人教版九年级数学上册同步讲义专题第02课 配方法（教师版）

这是一份人教版九年级数学上册同步讲义专题第02课 配方法（教师版），共15页。试卷主要包含了直接开平方法的解读，方程x2=p的根的情况，配方，开方，求解等内容，欢迎下载使用。

知识精讲
知识点01 直接开方法
1、直接开平方法的解读
2、方程x2=p的根的情况
【注意】
（1）用直接开平方法解一元二次方程时,要把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，开方的结果要注意取正、负两种情况.
（2）对于形如的关于x的一元二次方程，要运用整体思想，直接开平方，得
，即；
（3）当一元二次方程的二次项系数不为1时,一般先根据等式的性质,将二次项系数化为1,再配方求解.
（4）所有有实数解的一元二次方程都可以用配方法进行求解。
知识点02 配方法
1、配方法的目的：
对于无法进行直接开方的方程，转化为可以直接开方的形式：
2、配方法的依据：
完全平方公式：
【配方五步法】
1、移项:使方程的左边为二次项和一次项,右边为常数.
2、化1:方程的两边同除以二次项系数,把二次项系数化为1.
3、配方:在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方,化成(x+m)2=n的形式.
4、开方:若n≥0,则两边直接开平方得到一元一次方程,若n<0,则原方程无解.
5、求解:解所得到的一元一次方程,得出原方程的解.
知识点03 配方法的应用
配方法的应用是基于，当要说明一个二次多项式的值为非负数，可用配方法进行说明；
举例：
证明： 的值恒为正；
能力拓展
考法01 直接开方法
【例题1】解方程
【答案】，
【解析】
，
【即学即练1】用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无解的方程为( )
A．x2－5＝5B．－3x2＝0
C．x2＋4＝0D．(x＋1)2＝0
【答案】C
【解析】
解：要利用直接开平方法解一元二次方程，先将一元二次方程进行变形，变形为等号左边是数的平方或完全平方形式，等号右边为常数，且当常数要大于或等于0时，方程有实数解，因为选项C，移项后变形为，根据平方根的性质，此时方程无解，
故选：C
【即学即练2】方程的根是______________．
【答案】，
【解析】
解：两边开平方：3x+2=x-1或3x+2=1-x
∴，
考法02 配方法
【例题2】用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
移项得：，
配方得：，即
故选：A．
【即学即练1】用配方法解一元二次方程，配方正确的是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
解：，
移项得，
二次项系数化1的，
配方得，
即，
故选：A．
【即学即练2】解方程： （用配方法）
【答案】，；
【解析】
解：
∴，
考法03 配方法的应用
【例题3】对于任意实数x，多项式x2-5x+8的值是一个（ ）
A．非负数B．正数C．负数D．无法确定
【答案】B
【解析】
x2-5x+8=x2-5x++=（x-）2+，
任意实数的平方都是非负数，其最小值是0，
所以（x-）2+的最小值是，
故多项式x2-5x+8的值是一个正数，
故选B．
【即学即练1】多项式的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
2x2﹣2xy+5y2+12x﹣24y+51
=x2﹣4xy+4y2+12x﹣24y+36+x2+2xy+y2+15
=(x﹣2y)2+12(x﹣2y)+36+(x+y)2+15
=(x﹣2y+6)2+(x+y)2+15
∵(x﹣2y+6)2≥0，(x+y)2≥0，
∴(x﹣2y+6)2+(x+y)2+15≥15．
故选：C．
【即学即练2】已知（为任意实数），则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．不能确定
【答案】B
【解析】
根据题意，得
＝，
∵
∴
∴，
故选B．
分层提分
题组A 基础过关练
1．已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x＋a2﹣1＝0有一个根为x＝0，则a＝___．
【答案】−1
【解析】
解：把x＝0代入（a−1）x2−2x＋a2−1＝0得a2−1＝0，
解得a＝±1，
∵a−1≠0，
∴a＝−1．
故答案为：−1．
2．一元二次方程（x+1）2＝4的解为_____．
【答案】x1=1，x2=-3
【解析】
解：（x+1）2＝4，
x+1＝±2，
解得：x1=1，x2=-3，
故答案为x1=1，x2=-3.
3．若2x+1与2x-1互为倒数，则实数x为( )
A．x=B．x＝±1C．.D．
【答案】C
【解析】
解：根据2x+1与2x﹣1互为倒数，列方程得：（2x+1）（2x﹣1）=1；
整理得：4x2﹣1=1，移项得：4x2=2，系数化为1得：x2=；
开方得：x=±．
故选C．
4．用适当的正数填空：
（1）_____=(x-_____)2；
（2）x2-______x+16=(x-____)2；
（3）(x＋____)2；
（4）______=(x-____)2．
【答案】（1）4；2；（2）8；4；（3）；（4）；
【解析】
解：（1）
故答案为：4；2；
（2）x2-8x+16=(x-4)2
故答案为：8；4；
（3）(x＋)2
故答案为：；
（4）=(x-)2
故答案为：；．
5．一元二次方程配方后可变形为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
，
，
，
，
故选C．
6．将一元二次方程化成（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（ ）
A．，21B．，11C．4，21D．，69
【答案】A
【解析】
解：
移项得，
配方得，
即，
∴a=-4，b=21．
故选：A
7．解下列方程．
（1）
（2）
【答案】（1），；（2），
【解析】
（1）∵，，
∴
∴方程有两个不相等的实数根．
∴
∴，．
（2）∵
∴
∴
∴；
即：，．
8．解方程：2x2﹣4x﹣1＝0．
【答案】x1=，x2=．
【解析】
解：∵2x2﹣4x﹣1=0，
∴2x2﹣4x=1，
则x2﹣2x=，
∴x2﹣2x+1=，即（x﹣1）2=，
则x﹣1=±，
∴x1=，x2=．
题组B 能力提升练
1．关于x的方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1=-3，x2=2，则方程m（x+h-3）2+k=0的解是（ ）
A．x1=-6，x2=-1B．x1=0，x2=5C．x1=-3，x2=5D．x1=-6，x2=2
【答案】B
【解析】
解：解方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）得x=-h±，
而关于x的方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1=-3，x2=2，
所以-h-=-3，-h+=2，
方程m（x+h-3）2+k=0的解为x=3-h±，
所以x1=3-3=0，x2=3+2=5．
故选：B．
2．已知三角形三边长为a、b、c，且满足， ， ，则此三角形的形状是（ ）
A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．无法确定
【答案】A
【解析】
解：∵a2﹣4b=7，b2﹣4c=﹣6，c2﹣6a=﹣18，∴a2﹣4b+b2﹣4c+c2﹣6a=7﹣6﹣18，整理得：a2﹣6a+9+b2﹣4b+4+c2﹣4c+4=0，即（a﹣3）2+（b﹣2）2+（c﹣2）2=0，∴a=3，b=2，c=2，∴此三角形为等腰三角形．故选A．
3．已知,,（m为任意实数），则P、Q的大小关系为（ ）
A．P＞QB．P=QC．P＜QD．不能确定
【答案】C
【解析】
解：∵
=
=
=
∴
故选：C．
4．代数式的最小值是（ ）
A．10B．9C．19D．11
【答案】A
【解析】
解：
∵
∴代数式的最小值是10．
故选：A．
5．若把代数式化为的形式，其中、为常数，则______．
【答案】-7
【解析】
x−4x−5=x−4x+4−4−5
=(x−2) −9，
所以m=2，k=−9，
所以m+k=2−9=−7.
故答案为-7
6．
【答案】
【解析】
两边开方得：2（x﹣1）＝±（x+2），∴2（x﹣1）＝x+2，2（x﹣1）＝-（x+2），∴x1=4，x2=0．
题组C 培优拔尖练
1．我们知道，一元二次方程x2=﹣1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于﹣1．若我们规定一个新数“i”，使其满足i2=﹣1（即方程x2=﹣1有一个根为i）．并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有i1=i，i2=﹣1，i3=i2•i=（﹣1）•i=﹣i，i4=（i2）2=（﹣1）2=1，从而对于任意正整数n，我们可以得到i4n+1=i4n•i=（i4）n•i=i，同理可得i4n+2=﹣1，i4n+3=﹣i，i4n=1．那么i+i2+i3+i4+…+i2012+i2013的值为【 】
A．0B．1C．﹣1D．i
【答案】D
【解析】
由题意得，i1=i，i2=﹣1，i3=i2•i=（﹣1）•i=﹣i，i4=（i2）2=（﹣1）2=1，i5=i4•i=i，i6=i5•i=﹣1，
可发现4次一循环，一个循环内的和为0，
∵2013÷4=503…1，∴i+i2+i3+i4+…+i2012+i2013=i．
故选D．
2．关于代数式，有以下几种说法，
①当时，则的值为-4.
②若值为2，则.
③若，则存在最小值且最小值为0.
在上述说法中正确的是（ ）
A．①B．①②C．①③D．①②③
【答案】C
【解析】
解：①当时，
．
故①正确；
②若值为2，
则，
∴a2+2a+1=2a+4，
∴a2=3，
∴．
故②错误；
③若a＞-2，则a+2＞0，
∴=
=
=≥0．
∴若a＞-2，则存在最小值且最小值为0．
故③正确．
综上，正确的有①③．
故选：C．
3．阅读材料:若，求m、n的值.
解:，
，
，
.
根据你的观察，探究下面的问题:
（1）已知，求的值.
（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求边c的最大值.
（3）若已知，求的值.
【答案】（1）2（2）6（3）7
【解析】
（1）∵x2+2xy+2y2+2y+1=0
∴（x2+2xy+y2）+（y2+2y+1）=0
∴（x+y）2+（y+1）2=0
∴x+y=0y+1=0
解得：x=1，y=﹣1
∴x﹣y=2；
（2）∵a2+b2﹣6a﹣8b+25=0
∴（a2﹣6a+9）+（b2﹣8b+16）=0
∴（a﹣3）2+（b﹣4）2=0
∴a﹣3=0，b﹣4=0
解得：a=3，b=4
∵三角形两边之和＞第三边
∴c＜a+b，c＜3+4，∴c＜7．又∵c是正整数，∴△ABC的最大边c的值为4，5，6，∴c的最大值为6；
（3）∵a﹣b=4，即a=b+4，代入得：（b+4）b+c2﹣6c+13=0，整理得：（b2+4b+4）+（c2﹣6c+9）=（b+2）2+（c﹣3）2=0，∴b+2=0，且c﹣3=0，即b=﹣2，c=3，a=2，则a﹣b+c=2﹣（﹣2）+3=7．
故答案为7．
4．“a2≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式．例如：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1，∵（x+2）2≥0，∴（x+2）2+1≥1，∴x2+4x+5≥1．试利用“配方法”解决下列问题：
（1）填空：x2﹣4x+5＝（x ）2+ ；
（2）已知x2﹣4x+y2+2y+5＝0，求x+y的值；
（3）比较代数式：x2﹣1与2x﹣3的大小．
【答案】（1）﹣2，1；（2）1；（3）x2﹣1＞2x﹣3
【解析】
解：（1）x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，
故答案为：-2，1；
（2）x2﹣4x+y2+2y+5＝0，
（x﹣2）2+（y+1）2＝0，
则x﹣2＝0，y+1＝0，
解得x＝2，y＝﹣1，
则x+y＝2﹣1＝1；
（3）x2﹣1﹣（2x﹣3）
=x2﹣2x+2
=（x﹣1）2+1，
∵（x﹣1）2≥0，
∴（x﹣1）2+1＞0，
∴x2﹣1＞2x﹣3．课程标准
（1）能根据平方根的意义解形如x2=p及ax2+c=0的一元二次方程.
（2）能运用开平方法解形如(mx+n)2=p(p≥0)的方程.
（3）体会“降次”的数学思想.
（4）知道用配方法解一元二次方程的一般步骤，会用配方法解一元二次方程.
（5）通过配方进一步体会“降次”的转化思想.
开平方
解读
若
则
解一元二次方程的基本思想是“降次”,通过“降次”把一元二次方程转化为一元一次方程.
直接开平方法的实质就是把一个一元二次方程通过“降次”即开平方,转化为两个一元一次方程。
p的取值
方程x2=p的根的情况
有两个不相等的实数根
有两个相等的实数根
没有实数根
步骤
示例
解释
1、移
移项得：
将常数项移到等号的右侧
2、化
二次项系数化为1：
利用等式的性质，等式两边同乘以二次项系数
3、配
配方得：

利用等式的性质，在等式两边同时加上
一次项系数一半的平方
4、开
开方得：
根据开平方的定义，进行开方
5、解
或
即
两个平方根一个取正，一个取负，解出方程
第一步
将二次项系数作为公因数提出来
第二步
在括号内加上一次项系数一半的平方，同时减去这个数
第三步
将前三项因式分解，剩余常数放到括号外