人教版九年级数学上册同步讲义专题第05课 根与系数的关系（学生版）

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知识精讲
知识点01 一元二次方程的根与系数的关系
【注意】
（1）利用一元二次方程的根与系数的关系进一步讨论根的符号
设一元二次方程( a≠0)的两根为,则
（2）利用一元二次方程的根与系数的关系求两根的和与积的两点注意
①一元二次方程必须有两个实数根(△≥0).
②中的负号与方程中a ,b 的符号不要混淆.
能力拓展
考法01 已知一个根,利用根与系数的关系求另一个根
【例题1】已知关于x的方程有一个根是,求另一个根.
【方法总结】
已知一元二次方程的一个根,求另一个根的方法
(1)方法1(利用根与系数的关系):当方程的二次项系数、一次项系数已知,常数项未知时,利用两根的和求另一个根;当方程的二次项系数、常数项已知,一次项系数未知时,利用两根的积求另一个根.
(2)方法2(利用根的定义):先把方程的已知根代入方程求出未知系数或常数项,再解方程求另一个根.
考法02 利用根与系数的关系求某些代数式的值
【例题2】若方程的两根为，则= ；
【方法总结】
巧用根与系数的关系，求特殊代数式的值
考法03 利用根与系数的关系确定待定字母的值
【例题3】已知关于x的一元二次方程 有两个不等实根.
（1）求实数k的取值范围;
（2）若方程两实根满足，求k的值.
【方法总结】
利用一元二次方程根与系数的关系求方程的系数时,千万不要忘记将系数代回验证△≥0,因为根与系数的关系是在一元二次方程中△≥0的前提下使用的.
考法04 已知两数的和与积,构造一元二次方程解决问题
【例题4】已知两个数的和是8,积为15,求这两个数.
分层提分
题组A 基础过关练
1．已知一元二次方程2x2+x﹣5=0的两根分别是x1，x2，则x12+x22的值是（ ）
A．B．-C．-D．
2．设是一元二次方程的两根，则_______________________．
3．已知一元二次方程x2﹣3x﹣3=0的两根为α与β，则的值为_______．
4．若x1，x2是一元二次方程2x2﹣3x﹣6＝0的两个根，则x1x2的值是_____，x1+x2的值是_____．
5．已知关于的一元二次方程．
（1）若方程有实数根，求实数的取值范围；
（2）若方程两实数根分别为，，且满足，求实数的值．
6．如果一元二次方程的两实数根分别为，，不解方程，求下列代数式的值．
（1）； ．
7．已知关于的方程
（1）取何值时，①方程有实数根？②方程没有实数根？
（2）若方程的两个实数根为，，且，试求的值．
题组B 能力提升练
1．设a，b是方程x2＋x－2009＝0的两个实数根，则a2＋2a＋b的值为( )
A．2006B．2007C．2008D．2009
2．已知是关于x的一元二次方程x2-5x+a=0的两个实数根，且，则a=_________.
3．一元二次方程的两根为和，则________．
4．若m，n是方程x2＋3x﹣2＝0的根，则2m2＋8m＋2n﹣5的值是_____．
5．已知关于x的一元二次方程．
（1）请判断该方程实数根的情况；
（2）若原方程的两实数根为，，且满足，求p的值．
6．阅读材料：一元二次方程ax2+bx+C＝0（a≠0），当△≥0时，设两根为x1，x2，则两根与系数的关系为：x1+x2＝；x1•x2＝．
应用：（1）方程x2﹣2x+1＝0的两实数根分别为x1，x2，则x1+x2＝ ，x1•x2＝ ．
（2）若关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2＝0的有两个实数根x1，x2，求m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若满足|x1|＝x2，求实数m的值．
7．已知关于x的方程．
（1）若方程有两个相等的实数根，求m的值，并求出此时方程的根；
（2）是否存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于224．若存在，求出满足条件的m的值；若不存在，请说明理由．
8．关于的方程有两个不相等的实数根，．
求的取值范围．
若，试说明此方程有两个负根．
在的条件下，若，求的值．
9．已知x1、x2是方程x2－4x＋2＝0的两根，求：
(1)＋；
(2)(x1－x2)2的值．
题组C 培优拔尖练
1．已知实数，满足条件，，则________．
2．已知a2+1＝3a，b2+1＝3b，且a≠b，则＝_____．
3．关于x的一元二次方程x2+3x﹣k=0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围．
（2）若x1+2x2=3，求|x1﹣x2|的值．
课程标准
1.熟练掌握一元二次方程根与系数的关系.
2.灵活运用一元二次方程根与系数的关系解决实际问题．
3.提高学生综合运用基础知识分析解决较为复杂问题的能力．
方程的根与系数的关系
数学语言
设的两个根为，则
文字语言
一元二次方程的两个根的和等于 ,
两个根的积等于
使用条件
(1)方程是一元二次方程,即二次项系数 ;
(2)方程 ,即
重要推论
设一元二次方程的两根为，
则

常见变形






两个正数根

两个负数根

两根异号且正根的绝对值较大

两根异号且负根的绝对值较大
第一步：算
计算出 的值
第二步：变
将所求的代数式变形为用表示的式子
第三步：代
代入所求的代数式计算