B，设为圆锥底面圆的直径．由，得，
则．如图，取线段的中点，连接，．
，易知为等边三角形，平面．
所以点到平面的距离为，
所以直线与平面夹角的正弦值为，B正确．

对于C，圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为，
又因为，所以最短路程为，C错误．
对于D，，设，则，
所以当时，三棱锥的体积取得最大值，
此时外接球的半径，
则外接球的表面积，D正确．
故选：BD．
【点睛】关键点点睛：本题求解时一定要结合图形，抓住变化中的不变、运动中的静止，体会数形结合思想、转化与化归思想等多种数学思想方法的应用．
11．ABD
【分析】作出过的截面判断选项A；取中点为，证明其满足选项B；当在运动时，确定截面的形状，引入参数(如)计算出面积后可得取值范围，判断选项C，过与底面平行的平面截正方体得出的下半部分为长方体，其外接球也是过C，M，B，N四点的球，由此求得球半径，得表面积，判断选项D．
【详解】选项A，连接，正方体中易知，
分别是中点，则，所以，即四点共面，当与重合时满足B，N，P，Q四点共面，A正确；

选项B，如图，取中点为，连接，
因为分别是中点，则与平行且相等，是平行四边形，
所以，又是中点，所以，所以，
平面，平面，所以平面，B正确；

选项C，正方体中，分别是中点，则，
在上，如图，作交于，连接，延长交延长线于点，
连接延长交延长线于点，连接交于点，交于点，
为所过三点的截面，
由正方体的对称性可知梯形与梯形全等，
由面面平行的性质定理，，从而有，由正方体性质，
设，，则，，
是中点，，则，所以，同理，
，，，
梯形是等腰梯形，高为，
截面面积，
设，，，
在上递增，，，
所以，C错；

选项D，取中点，中点，连接，则是正四棱柱（也是长方体），
它的外接球就是过四点的球，所以球直径为，半径为，表面积为，D正确．

故选：ABD．
12．AD
【分析】解法一，根据线面的位置关系判断选项A,B，利用等体积法求解,判断选项C，利用余弦定理进行判断D；解法二，利用空间直角坐标系，求解相应的量进行判断选项.
【详解】解法一
选项A：连接，，平面，平面，直线平面，故A正确；
选项B：，与共面，即，，，四点共面，直线与直线共面，故B错误；
选项C：连接，，设点到平面的距离为，
，．
，，，，
，，
，
，故C错误；
选项D：易知，，设，
则，
当时，,
当时，最大值为，
∴，，，
，∴，故D正确．

解法二：建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，．

选项A：，，，又平面，平面，直线平面，故A正确；
选项B：由A可知，，，，四点共面，故直线与直线共面，故B错误；
选项C：，，，
设平面的法向量为，
则，
令，得，则，
设点到平面的距离为，则，故C错误．
选项D：易知，，．
设，，则，
，
，
,
，，故D正确．
故选：AD
13．BCD
【分析】根据空间向量基本定理判断A，根据数量积的坐标表示及平面向量共线的坐标表示判断B，利用特殊值判断C、D.
【详解】对于A：因为，则，
所以，即，
所以，所以四点共面，故A正确；
对于B：因为，，与的夹角为钝角，
所以且与不共线反向，
若，则，解得；
若与共线，则，解得，
综上可得或，故B错误；
对于C：若、同向且，此时，
即不成立，故C错误；
对于D：若，，显然与共线，但是不存在使得，故D错误.
故选：BCD
14．ABD
【分析】求出底面圆周期判断A；求出圆锥的高并求出体积判断B；展开半圆锥的侧求出弦长判断C；求出轴截面顶角，再求出截面最大值判断D.
【详解】对于A，圆锥底面圆周长为，而圆锥侧面展开图扇形半径为2，所以侧面展开图的圆心角为，A正确；
对于B，圆锥的高，因此圆锥的体积，B正确；
对于C，依题意，将半圆锥的侧面展开，如图，
则从A点经过圆锥的侧面到达B点的最短距离为，C错误；
对于D，圆锥轴截面顶角为，则，，则圆锥轴截面顶角为，
因此过该圆锥的顶点的圆锥截面等腰三角形顶角，
此截面三角形积，当且仅当时取等号，D正确.
故选：ABD
15．ABD
【分析】当时与重合，则为正三棱锥，求出点到平面的距离，即可判断A，设为的中点，连接、，即可证明、，从而得到平面，即可判断B，由判断C，设点到平面的距离为，与平面所成角为，则，求出的面积最值，从而求出相应的，再由判断D.
【详解】当时与重合，则为正三棱锥，，
设在平面内的投影为，则为的中心，
则，
所以，即当时，点到平面的距离为，故A正确；
由正方体的性质可得平面，平面，所以，
设为的中点，连接、，则平面，平面，所以，
当时为的中点，则，所以，
又，所以，所以，
，平面，
所以平面，平面，所以，
，平面，所以平面，故B正确；
当运动时，到平面的距离保持不变为，
又，
所以，
所以三棱锥的体积为定值，故C错误；
由C可知，三棱锥的体积为定值，设点到平面的距离为，与平面所成角为，
所以，
显然当时，的面积最大为，
则，
此时与平面所成角正弦值，
当时，的面积最小为，
则，
此时与平面所成角正弦值，
所以与平面所成角正弦值的取值范围是，故D正确.
故选：ABD．
16．．
【分析】依题意可证明平面，建立空间直角坐标系，用向量法求线面角可得结果.
【详解】解：依题意，四棱锥的外接球的球心O为的中点，连接，
交点为Q，因为底面为正方形，所以，
又平面，且平面，所以，
又，平面，平面，所以平面，
所以为平面的一个法向量，
如图建立坐标系，并设直线l上异于B的一点，所求线面角为，
，
则，，，
由可得，
∴，
当时，，
当时，，
综上，，∴．
故答案为：.

另解：依题意，四棱锥的外接球的球心O为的中点，连接，
交点为Q，因为底面为正方形，所以，
又平面，且平面，所以，
又，平面，平面，所以平面，
即面，
若平面，则与平面所成的角为.
若过B的直线l与平面相交于点R，
在平面中，过B作直线，与平面相交于点为S，
因为面，且平面，所以，
又，，且，平面，
所以平面，
故过且与垂直的直线与平面的交点的轨迹为直线，
又平面，所以，又，且，
所以平面，又平面，所以，
又面，所以为在面内的射影，
即为直线l与平面所成的角，且，
又，而，
当且仅当重合等号成立，故，
综上，，∴．
故答案为：.

【点睛】方法点睛：解决直线与平面所成角的方法：（1）几何法：作出直线与平面所成角，在直角三角形中求角；（2）空间向量法：建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，用向量法求线面角.
17．①②③
【分析】①可通过线面垂直的判定定理找到点P；②③④都可以通过建立空间直角坐标系解决，其中通过向量的长度可以对②进行判断；利用两条直线所成的角和三角形面积公式可以判断③；求出三个面的法向量，并求出和，即可对④进行判断.
【详解】①因为，在上取点使，
因为，平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面，故①正确；
②以为原点，以分别为轴建立空间直角坐标系，如图
，，，，则，，
设，则，,
从而，，所以，故②正确；
③由②，，，
，，
当且仅当时等号成立，所以面积的最小值为，故③正确；
④平面的法向量，平面的法向量，
设平面的法向量，
由即得，
令得，
则，，
令得或，而，故，
从而对存在点P，使得，而不大于直角，
故，故④错误；
故答案为：①②③.
18．
【分析】先确定底面的面积最大值，结合体积最大值得出棱锥的高，确定球心位置，求出球的半径可得表面积.
【详解】因为四棱锥有外接球，所以四边形有外接圆，
因为，所以，；
如图，连接，三角形的面积为24，三角形的面积为；
因为，所以，当且仅当时，等号成立，
所以三角形的面积最大值为25，即有四边形面积的最大值为49.
设四棱锥的高的最大值为，则的最大值为，解得.
设四棱锥的外接球的球心在底面上的射影为，则为的中点.
设四棱锥的外接球球心在平面上的射影为，
过作于点E,连接,
又,所以且.
因为平面平面，平面平面, 平面,
所以平面，易知四边形为矩形，所以.
设四棱锥的外接球的半径为,连接,
则,,
连接,在中, ，所以，解得,
所以，球的表面积为.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：求解本题的关键:一是理解“四棱锥的外接球为球”的含义，能将其转化为四边形有外接圆；二是利用基本不等式求得四边形面积的最大值.
19．①②④
【分析】对于①：取平面为平面，结合线面垂直分析判断；对于②：根据面面平行的性质可得∥，再结合平行线的传递性分析判断；对于③：举反例说明即可；对于④：可证∥平面，则点到平面的距离即为点到平面的距离，利用等体积法分析求解.
【详解】对于①：取平面为平面，
因为为正方形，则，
又因为平面，平面，则，
且，平面，
可得平面，即，故①为真命题；
对于②：显然此时平面与平面不重合，
因为平面∥平面，
且平面平面，平面平面，可得∥，
又因为∥，，可知为平行四边形，则∥，
可知当不与重合时，∥，故②为真命题；
对于③：例如截面，可知截面为边长为的等边三角形，符合题意，
且，故③为假命题；
对于④：由②可知：∥，
且平面，平面，则∥平面，
因为点在线段上运动，则点到平面的距离相等，
不妨取点为点，设点到平面的距离为，
因为，则，解得，
所以点到平面的距离为，故④为真命题；
故答案为：①②④.
【点睛】关键点点睛：对于④：根据平行关系将所求距离转化为点到平面的距离，再利用等体积法运算求解.
20．
【分析】连接，交于点，连接，通过体积得到的关系，再在中利用勾股定理求出，利用导数求出最小时的值，进而可得侧棱长.
【详解】如图，连接，交于点，连接，
则平面，外接球的球心在棱锥的高上，连接．
设外接球的半径为．由题意知．
由，得．
由球的性质可知，
即．
设，则．
当时，，所以函数在上单调递减．
当时，取得最小值，即当时，取得最小值，
正四棱锥的外接球的体积最小，此时．
所以正四棱锥的侧棱长．
故答案为：.
21．
【分析】由正方体的外接球的半径求出正方体的棱长，根据公式计算体积即可；将化简为，结合的范围即可求解．
【详解】设正方体的棱长为，由题意，，则正方体体积，
因为
，
因为点在正方体表面上运动，
所以，故范围为
故答案为：，．

22．
【分析】当三棱锥的体积最大时，此时到底面的距离最大，即此时平面平面，取的中点，的中点，是三棱锥的外接球球心，当且仅当过点的平面与垂直时，截外接球的截面面积最小，
此时，截面的圆心就是点，从而求解.
【详解】当三棱锥的体积最大时，由于底面的面积是定值，
所以此时到底面的距离最大，平面平面，
且平面平面，
取的中点，则，故平面，
取的中点，则，又，且，则，
又∵，
故是三棱锥的外接球球心，且该外接球的半径；
显然，当且仅当过点的平面与垂直时，截外接球的截面面积最小，
此时，截面的圆心就是点，记其半径为，则；
由于，平面，所以平面，
而平面，则，则，
在中，，故；
又，故，又，
故由余弦定理有，
∴，故所求面积为.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：取的中点，由，确定点是三棱锥的外接球球心.
23．
【分析】首先证明截面为长方形，设，将面积表示为关于的二次函数，结合二次函数的性质即可得结果.
【详解】如图所示，因为平面，设面，所以，
同理：，
设，所以，即，
所以四边形为平行四边形，即，
平面，平面，所以平面，
又因为平面，平面平面，所以，即，且，
取中点，连接，易得，，
，所以面，所以，所以，
所以四边形为矩形，
所以面与三棱锥的交线围成的面积，
当，即为中点时，面积最大，最大值为，
故答案为：.

24．
【分析】根据题意直观想象三棱住的外接球位置，再利用球的截面性质可得当为所截圆的直径时截面面积最小，从而得解.
【详解】由直三棱柱可知，平面，
又，所以两两垂直，
设直三棱柱外接球的半径为R，
通过构造长方体可知该三棱柱的外接球与以为边长的长方体外接球相同；
过作该直三棱柱外接球的截面，当为所截圆的直径时截面面积最小，
因为，
则所求截面面积最小值为.
故答案为：.