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    第03讲 复数(9类核心考点精讲精练)-备战2025年高考数学一轮复习考点帮(新高考通用)
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    第03讲 复数(9类核心考点精讲精练)-备战2025年高考数学一轮复习考点帮(新高考通用)02
    第03讲 复数(9类核心考点精讲精练)-备战2025年高考数学一轮复习考点帮(新高考通用)03
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    第03讲 复数(9类核心考点精讲精练)-备战2025年高考数学一轮复习考点帮(新高考通用)

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    这是一份第03讲 复数(9类核心考点精讲精练)-备战2025年高考数学一轮复习考点帮(新高考通用),文件包含第03讲复数原卷版docx、第03讲复数解析版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共44页, 欢迎下载使用。


    1. 5年真题考点分布
    2. 命题规律及备考策略
    【命题规律】本节内容是新高考的必考内容,设题稳定,难度较低,分值为5分
    【备考策略】1.理解、掌握复数的代数形式,能够掌握数集分类及复数分类,需要关注复数的实部、虚部、及纯虚数
    2.能正确计算复数的四则运算及模长等问题,理解并掌握共轭复数
    3.熟练掌握复数的几何意义即复数与复平面上点的对应关系
    【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容,一般考查复数的四则运算、共轭复数、模长运算、几何意义,题型较为简单。
    知识讲解
    1.复数的定义
    我们把形如的数叫做复数,其中i叫做 ,满足 ,虚数单位的周期为 .
    【答案】 虚数单位 4
    2.复数通常用字母z表示,即,其中的a与b分别叫做复数z的 与 .
    【答案】 实部 虚部
    3.对于复数, 复数,为实数 ;为虚数 ;为纯虚数 ;为非纯虚数 .
    即复数
    【答案】 ;
    4.在复数集中任取两个数,,规定与相等当且仅当 ,即复数相等:⇔ .
    【答案】
    5.共轭复数
    (1)定义:当两个复数的实部 ,虚部 时,这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.
    (2)表示方法:复数z的共轭复数用表示,即如果,那么 .
    【答案】 相等 互为相反数
    6.复数的几何意义
    为方便起见,我们常把复数说成点或说成向量,并且规定, 的向量表示同一个复数.
    【答案】相等
    7.复平面
    建立直角坐标系来表示复数的平面叫做 ,x轴叫做 ,y轴叫做 .实轴上的点都表示 ;除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数.
    【答案】 复平面 实轴 虚轴 实数
    8.复数的模
    向量的模称为复数的模或绝对值,记作 或 .即 ,其中.如果,那么是一个实数a,它的模就等于 .
    【答案】
    9.复数的加、减法运算法则
    设,则 , .
    【答案】
    10.复数加法的运算律
    对任意,有
    (1)交换律: .(2)结合律: .
    【答案】
    11.复数的乘法
    (1)复数的乘法法则
    设是任意两个复数,那么它们的积 .
    (2)复数乘法的运算律
    对于任意,有
    【答案】
    12.设的三角形式分别是,
    那么, = .
    这就是说,两个复数相乘,积的模等于各复数的模的积,积的辐角等于各复数的辐角的和.简记为:模相乘,辐角相加.
    【答案】
    13.设的三角形式分别是,且,那么, .
    这就是说,两个复数相除,商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商,商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.简记为:模相除,辐角相减.
    【答案】
    考点一、复数的四则运算
    1.(2024·全国·高考真题)设,则( )
    A.B.1C.-1D.2
    【答案】D
    【分析】先根据共轭复数的定义写出,然后根据复数的乘法计算.
    【详解】依题意得,,故.
    故选:D
    2.(2023·全国·高考真题)( )
    A.B.1C.D.
    【答案】C
    【分析】利用复数的四则运算求解即可.
    【详解】
    故选:C.
    1.(2024·天津·高考真题)已知是虚数单位,复数 .
    【答案】
    【分析】借助复数的乘法运算法则计算即可得.
    【详解】.
    故答案为:.
    2.(2023·全国·高考真题)设,则( )
    A.B.C.D.
    【答案】B
    【分析】由题意首先计算复数的值,然后利用共轭复数的定义确定其共轭复数即可.
    【详解】由题意可得,
    则.
    故选:B.
    3.(2024·河南·三模)已知为虚数单位,( )
    A.B.C.D.
    【答案】D
    【分析】根据复数乘法、除法运算化简即可.
    【详解】.
    故选:D
    考点二、求复数的实部与虚部
    1.(2024·全国·模拟预测)已知,则的实部是( )
    A.B.iC.0D.1
    【答案】C
    【分析】根据复数除法运算化简,由实部定义可得.
    【详解】因为,所以z的实部是0.
    故选:C.
    2.(2024·黑龙江·三模)若,则的虚部为( )
    A.B.1C.3D.
    【答案】A
    【分析】先利用乘法运算法则化简复数,然后化简得,即可求出其虚部.
    【详解】因为,所以,所以,
    所以,则的虚部为.
    故选:A
    1.(2024·重庆·三模)设复数z满足,则z的虚部为( )
    A.B.C.3D.
    【答案】A
    【分析】设复数,根据题意,列出方程,结合复数相等,求得的值,即可求解.
    【详解】设复数,
    因为复数z满足,可得,
    即,则,,解得,
    所以复数的虚部为.
    故选:A.
    2.(2024·陕西·二模)复数的实部为( )
    A.1B.3C.D.
    【答案】B
    【分析】通过复数的运算将复数化简成的形式,即可得到实部.
    【详解】由,可得复数的实部为3,
    故选:.
    3.(2024·江西鹰潭·二模)已知,则的虚部为( )
    A.B.C.D.2
    【答案】D
    【分析】利用复数的乘方运算和四则运算法则求出复数,继而得的虚部.
    【详解】由,
    则,的虚部为2.
    故选:D.
    考点三、复数相等
    1.(2023·全国·高考真题)设,则( )
    A.-1B.0 ·C.1D.2
    【答案】C
    【分析】根据复数的代数运算以及复数相等即可解出.
    【详解】因为,
    所以,解得:.
    故选:C.
    2.(2022·浙江·高考真题)已知(为虚数单位),则( )
    A.B.C.D.
    【答案】B
    【分析】利用复数相等的条件可求.
    【详解】,而为实数,故,
    故选:B.
    1.(2024·河南·模拟预测)已知为虚数单位,,满足,则( )
    A.0B.1C.2D.3
    【答案】D
    【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简,再根据复数相等的充要条件得出方程组,求出、的值,即可得解.
    【详解】因为,
    又且,所以,故.
    故选:D.
    2.(2024·安徽合肥·三模)已知,则( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】D
    【分析】设,则,根据题意,结合复数的乘法运算和相等复数建立方程组,解之即可求解.
    【详解】设,则,
    因为,所以,
    即,
    所以,解得,
    所以.
    故选:D.
    3.(2024·河北保定·三模)若复数满足,则实数( )
    A.B.C.D.
    【答案】B
    【分析】设,根据复数相等,即可列式求.
    【详解】设,则,所以,
    由,得,则,
    所以,解得.
    故选:B.
    考点四、复数的分类及纯虚数概念考查
    1.(2024·河北·二模)已知复数是实数,则( )
    A.B.C.D.2
    【答案】D
    【分析】根据复数的四则运算法则计算得到,再根据实数的定义求解即可.
    【详解】
    因为是实数,
    所以,即.
    故选:D.
    2.(2024·河南·三模)已知复数为纯虚数,则的值为( )
    A.2B.1C.D.
    【答案】C
    【分析】利用复数的除法运算求出z,根据复数为纯虚数,列出相应等式和不等式,即可求得答案.
    【详解】,
    由题意得,所以,
    故选:C.
    1.(2024·辽宁大连·二模)设,则“”是“复数为纯虚数”的( )
    A.充分必要条件B.必要不充分条件
    C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件
    【答案】A
    【分析】由复数为纯虚数求得的值,再根据充分必要条件关系判断.
    【详解】因为复数为纯虚数,所以,解得,
    所以是复数为纯虚数的充要条件.
    故选:A.
    2.(2024·辽宁·模拟预测)若复数为实数,则实数等于( )
    A.B.C.D.2
    【答案】D
    【分析】由复数的除法把化简,表示成复数的代数形式,由虚部为0,求的值.
    【详解】,若复数为实数,
    则,即.
    故选:D.
    考点五、复数的几何意义
    1.(2023·全国·高考真题)在复平面内,对应的点位于( ).
    A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
    【答案】A
    【分析】根据复数的乘法结合复数的几何意义分析判断.
    【详解】因为,
    则所求复数对应的点为,位于第一象限.
    故选:A.
    2.(2021·全国·高考真题)复数在复平面内对应的点所在的象限为( )
    A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
    【答案】A
    【分析】利用复数的除法可化简,从而可求对应的点的位置.
    【详解】,所以该复数对应的点为,
    该点在第一象限,
    故选:A.
    3.(2024·山西·三模)已知复数在复平面内对应的点位于第四象限,则实数m的取值范围是 .
    【答案】
    【分析】整理得到不等式组,解出即可.
    【详解】由于,
    故点位于第四象限,因此,解得,
    即的取值范围是.
    故答案为:.
    1.(2024·山东·二模)已知复数满足,则在复平面内对应的点位于( )
    A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
    【答案】D
    【分析】由题意求出,进而解出,判断在复平面内对应的点所在象限即可.
    【详解】由题意知:,
    所以,所以在复平面内对应的点位于第四象限.
    故选:D.
    2.(2024·江西·模拟预测)在复平面内,复数对应的点的坐标为,则( )
    A.B.C.D.
    【答案】A
    【分析】根据复数的几何意义,由复平面内复数对应的点的坐标可以得出对应复数的代数形式,再结合复数的四则运算法则,即可得解.
    【详解】因为复数对应的点的坐标为,所以,
    所以,所以.
    故选:A.
    3.(2024·江西·模拟预测)若复数的共轭复数满足,则在复平面内对应的点的坐标为( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】D
    【分析】根据题意,利用复数的运算法则,求得,得到,结合复数的几何意义,即可求解.
    【详解】由,可得,则,
    则在复平面内对应的点的坐标为.
    故选:D.
    考点六、复数的模长及与模相关的轨迹问题
    1.(2024·全国·高考真题)已知,则( )
    A.0B.1C.D.2
    【答案】C
    【分析】由复数模的计算公式直接计算即可.
    【详解】若,则.
    故选:C.
    2.(2023·全国·高考真题)( )
    A.1B.2C.D.5
    【答案】C
    【分析】由题意首先化简,然后计算其模即可.
    【详解】由题意可得,
    则.
    故选:C.
    3.(2024·广东揭阳·二模)已知复数在复平面内对应的点为,且,则( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】B
    【分析】借助导数的几何意义可得,再利用模长公式即可得.
    【详解】由题意得,所以,则.
    故选:B.
    1.(2024·福建南平·二模)若复数满足,则( )
    A.1B.C.D.2
    【答案】A
    【分析】根据复数代数形式的运算法则化简复数,再根据复数模的计算公式计算即可.
    【详解】由题意可知,复数满足,
    则可转化为,
    所以.
    故选:A.
    2.(2024·贵州毕节·三模)若复数z满足,则( )
    A.1B.5C.7D.25
    【答案】B
    【分析】由复数的乘法和除法运算化简即可求出,再由复数的模长公式求解即可.
    【详解】因为,则,
    即,
    故.
    故选:B.
    3.(2024·辽宁·二模)已知i是虚数单位,复数z满足,则的最小值为( )
    A.B.1C.D.3
    【答案】B
    【分析】利用复数的几何意义及圆中最值问题数形结合计算即可.
    【详解】的几何意义是复数z对应的点Z到点的距离为1,
    即点Z在以点为圆心,1为半径的圆上,
    的几何意义是点Z到点的距离.
    如图所示,故.
    故选:B.
    考点七、复数的三角形式
    1.(2024·黑龙江哈尔滨·三模)复数是虚数单位在复平面内对应点为,设是以轴的非负半轴为始边,以所在的射线为终边的角,则,把叫做复数的三角形式,利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算,,例如:,,复数满足:,则可能取值为( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】D
    【分析】根据复数的三角形及运算,利用复数相等可得,即可得解.
    【详解】设,
    则,
    所以,,即,
    所以
    故时,,故可取,
    故选:D
    【点睛】关键点点睛:理解复数三角形及三角形下复数的指数运算是解题的关键,通过三角形的运算,再利用复数相等,建立方程即可得出所求复数的一般形式.
    2.(2024·内蒙古赤峰·一模)棣莫弗公式(其中i为虚数单位)是由法国数学家棣莫弗(1667-1754)发现的,根据棣莫弗公式可知,复数在复平面内所对应的点位于( )
    A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
    【答案】B
    【分析】由棣莫弗公式化简结合复数的几何意义即可得出答案.
    【详解】,
    在复平面内所对应的点为,在第二象限.
    故选:B.
    1.(2024·陕西商洛·模拟预测)法国数学家棣莫弗(1667-1754年)发现了棣莫弗定理:设两个复数,,则.设,则的虚部为( )
    A.B.C.1D.0
    【答案】B
    【分析】变形复数,根据题中定义进行计算,即可判定.
    【详解】,
    所以
    ,
    所以的虚部为.
    故选:B.
    2.(2023·全国·模拟预测)已知复数,则( )
    A.2022B.2023C.D.
    【答案】B
    【分析】根据题意结合复数运算可得的方程的根为,进而整理可得,取即可得结果.
    【详解】设,
    则,
    由题意可得:
    可得关于的方程的根为,
    故,
    整理得,
    即,
    令,可得,
    且2022为偶数,所以.
    故选:B.
    考点八、欧拉公式
    1.(2024·四川绵阳·模拟预测)欧拉公式把自然对数的底数,虚数单位,和联系在一起,充分体现了数学的和谐美,被誉为“数学中的天桥”.则( )
    A.B.0C.1D.
    【答案】B
    【分析】把代入欧拉公式即可。
    【详解】.
    故选:B
    2.(2022·重庆北碚·模拟预测)欧拉是世纪最伟大的数学家之一,在很多领域中都有杰出的贡献.由《物理世界》发起的一项调查表明,人们把欧拉恒等式“”与麦克斯韦方程组并称为“史上最伟大的公式”.其中,欧拉恒等式是欧拉公式:的一种特殊情况.根据欧拉公式,( )
    A.B.C.D.
    【答案】C
    【分析】化简复数,利用复数的模长公式可求得结果.
    【详解】,
    因此,.
    故选:C.
    1.(2023·云南昆明·一模)欧拉公式:将复指数函数与三角函数联系起来,在复变函数中占有非常重要的地位,根据欧拉公式,复数在复平面内对应的点所在的象限为( )
    A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
    【答案】B
    【分析】根据复数的几何意义结合象限角的三角函数值的符号分析判断
    【详解】由题意可得:对应的点为,
    ∵,则,
    故位于第二象限.
    故选:B.
    2.(2024·浙江绍兴·模拟预测)已知,则在下列表达式中表示的是( )
    A. B.
    C. D.
    【答案】A
    【分析】根据题设的表达式求出的表达式,再代入选项逐一检验即得.
    【详解】因,则,
    对于A,,故A项正确;
    对于B, ,故B项错误;
    对于C,,故C项错误;
    对于D,由B项知,,故D项错误.
    故选:A.
    考点九、复数多选题
    1.(2024·福建福州·三模)已知复数,下列结论正确的是( )
    A.若,则B.
    C.若,则或D.若且,则
    【答案】BCD
    【分析】通过列举特殊复数验证A;设,则,通过复数计算即可判断B;由得,即可判断C;设,通过复数计算即可判断D.
    【详解】对于A,设,则,所以,而,
    所以,故A不正确;
    对于B,设,
    则,故B正确;
    对于C,若,所以,所以,
    所以 或,所以至少有一个为0,故C正确.
    对于D,设,则,
    所以,而,
    所以,故D正确.
    故选:BCD.
    2.(2024·福建莆田·三模)若z是非零复数,则下列说法正确的是( )
    A.若,则B.若,则
    C.若,则D.若,则
    【答案】BCD
    【分析】利用共轭复数的定义可判定A、C,利用复数的乘法运算法则结合模长公式可判定B、D.
    【详解】对于A,由,得,则A错误.
    对于B,因为,所以,解得或(舍去),则B正确.
    对于C,设(,且),
    则,所以,则C正确.
    对于D,由,得.
    设(,且),则,
    ,从而,则D正确.
    故选:BCD
    3.(2024·湖北武汉·模拟预测)已知复数满足:为纯虚数,,则下列结论正确的是( )
    A.B.
    C.的最小值为3D.的最小值为3
    【答案】ABD
    【分析】借助复数的基本概念与模长运算可得A;借助复数的几何意义计算可得B;借助圆与直线的距离可得C、D.
    【详解】对A:为纯虚数,可设选项A正确;
    对B:设,,
    则,即,
    则所对应点的轨迹是以为圆心,以2为半径的圆,
    ,选项B正确;
    对C:为纯虚数,对应点在轴上(除去原点),
    所对应点的轨迹是以为圆心,以2为半径的圆,
    的取值范围为,无最小值,选项C错误;
    对D: ,
    表示点到以为圆心,以2为半径的圆上的点的距离,
    为纯虚数或0,在轴上(除去点),
    当时取得最小值3,∴选项D正确.
    故选:ABD.
    1.(2024·江苏南通·模拟预测)已知,都是复数,下列正确的是( )
    A.若,则B.若,则
    C.若,则D.若,则
    【答案】AD
    【分析】根据共轭复数的定义及复数的乘法运算即可判断A;举出反例即可判断BC;根据复数的乘法运算及复数的模的计算公式即可判断D.
    【详解】设,
    对于A, 若,则,故,故A正确;
    对于B,当时,,故B错误;
    对于C,当时,,故C错误;
    对于D,若,则,所以,

    同理,所以,所以,故D正确.
    故选:AD.
    2.(2024·山东济宁·三模)已知复数,则下列说法中正确的是( )
    A.B.
    C.“”是“”的必要不充分条件D.“”是“”的充分不必要条件
    【答案】AC
    【分析】根据复数加法、乘法、乘方运算,结合复数的几何意义计算,依次判断选项即可.
    【详解】A:设,则,
    所以,
    ,则,故A正确;
    B:设,则,
    所以,
    ,则,故B错误;
    C:由选项A知,,,
    又,所以,不一定有,即推不出;
    由,得,则,则,即,
    所以“”是“”的必要不充分条件,故C正确;
    D:设,则,
    若,则,即,推不出;
    若,则,
    又,
    同理可得,所以,;
    所以“”是“”的必要不充分条件,故D错误.
    故选:AC
    3.(2024·重庆渝中·模拟预测)已知方程的两个复数根分别为,则( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】ACD
    【分析】解方程求出,再结合共轭复数、模的意义及复数运算逐项判断即可各个选项.
    【详解】方程可转化为,解得或,
    不妨设,,
    对于A,显然,故A正确;
    对于B,,故B 错误;
    对于C,由,则,故C正确;
    对于D,,故D正确.
    故选:ACD.
    一、单选题
    1.(2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测)已知i是虚数单位,若为纯虚数,则实数a的值为( )
    A.0B.1C.2D.
    【答案】D
    【分析】根据给定条件,利用复数的乘法计算,再借助纯虚数的定义求解即得.
    【详解】依题意,是纯虚数,于是,解得,
    所以实数a的值为.
    故选:D
    2.(2024·河北·三模)已知复数满足,则的共轭复数的虚部是( )
    A.B.C.D.
    【答案】D
    【分析】由已知求得,可求的共轭复数的虚部.
    【详解】由,可得,
    所以,所以,
    所以,所以的共轭复数的虚部是.
    故选:D.
    3.(2024·河南洛阳·模拟预测)已知,则( )
    A.B.C.D.
    【答案】B
    【分析】根据复数的除法法则及共轭复数的定义即可求解.
    【详解】,
    所以.
    故选:B.
    4.(2024·河北沧州·模拟预测)设,是复数,则下列命题中是假命题的是( )
    A.若,则B.若,则
    C.若,则D.若,则
    【答案】C
    【分析】对于A,利用复数模的定义即可判断;对于B,利用共轭复数的定义即可判断;对于C,利用复数共轭复数相乘的性质即可判断;对于D,举反例即可判断.
    【详解】设,,其中.
    对于A,


    所以,故A正确;
    对于B,,,

    所以,故B正确;
    对于C,,,
    由,得.
    因为,,
    所以不一定成立,如,,
    此时,而,,即,故C错误;
    对于D,由,得,,
    ,所以,故D正确﹒
    故选:C.
    5.(2024·安徽合肥·模拟预测)已知复数满足,则( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】A
    【分析】根据题设求出,从而求出的值.
    【详解】由题知,,
    所以.
    故选:A.
    6.(2024·山东泰安·二模)若复数满足,则( )
    A.B.2C.D.1
    【答案】C
    【分析】根据复数的乘、除法运算可得,则,结合复数的几何意义即可求解.
    【详解】由,得,
    所以,故.
    故选:C
    二、多选题
    7.(2024·安徽蚌埠·模拟预测)已知复数(为实数),若,则的值可能为( )
    A.B.C.1D.3
    【答案】BC
    【分析】根据题意结合复数的模长公式运算求解即可.
    【详解】由题意可知:,解得,
    结合选项可知:BC正确;AD错误.
    故选:BC.
    8.(2023·重庆沙坪坝·模拟预测)设为虚数单位,下列关于复数的命题正确的有( )
    A.B.若互为共轭复数,则
    C.若,则D.若复数为纯虚数,则
    【答案】ABD
    【分析】根据复数的乘法运算,复数的模值运算,纯虚数的定义即可判断.
    【详解】解:由题意得:
    对于选项A:令

    所以,故A正确;
    对于选项B:令,,所以,故B正确;
    对于选项C:令,,根据复数的乘法运算可知:, ,,所以C错误;
    对于选项D:若复数为纯虚数,则,即,故D正确.
    故选:ABD
    三、填空题
    9.(2024·上海·三模)设(为虚数单位),若z为纯虚数,则实数m的值为 .
    【答案】
    【分析】根据给定的条件,利用纯虚数的定义列式计算即得.
    【详解】由为纯虚数,得,解得,
    所以实数m的值为.
    故答案为:
    10.(2024·广东·二模)设,为虚数单位,定义,则复数的模为 .
    【答案】
    【分析】根据给定的定义求出复数,再利用模的意义计算得解.
    【详解】依题意,,
    所以复数的模为.
    故答案为:
    一、单选题
    1.(2024·河北保定·二模)复数( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】D
    【分析】根据复数乘除法以及模长计算公式,整理化简即可求得结果.
    【详解】.
    故选:D.
    2.(2024·浙江杭州·三模)已知复数满足,则的共轭复数在复平面上对应的点位于( )
    A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
    【答案】D
    【分析】利用复数的运算性质求出,再利用共轭复数的性质求出,最后利用复数和对应点的关系求解即可.
    【详解】由题意得,故,
    故,显然在复平面上对应的点是,在第四象限,故D正确.
    故选:D
    3.(2024·江苏南通·三模)已知为复数,则“”是“”的( )
    A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.非充分非必要条件
    【答案】A
    【分析】正向可得,则正向成立,反向利用待定系数法计算即可得或,则必要性不成立.
    【详解】若,则,则,故充分性成立;
    若,设,则,,
    则,或与不一定相等,则必要性不成立,
    则“”是“”的充分非必要条件,
    故选:A
    4.(2024·四川成都·模拟预测)复数在复平面上对应的点位于虚轴上,则实数的值为( )
    A.B.C.D.
    【答案】D
    【分析】利用复数除法法则得到,从而得到方程,求出答案.
    【详解】在复平面上对应的点位于虚轴上,
    ∴,即.
    故选:D
    5.(2024·广东广州·三模)当时,复数在复平面内对应的点位于( )
    A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
    【答案】A
    【分析】先对复数进行化简,再确定实部和虚部的符号即可得解.
    【详解】
    因为,所以,
    故复数在复平面内的对应点位于第一象限,
    故选:A.
    6.(2024·安徽·模拟预测)若为虚数单位,,则的最大值为( )
    A.2B.C.4D.
    【答案】D
    【分析】根据复数的几何意义可得复数对应的点的轨迹为以点为圆心,1为半径的圆,进而求出的最大值.
    【详解】根据题意,复数对应的点的轨迹为以点为圆心,1为半径的圆,
    所求式子的几何意义表示点到圆上点的距离的最大值,
    如图所示,最大值为.
    故选:D.
    7.(2024·河南商丘·模拟预测)已知复数和满足,则( )
    A.1B.C.D.2
    【答案】A
    【分析】设,利用复数的模长结合已知组成方程组,解出即可.
    【详解】设
    因为,所以,即,①
    又,所以,即,②
    又,所以,即,③
    ②③可得,④
    把①代入④可得,
    所以,故A正确;
    故选:A.
    二、多选题
    8.(2024·福建宁德·三模)已知是两个复数,下列结论中正确的是( )
    A.若,则B.若为实数,则
    C.若均为纯虚数,则为实数D.若为实数,则均为纯虚数
    【答案】AC
    【分析】根据题意,复数,根据复数的运算法则和复数的概念,结合选项,逐项判定,即可求解.
    【详解】设复数,则,
    对于A中,由,且,可得,所以,
    所以,所以A正确;
    对于B中,由,可得,即,
    但与不一定相等,所以与不一定相等,所以B错误;
    对于C中,由均为纯虚数,可得,
    此时,所以C正确;
    对于D中,由为实数,即,
    可得,但不一定为,所以D错误.
    故选:AC.
    三、填空题
    9.(2024·湖南衡阳·三模)已知是关于的方程(其中p、q为实数)的一个根,则的值为 .
    【答案】
    【分析】思路一:把代入方程中,再利用复数相等求出、,即可得解.
    思路二:依题意根据虚根成对原理可得也是关于的方程的一个根,利用韦达定理求出、,即可得解.
    【详解】方法一:由已知可得,即,
    所以,解得,所以.
    方法二:因为是关于的方程(其中p、q为实数)的一个根,
    所以也是该方程的一个根,
    由韦达定理得,解得,所以.
    故答案为:.
    10.(2024·江西南昌·三模)已知复数,,那么 .
    【答案】
    【分析】设出复数的代数形式,利用复数模的意义列出方程组并求解即得.
    【详解】设,则,即有,
    解得,所以.
    故答案为:
    一、单选题
    1.(2024·全国·高考真题)设,则( )
    A.B.C.10D.
    【答案】A
    【分析】结合共轭复数与复数的基本运算直接求解.
    【详解】由,则.
    故选:A
    2.(2023·北京·高考真题)在复平面内,复数对应的点的坐标是,则的共轭复数( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】D
    【分析】根据复数的几何意义先求出复数,然后利用共轭复数的定义计算.
    【详解】在复平面对应的点是,根据复数的几何意义,,
    由共轭复数的定义可知,.
    故选:D
    3.(2023·全国·高考真题)已知,则( )
    A.B.C.0D.1
    【答案】A
    【分析】根据复数的除法运算求出,再由共轭复数的概念得到,从而解出.
    【详解】因为,所以,即.
    故选:A.
    4.(2022·全国·高考真题)若.则( )
    A.B.C.D.
    【答案】D
    【分析】根据复数代数形式的运算法则,共轭复数的概念以及复数模的计算公式即可求出.
    【详解】因为,所以,所以.
    故选:D.
    5.(2022·全国·高考真题)若,则( )
    A.B.C.D.
    【答案】C
    【分析】由共轭复数的概念及复数的运算即可得解.
    【详解】
    故选 :C
    6.(2022·全国·高考真题)已知,且,其中a,b为实数,则( )
    A.B.C.D.
    【答案】A
    【分析】先算出,再代入计算,实部与虚部都为零解方程组即可
    【详解】
    由,结合复数相等的充要条件为实部、虚部对应相等,
    得,即
    故选:
    7.(2021·全国·高考真题)设,则( )
    A.B.C.D.
    【答案】C
    【分析】设,利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于、的等式,解出这两个未知数的值,即可得出复数.
    【详解】设,则,则,
    所以,,解得,因此,.
    故选:C.
    8.(2021·全国·高考真题)已知,则( )
    A.B.C.D.
    【答案】C
    【分析】利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果.
    【详解】因为,故,故
    故选:C.5年考情
    考题示例
    考点分析
    关联考点
    2024年新I卷,第2题,5分
    复数的四则运算

    2024年新Ⅱ卷,第1题,5分
    复数的模

    2023年新I卷,第2题,5分
    复数的四则运算、共轭复数

    2023年新Ⅱ卷,第1题,5分
    复数的四则运算、复数的几何意义

    2022年新I卷,第2题,5分
    复数的四则运算、共轭复数

    2022年新Ⅱ卷,第2题,5分
    复数的四则运算

    2021年新I卷,第2题,5分
    复数的四则运算、共轭复数

    2021年新Ⅱ卷,第1题,5分
    复数的四则运算、复数的几何意义

    2020年新I卷,第1题,5分
    复数的四则运算

    2020年新Ⅱ卷,第2题,5分
    复数的四则运算

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    乘法对加法的分配律

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