第15讲 导数中的极值点偏移问题（高阶拓展、竞赛适用）（8类核心考点精讲精练）-备战2025年高考数学一轮复习考点帮（新高考通用）

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（8类核心考点精讲精练）
1. 5年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的载体内容，设题稳定，难度较大，分值为15-17分
【备考策略】1能用导数解决函数的基本问题
2能理解并掌握极值点偏移的含义
3能结合极值点偏移的形式综合证明及求解
【命题预测】极值点偏移问题在高考中很常见，此类问题以导数为背景考察学生运用函数与方程、数形结合、转换的思想解决函数问题的能力，层次性强，能力要求较高，需要综合复习
知识讲解
极值点偏移的含义
众所周知，函数满足定义域内任意自变量都有，则函数关于直线对称；可以理解为函数在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若为单峰函数，则必为的极值点. 如二次函数的顶点就是极值点，若的两根的中点为，则刚好有，即极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移.

若相等变为不等，则为极值点偏移：若单峰函数的极值点为，且函数满足定义域内左侧的任意自变量都有或，则函数极值点左右侧变化快慢不同. 故单峰函数定义域内任意不同的实数满足，则与极值点必有确定的大小关系：
若，则称为极值点左偏；若，则称为极值点右偏.
如函数的极值点刚好在方程的两根中点的左边，我们称之为极值点左偏.
极值点偏移问题的一般题设形式
1. 若函数存在两个零点且，求证：（为函数的极值点）；
2. 若函数中存在且满足，求证：（为函数的极值点）；
3. 若函数存在两个零点且，令，求证：；
4. 若函数中存在且满足，令，求证：.
极值点偏移的判定定理
对于可导函数，在区间上只有一个极大（小）值点，方程的解分别为，且，
（1）若，则，即函数在区间上极（小）大值点右（左）偏；
（2）若，则，即函数在区间上极（小）大值点右（左）偏.
证明：（1）因为对于可导函数，在区间上只有一个极大（小）值点，则函数的单调递增（减）区间为，单调递减（增）区间为，由于，有，且，又，故，所以，即函数极（小）大值点右（左）偏；
（2）证明略.

左快右慢（极值点左偏） 左慢右快（极值点右偏）

左快右慢（极值点左偏） 左慢右快（极值点右偏）
对数平均不等式
两个正数和的对数平均定义：
对数平均与算术平均､几何平均的大小关系：
（此式记为对数平均不等式）
取等条件：当且仅当时，等号成立．
只证：当时，．不失一般性，可设．
证明如下：
（I）先证：……①
不等式①（其中）
构造函数，则．
因为时，，所以函数在上单调递减，
故，从而不等式①成立；
（II）再证：……②
不等式②（其中）
构造函数，则．
因为时，，所以函数在上单调递增，
故，从而不等式成立；
综合（I）（II）知，对，都有对数平均不等式成立，
当且仅当时，等号成立．
运用判定定理判定极值点偏移的方法
1、方法概述：
（1）求出函数的极值点；
（2）构造一元差函数；
（3）确定函数的单调性；
（4）结合，判断的符号，从而确定、的大小关系.
考点一、极值点偏移高考真题鉴赏
1．（2022·全国·统考高考真题）已知函数．
(1)若，求a的取值范围；
(2)证明：若有两个零点，则．
1．（2021·全国·统考高考真题）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.
考点二、含对数型极值点偏移
1．（2022·全国·模拟预测）设函数.
(1)若，求函数的最值；
(2)若函数有两个不同的极值点，记作，且，求证：.
1．（23-24高三上·江苏南通·阶段练习）已知函数.
(1)当时，求函数的极值；
(2)若有两个极值点，求证：.
2．（2024·河北保定·二模）已知函数为其导函数．
(1)若恒成立，求的取值范围；
(2)若存在两个不同的正数，使得，证明：．
考点三、含指数型极值点偏移
1．（22-23高二上·重庆沙坪坝·期末）已知函数．
(1)若在上单调递增，求实数的取值范围；
(2)若存在极小值，且极小值等于，求证：．
1．（2023·全国·模拟预测）已知函数．
(1)求函数的单调区间与极值．
(2)若，求证：．
2．（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）设，为函数（）的两个零点．
(1)求实数的取值范围；
(2)证明：．
考点四、加法型极值点偏移
1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数恰有两个零点．
(1)求的取值范围；
(2)证明：．
2．（2023·山西·模拟预测）已知函数.
(1)若，求的取值范围；
(2)若关于的方程有两个不同的正实根，证明：.
3．（2024·辽宁·模拟预测）已知函数．
(1)当时，判断在区间内的单调性；
(2)若有三个零点，且．
（i）求的取值范围；
（ii）证明：.
1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数有两个零点．
(1)求实数的取值范围；
(2)证明：．
2．（2024高三下·全国·专题练习）已知函数．
(1)证明：；
(2)若，且，证明：．
3．（2024高三·全国·专题练习）设函数．
(1)判断函数的单调性；
(2)若，且，求证：．
考点五、减法型极值点偏移
1．（23-24高二下·云南·期中）已知函数.
(1)当时，讨论的单调性；
(2)当时，若方程有三个不相等的实数根，且，证明：.
1．（23-24高三上·河南·开学考试）有两个零点．
(1)时，求的范围；
(2)且时，求证：．
2．（23-24高三下·天津·阶段练习）已知函数．
(1)讨论的单调区间；
(2)已知，设的两个极值点为，且存在，使得的图象与有三个公共点；
①求证：；
②求证：．
考点六、平方型（立方型）极值点偏移
1．（22-23高三上·云南·阶段练习）已知函数，．
(1)若，求的取值范围；
(2)证明：若存在，，使得，则．
2．（2024·全国·模拟预测）已知函数．
(1)求的单调区间；
(2)若有两个零点，，且，求证：．
3．（2024·全国·模拟预测）已知函数，．
(1)若对任意的都有，求实数的取值范围；
(2)若且，，证明：．
1．（2023·广东广州·模拟预测）已知函数.
(1)讨论函数的单调性：
(2)若是方程的两不等实根，求证：；
2．（22-23高二下·辽宁·期末）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若（e是自然对数的底数），且，，，证明：.
3．（2023·山西·模拟预测）已知函数.
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若有2个不同的零点（），求证：.
考点七、乘积型极值点偏移
1．（2023高三·全国·专题练习）已知函数.若有两个零点，证明：.
2．（2024·广东湛江·一模）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若方程有两个根，，求实数a的取值范围，并证明：．
3．（2024高三·全国·专题练习）已知函数.
(1)当时，判断函数的单调性；
(2)若关于的方程有两个不同实根，求实数的取值范围，并证明.
1．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知函数.
(1)若有唯一极值，求的取值范围；
(2)当时，若，，求证：.
2．（23-24高三上·四川遂宁·阶段练习）设，.
(1)当时，求的极值；
(2)若有恒成立，求的取值范围；
(3)当时，若，求证：.
3．（2023·湖北武汉·模拟预测）已知．
(1)当时，讨论函数的极值点个数；
(2)若存在，，使，求证：．
考点八、商式型极值点偏移
1．（2022高三·全国·专题练习）已知函数有两个相异零点､，且，求证：.
2．（福建省宁德市2021届高三三模数学试题）已知函数.
（1）当时，讨论函数的单调性：
（2）若函数恰有两个极值点，且，求的最大值.
3．（22-23高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数，.
(1)若对于任意，都有，求实数的取值范围；
(2)若函数有两个零点，求证：.
1．（22-23高二下·湖北·期末）已知函数（）.
（1）当时，讨论函数的单调性；
（2）若函数恰有两个极值点，（），且，求的最大值.
2．（21-22高二上·湖北武汉·期末）已知函数，其中为自然对数的底数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，且，证明：.
6．（2023·湖北武汉·三模）已知函数，．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若关于的方程有两个不相等的实数根、，
（ⅰ）求实数a的取值范围；
（ⅱ）求证：．
1．（2023高三·全国·专题练习）已知函数的图像与直线交于不同的两点，，求证：．
2．（2023·江西·模拟预测）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若，且，证明：，且．
3．（23-24高二下·广东东莞·阶段练习）已知函数的导函数为，若存在两个不同的零点.
(1)求实数的取值范围；
(2)证明：.
4．（23-24高三上·江苏连云港·阶段练习）已知函数.
(1)当时，求函数的零点个数.
(2)若关于的方程有两个不同实根，求实数的取值范围并证明.
5．（2024·云南·二模）已知常数，函数.
(1)若，求的取值范围;
(2)若、是的零点，且，证明:.
6．（22-23高二下·安徽·阶段练习）已知函数．
(1)若为定义域上的增函数，求a的取值范围；
(2)令，设函数，且，求证：．
7．（2023·山东日照·二模）已知函数．
(1)若恒成立，求实数的值：
(2)若，，，证明：．
8．（2023·江西南昌·二模）已知函数，．
(1)当时，恒成立，求a的取值范围．
(2)若的两个相异零点为，，求证：．
9．（2023·浙江绍兴·模拟预测）已知函数，a为实数．
(1)求函数的单调区间；
(2)若函数在处取得极值，是函数的导函数，且，，证明：
10．（2023·北京通州·三模）已知函数
(1)已知f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为，求实数a的值；
(2)已知f（x）在定义域上是增函数，求实数a的取值范围.
(3)已知有两个零点，，求实数a的取值范围并证明.
11．（22-23高三下·河北石家庄·阶段练习）已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)若函数有两个零点、，证明.
12．（2022高三·全国·专题练习）已知函数在其定义域内有两个不同的极值点.
(1)求的取值范围；
(2)记两个极值点为，且. 若，证明：.
13．（2023·贵州毕节·模拟预测）已知函数.
(1)当时，，求的取值范围.
(2)若函数有两个极值点，证明：.
14．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知函数．
(1)若，讨论的单调性．
(2)已知关于的方程恰有个不同的正实数根．
（i）求的取值范围；
（ii）求证：．
15．（23-24高三上·天津和平·阶段练习）已知函数，a为实数．
(1)当时，求函数在处的切线方程；
(2)求函数的单调区间；
(3)若函数在处取得极值，是函数的导函数，且，，证明：．
16．（23-24高三上·重庆渝中·期中）已知函数．
(1)若函数是减函数，求的取值范围；
(2)若有两个零点，且，证明：．
17．（23-24高三上·江苏·阶段练习）已知函数.
(1)若函数在定义域内为减函数,求实数a的取值范围;
(2)若函数有两个极值点,证明：.
18．（2023·辽宁阜新·模拟预测）已知函数
(1)若时，求的最值；
(2)若函数，且为的两个极值点，证明：
19．（2024高三下·全国·专题练习）已知函数（）．
(1)求的单调区间；
(2)若函数，是函数的两个零点，证明：．
20．（2023·山东泰安·二模）已知函数，.
(1)当时，讨论方程解的个数；
(2)当时，有两个极值点，，且，若，证明：
（i）；
（ii）.
1．（全国·高考真题）已知函数有两个零点.
（Ⅰ）求a的取值范围；
（Ⅱ）设x1，x2是的两个零点，证明：.
2．（天津·高考真题）已知函数
（Ⅰ）求函数的单调区间和极值；
（Ⅱ）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，证明当时，
（Ⅲ）如果，且，证明
5年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2022年全国甲卷理，第21题,12分
导数中的极值偏移问题
恒成立问题、零点问题
利用导数证明不等式
2021年新I卷，第22题,12分
导数中的极值偏移问题
利用导数求函数的单调区间 (不含参)
利用导数证明不等式