第03讲 利用二阶导函数解决9类函数问题（9类核心考点精讲精练）-备战2025年高考数学一轮复习考点帮（新高考通用）

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（9类核心考点精讲精练）
命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度较大，分值为13-17分
【备考策略】1会导数的基本运算
2能理解导函数与原函数关系
3能进行函数转化求原函数导函数的导函数，并得到原函数导函数关系，进而求解原函数单调性及其他综合问题
【命题预测】在历年全国高考数学试题中，函数与导数部分是高考重点考查的内容，利用导数求解函数的单调性、极值和最值等问题是高考考查导数问题的主要内容和形式，并多以压轴题的形式出现.常常考查运算求解能力、概括抽象能力、推理论证能力和函数与方程、化归与转化思想、分类与整合思想、特殊与一般思想的渗透和综合运用，难度较大.
知识讲解
一般导数题目中求出导函数即可判断原函数的单调性，而在有些函数问题中，如含有指数式、对数式的函数问题，求导之后往往不易或不能直接判断出原函数的单调性，从而不能进一步判断函数的单调性及极值、最值情况，此时解题受阻。需要利用“二次求导才能找到导数的正负，找到原函数的单调性，才能解决问题， 若遇这类问题，必须“再构造，再求导”。本文会说明函数的二阶导数在解高考函数题中的应用。
二阶导的定义
定义 1 : 若函数的导函数在点处可导, 则称在点的导数为在点 的二阶导数, 记作, 同时称在点为二阶可导.
定义 2: 若在区间上每一点都二阶可导, 则得到一个定义在上的二阶可导函数, 记作
函数极值的第二判定定理
若在附近有连续的导函数, 且
（1）若, 则在点处取极大值;
（2）若, 则 在点处取极小值
曲线的凹凸性
设函数 y=fx 在区间 a,b 内可导, 如果对应的曲线段位于其每一点的 切线的上方, 则称曲线在 a,b 内是凹的, 如果对应的曲线段位于其每一点 的切线的下方, 则称曲线在 a,b 内是凸的。从图象上来看, 曲线段向上弯 曲是凹的, 曲线段向下弯曲是凸的。
设函数 在 内具有二阶导数, 如果在 内 , 那么对应的曲线在 内是凹的, 如果在 内 , 那么对 应的曲线在 内是凸的 设 在区间 上连续, 如果对 上任意两点 , 恒有
则称 在 上的图形是凹的, 简称为凹弧;
如果恒有
则称 在 上的图形是凸的, 或简称为凸弧。
曲线的拐点
曲线上凸部和凹部的分界点叫做拐点。因此拐点一定是使 的点, 但是使 的点不一定都是拐点。
解决这类题的常规解题步骤为:
求函数的定义域;
求函数的导数 , 无法判断导函数正负;
构造求 , 求 ;
列出 的变化关系表;
根据列表解答问题。
考点一、二阶导与函数单调性
1．（23-24高三上·辽宁大连·阶段练习）已知函数，讨论函数的单调性.
【答案】在上单调递增
【分析】对求导，令，讨论与的大小，可得的单调性，即可证明，即，即可证明.
【详解】依题意，.
令，故，令，解得，
当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
故，故，即，
故函数在上单调递增.
2．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知函数，
(1)若，求的单调区间；
(2)若是的极小值点，求实数a的取值范围．
【答案】(1)单调递减区间为，无单调递增区间
(2)
【分析】（1）根据导数与函数单调性的关系进行求解即可；
（2）由（1）可得时，，再分别讨论和两种情况下的单调性，根据单调性判断是否为的极小值点，进而确定a的取值范围.
【详解】（1）若，则，
的定义域是．
．
令，则．
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减．
因为，所以当时，恒成立，
当且仅当时等号成立．
所以的单调递减区间为，无单调递增区间．
（2）的定义域为，．
由（1）得，当时，，即；
当时，，即．所以当时，．
因此，当时，
．①
（ⅰ）若，则当时，由①可得．
所以在上单调递减，
故不可能为的极小值点．
（ⅱ）若，
当时，，
所以，
则由①可得；
当时，，
设，
则，
所以在区间上单调递增，
从而．
故在上单调递减，在上单调递增，
所以为的极小值点．
综上所述，a的取值范围为．
【点睛】关键点点睛：解决第二问的关键在于，借助第一问得到结论时，，再分别讨论和两种情况下是否为的极小值点，进而确定a的取值范围.
1．（23-24高三上·重庆·阶段练习）已知函数满足．
(1)讨论的单调性；
(2)当时，，求的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)．
【分析】（1）对函数求导得，然后令，再求导，从而求解.
（2）利用分离常数得在区间上恒成立，从而只需求出的最大值，即可求解.
【详解】（1）因为，定义域为，得
令，则，当，得，
当，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以，即恒成立，
所以的单调递增区间为，无单调递减区间．
（2）由题意在区间上恒成立，即恒成立，
即在区间上恒成立，
令，，只需
因为，令，，
有，
所以函数在上单调递减，所以，即，
所以当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，即，
所以实数a的取值范围为．
2．（23-24高三上·广东湛江·阶段练习）（1）证明：函数在上单调递减.
（2）已知函数，若是的极小值点，求实数的取值范围.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）对函数求导并构造函数，并讨论其单调性，即可求出函数在上的单调性；
（2）对函数进行求导，构造函数并求导，通过讨论与之间的关系，结合是的极小值点，即可求出实数的取值范围.
【详解】（1）由题意证明如下，
在中，.
令函数.
当时，，所以在上单调递增.
因为，
所以当时，恒成立，
故在上单调递减.
（2）由题意及（1）得，
在中，，
.
令函数.
当，即或时，
存在，使得当时，，
即在上单调递减.
因为，
所以当时，，
当时，，
则在上单调递增，在上单调递减，
是的极大值点，
不符合题意.
当，即时，
存在，使得当时，，
即在上单调递增.
因为，
所以当时，，
当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，
是的极小值点，符合题意.
当，即时，
.
结合（1）可得在上单调递减，
所以当时，，当时，，
则在上单调递增，在上单调递减.
因为，
所以在上单调递减，不符合题意.
综上，实数的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：本题考查函数的求导，构造函数法，导数求函数单调性，考查学生的逻辑思维能力，计算能力，具有很强的综合性.
3．（23-24高三上·四川成都·阶段练习）已知函数，其中.
(1)当时，求证：在上单调递减；
(2)若有两个不相等的实数根，，求实数a的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用二阶导数讨论函数的单调性即可；
（2）由题意可得，利用导数讨论函数的单调性求出即可求解.
【详解】（1）由题意知，当时，，
则，设，
得，
令，令，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
得，即，
所以函数在上单调递减；
（2）由，得，即，
设，则，
令，令，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
得.
当时，，当时，，
要使方程有两个不同的实数根，
则，即，
即实数a的取值范围为.
【点睛】在解决导数的综合问题时，善于运用转化的思想，构造适当的函数，再次利用导数讨论新函数的性质即可.
考点二、二阶导与函数极值、最值
1．（2023·黑龙江·模拟预测）已知函数．
(1)当时，求函数的极值；
(2)证明：．
【答案】(1)极小值，无极大值
(2)证明见解析
【分析】（1）进行二次求导，分析单调性即可求解.
（2）设函数在存在唯一零点，根据函数的单调性的函数的最小值，只要成立即可.
【详解】（1）当时，
所以
令在恒成立，所以函数在单调递增，且
，
所以当，函数在上单调递减；
当，函数在上单调递增；
所以函数在处取得极小值，无极大值；
（2）当时，
所以．
令在恒成立
所以函数在单调递增，
且当时，；当时，，
所以函数在存在唯一零点，
即，
且当，函数在上单调递减；
当，函数在上单调递增,
所以函数在处取得极小值,
也为最小值，
要证不等式成立，
即证成立，
即
当且仅当时，即时，等号成立，
所以.
【点睛】利用导数比较大小、利用导数证明不等式，常常通过构造函数，把不等式转化为确定函数的单调性，利用单调性得函数值的大小，为此需要求导，利用导数确定单调性，在此过程中可能需要多次求导（当然需要多次构造函数）才能得出最终结论．
2．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知函数，.（注：是自然对数的底数）
(1)若无极值点，求实数的取值范围；
(2)当时，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）法一，易知，无变号零点，考虑后参变分离为，原问题等价于的图像与无相交交点；法二，构建，分，，结合根的存在性定理即可求解；
（2）法一，式子转化为，即证即可，易知，则，分，， 讨论即可；法二，转化为，求的最大值即可.
【详解】（1）（方法一）易知，由无极值点可知，
无变号零点，令（*），
显然时，（*）无零点，此时无极值点，满足题意；
故当（*）可变形得，
令，原问题等价于的图像与无相交交点，
又，则，，单调递增；
，，单调递减；
又趋于，趋于；趋于，趋于；.
可得的图象如图：
由图可知，解得，
综上，
（方法二）构建，则
①当时，当时恒成立，在上单调递增，
因为，，
所以有一个零点，即为的一个极值点；
②当时，当时恒成立，即无极值点；
③当时，当，；当，，
所以在单调递减，在上单调递增，
故，
若，则即.
当时，，
当时，，
设，，故，
故在上为增函数，
故，
故，
故当时，有两个零点，此时有两个极值点.
当时，当时恒成立，即无极值点；
综上所述：
（2）（方法一）由可知，，
即，
令，即证，
易知，
则，
若，即时，
则，，单调递增，，不符合题意；
若，即时，
则，，单调递减，
，，单调递增，
，，单调递减，
又，故令，
解得，即，
若，即时，
则，，单调递减，
，，单调递增，
，，单调递减，
故令
，
记，则恒成立，
所以在上单调递减，
所以，即，
即对于任意，恒成立，
综上所述，
（方法二）①当时，不等式恒成立，可得；
②当时，可得恒成立，设，
则
.
可设，可得，
设，，
由，可得恒成立，可得在上单调递增，
在上单调递增，所以，
即恒成立，即在上单调递增，所以，
再令，可得，
当时，，在上单调递增；
时，，在上单调递减，
所以，
所以，综上可得的取值范围是.
【点睛】思路点睛：利用导数证明不等式，可通过构造函数，结合导数求得所构造函数的单调性、极值、最值.
1．（2024·广西贵港·模拟预测）已知函数．
(1)当时，请判断的极值点的个数并说明理由；
(2)若恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)有一个极值点，理由见解析
(2)
【分析】（1）先求，得，再设，通过对符号的分析，得到的单调性，再判断的解的情况，分析函数的极值点的情况.
（2）先把原不等式化成恒成立，利用换元法，设，则，问题转化为恒成立．再设，利用（1）的结论求的最小值.
【详解】（1）当时，，，
所以，
令，则，
当时，，在上单调递增，
又，，存在唯一零点，且，
当时，，在上单调递减，
当时，，在单调递增．
有一个极小值点，无极大值点．
（2）恒成立，
恒成立，恒成立．
令，则，恒成立．
设，由（1）可知的最小值为．
又，．（﹡）
设，当时，，在上单调递增，
，，，
由（﹡）知，，即．
，
，，又，
a的取值范围为．
【点睛】关键点点睛：该题第二问的关键是求函数的最小值，由（1）得的极小值是，而的值不能准确的表示出来，所以根据进行代入计算.
2．（2024·全国·模拟预测）已知函数，.
(1)当时，求在区间内极值点的个数；
(2)若恒成立，求的值；
(3)求证：，，.
【答案】(1)2
(2)2
(3)证明见解析
【分析】（1）求导，根据函数在的单调性和导函数的单调性可求
（2）根据题意求出极大值点，进而求出a的值，然后利用导数证明不等式恒成立
（3）利用，转化为，然后利用导函数的单调性证明即可
【详解】（1）当时，，
因为在单调递增，在单调递增，
在单调递增，
所以在单调递增，在单调递增，
因为，
所以当时，单调递减；，
所以，，在单调递增，在单调递减，
令，得，
当时，单调递增；
，，
所以，，在单调递减，在单调递增；
因为，
所以，在单调递减，单调递增，
综上，在单调递增，单调递减，单调递增，共2个极值点
（2）因为，
所以是的极大值点，因为，
所以，
只需证，当时，恒成立即可，
因为，
令，则，
①当时，，，则在单调递减，
所以，在单调递增，，
②当时，，则在单调递减，所以，
综上，符合题意
（3）由（2）可知，，当且仅当时取等号，
所以，
，
因为，
所以即证
令，则，
所以即证：，，
令，则，
所以时，，单调递减，
所以，即，，
综上，，，
【点睛】方法点睛：
导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
考点三、二阶导与不等式证明
1．（2024高三下·全国·专题练习）已知函数．
(1)证明：；
(2)若，且，证明：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）对函数变形整理，构造函数，对其进行二次求导，从而可求出的单调性，进而可求出函数的最大值，即可证明结论成立.
（2）对函数进行二次求导，从而可判断函数单调性，要证，只需证，结合在上单调递减知只需证，即证，进而构造函数判断其单调性即可证明.
【详解】（1）由题意，，设
，则
，当时，，单调递增；当时，，
单调递减，从而，故恒成立，
，故．
（2）由题意，，，，
，，
从而在上单调递增，在上单调递减，故，
在上单调递减，且，
若，则，不合题意，
若，则，不合题意，∴，
要证，只需证，结合在上单调递减知只需证，
又，，故只需证，即证①，
令，，
则，
，在上单调递增，
又，，从而在上单调递减，，，
，，即不等式①成立，故．
【点睛】本题考查了利用导数判断函数的单调性及利用导数证明不等式问题，考查了学生的逻辑推理能力及数据分析能力，考查了转化思想，属于难题.
2．（23-24高三下·内蒙古锡林郭勒盟·开学考试）已知函数，且恒成立．
(1)求实数a取值的集合；
(2)证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）求导得，分时和讨论，易得在上单调递减，在上单调递增，故，进而求得；
（2）由变形得在时恒成立，则原不等式放缩为证，构造，，求导得，再令，求得，通过研究的正负确定的单调性，再由的正负判断的单调性，结合即可求证.
【详解】（1）．
当时，注意到，不合题意；
当时，由，得；由0，得．
∴在上单调递减，在上单调递增，
∴时，函数取得唯一极小值即最小值，因为恒成立且，
∴；解得．
∴实数a取值的集合是．
（2）证明：由（1）可知：时，，即，变形得
在时恒成立．
要证明：，只需证明：，
即证明．
令，．
，令，
，令，解得．
当时，，函数单调递减，
当，，时单调递增．
即函数在上单调递减，在上单调递增．
而．．
∴存在，使得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减．
当时，，单调递增．
又，，
∴对，恒成立，即．
综上可得：不等式成立．
【点睛】方法点睛：本题考查由函数恒成立求参数范围，由导数证明不等式.由函数恒成立求参数范围一般可采用分离参数法，此法适用于后续构造函数能利用导数进行极值最值求解的情况，也可直接求导，对参数进行分类讨论，由极值或最值求出参数范围.由导数证明不等式一般采用构造函数法，放缩法等，本题中放缩是关键，对于相对复杂的涉及指数和对数的函数，往往还涉及二阶导数，解题的总体思路是，由低阶导数确定上一层函数的增减性与正负值，进而确定原函数的增减性，极值与最值.
1．（2024·广东佛山·一模）已知，其中.
(1)求的单调区间；
(2)若，证明：当时，.
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】
（1）根据题意求导后分类讨论即可求得答案；
（2）先求得，再将原式转化为证明，通过二次求导判断函数单调性进而即可得证.
【详解】（1）由，得，
当时，，在单调递增；
当时，令，得，此时单调递增，
令，得，此时单调递减.
综上所述，当时，增区间为，无减区间
当时，增区间为，减区间为
（2）因为，，所以，，
要证，即证，
即证，即证，
设，
则，
令，
则对恒成立，
所以在单调递增，所以时，，
所以对恒成立，所以在单调递增，
所以时，，
即成立，故原式得证
【点睛】方法点睛：本题考查利用导数证明函数不等式恒成立问题，常见方法如下：
（1）构造函数法：通过构造函数，利用导数研究函数单调性，转化为求函数最值问题；
（2）放缩法：一是利用题目中已知条件进行放缩，二是利用常见的二级结论进行放缩；
（3）同构法：指数和对数同时出现，往往将不等式形式进行变形，通过同构化简不等式进而证明即可.
2．（2023·吉林长春·模拟预测）函数．
(1)求证：；
(2)若方程恰有两个根，求证：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】
（1）由题意对求导可得，则对不等式恒成立，即函数在上单调递减，结合即可证明；
（2）由题意可知当时，即恰好有1根，利用二阶导数和零点的存在性定理研究函数的性质，得，再次利用导数研究函数的性质可得，结合即可证明.
【详解】（1）
令，
，
令，得，对不等式恒成立，
即在上恒成立，得函数在上单调递减，
又，所以，即．
（2）
易知是方程一个根，
所以当时，即恰好有1根，
令，，
设，，
令，令，
所以在上单调递增，在上单调递减，
又，由零点的存在性定理，
得使得，即，得①，
当时，，即，函数单调递增，
当时，，即，函数单调递减，
所以②，由①②可得，
则，当时，即，函数单调递减，
又，所以，即，
所以，而，
所以，即证.
【点睛】
方法点睛：利用导数解决不等式证明问题时，常常采用分离参数法求范围：若或恒成立，只需满足或即可，利用导数方法求出的最小值或的最大值，从而解决问题；也可以把参数看作常数利用分类讨论方法解决：对于不适合分离参数的不等式，常常将参数看作常数直接构造函数，常用分类讨论法，利用导数研究单调性、最值，从而得出参数范围.
考点四、二阶导与恒成立问题
1．（23-24高三上·河南周口·阶段练习）已知函数，．
(1)若，求函数的图象在点处的切线方程；
(2)若在上恒成立，求实数的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解；
（2）将问题转化为在上恒成立，利用二阶导数讨论函数的性质求出即可.
【详解】（1）当时，，则，
于是，，
则函数在点处的切线方程为
，即；
（2）因为在上恒成立，所以在上恒成立，
设，，则，
令，，则在上恒成立，
因此在上单调递减，于是，
因此在上恒成立，在上单调递减，
则，由此可知，，于是实数的最大值为．
2．（23-24高二上·山西吕梁·期末）已知函数.
(1)讨论函数的单调区间；
(2)当时，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）对函数求导，分别讨论和两种情况，即可求出结果；
（2）先分离参数，将原式化为，构造函数，利用导数判断的单调性进而求出的最大值即可.
【详解】（1）的定义域为，，
当时，恒成立，所以的单调递减区间为,
当时，令，则，所以的单调递增区间为，
令，则，所以的单调递减区间为,
综上：当时，的单调递减区间为，无增区间；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；
（2）当时，恒成立，
即对恒成立，
即对恒成立，
令（），
令（），则，
令（），则，
由得，，所以，所以在上单调递减，
所以，即，所以在上单调递减，
所以，
令，则，所以在单调递增，
令，则，所以在单调递减，
所以，所以.
综上实数的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是分离参数得对恒成立，再设新函数（），对此求导研究其最值即可.
1．（2023高三·全国·专题练习）已知函数．
(1)若函数在区间上单调递增，求实数a的取值范围．
(2)当时，恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据函数的单调区间可得，即，利用导数讨论函数的性质求出即可；
（2）由题意，当时，显然成立；当时，；当时，有．令，利用二阶求导讨论函数的性质，求出、即可.
【详解】（1）由题意知，即．
令，则．
当时，，单调递减；当时，，单调递增．
从而，
故．
（2）由题意知．
当时，显然成立；
当时，；
当时，有．
令，则．
令，则．
∵，∴，故，因此单调递减，
从而，因此单调递增，
从而，，
由，解得；
由，解得．
综上：．
【点睛】方法点睛：导数中解决不等式恒成立问题，常常采用分离参数法，求得参数范围．为了防止讨论分母是否为零，故将放在分母位置，放在分子位置，对a的正负进行分类讨论．
2．（23-24高三上·江苏·阶段练习）已知函数.
(1)当时，求的图象在点处的切线方程；
(2)对任意，不等式恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可；
（2）解法一：由可得，令，利用导函数讨论函数的单调性进而求最小值即可；解法二：令，由，
可得的必要条件为，再利用导数证明充分性，即当时，即可；解法三：分离参数可得，利用导函数求单调性进而求最值即可.
【详解】（1）当时，，，
所以的图象在点处的切线方程为，即.
（2）（解法一）由可得，
令，则，
令，
则，
因为当时，，当时，，所以，
①当，即时，单调递增，
所以，又，
令，
令，则，
易知单调递减，所以，
所以在上单调递增，，
所以，即，
由零点存在定理知存在，使得，
，
令，则，
令，则，
因为当时，单调递增，当时，，单调递减，
所以，所以，，
所以单调递减，所以，
所以符合题意；
②当，即时，矛盾，
综上所述.
（解法二）由可得.
令，有，
所以的必要条件为，
下面证明充分性：
当时，
令，则，
令，则，
又当时，，所以单调递增，单调递增，
又，
所以当时，单调递减，
当时，单调递增.
所以，
所以当时，，
综上所述，.
（解法三）由可得.
令，则，
令，则，
令，则，
因为当时，单调递增，当时，，单调递减，
所以， 所以，所以，
即单调递减，又，
所以当时，，即单调递增，
当时，，即单调递减，
所以，所以.
【点睛】方法点睛：本题考查导数的几何意义和不等式恒成立问题，第二问需要求函数的高阶导数，利用高阶导数分析一阶导数的单调性，结合零点存在性定理判断零点问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.
考点五、二阶导与函数零点或方程的根
1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，为的导函数.求证:有且仅有两个不同的零点.
【答案】证明见解析
【分析】利用导数证明在上有唯一的零点，求出，时的单调性，所以在上存在唯一的极大值点，根据得到在上恰有一个零点，同理得到在上也恰有一个零点，当和当同理即可求解.
【详解】因为，所以，
设，
当时，，
所以在单调递减，又因为，，
所以在上有唯一的零点，
①当时，，在上单调递增;
当时，，在上单调递减;
所以在上存在唯一的极大值点
所以
又因为
所以在上恰有一个零点．
又因为
所以在上也恰有一个零点．
②当时，，
设，
所以在上单调递减，所以
所以当时，恒成立
所以在上没有零点．
③当时，
设，
所以在上单调递减，所以
所以当时，恒成立
所以在上没有零点．
综上，有且仅有两个零点．
2．（23-24高二下·山东淄博·阶段练习）已知函数，．
(1)讨论的单调性；
(2)若，试判断函数与的图象的交点个数，并说明理由．
【答案】(1)答案见解析
(2)无交点，理由见解析
【分析】（1）求导可得，分类讨论当、时函数对应的单调性即可求解；
（2）由得，令，利用二次导数讨论函数的性质可得，即可下结论.
【详解】（1）函数的定义域为R，且，
当时恒成立，所以在R上单调递减，
当时，令，解得，
所以当时，当时，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为，
综上可得：当时在R上单调递减；
当时的单调递减区间为，单调递增区间为．
（2），则，令，即，
令，则，
令，则，
所以当时，则单调递减，且，
当时，则单调递增，
又，，故当时，
所以当时，则单调递减，
当时，则单调递增，
所以，所以方程无实根，
所以函数与的图象无交点.
3．（2022·全国·模拟预测）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若，求函数的零点个数.
【答案】(1)
(2)3个零点.
【分析】（1）利用导数的几何意义求切线方程；
（2）首先判断函数的单调性以及导数的单调性，再结合零点存在性定理，判断函数零点的个数.
【详解】（1）当时，，则，
切线方程为，即.
（2），
设，
当时，单调递减；
当时，单调递增，
.
.令，
当时，，则函数在上单调递增，
当时，.
由零点存在定理可知，函数在和上各有一个零点，
设为，则，，
，
易得在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
的极大值为
记，则，
在上单调递减，当时，；
当时，，
，则，即.
同理可知，函数的极小值为.
.
由零点存在定理可知，函数在区间上各存在一个零点，
有3个零点.
【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是判断是判断导函数的单调性，以及导函数的极值，以及零点存在性定理中端点的取值，并多次构造函数说明不等式问题.
1．（23-24高三上·河北廊坊·期中）已知函数．
(1)当时，证明：只有一个零点．
(2)若，求的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）求解的单调性，从而证明；
（2）根据，即对进行构造函数多次求导后分类讨论从而求解的范围.
【详解】（1）证明：当时，，
所以：是减函数．
又因为：，所以：只有一个零点．
（2）由题意得：，，即：，
令函数，
则：，
因为，要使得，则存在，使得在0,x1上单调递增，即当时，.
令函数，
则：，
因为：，要使得，则存在，使得在上单调递增，即当时，，
令函数，
则：，得：，
当，即时，
令函数，，
令函数，，
因为：在上恒成立，所以函数在上单调递增．
因为：，所以在上恒成立，
所以：在上单调递增.
因为：，所以在上恒成立，即在上恒成立，
所以：在上单调递增，符合题意．
当，即时，存在，使得当时，，即在上单调递减．
因为：，所以当时，，即，所以在上单调递减．
因为：，所以当时，，即，所以在上单调递减．
因为：，所以当时，，与题意不符．
综上：的取值范围为.
【点睛】关键点睛：（2）问中采用多次求导法并结合函数的单调性，然后分类讨论，从而求解出的取值范围，
2．（2024·湖北·模拟预测）已知函数，，其中a为整数且.记为的极值点，若存在两个不同的零点，，
(1)求a的最小值；
(2)求证：；
【答案】(1)3
(2)证明见解析
【分析】（1）首先求导，利用零点存在性定理求出函数的最小值，令结合的范围以及为大于等于1的整数可得答案.
（2）利用（1）可知，，，再化简即可得出结论.
【详解】（1），
令，则，
故 在 上单调递增，
且 ，，
由零点存在性定理知，存在唯一的，使得，即，
且，，，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故 ，
又，，
若存在两个不同的零点，则，即，，
由知，所以整数的最小值为3.
（2）由题意，即，
故 ，同理 .
所以.
3．（23-24高三上·全国·开学考试）已知函数．
(1)求曲线在处的切线；
(2)若对任意，当时，证明函数存在两个零点．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）求函数导数得切线斜率，进而由点斜式得切线方程；
（2）令，根据函数导数讨论函数单调性可得，从而得到证明．
【详解】（1）解：因为，所以，
则，，
此时切线方程为，即；
（2）证明：函数存在两个零点，得方程有两解，
即存在两解．
令，则，
令，因为，
所以在上为单调递减函数，
由，，
所以存在，使得，
且，，，，
所以在上递增，在上递减．
所以
，
由，且，
则任意，时，函数与有两交点，
故函数存在两个零点．
【点睛】关键点点睛：本题第二问解题的关键在于根据题意得方程有两解，即存在两解，令，通过二次求导及零点存在性定理得到函数的单调性，进行求解．
考点六、二阶导与参数综合问题
1．（23-24高三上·重庆·阶段练习）已知函数满足．
(1)讨论的单调性；
(2)当时，，求的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)．
【分析】（1）对函数求导得，然后令，再求导，从而求解.
（2）利用分离常数得在区间上恒成立，从而只需求出的最大值，即可求解.
【详解】（1）因为，定义域为，得
令，则，当，得，
当，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以，即恒成立，
所以的单调递增区间为，无单调递减区间．
（2）由题意在区间上恒成立，即恒成立，
即在区间上恒成立，
令，，只需
因为，令，，
有，
所以函数在上单调递减，所以，即，
所以当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，即，
所以实数a的取值范围为．
2．（2023春·浙江·高三校联考期中）已知函数，的导函数为．
(1)若存在极值点，求的取值范围；
(2)设的最小值为，的最小值为，证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】(1)先求的导数，得到的解析式，再求的导数，由存在极值点，可知有实数根，把转化为两个函数和有交点的问题，通过求导讨论单调性可知，只需即可有交点，得到不等式解出的取值范围；
(2)由(1)可得 的单调性，由，可设的零点，从而得到的单调性，得出的最小值，再由，可设的零点，从而得到的单调性，得出的最小值，由把证明转化为证明，通过作差，讨论的单调性可得，即可证明结论.
【详解】（1）因为函数，
所以，
即.
则，
存在极值点，即有实数根，即有实数根，即有实数根，
令，则，
所以在上单调递减.
因为在上单调递增，
所以要使在上有实数根，
只需，即即可，解得，
所以的取值范围为.
（2）由(1)知， 在上单调递减，在上单调递增，
所以在上单调递增，
因为，
，
所以存在，使.
则当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
即，.
因为，
，
所以存在，使.
则当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
，
即
令，要证，只需证.
因为
令，，则，
所以在上单调递增，，所以，
所以，
即，即.
【点睛】难点点睛：本题的难点在于零点不能直接求出，对于题目中出现隐零点的一般思路是：先用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，其中难点是通过合理赋值，敏锐捕捉零点存在的区间，有时还需结合函数单调性明确零点；再虚设零点并确定取范围，利用导数讨论单调性及最值，其中可能需要构造函数进行二次求导.
1．（2023·全国·高三专题练习）已知为自然对数的底数，为常数，函数.
(1)求函数的极值；
(2)若在轴的右侧函数的图象总在函数的图象上方，求实数的取值范围.
【答案】(1)极小值为，无极大值
(2)
【分析】（1）首先求函数的导数，讨论和两种情况，求函数的极值；
（2）根据不等式构造函数，并求函数的二阶导数，利用二阶导数，讨论的取值范围，判断函数的单调性，利用，即可求实数的取值范围.
【详解】（1），
当时，，函数单调递减，无极值；
当时，由得，
当时，，当时，，
所以在区间单调递减，在单调递增，
当时，函数取得极小值，极小值为，无极大值；
（2），关于的不等式恒成立，
设，则，，
（ⅰ）当时，，单调递增，
，当时，，
所以存在，使，所以在上单调递减，
当时，矛盾；
（ⅱ）当时，令，解得：，
在区间单调递减，在单调递增，
若，即时，在单调递增，，在上单调递增，，满足条件；
若时，在上单调递减，此时，
在上单调递减，，矛盾
综上，实数的取值范围.
【点睛】本题考查利用导数研究函数的性质，以及研究不等式恒成立的综合应用，本题第二问的关键利用二阶导数讨论，由的正负，讨论函数的单调性，转化为判断是否成立.
2．（2023春·山东菏泽·高三统考期中）已知函数.
(1)当时，求函数的极值；
(2)若有三个零点，其中.
(i)求实数的取值范围；
(ii)求证：.
【答案】(1)极大值为,极小值为.
(2)(i) ；(ii)证明见解析.
【分析】(1)先求的导数，再由导数讨论函数的单调性，从而得到函数的极值.
(2) (i)先把 化为，则除1外还有两个零点，通过求导讨论的单调性，当时， 在单调递减，不满足，舍去. 当时，除1外还有两个零点，则不单调，可求出实数满足的不等式，再由韦达定理求出除1外的两个零点零点的范围，从而说明所求的不等式为符合题意的实数的取值范围；(ii) 由题意得，结合(i)可知，再用基本不等式证明结论.
【详解】（1）当时，，定义域为.
，
令，得或；
令，得；
所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为.
因此，当时，有极大值，并且极大值为,
当时，有极小值，并且极小值为,
（2）(i)，
，，则除1外还有两个零点，
，
令，
当时，在恒成立，则，
所以在单调递减，不满足，舍去.
当时，除1外还有两个零点，则不单调，
所以存在两个零点，所以，解得，
当时，设的两个零点为，
则，，所以，
当或时，，，函数单调递增；
当时，，，函数单调递减；
又，所以，，
而，且，
，且，
所以存在，，使得，
即有3个零点,
综上，实数a的取值范围为.
(ii)证明:因为，
所以若，则，所以，，
又，所以，
，当且仅当时不等式取等号.
所以.
【点睛】方法点睛：函数零点的求解与判断方法：
(1)直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图像与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
(3)利用图像交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图像，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
考点七、二阶导与选填小题综合
1．（2024·山西·二模）设，，则下列关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题意可得、，构造函数、，利用导数讨论两个函数的单调性可得、，即可求解.
【详解】，
，
设函数，
则，
设，则，
所以在上单调递减，且，即，
所以在上单调递减，
则，即，所以.
设，则，
所以在上单调递增，且，
即，
得，所以，即，解得.
综上，.
故选：B
【点睛】方法点睛：此类比较大小类题目，要能将所给数进行形式上的变化，进而由此构造函数，利用导数判断单调性，进而比较大小.
2．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）（多选）已知函数，下列说法正确的有（ ）
A．当时，则在上单调递增
B．当时，函数有唯一极值点
C．若函数只有两个不等于1的零点，则必有
D．若函数有三个零点，则
【答案】ACD
【分析】对于A：直接代入求单调性即可；对于B：直接代入求极值即可；对于C：将函数两个不等于1的零点转化为有两个不等于1的根，，求导，研究其单调性，根据单调性确定，然后证明和对应的值一样即可；对于D：将问题转化为函数有两个极值点，求导解答即可.
【详解】对于A：当时，，
则，令，
则，
则当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
故，所以在上单调递增，A正确；
对于B：当时，，
则，令，
则，
则当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
故，所以在上单调递增，无极值，B错误；
对于C：令，得，
令，则，
令，则，
所以在上单调递减，又，
所以当时，，单调递增，且，
当时，，单调递减，且，
若函数只有两个不等于的零点，即函数与有两个交点，
则不妨取，
当时，，
所以函数与的两个交点横坐标互为倒数，即，C正确；
对于D：明显，所以是函数的一个零点，且，
函数有三个零点，且函数在上为连续函数，则函数必有两个极值点（不为1），
因为，
所以，
设，则
当时，令，得，单调递减，
，得，单调递增，
所以，所以在上单调递减，不可能有3个零点，
所以，令，得，单调递减，
，得，单调递增，
所以，
所以，所以，D正确.
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：导数问题要学会将问题进行转化，比如选项C，将零点问题转化为函数图象的交点问题，选项D，将零点个数问题转化为极值点个数问题.
3．（2024·全国·一模）已知函数，点在曲线上，则的取值范围是 ．
【答案】
【详解】首先将转化为，并利用导数求函数值域，即的取值范围，再构造函数，利用导数判断函数的单调性，并求函数的取值范围.
，设，
，
当时，，在区间单调递增，
当时，，在区间单调递减，
所以当时，取得最大值，，
且时，，，
所以当时，，即，函数在区间上单调递增，
当时，，即，函数在区间上单调递减，
所以当时，取得的最大值，
所以函数的值域是，
由题意可知，，
所以，，
设，，
，当时，，
所以当时，，在区间单调递减，
当时，，在区间单调递增，
所以当时，取得最小值，当时，，当时，，且，
所以函数的值域是，
所以的取值范围是.
故答案为：
1．（2023·湖北武汉·模拟预测）设，则下列关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】构造函数，利用二次导数讨论其单调性可比较，构造函数可比较.
【详解】，，
设函数，，
设，故在单调递减，，从而在单调递减，故，即；
设，
故在单调递增，，即，从而有，
因此．
综上，.
故选：D
2．（23-24高二上·福建莆田·期末）（多选）已知函数，导函数的极值点是函数的零点，则（ ）
A．有且只有一个极值点
B．有且只有一个零点
C．若，则
D．过坐标原点仅有一条直线与曲线相切
【答案】BC
【分析】根据题意，对原函数进行两次求导计算求得，得到函数，再分别就选项A,B中的相关量进行判断；对于C项，判断应该与函数单调性有关，经计算得到，故只需运用单调性即可推得；对于D项，要将过点的曲线切线条数问题转化为含切点坐标的方程的根的个数问题即得.
【详解】由可得：，
不妨取，则，
则由解得：，依题意，，
解得：.此时，.
对于A项，因，函数在R上恒为增函数，
则没有极值点，故A项错误；
对于B项，由A项结论可知，函数在R上恒为增函数，且，
即有且只有一个零点，故B项正确；
对于C项，由A项得：，则，
因函数在R上恒为增函数，则由即：可得：，即：，故C项正确；
对于D项，不妨设切点为，由可得，
切线斜率为：，
则切线方程为：，
因切线过原点，则有：，
整理得：，解得：或，
即过坐标原点有两条直线与曲线相切，故D项错误.
故选：BC.
3．（23-24高三上·山东烟台·期末）若存在两个不相等正实数，使得，则实数的取值范围为 .
【答案】.
【分析】对已知等式进行变形，构造新函数，利用导数判断函数的单调性，结合题意进行求解即可.
【详解】由，可得，
令，
要存在两个不相等正实数，使得，
即不是正实数集上的单调函数，
则，
当时，，此时在单调递增,不满足；
当时，令，则，
令，则，
当时，，在单调递减，
当时，，在单调递增，
要使不是正实数集上的单调函数，
则，即，解得.
故答案为：.
考点八、二阶导与拐点、对称中心结合
1．（2023·四川成都·模拟预测）对于三次函数（），给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数，则（ ）
A．2014B．2013C．D．1007
【答案】A
【分析】根据对称中心的定义，由二阶求导可求出对称中心，进而根据对称中心的特征求解.
【详解】，所以，令 ， ，所以的对称中心为 ，
故选：A
2．（2022·陕西咸阳·模拟预测）给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”，经研究发现所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图像的对称中心，若函数，则 .
【答案】8090
【分析】本题首先可根据得出，从而，然后令，求出对称中心，，最后根据即可求出算式.
【详解】由题意因为，
所以，，
令，解得，，
由题意得对称中心为，
所以，
，
故答案为：8090.
1．（21-22高二下·河北沧州·阶段练习）对于三次函数，现给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数，则（ ）
A．0B．1C．D．
【答案】A
【分析】对函数求导，再求导，然后令，求得对称点即可.
【详解】依题意得，，，
令，解得x＝1，
∵，∴函数的对称中心为，
则，
∵
∴．
故选：A.
2．（20-21高二下·江苏苏州·阶段练习）设函数是的导数，经过探究发现，任意一个三次函数的图象都有对称中心，其中满足，已知函数，则（ ）
A．2021B．C．2022D．
【答案】B
【分析】通过条件，先确定函数图象的对称中心点，进而根据对称性求出函数值的和.
【详解】由，可得，，令，得，又，所以对称中心为，所以，…，，.
所以．
故选：B.
考点九、二阶导与函数凹凸性结合
1．（23-24高二上·江苏镇江·阶段练习）丹麦数学家琴生是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方向留下了很多宝贵的成果．设函数在上的导函数为在上的导函数记为，若在上恒成立，则称函数在上为“凸函数”，已知在上为“凸函数”，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求函数导数，结合导数不等式进行求解，构造函数，利用函数的单调性研究函数的最值即可．
【详解】由于，则，
得，由于在上为“凸函数”，
所以 在上恒成立，即在上恒成立，
由对勾函数的性质知在上单调递增，
于是，故.
故选: C
2．（21-22高二下·陕西渭南·期末）给出定义:若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数.记，若在上恒成立，则称在上为凸函数.以下四个函数在上是凸函数的有（ ）
①，②，③，④.
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】B
【分析】根据题意，分别验证各个选项中的函数的二阶导数在上是否是负数即可.
【详解】①,则，当时，，则，选项①满足；
②，则，当时，，即，②不符题意；
③，则，选项③满足；
④，当时，，选项④满足.
综上有个函数符合题意.
故选：B
1．（21-22高三下·河南·阶段练习）设函数f（x）在区间I上有定义，若对和，都有，那么称f（x）为I上的凹函数，若不等号严格成立，即“