第06讲 函数与方程（5类核心考点精讲精练）-备战2025年高考数学一轮复习考点帮（新高考通用）

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1. 5年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的命题载体内容，通常会结合其他知识点考查，需要掌握函数零点的定义，难度不定，分值为5-6分
【备考策略】1.结合学过的函数图象，了解函数的零点与方程解的关系，会判断函数零点所在区间及零点个数
2.结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理
3.了解用二分法求方程的近似解，能借助计算工具用二分法求方程近似解
【命题预测】本节内容通常以函数为载体，考查函数零点，是新高考复习的重要内容
知识讲解
函数的零点
一般的，对于函数，我们把方程的实数根叫作函数的零点。
零点存在性定理
如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内必有零点，即，使得
注：零点存在性定理使用的前提是在区间连续，如果是分段的，那么零点不一定存在
函数单调性对零点个数的影响
如果一个连续函数是单调函数，那么它的零点至多有一个。因此分析一个函数零点的个数前，可尝试判断函数是否单调
4、几个“不一定”与“一定”（假设在区间连续）
（1）若，则“一定”存在零点，但“不一定”只有一个零点。要分析的性质与图象，如果单调，则“一定”只有一个零点
（2）若，则“不一定”存在零点，也“不一定”没有零点。如果单调，那么“一定”没有零点
（3）如果在区间中存在零点，则的符号是“不确定”的，受函数性质与图象影响。如果单调，则一定小于0
5、零点与单调性配合可确定函数的符号
是一个在单增连续函数，是的零点，且，则时，；时，
6、判断函数单调性的方法
（1）可直接判断的几个结论：
① 若为增（减）函数，则也为增（减）函数
② 若为增函数，则为减函数；同样，若为减函数，则为增函数
③ 若为增函数，且，则为增函数
（2）复合函数单调性：判断的单调性可分别判断与的单调性（注意要利用的范围求出的范围），若，均为增函数或均为减函数，则单调递增；若，一增一减，则单调递减（此规律可简记为“同增异减”）
（3）利用导数进行判断——求出单调区间从而也可作出图象
7、证明零点存在的步骤
（1）将所证等式中的所有项移至等号一侧，以便于构造函数
（2）判断是否要对表达式进行合理变形，然后将表达式设为函数
（3）分析函数的性质，并考虑在已知范围内寻找端点函数值异号的区间
（4）利用零点存在性定理证明零点存在
考点一、求函数的零点及零点个数
1．（2024·山东青岛·二模）函数的零点为（ ）
A．0B．1C．D．
2．（2024·江苏·一模）函数在区间内的零点个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
3．（23-24高三下·重庆·阶段练习）（多选）已知函数的零点为，的零点为，则（ ）
A．B．
C．D．
1．（2023·上海徐汇·一模）函数的零点是 ．
2．（2024·河北·模拟预测）函数在区间内所有零点的和为（ ）
A．0B．C．D．
3．（2024·河北·模拟预测）（多选）已知函数的零点分别为，则（ ）
A．B．
C．D．
考点二、求方程的根及根的个数
1．（2024·浙江金华·三模）若函数，则方程的实数根个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
2．（2024·浙江温州·三模）已知函数，则关于方程的根个数不可能是（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
1．（23-24高三下·辽宁·阶段练习）已知函数，则方程在区间上的所有实根之和为（ ）
A．2B．4C．6D．8
2．（22-23高一上·上海·期末）已知，则方程的实数根个数不可能为（ ）
A．5个B．6个C．7个D．8个
考点三、求图象的交点及交点个数
1．（2024·全国·高考真题）当时，曲线与的交点个数为（ ）
A．3B．4C．6D．8
2．（2023·全国·高考真题）函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
1．（2024·江苏盐城·模拟预测）函数与的图象的交点个数是（ ）
A．2B．3C．4D．6
2．（2021·全国·模拟预测）已知函数的零点为轴上的所有整数，则函数的图象与函数的图象的交点个数为（ ）
A．B．C．D．
考点四、用零点存在性定理判断零点所在区间
1．（2022高三·全国·专题练习）函数的零点所在的大致区间是（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高三上·浙江宁波·期末）函数的零点所在区间为（ ）
A．B．C．D．
1．（23-24高三下·北京·阶段练习）函数的一个零点所在的区间是（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·陕西安康·模拟预测）函数的零点所在区间是（ ）
A．B．C．D．
考点五、根据零点、方程的根及图象交点求参数范围
1．（2024·全国·高考真题）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（ ）
A．B．C．1D．2
2．（2024·安徽合肥·三模）设，函数，若函数恰有5个零点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高一上·重庆·期中）已知，若关于x的方程在上有解，则a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
1．（2024·全国·高考真题）曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为 ．
2．（22-23高三上·河北张家口·期末）（多选）已知，方程，在区间的根分别为a，b，以下结论正确的有（ ）
A．B．
C．D．
3．（2024·天津·高考真题）若函数恰有一个零点，则的取值范围为 ．
一、单选题
1．（23-24高一上·河北邢台·阶段练习）函数的零点所在的区间为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024高三·全国·专题练习）若函数y＝ax2＋2x＋1有且只有一个零点，则实数a的值为 （ ）
A．1B．0
C．0或1D．一切实数
3．（2024·山西·模拟预测）方程的实数根的个数为（ ）
A．9B．10C．11D．12
4．（2024高三上·全国·竞赛）方程的实数解的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
5．（23-24高一下·浙江·期中）已知函数则函数的零点个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
6．（23-24高二下·安徽芜湖·期中）已知函数存在两个零点，则实数t的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
7．（23-24高三下·福建厦门·强基计划）在上的零点个数（ ）
A．1B．2C．3D．4
8．（2024·浙江绍兴·三模）已知函数为偶函数，若函数的零点个数为奇数个，则（ ）
A．1B．2C．3D．0
二、填空题
9．（2024高三·全国·专题练习）函数在所有零点之和为
10．（2024高三·全国·专题练习）已知函数f（x）＝则使得方程x＋f（x）＝m有解的实数m的取值范围是 ．
一、单选题
1．（2024·山东·模拟预测）已知函数，则使有零点的一个充分条件是（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·甘肃张掖·模拟预测）函数的所有零点之和为（ ）
A．0B．-1C．D．2
3．（2024·河北衡水·模拟预测）已知函数若关于的方程有5个不同的实数根，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（23-24高三下·浙江·阶段练习）已知函数的零点分别为，则的值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、多选题
5．（23-24高三下·云南昆明·阶段练习）已知函数，若方程有五个不相等的实数根，则实数a的值可以为（ ）
A．B．C．D．0
6．（2024·湖南怀化·二模）已知函数的零点为的零点为，则（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
7．（2024·宁夏银川·二模）函数有两个零点,求a的范围
8．（2024·天津·模拟预测）已知函数有3个零点，则实数a的取值范围为 ．
9．（2024·江苏徐州·模拟预测）若函数有两个零点，则实数的取值范围为 .
10．（2024·天津武清·模拟预测）已知函数，若函数恰有3个不同的零点，则实数a的取值范围是 .
1．（2024·全国·高考真题）设函数，则（ ）
A．当时，有三个零点
B．当时，是的极大值点
C．存在a，b，使得为曲线的对称轴
D．存在a，使得点为曲线的对称中心
2．（2023·全国·高考真题）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 ．
3．（2023·天津·高考真题）设,函数,若恰有两个零点，则的取值范围为 ．
4．（2022·天津·高考真题）设，对任意实数x，记．若至少有3个零点，则实数的取值范围为 .
5．（2022·北京·高考真题）若函数的一个零点为，则 ； ．
6．（2021·北京·高考真题）已知函数，给出下列四个结论：
①若，恰 有2个零点；
②存在负数，使得恰有1个零点；
③存在负数，使得恰有3个零点；
④存在正数，使得恰有3个零点．
其中所有正确结论的序号是 ．
7．（2021·天津·高考真题）设，函数，若在区间内恰有6个零点，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
8．（天津·高考真题）已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
9．（全国·高考真题）函数在的零点个数为
A．2B．3C．4D．5
10．（浙江·高考真题）已知，函数，若函数恰有三个零点，则
A．B．
C．D．
5年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2024年新I卷，第7题,5分
求函数零点或方程根的个数
正弦函数图象的应用
2024年新Ⅱ卷，第6题,5分
根据函数零点的个数求参数范围
函数奇偶性的定义与判断
函数奇偶性的应用
求余弦(型)函数的奇偶性
2024年新Ⅱ卷，第9题,6分
求函数零点或方程根的个数
求含sinx(型)函数的值域和最值
求正弦(型)函数的对称轴及对称中心
求正弦(型)函数的最小正周期
2024年新Ⅱ卷，第11题,6分
判断零点所在的区间
函数对称性的应用
函数单调性、极值与最值的综合应用
利用导数研究函数的零点
2023年新I卷，第15题,5分
根据函数零点的个数
求参数范围
余弦函数图象的应用