高中数学压轴题小题专项训练专题56概率与数列的交汇问题含解析答案

这是一份高中数学压轴题小题专项训练专题56概率与数列的交汇问题含解析答案，共22页。试卷主要包含了单选题，填空题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．随机变量的概率分布列如下：
其中，则（ ）
A．B．C．6D．12
2．单调递增数列满足：.在的条件下，的概率为（ ）
A．B．C．D．
3．我们知道，在次独立重复试验（即伯努利试验）中，每次试验中事件发生的概率为，则事件发生的次数服从二项分布，事实上，在无限次伯努利试验中，另一个随机变量的实际应用也很广泛，即事件首次发生时试验进行的次数，显然，我们称服从“几何分布”，经计算得．由此推广，在无限次伯努利试验中，试验进行到事件和都发生后停止，此时所进行的试验次数记为，则，那么（ ）
A．B．
C．D．
4．记数列的前项和为，已知，在数集中随机抽取一个数作为，在数集中随机抽取一个数作为.在这些不同数列中随机抽取一个数列，则是递增数列的概率为（ ）
A．B．C．D．
5．甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球.现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，恰有1个黑球的概率为，恰有2个黑球的概率为，则下列结论不正确的是（ ）
A．，
B．数列是等比数列
C．数列是等比数列
D．的数学期望
6．已知等差数列的前项和为,且，在区间内任取一个实数作为数列的公差,则的最小值为的概率为（ ）.
A．B．C．D．
7．若数列的通项公式为，记在数列的前项中任取两数都是正数的概率为，则（ ）
A．B．C．D．
8．甲､乙､丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，则6次传球后球在甲手中的概率为（ ）
A．B．C．D．
9．随着科技的不断发展，人民消费水平的提升，手机购物逐渐成为消费的主流，当我们打开购物平台时，会发现其首页上经常出现我们喜欢的商品，这是电商平台推送的结果．假设电商平台第一次给某人推送某商品，此人购买此商品的概率为，从第二次推送起，若前一次不购买此商品，则此次购买的概率为；若前一次购买了此商品，则此次仍购买的概率为．记第n次推送时不购买此商品的概率为，当时，恒成立，则M的最小值为（ ）
A．B．C．D．
10．足球运动被誉为“世界第一运动”．深受青少年的喜爱．为推广足球运动，某学校成立了足球社团，社团中的甲、乙、丙三名成员将进行传球训练，从甲开始随机地球传给其他两人中的任意一人，接球者再随机地将球传给其他两人中的任意一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记开始传球的人为第1次触球者，第次触球者是甲的概率为，即．则下列说法正确的个数是（ ）
（1）；（2）；（3）；（4）．
A．1个B．2个C．3个D．4个
11．某公司员工食堂每天都有米饭和面食两种套餐，已知员工甲每天中午都会在这两种套餐中选择一种，米饭套餐的价格是每份18元，面食套餐的价格是每份12元，如果甲当天选择了某种套餐，他第二天会有60%的可能性换另一种类型的套餐，假如第1天甲选择了米饭套餐，第n天选择米饭套餐的概率为，给出以下论述：
①；
②；
③
④前天甲午餐总费用的数学期望为.
其中正确的是（ ）
A．②③④B．①②④C．①③④D．①②③
二、填空题
12．随机数表是人们根据需要编制出来的，由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字组成，表中每一个数都是用随机方法产生的，随机数的产生方法主要有抽签法、抛掷骰子法和计算机生成法．现有甲、乙、丙三位同学合作在一个正二十面体（如图）的各面写上0~9这10个数字（相对的两个面上的数字相同），这样就得到一个产生0~9的随机数的骰子．依次投掷这个骰子，并逐个记下朝上一面的数字，就能按顺序排成一个随机数表，若甲、乙、丙依次投掷一次，按顺序记下三个数，三个数恰好构成等差数列的概率为 ．
13．若一个点从三棱柱下底面顶点出发，一次运动中随机去向相邻的另一个顶点，则在5次运动后这个点仍停留在下底面的概率是 .
14．甲、乙、丙三人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一个人，若次传球后球在甲手中的概率为，则 .
15．有一种投掷骰子走跳棋的游戏：棋盘上标有第1站、第2站、第3站、…、第10站，共10站，设棋子跳到第n站的概率为，若一枚棋子开始在第1站，棋手每次投掷骰子一次，棋子向前跳动一次．若骰子点数小于等于3，棋子向前跳一站；否则，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第9站（失败）或者第10站（获胜）时，游戏结束．则 ；该棋手获胜的概率为 ．
16．甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球.现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一人的口袋，重复次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，恰有2个黑球的概率为，则的数学期望为 ；数列的通项公式为 .
17．甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，恰有2个黑球的概率为，恰有1个黑球的概率为，则的数学期望 .（用表示）
18．有人玩都硬币走跳棋的游戏，已知硬币出现正反面为等可能性事件，棋盘上标有第0站，第1站，第2站，…，第8站，一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次，若掷出正面，棋子向前跳一站（从k到）.若掷出反面，棋子向前跳两站（从k到），直到棋子跳到第7站（胜利大本营）或跳到第8站（失败集中营）时，该游戏结束.设棋子跳到第n站概率为，则 .
19．乒乓球被称为我国的“国球”.甲､乙两名运动员进行乒乓球比赛，其中每局中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛都是相互独立的.
①若比赛为五局三胜制，则需比赛五局才结束的概率为 .
②若两人约定其中一人比另一人多赢两局时比赛结束，则需要进行的比赛局数的数学期望为 .
附：当时，，.
20．对于数列，若，则称数列为“广义递增数列”，若，则称数列为“广义递减数列”，否则称数列为“摆动数列”.已知数列共4项，且，则数列是摆动数列的概率为 .
21．第19届杭州亚运会女篮项目决赛于10月5日举行，中国队以战胜日本队，成功卫冕亚运金牌.在一次战术训练中，甲、乙、丙、丁四名队员进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外三人中的任何一人，第次传球后，记事件“乙、丙、丁三人均接过传出来的球”发生的概率为，则 ，当时， .
0
1
2
…
…
12

…
…
参考答案：
1．C
【分析】由分布列的归一性求出，从而，由此利用倒序相加法能求出结果．
【详解】由分布列的性质可得：，得，
①，
②，
由①②得，
所以．
故选：．
【点睛】本题综合性较强，考查知识点较多，解答本题的关键是将所求数学期望变形，根据倒序相加法，利用组合式的性质计算求解.
2．B
【分析】缩小样本空间，从这6个数字中任取3个共有种不同的结果，列出满足的共有6种结果，求得相应概率.
【详解】缩小样本空间，当时，从这6个数字中任取3个，并按照从小到大的顺序对应，共有种不同的结果.
因为，所以构成等差数列，满足条件有，，共计6种，所以概率为，
故选：B.
3．A
【解析】首先得出若，则，
然后，设．利用错位相减法即可得出，然后可得答案.
【详解】因为，．
∴若，则．
那么
．
设．
．
∴．
∴时，．
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查的是随机变量的期望和利用错位相减法求数列的和，属于中档题.
4．B
【分析】利用求出数列的通项公式，根据数列的单调性可得出关于、的不等式，列举出所有的样本点，以及满足条件的样本点，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】由已知，当时，，
当时，，
因为数列为单调递增数列，则，即，即，
所有样本点有：、、、、、、、、，共个，
其中，满足是递增数列的样本点有：、，共个，
故所求概率为.
故选：B.
5．B
【分析】根据给定条件，求出递推公式，再逐项计算判断作答.
【详解】依题意，，
且，，
于是，，A正确；
显然，数列不是等比数列，B错误；
又，即有，
而，因此数列是首项为，公比为的等比数列，C正确；
显然，因此，D正确.
故选：B
6．D
【分析】首先根据题目条件即的最小值仅为时，求出等差数列的公差的取值范围，再根据基本事件的总体所对应的长度是，而符合题意的事件所对应的长度是，进而可求出的最小值仅为的概率.
【详解】因为的最小值仅为，且，
所以，解得公差，
从而的最小值仅为的概率为.
故选：D.
7．C
【分析】利用分类讨论及通项公式的特点，再利用组合数公式和古典概型的概率的计算公式求出概率的通式即可求解.
【详解】为奇数时，前项中有个奇数项，即有个正数，
，，故A错误；
为偶数时，前项中有个奇数项，即有个正数，
，
，，故B错误；
，故C正确；
，故D错误.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：根据数列的通项公式的特点分类讨论，利用组合数和古典概型的概率的计算公式求出概率的通式即可.
8．A
【分析】设次传球后球在甲手中的概率为，求出，根据题意求出数列的递推公式，求出的表达式，即可求得的值.
【详解】设次传球后球在甲手中的概率为，当时，，
设“次传球后球在甲手中”，则，
则．
即，
所以，，且，
所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，
所以，，所以，，
所以次传球后球在甲手中的概率为．
故选：A
9．A
【分析】写出第n次（）推送时不购买此商品的概率，构造得，从而利用等比数列通项得到，根据函数单调性即可得到答案.
【详解】由题意知，根据第次推送时购买、没有购买两种情况，写出第n次推送时没有购买的概率
第n次（）推送时不购买此商品的概率，
所以，由题意知，则，
所以是首项为、公比为的等比数列，
所以，即．
显然数列递减，所以当时，，
所以M的最小值为．
故选:A．
10．C
【分析】（1）与（2）能直接进行求解；（3）分析出要想第次触球者是甲，则第次触球的不能是甲，且第次触球的人，有的概率将球传给甲，从而求出递推公式；（4）再第（3）问的基础上求出通项公式，计算出，比较出，从而判断出结论.
【详解】甲传球给乙或丙，故，（1）正确；
乙或丙传球给其他两个人，故，（2）正确；
由题意得：要想第次触球者是甲，则第次触球的不能是甲，
且第次触球的人，有的概率将球传给甲，
故，C正确；
因为，设，
解得：，
所以
因为，
所以是以为首项，公比是的等比数列，
故，
所以，
故，
，
故，（4）错误.
说法正确的个数是3个.
故选：C
【点睛】概率与数列结合的题目，要能分析出递推关系，通过递推关系求出通项公式，这是解题的关键.
11．B
【分析】先根据题意找到递推式，即可判断②，由递推式可求出，从而判断③，根据期望公式，期望的性质以及，即可判断④．
【详解】若甲在第天选择了米饭套餐，那么在第天有的可能性选择米饭套餐，
甲在第天选择了面食套餐，那么在第天有的可能性选择米饭套餐，
所以第天选择米饭套餐的概率，故②正确；
因为，所以甲在第1天选择了米饭套餐，所以，故①正确；
由②得，，所以，
又由题意得，，是以为首项，为公比的等比数列，
所以，所以，故③错误；
前天甲午餐总费用的数学期望为，故④正确.
故选：B.
12．/
【分析】甲投1次，记下数字有10种可能，乙投1次也有10种可能；丙投1次也有10种可能，所以甲、乙、丙依次投掷1次，由分步乘法原理可得所有记下数字的总情况数，再列举出等差数列的公差为0，1，2，3，4的所有情况，将公差为1，2，3，4的等差数列中的第1项和第3项的数字交换，分别构成公差为，，，的等差数列，可得出构成等差数列的可能情况数，根据古典概率公式计算可得选项.
【详解】甲投1次，记下数字有10种可能，乙投1次也有10种可能；丙投1次也有10种可能，
所以甲、乙、丙依次投掷1次，记下数字有种情况，
0~9这10个数字中选3个，能构成等差数列的情况如下：
公差为0的等差数列有：0，0，0；1，1，1；2，2，2；；9，9，9共10种情况；
公差为1的等差数列有：0，1，2；1，2，3；2，3，4；3，4，5；4，5，6；5，6，7；6，7，8；7，8，9共8种情况；
公差为2的等差数列有：0，2，4；1，3，5；2，4，6；3，5，7；4，6，8；5，7，9共6种情况；
公差为3的等差数列有：0，3，6；1，4，7；2，5，8；3，6，9共4种情况；
公差为4的等差数列有：0，4，8；1，5，9共2种情况；
公差为1，2，3，4的等差数列中的第1项和第3项的数字交换，分别构成公差为，，，的等差数列，
所以构成等差数列的可能情况有种，
所以若甲、乙、丙依次投掷一次，按顺序记下三个数，三个数恰好构成等差数列的概率为.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是要细致地分类讨论，做到不重不漏列举出所有构成等差数列的情况，从而得解.
13．
【分析】这个点每次运动后的位置，不在上底面，则在下底面，即为对立事件，可记事件“第次运动后这个点停留在下底面”，则“第次运动后这个点停留在上底面”，；同时每次运动点不是由上底面运动来，就是由下底面运动来的，则可由全概率公式得到递推关系，然后构造数列求通项即可.
【详解】这个点每次运动后的位置，不在上底面，则在下底面，即为对立事件，可记事件“第次运动后这个点停留在下底面”，则“第次运动后这个点停留在上底面”，
设，则，
由题意知，，
则由全概率公式可得，，
则，
即，两边同减去可得，，
又已知，
故数列是以为首项，为公比的等比数列，
则，即，
故当时，.
故答案为：.
14．
【分析】记表示事件“经过次传球后，球在甲的手中”，设次传球后球在甲手中的概率为，得到，化简整理得，即，结合等比数列的通项公式，即可求解，进而可求解.
【详解】记表示事件“经过次传球后，球在甲的手中”，
设次传球后球在甲手中的概率为，
则有，
所以
，
即，
所以，且，
所以数列表示以为首项，为公比的等比数列，
所以，所以.
所以
故答案为：.
15． /0.75
【分析】根据题意找出与的关系即可求解.
【详解】由题，因为，故，由，所以，累加可得：．
故答案为：；.
16．
【分析】根据题意求出和的递推公式，进而求出，然后根据均值的计算公式即可求均值，再利用递推关系求出，代入即可求出的通项公式.
【详解】设恰有1个黑球的概率为，由题意可知：，，
，，
所以当时，则有①，
②，
①②可得：
，
所以，
因为，所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，则，
所以，
由②知：，因为，所以数列是首项为，公比为的等比数列，则，即，
又因为，将代入，
解得：，
故答案为：；.
17．
【分析】一方面：利用已知条件求出，进一步推出，另一方面得出，由此可求出，进一步由期望公式即可求解.
【详解】一方面：由题意可知：，，
则；．
另一方面：由题意可知：，
，
两式相加可得，
则：时，，
所以，，
因为，数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，
即，
所以.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：关键是得出，由此即可顺利得解.
18．
【分析】先根据题意求出，，，，，变形后推导出是公比为，首项为的等比数列，进而利用累加法求出，，，求出
【详解】由题意得：，，，，，从而当时， ，而，所以是以公比为，首项为的等比数列，即，（）所以
所以
故答案为：
19． /0.2109375
【分析】由已知可得前四局双方为，即可求出答案①；由已知可推得，需要比赛局数为偶数，且.进而可设，，根据错位相加法求出的前项和为，进而求出的极限即可得出答案.
【详解】①需比赛五局才结束，则说明前四局双方为，概率为.
②假设比赛局数为随机变量，
由已知，需比赛局数为偶数，则可取.
则，
当时，双方前局战为平局，且任意前（，且）局双方均战为平局，
则，显然，满足该式.
设，则有，
所以，是以为首项，为公比的等比数列.
设，则.
设的前项和为，则，
，
作差可得，
，
整理可得，.
由题意可得，，.
则.
故答案为：；.
【点睛】关键点点睛：当时，由题意可知，双方前局战为平局，且任意前（，且）局双方均战为平局，
则.
20．
【分析】根据数列的元素，先根据数列中数字的组成求得所有的数列，再将符合“广义递增数列”或“广义递减数列”的个数分类求得，即可求得“摆动数列”的个数，进而求得数列是摆动数列的概率.
【详解】根据题意可知，，则四位数字组成的数列有以下四类：
（1）由单个数字组成：共有4个数列；
（2）由2个数字组成：则共有种数字搭配，每种数字搭配又分为两种情况：由1个数字和3个相同数字组成4个数的数列（如1222,2111等），则有个数列；分别由2个相同数字组成的4个数的数列（如1122等）共有6个数列，因而此种情况共有种；
（3）由3个数字组成：共有种数字搭配（如1123等），相同数字有3种可能，则共有个数列；
（4）由4个数字组成：共有个数列.
因而组成数列的个数为个数列.
其中，符合“广义递增数列”或“广义递减数列”的个数分别为：
（1）由单个数字组成：4个数列均符合“广义递增数列”或“广义递减数列”，因而有4个数列；
（2）由2个数字组成：满足“广义递增数列”或“广义递减数列”的个数为 个；
（3）由3个数字组成：个；
（4）由4个数字组成：则有2个数列符合“广义递增数列”或“广义递减数列”，
综上可知，符合“广义递增数列”或“广义递减数列”的个数为个.
所以“摆动数列”的个数为个，
因而数列是摆动数列的概率为，
故答案为：.
【点睛】本题考查了数列新定义的综合应用，数字排列的综合应用，概率的求法，分类过程较为繁琐，属于难题.
21．
【分析】根据相互独立事件的概率公式求解即可；根据次传球后接过他人传球的人数进行分类讨论可得，对递推关系整理可得，令，整理可得，可得数列是以为首项，为公比的等比数列，进而求解即可.
【详解】由题意，乙、丙、丁三人每次接到球的概率均为，第3次传球后，
事件“乙、丙、丁三人均接过传出来的球”发生的概率为.
在第次传球后，乙、丙、丁三人均接过他人传球，有两种情况，
第一种情况是次传球后乙、丙、丁三人均接过他人传球，
这种情况的概率为；
第二种情况是次传球后乙、丙、丁三人中只有两人接过他人传球，第次传球时将球传给剩余一人，
这种情况的概率为；
所以当时，，
即，
即，
令，则，
则，即，
因为，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
则，即，
所以.
故答案为：；.
【点睛】方法点睛：对于复杂抽象的概率问题求解，可根据具体的情况进行分类讨论，通过分类讨论来降低难度，从而解决难题.