高中数学压轴题小题专项训练专题57概率统计的综合问题含解析答案

这是一份高中数学压轴题小题专项训练专题57概率统计的综合问题含解析答案，共17页。试卷主要包含了单选题，填空题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．某汽车公司最近研发了一款新能源汽车，以单次最大续航里程公里为标准进行测试，且每辆汽车是否达到标准相互独立，设每辆新能源汽车达到标准的概率为（），当辆汽车中恰有辆达到标准时的概率取最大值时，若预测该款新能源汽车的单次最大续航里程为，且，则预测这款汽车的单次最大续航里程不低于公里的概率为（ ）
A．0.2B．0.3C．0.6D．0.8
2．有一组样本数据0，1，2，3，4，添加一个数X形成一组新的数据，且，则新的样本数据的第25百分位数不变的概率为（ ）
A．B．C．D．
3．为了发展农村经济，某乡镇政府根据当地的地理优势计划从A，B，C三种经济作物中选取两种进行种植推广.通过调研得到当地村民愿意种植A，B，C的概率均分别为，，，若从当地村民中随机选取4人进行交流，则其中至少有2人愿意种植A，且至少有1人愿意种植B的概率为（ ）
A．B．C．D．
4．某同学在课外阅读时了解到概率统计中的切比雪夫不等式，该不等式可以使人们在随机变量的期望和方差存在但其分布末知的情况下，对事件“”的概率作出上限估计，其中为任意正实数.切比雪夫不等式的形式为：，其中是关于和的表达式.由于记忆模糊，该同学只能确定的具体形式是下列四个选项中的某一种.请你根据所学相关知识，确定该形式是（ ）
A．B．C．D．
5．教育部《关于落实主体责任强化校园食品安全管理的指导意见》指出，非寄宿制中小学幼儿园原则上不得在校园内设置食品小卖部或超市，已设置的要逐步退出.某校对学生30天内在小卖部消费过的天数进行统计，（视频率为概率，同一组中数据用该组区间右端点值作代表），则下列说法不正确的是（ ）
A．该校学生在小卖部消费天数超过20天的概率为50%
B．该校学生在小卖部消费天数不超过15天的概率为25%
C．估计学生在小卖部消费天数平均值约为18天
D．估计学生在小卖部消费天数在25-30天的最多
6．某运动员8次射击比赛的成绩为：、、、、、、、；已知这组数据的第百分位为，若从这组数据中任取一个数，这个数比大的概率为，则的取值不可能是（ ）
A．65B．70C．75D．80
二、填空题
7．某汽车公司最近研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程的测试.现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图：
根据大量的测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程近似地服从正态分布，用样本平均数和标准差分别作为、的近似值，其中样本标准差的近似值为50，现任取一辆汽车，则它的单次最大续航里程的概率为 .
（参考数据：若随机变量，则，，）
8．某市统计高中生身体素质的状况，规定身体素质指标值不小于60就认为身体素质合格．现从全市随机抽取 100名高中生的身体素质指标值， 经计算，．若该市高中生的身体素质指标值服从正态分布，则估计该市高中生身体素质的合格率为 ．（用百分数作答，精确到0.1%）
参考数据：若随机变量X服从正态分布，则，，．
9．某省实施新高考，新高考采用“3+1+2”模式，其中“3”是指语文、数学、外语三门仍作为必考科目；“1”是指物理、历史作为选考科目，考生从中选择1门；“2”是指从生物、化学、地理、政治中选择2门作为选考科目，为了应对新高考，某高中从高一年级1000名学生（其中男生550人，女生450人）中，采用分层随机抽样的方法抽取n名学生进行调查．若抽取的n名学生中有女生45人，则n的值为 ；若在抽取到的45名女生中，选择物理与选择历史的人数的比为2：1，为了解女生对历史的选课意向情况，现从45名女生中按分层随机抽样抽取6名女生，在这6名女生中再随机抽取3人，则在这3人中选择历史的人数为2的概率为 ．
10．A，B，C三个地区爆发了流感，这三个地区分别有5%，4%，2%的人患了流感．假设这三个地区的人口比例为4∶3∶3．现从这三个地区中任意选取一个人，则这个人患流感的概率为 ．
11．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：由表中数据，求得线性回归方程为.若在这些样本点中任取一点，则它在回归直线左下方的概率为 .
12．某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量的分组区间为（490，495]，（495， 500]，…，（510，515]，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示．根据频率分布直方图，则样本产品重量的中位数为 （结果保留一位小数），用样本估计总体，若从流水线上任取5件产品，则恰有2件产品的重量不超过505克的概率为 ．
13．某学校高一年级计划成立一个统计方向的社团，为了了解高一学生对统计方面的兴趣，在高一年级的全体同学中抽取了8名同学做了一个调查，结果显示其中3人对统计方向有兴趣，另外5人没兴趣．若从这8人中随机抽取3人，恰有2人是对统计方向有兴趣的同学的概率为 ；若以这8人的样本数据估计该学校高一年级的总体数据，且以频率作为概率，从该学校高一年级的所有学生中随机抽取3人，记对统计方向有兴趣的人数为随机变量，则的均值为 ．
14．某校高三年级有男生360人，女生240人，对高三学生进行问卷调查，采用分层抽样的方法，从这600名学生中抽取5人进行问卷调查，再从这5名学生中随机抽取3人进行数据分析，则这3人中既有男生又有女生的概率是 ，记抽取的男生人数为，则随机变量的数学期望为 ．
15．已知这5个数的标准差为2，若在中随机取出3个不同的数，则5为这3个数的中位数的概率是 ．
16．某学校组织“一带一路”知识竞赛，100名学生成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间：．按分层抽样的方法，从分数在与，的学生中选出5人参加经验交流会，并从这5人中任选2人进行总结发言，则这2人的分数之差的绝对值超过10分的概率为 ．

17．已知一个不透明盒子中装有5个完全相同且编号依次为0，1，2，3，4的小球，现逐次有放回地从盒子中取5次球，记为第i次取出的球的编号，假设每次取球前充分搅拌均匀，则在，，，，的平均数为2的前提下，方差不超过1的事件的概率为 ．
18．市场上某种产品由甲、乙、丙三个厂商供应且甲、乙、丙三家产品市场占比为由长期的经验可知，三家产品的正品率分别为，将三家产品按照市场比例混合在一起．从中任取一件，则此产品为正品的概率 ；若在市场上随机购买两件产品，则这两件产品中恰有一个是正品的概率为 ．
19．一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表（单位：辆）：
按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆．则 ；若用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2．把这8辆轿车的得分看作一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率为 ．
20．为了抗击新冠肺炎疫情，现在从甲医院200人和乙医院100人中，按分层抽样的方法，选出6人加入“援鄂医疗队”，再从此6人中选出3人作为联络员，则这3名联络员中甲乙两所医院均有人员入选的条件下，恰有2人来自乙医院的概率是 ．设3名联络员中甲医院的人数为，则随机变量的数学期望为 ．
21．现有n（，）个相同的袋子，里面均装有n个除颜色外其他无区别的小球，第k（，2，3，…，n）个袋中有k个红球，个白球.现将这些袋子混合后，任选其中一个袋子，并且从中连续取出三个球（每个取后不放回），若第三次取出的球为白球的概率是，则 .
单价(元)
8
8.2
8.4
8.6
8.8
9
销量(件)
90
84
83
80
75
68
轿车
轿车
轿车
舒适型
100
150
标准型
300
450
600
参考答案：
1．A
【分析】设辆汽车中恰有辆达到标准时的概率为，则，求导判断单调性，根据正态曲线的对称性可求解.
【详解】设辆汽车中恰有辆达到标准时的概率为，
则，则，
当时，，所以在上单调递增；
当时，，所以在上单调递减；
所以在处取得最大值，即.
所以.
故选：A
2．D
【分析】由百分位数的概念可知，当X为1，2，3，4时，新的样本数据的第25百分位数不变，进而求出概率.
【详解】由题意得，，由于， ，
所以原数据和新数据的第25百分位数均为第二个数，
所以，当X为1，2，3，4时，新的样本数据的第25百分位数不变，
所以，新的样本数据的第25百分位数不变的概率是.
故选：D.
3．D
【分析】由题意分三种情况讨论，再结合独立事件的乘法公式即可得出答案.
【详解】4人中，至少有2人愿意种植A，且至少有1人愿意种植B的可能性共有3种：
①有2人愿意种植A，愿意种植B，C的各有1人；
②有2人愿意种植A，有2人愿意种植B；
③有3人愿意种植A，有1人愿意种植B.
故所求概率.
故选：D.
4．D
【分析】由题知，计算可得结果.
【详解】切比雪夫不等式的形式为：，
由题知，
则的具体形式为.
故选：D.
5．C
【分析】由频率分布直方图计算频率可判断ABD，根据频率分布直方图计算均值（注意题中代表数据）判断C．
【详解】超过20天的概率为：，A正确；
不超过15天的概率为：，B正确；
平均值：.C不正确；
消费天数25-30的人数最多，D正确.
故选：C．
6．D
【分析】先利用古典概型分析的取值范围，再利用百分位数的定义逐一分析各选项，从而得解.
【详解】将该运动员8次射击比赛的成绩从小到大排列：
、、、、、、、，
因为从这组数据中任取一个数，这个数比大的概率为，
一共有8个数，所以比大的数有两个，则，
对于A，因为，所以第65百分位为第6个数，即，满足题意；
对于B，因为，所以第70百分位为第6个数，即，满足题意；
对于C，因为，
所以第75百分位为第个数的平均数，即，满足题意；
对于D，因为，所以第80百分位为第7个数，即，不满足题意.
故选：D.
7．
【分析】计算，确定，再根据正态分布的性质计算概率即可.
【详解】
，
故，
.
故答案为：
8．
【分析】计算样本的平均数和方差，由此估计，再结合参考数据求.
【详解】因为100个数据，，，…，的平均值，
方差，
所以的估计值为，的估计值为．
设该市高中生的身体素质指标值为X，
由， 得，
所以．
故答案为：.
9． 100 /0.2
【分析】利用分层抽样中的抽样比列式求；先求出抽取的6名女生中随机抽取3人的基本事件个数，再求出3人中选择历史的人数为2的基本事件个数，由古典概率的概率公式代入即可得出答案.
【详解】由题意，根据分层随机抽样的方法，可得，解得n＝100；
因为选择物理与选择历史的女生人数的比为2：1，
所以按分层随机抽样抽取的6名女生中有4人选择物理，设为a，b，c，d，
2人选择历史，设为A，B，从中抽取3人的样本空间Ω＝{（a，b，c），（a，b，d），（a，b，A），（a，b，B），（a，c，d），（b，c，d），（b，c，A），（b，c，B），（c，d，A），（c，d，B），（a，c，A），（a，c，B），（b，d，A），（b，d，B），（a，d，A），（a，d，B），（a，A，B），（b，A，B），（c，A，B），（d，A，B）}，共有20个样本点，
设事件C表示“2人选择历史”，则C＝{（a，A，B），（b，A，B），（c，A，B），（d，A，B）}，有4个样本点，所以．
故答案为：100；.
10．/0.038
【分析】有三个地区的人数比设出三个地区的人数，求出三个地区患了流感的人数，利用古典概型的概率计算公式求解即可.
【详解】因为A，B，C三个地区的人口数的比为，
所以设A，B，C三个地区的人口数分别为，
则这三个地区患了流感的人数分别为，，.
现从这三个地区中任意选取一个人，则这个人患流感的概率为：
.
故答案为：.
11．
【分析】根据样本中心在回归直线上求得，再求各单价对应预测值判断回归直线左下方样本点的个数，应用古典概型求概率.
【详解】由表格知：，，
所以，可得，故，
各单价对应预测值如下：
所以在回归直线左下方的样本点有两个，故概率为.
故答案为：
12．
【分析】根据中位数的定义利用频率分布直方图求其中位数，根据独立事件的概率乘法公式求其概率.
【详解】设样本产品重量的中位数为，则，得；
从流水线上任取1件产品，重量超过505克的概率为，重量不超过505克的概为，则5件产品中恰有2件产品的重量不超过505克的概率为．
故答案为：，.
13． ； .
【分析】根据古典概型的计算公式，结合均值的运算公式进行求解即可.
【详解】从这8人中随机抽取3人，恰有2人是对统计方向有兴趣的同学的概率为：；
以频率作为概率，从该学校高一年级的所有学生中随机抽取1人，对统计方向有兴趣的概率为，则，
所以，
故答案为：；.
14． /0.9 /1.8
【分析】根据给定条件，利用古典概型计算概率；再利用超几何分布的期望公式计算作答.
【详解】由分层抽样知，抽取的5人中男生人数为，女生人数为2，
所以从5人中再抽3人，既有男生又有女生的概率是；
依题意，随机变量服从超几何分布，其期望为.
故答案为：；
15．/
【分析】根据标准差公式求出，再根据中位数的定义结合古典概型即可得解.
【详解】这5个数的平均数为，
因为这5个数的标准差为2，
，
解得，
则，即为，
按照从小到大的顺序为，
从随机取出3个不同的数，
有，
共种，
其中5为这3个数的中位数有共种，
所以5为这3个数的中位数的概率是.
故答案为：.
16．/0.4
【分析】根据概率和为1可求得，再分析可得进行发言这2人的分数属于不同的区间，结合组合与概率的公式计算即可
【详解】由题意得，解得，所以分数在与，的学生人数之比为，即分别从分数在，60）与的学生中选出1人和4人，要使2人的分数之差的绝对值超过10分，需这2人的分数属于不同的区间，所以所求概率为．
故答案为：
17．
【分析】首先列表，求出所有平均数为2的基本事件以及个数，以及其中方差不超过1的基本上事件的个数，再利用条件概率求解.
【详解】记事件“，，，，的平均数为2”，事件“，，，，的方差不超过1”，根据事件A中的样本点含有几个2将其进行分组．其分组的具体过程如下表，
由上表可知，事件A中样本点的个数，其中第1组、第2组和第7组中的样本点组成的全体是交事件AB，则交事件AB中样本点的个数，则．
故答案为：
18． / /
【分析】设相应事件，结合全概率公式求此产品为正品的概率；并结合独立重复性事件的概率公式求恰有一个是正品的概率.
【详解】记任取一件，此产品由甲、乙、丙三个厂商供应分别为事件，此产品为正品为事件B，
由题意可知：，
可得，
所以此产品为正品的概率为；
这两件产品中恰有一个是正品的概率为.
故答案为：；.
19． /0.75
【分析】由分层抽样按比例可得；求出，把这8辆轿车的得分看作一个总体，从中任取一个得分数， 记这8辆轿车的得分的平均数为，定义事件，确定事件所含的个数后可得概率．
【详解】由题意，解得；
由题意，
把这8辆轿车的得分看作一个总体，从中任取一个得分数，
记这8辆轿车的得分的平均数为，定义事件，
满足的有共6个，
∴所求概率为．
故答案为：；.
20． 2
【分析】根据分层抽样得到从甲、乙医院抽取的人数，再根据条件概率可求出这3名联络员中甲乙两所医院均有人员入选的条件下，恰有2人来自乙医院的概率；根据古典概型的概率公式求出取每个值的概率，再根据数学期望公式可求出结果.
【详解】根据分层抽样可知，从甲医院选取人，从乙医院选取人，
记“这3名联络员中甲乙两所医院均有人员入选”为事件，“恰有2人来自乙医院”为事件，
则，，
所以.
的所有可能取值为：，
，，，
所以.
故答案为：；2.
21．8
【分析】方法一：根据古典概型性质，先计算出某一情况下取球方法数的总数，在列举出第三次取球为白球的情形以及对应的取法数，根据古典概型计算概率，最后逐一将所有情况累加即可得出总概率，最后即可得到答案.
【详解】方法一：设选出的是第k个袋，连续三次取球的方法数为，
第三次取出的是白球的取法有如下四种情形：
白白白，取法数为：
红白白，取法数为：
白红白，取法数为：
红红白：取法数为：
所以第三次取出的是白球的总情形数为：
则在第k个袋子中取出的是白球的概率为：，
因为选取第k个袋的概率为，故任选袋子取第三个球是白球的概率为：
当时，.
故答案为:8．
方法二：设“取出第个袋子”，“从袋子中连续取出三个球，第三次取出的球为白球”， 则，且，，，两两互斥，，
，，所以，
所以，，即，解得：.
故答案为：．
【点睛】思路点睛：本题为无放回型概率问题
根据题意首先分类讨论不同k值情况下的抽取总数(可直接用k值表示一般情况)
再列出符合题意得情况(此处涉及排列组合中先分类再分组得思想)
最后即可计算得出含k的概率一般式，累加即可.
累加过程中注意式中n与k的关系可简化累加步骤.
单价(元)
8
8.2
8.4
8.6
8.8
9
销量(件)
90
86
82
78
74
70
组号
分组依据
数字类型
样本点个数
方差
1
5个2
2，2，2，2，2
1
0
2
3个2
1，2，2，2，3

3
0，2，2，2，4

4
2个2
1，1，2，2，4

5
0，2，2，3，3

6
1个2
0，1，2，3，4

7
1，1，2，3，3

8
0，0，2，4，4

9
0个2
0，1，3，3，3

10
0，1，1，4，4

11
1，1，1，3，4

12
0，0，3，3，4

合计
381