人教版九年级数学上册同步讲义专题第04课 因式分解法（教师版）

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知识精讲
知识点01 因式分解法
1、适合用因式分解法求解的一元二次方程的特点
（1）方程一边为0；
（2）另一边易于分解成两个一次因式乘积的形式.
【注意】
（1）因式分解法只能解某些特殊的一元二次方程,不是所有的一元二次方程都能用因式分解法求解.
（2）用因式分解法解一元二次方程时,一定要把方程的右边化为0,否则会出现错误.
（3）用因式分解法解方程时，不要将方程两边同时除以含有未知数的式子,这样容易造成丢根现象.
2、利用因式分解解一元二次方程的常用方法
（1）提公因式法:把多项式各项的公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式.
（2）逆用平方差公式和完全平方公式来分解因式.
3、因式分解法解一元二次方程的一般步骤
知识点02 简单的十字相乘法
①化简下列整式乘法：

【总结】
那么对于二次三项式=
②化简下列整式乘法：

【总结】
那么对于二次三项式=
③化简下列整式乘法：

【总结】
那么对于二次三项式=;
那么对于二次三项式=
【注意】
简单的十字相乘法，必须要让一元二次方程的a=1.
知识点03 灵活选用合适的方法解一元二次方程
【注意】
一元二次方程的解法选择
1.选择顺序:直接开平方法→因式分解法→公式法.
2.若方程为(mx+n)2=p(p≥0)型时,用直接开平方法.
3.若方程右边为0,而左边易于分解成两个一次因式的积时,可用因式分解法.
4.若方程二次项系数为1,一次项系数为偶数,可用配方法.
5.若用直接开平方法和因式分解法不能求解时,可用公式法.
能力拓展
考法01 因式分解法
【例题1】方程 x（x+5）=0 的根是（ ）
A．x=5B．x=﹣5C．x1=0，x2=5D．x1=0，x2=﹣5
【答案】D
【解析】
解：方程x(x+5)=0,
可得x=0或x+5=0,
解得:=0,或=-5.
故选D.
【即学即练1】三角形两边长分别为2和4，第三边长是方程x（x﹣4）﹣2（x﹣4）=0的解，则这个三角形周长为（ ）
A．8 B．8和10 C．10 D．8 或10
【答案】C
【解析】
x（x﹣4）﹣2（x﹣4）＝0，解得：x＝4或2．分两种情况讨论：
①三角形的三边为2、2、4时，不符合三角形三边关系定理，此时不能组成三角形；
②三角形的三边为2、4、4时，符合三角形三边关系定理，此时能组成三角形，组成的三角形周长为2+4+4＝10．
故选C．
【即学即练2】一元二次方程的根是（ ）
A．﹣1B．2C．1和2D．﹣1和2
【答案】D
【解析】
或
，x2=-1．
故选：D．
【即学即练3】解方程，最简便的方法是（ ）
A．配方法B．公式法C．因式分解法D．直接开平方法
【答案】C
【解析】
∵方程中有公因式（x-1），故可采用因式分解法求解，
故选C.
【即学即练4】用因式分解法解下列方程：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【答案】（1）；
（2）；
（3）；
（4） ．
【解析】
（1），
∴ ，
∴ ；
（2），
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3），
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（4） ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
考法02 十字相乘法
【例题2】关于x的一元二次方程x2﹣4x+3=0的解为（ ）
A．x1=﹣1，x2=3B．x1=1，x2=﹣3C．x1=1，x2=3D．x1=﹣1，x2=﹣3
【答案】C
【解析】
x2-4x+3=0，
分解因式得：（x-1）（x-3）=0，
解得：x1=1，x2=3，
故选C．
【即学即练1】已知等腰三角形两边长分别是方程的两个根，则三角形周长为（ ）
A．6B．8C．10D．8或10
【答案】C
【解析】
x2﹣6x+8=0，
解得x1=4，x2=2，
当腰是2时，三边分别2，2，4，不能组成三角形；
当腰是4时，三边分为4，4，2，能组成等腰三角形；
所以此等腰三角形的周长是4+4+2=10．
故选C．
【即学即练2】已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两根，则该等腰三角形的底边长为（ ）
A．2B．4C．8D．2或4
【答案】A
【解析】
解：x2－6x+8=0
（x－4）（x－2）=0
解得：x=4或x=2，
当等腰三角形的三边为2，2，4时，不符合三角形三边关系定理，此时不能组成三角形；
当等腰三角形的三边为2，4，4时，符合三角形三边关系定理，此时能组成三角形，
所以三角形的底边长为2，
故选：A．
考法03 选择适当方法解一元二次方程
【例题3】选择适当方法解下列方程
（1）（3x﹣1）2＝（x﹣1）2
（2）3x（x﹣1）＝2﹣2x
【答案】(1)x1＝0，x2＝；(2)x1＝1，x2＝﹣．
【解析】
(1)3x﹣1＝±(x﹣1),
即3x﹣1＝x﹣1或3x﹣1＝﹣(x﹣1),
所以x1＝0,x2＝；
(2)3x(x﹣1)+2(x﹣1)＝0,
(x﹣1)(3x+2)＝0,
x﹣1＝0或3x+2＝0,
所以x1＝1,x2＝﹣．
【即学即练1】用适当的方法解下列方程
（1）x2＋10x＋21＝0
（2）4x2－4x＋1＝x2＋6x＋9
【答案】（1）x1=－7， x2=－3；（2）x1=－， x2=4
【解析】
解：（1）x2＋10x＋21＝0；
（x+3）（x+7）=0；
x+3=0,x+7=0,
，；
（2）4x2－4x＋1＝x2＋6x＋9；
；
；
(3x+2)（x-4）=0；
；.
考法04 整体代换
【例题4】若，求的值．
【答案】4
【解析】
解：设，则有，
即，．
∴，．
∵，∴不合题意，舍去．
∴．
【即学即练1】解方程：（x2+x）2+（x2+x）＝6．
【答案】x1＝﹣2，x2＝1
【解析】
解：设x2+x＝y，则原方程变形为y2+y﹣6＝0，
解得y1＝﹣3，y2＝2．
①当y＝2时，x2+x＝2，即x2+x﹣2＝0，
解得x1＝﹣2，x2＝1；
②当y＝﹣3时，x2+x＝﹣3，即x2+x+3＝0，
∵△＝12﹣4×1×3＝1﹣12＝﹣11＜0，
∴此方程无解；
∴原方程的解为x1＝﹣2，x2＝1．
分层提分
题组A 基础过关练
1．方程x2﹣9x＋18＝0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（ ）
A．12B．15C．12或15D．不能确定
【答案】B
【解析】
解：方程变形得：，
解得：，，
当3为腰，6为底时，三角形三边为3，3，6，不能构成三角形，舍去；
当3为底，6为腰时，三角形三边为6，6，3，周长为6＋6＋3＝15，
故选：B．
2．若关于x的一元二次方程有一个根是0，那么m的值为（ ）
A．2B．3C．3或2D．
【答案】A
【解析】
解：由一元二次方程的定义得：
解得
关于x的一元二次方程有一个根为0，
∴，
解得或（与不符，舍去），
故选A．
3．一个等腰三角形的两条边长分别是方程的两根，则该等腰三角形的周长是（ ）
A．12B．9C．13D．12或9
【答案】A
【解析】
解：因式分解可得：(x－2)(x－5)=0
解得：，
当2为底，5为腰时，则三角形的周长为2+5+5=12；
当5为底，2为腰时，则无法构成三角形，
故选：A
4．若菱形ABCD的一条对角线长为8，边CD的长是方程x2﹣10x+24＝0的一个根，则该菱形ABCD的周长为（ ）
A．16B．24C．16或24D．48
【答案】B
【解析】
解：如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∵x2﹣10x+24＝0，
因式分解得：（x﹣4）（x﹣6）＝0，
解得：x＝4或x＝6，
分两种情况：
①当AB＝AD＝4时，4+4＝8，不能构成三角形；
②当AB＝AD＝6时，6+6＞8，
∴菱形ABCD的周长＝4AB＝24．
故选：B．
5．一元二次方程的两根为、，那么二次三项式可分解为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
若一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根为3、4，
那么有：(x－3)(x－4)＝0，
∴x2＋px＋q＝(x－3)(x－4)．
故选C.
6．若关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0的两个实根分别为5，﹣6，则二次三项式x2+mx+n可分解为（ ）
A．（x+5）（x﹣6）B．（x﹣5）（x+6）C．（x+5）（x+6）D．（x﹣5）（x﹣6）
【答案】B
【解析】
根据题意可得
解得
所以二次三项式为x2+x-30
因式分解为x2+x-30=（x﹣5）（x+6）
故选B.
7．一个等腰三角形的腰和底边长分别是方程的两根，则该等腰三角形的周长是________．
【答案】14
【解析】
解：，
（x-2）（x-6）=0，
x1=2，x2=6，
当腰长为2时，三角形的三边为2，2，6，不符合三角形的三角关系，舍去；
当腰长为6时，三角形的三边关系为6，6，2，符合三角形的三角关系，
则周长为：6+6+2=14，
故答案为：14．
8．已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2﹣4x+3=0的根，则该三角形的周长是_____．
【答案】7
【解析】
x2﹣4x+3=0，（x﹣3）（x﹣1）=0，x﹣3=0或x﹣1=0，所以x1=3，x2=1．
①当三角形的腰为3，底为1时，三角形的周长为3+3+1=7；
②当三角形的腰为1，底为3时不符合三角形三边的关系，舍去．
所以三角形的周长为7．
故答案为7．
9．解下列方程
（1）（用配方法）
（2）（因式分解法）
（3）（公式法）
（4）（直接开平方法）
【答案】（1），；（2），；（3），；（4）
【解析】
解：（1），
，
，
，
所以，；
，
或，
所以，；
（3），
，
所以，；
（4），
所以．
10．解下列一元二次方程：
（1）5x﹣2=（2﹣5x）（3x+4）
（2）4（x+3）2=25（x﹣2）2
【答案】（1）x1= x2=﹣ ；（2）= 或=.
【解析】
（1）解：原式=（2﹣5x）+（2﹣5x）（3x+4）=0
∴（2﹣5x）（1+3x+4）=0
解得：x1= x2=﹣
（2）解：4（x+3）2﹣25（x﹣2）2=0，
[2（x+3）+5（x﹣2）][2（x+3）﹣5（x﹣2）]=0，
∴（7x﹣4）（-3x+16）=0
∴= 或=.
11．已知关于x的方程x2 -(m+1)x+2(m-1)=0，
（1）求证：无论m取何值时，方程总有实数根；
（2）若等腰三角形腰长为4，另两边恰好是此方程的根，求此三角形的另外两条边长.
【答案】证明见解析 4和2
【解析】
（1）证明：∵△=[﹣（m+1）]2﹣4×2（m﹣1）=m2﹣6m+9=（m﹣3）2≥0，
∴无论m取何值，这个方程总有实数根；
（2）等腰三角形的腰长为4，将x=4代入原方程，得：16﹣4（m+1）+2（m﹣1）=0，
解得：m=5，
∴原方程为x2﹣6x+8=0，
解得：x1=2，x2=4．
组成三角形的三边长度为2、4、4；
所以三角形另外两边长度为4和2．
题组B 能力提升练
1．在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1．小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是（ ）
A．x2+2x﹣3＝0B．x2+2x﹣20＝0C．x2﹣2x﹣20＝0D．x2﹣2x﹣3＝0
【答案】B
【解析】
解： 小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1，
所以此时方程为： 即：
小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，
所以此时方程为： 即：
从而正确的方程是：
故选：
2．如图，在一次函数的图象上取一点P，作PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，且矩形PBOA的面积为5，则在x轴的上方满足上述条件的点P共有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【解析】
解：①当0＜x＜6时，设点P（x，﹣x+6），
∴矩形PBOA的面积为5，
∴x（﹣x+6）=5，化简，
解得，，
∴P1（1，5），P2（5，1），
②当x＜0时，设点P（x，﹣x+6），
∴矩形PBOA的面积为5，
∴﹣x（﹣x+6）=5，
化简，
解得，（舍去），
∴P3（，），
∴在x轴的上方满足上述条件的点P的个数共有3个．
故选：C．
3．已知，则等于（ ）
A．或B．6或1C．或1D．2或3
【答案】A
【解析】
∵
∴
∴
∴=或.
故选A.
4．方程的解是（ ）
A．2或0B．±2或0C．2D．－2或0
【答案】B
【解析】
解：∵，
∴，
∴或或，
故选：B．
5．已知2是关于x的方程x2﹣（5+m）x+5m＝0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，则△ABC的周长为（ ）
A．9B．12C．9或12D．6或12或15
【答案】B
【解析】
把x＝2代入方程x2−（5＋m）x＋5m＝0得4−2（5＋m）＋5m＝0，解得m＝2，
方程化为x2−7x＋10＝0，解得x1＝2，x2＝5，
因为这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，
所以等腰△ABC的腰长为5，底边长为2，
所以△ABC的周长为5＋5＋2＝12．
故选B．
6．已知，则的值是_____________．
【答案】5或10
【解析】
解：同时除以：
或
∴ ，
7．解方程：.
【答案】
【解析】
解：移项得：，
两边平方得：，
整理得：，
解得：，，
经检验不是原方程的解，舍去，
∴是原方程的解.
题组C 培优拔尖练
1．阅读理解：对于x3﹣（n2+1）x+n这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：
x3﹣（n2+1）x+n＝x3﹣n2x﹣x+n＝x（x2﹣n2）﹣（x﹣n）＝x（x﹣n）（x+n）﹣（x﹣n）＝（x﹣n）（x2+nx﹣1）．
理解运用：如果x3﹣（n2+1）x+n＝0，那么（x﹣n）（x2+nx﹣1）＝0，即有x﹣n＝0或x2+nx﹣1＝0，
因此，方程x﹣n＝0和x2+nx﹣1＝0的所有解就是方程x3﹣（n2+1）x+n＝0的解．
解决问题：求方程x3﹣5x+2＝0的解为_____．
【答案】x＝2或x＝﹣1+或x＝﹣1﹣．
【解析】
解：∵x3﹣5x+2＝0，
∴x3﹣4x﹣x+2＝0，
∴x（x2﹣4）﹣（x﹣2）＝0，
∴x（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，
则（x﹣2）[x（x+2）﹣1]＝0，即（x﹣2）（x2+2x﹣1）＝0，
∴x﹣2＝0或x2+2x﹣1＝0，
解得x＝2或x＝﹣1，
故答案为：x＝2或x＝﹣1+或x＝﹣1﹣．
2．已知，，，求值．
【答案】5或13或10
【解析】
∵
∴
∴或
∵
∴
∴或
∵
∴当时，；当时，或
∴或13或10．
3．已知，，为有理数，且多项式能够写成的形式．
（1）求的值．
（2）求的值．
（3）若，，为整数，且，试求，，的值．
【答案】（1）；（2）；（3），，．
【解析】
（1）是的一个因式，
，即，是方程的解，
，
得：③，
．
（2）由③得：④，
④代入①得：⑤，
．
（3），
，
，
解得：，
又，均为大于的整数，
可取的值有，，，，，
又为正整数，
，，
则，
，，．
4．解方程：(x－2 013)(x－2 014)＝2 015×2 016．
【答案】原方程的解为x1＝4 029，x2＝－2．
【解析】
解：由题意得：
方程组 的解一定是原方程的解，解得x＝4 029，
方程组的解也一定是原方程的解，解得x＝－2，
∵原方程最多有两个实数解，
∴原方程的解为x1＝4 029，x2＝－2．
5．解方程：(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)＝48.
【答案】x1＝，x2＝.
【解析】
原方程即[(x－1)(x－4)][(x－2)(x－3)]＝48，
即(x2－5x＋4)(x2－5x＋6)＝48.
设y＝x2－5x＋5，则原方程变为(y－1)(y＋1)＝48.
解得y1＝7，y2＝－7.
当x2－5x＋5＝7时，解得x1＝，x2＝；
当x2－5x＋5＝－7时，Δ＝(－5)2－4×1×12＝－23<0，方程无实数根．
∴原方程的根为x1＝，x2＝.
6．解方程：6x4－35x3＋62x2－35x＋6＝0.
【答案】原方程的解为x1＝2，x2＝，x3＝3，x4＝.
【解析】
本题主要考查利用整体换元法解高次方程,先将方程两边同时除以x2，得6x2－35x＋62－＋＝0,然后分组提公因式可得: 6－35 ＋62＝0,此时设
y＝, 则＝y2－2,原方程可化为: 6(y2－2)－35y＋62＝0,解方程求出y,然后把求出的y值代入y＝,得到关于x的方程,然后解方程即可求解.
经验证x＝0不是方程的根，原方程两边同除以x2，得6x2－35x＋62－＋＝0，
即6－35 ＋62＝0.
设y＝，则＝y2－2，
原方程可变为6(y2－2)－35y＋62＝0.
解得y1＝，y2＝.
当＝时，解得x1＝2，x2＝；
当＝时，解得x3＝3，x4＝.
经检验，均符合题意．
原方程的解为x1＝2，x2＝，x3＝3，x4＝.课程标准
(1)会用因式分解法解一元二次方程.
(2)能选用合适的方法解一元二次方程.
因式分解法解一元二次方程
根据
将一元二次方程因式分解,使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式,再使这两个一次式分别等于0,即，则；
实质
将一元二次方程转化为两个一元一次方程
步骤
示例：
解释
1、移
移项，将方程右边化为0
2、分
将方程左边因式分解
3、化
令每个因式都为零
4、解
解这两个一元一次方程
方法
特点
举例
直接开方法
解一元二次方程最简单的方法.若方程可化为 的形式,则宜选用直接开平方法求解
配方法
解一元二次方程最基本的方法,它适用于解所有的一元二次方程.配方法要先配方,再降次.通过配方法可以推出求根公式
公式法
解一元二次方程最通用的方法,它适用于解所有的一元二次方程.公式法是直接利用求根公式解方程
因式分解法
解一元二次方程较简单的方法.当方程的一边为0,另一边易化为两个一次因式的积时,就可优先选用因式分解法求解