人教版九年级数学上册同步讲义专题第05课 根与系数的关系（教师版）

这是一份人教版九年级数学上册同步讲义专题第05课 根与系数的关系（教师版），共19页。

知识精讲
知识点01 一元二次方程的根与系数的关系
【注意】
（1）利用一元二次方程的根与系数的关系进一步讨论根的符号
设一元二次方程( a≠0)的两根为,则
（2）利用一元二次方程的根与系数的关系求两根的和与积的两点注意
①一元二次方程必须有两个实数根(△≥0).
②中的负号与方程中a ,b 的符号不要混淆.
能力拓展
考法01 已知一个根,利用根与系数的关系求另一个根
【例题1】已知关于x的方程有一个根是,求另一个根.
【分析】
本题考查了一元二次方程的根与系数的关系及根的定义﹐解题的关键是记住一元二次方程的根与系数的关系及熟练掌握一元二次方程的解法﹐并能灵活运用.
思路1:利用根与系数的关系直接列出关于另一个根x的方程求解即可;
思路2:先把代入原方程,求得m 的值,再解方程求出另一个根.
【解析】
解:方法1:设方程的另一个根是，由一元二次方程的根与系数的关系,得
，解得；
方法2:把代入原方程,得
解得，
所以原方程为,
解得.
所以方程的另一个根是－4.
【方法总结】
已知一元二次方程的一个根,求另一个根的方法
(1)方法1(利用根与系数的关系):当方程的二次项系数、一次项系数已知,常数项未知时,利用两根的和求另一个根;当方程的二次项系数、常数项已知,一次项系数未知时,利用两根的积求另一个根.
(2)方法2(利用根的定义):先把方程的已知根代入方程求出未知系数或常数项,再解方程求另一个根.
考法02 利用根与系数的关系求某些代数式的值
【例题2】若方程的两根为，则= ；
【答案】
【分析】本题求解的关键是利用根与系数的关系 ,，将所求的代数式变形为含和的式子.
【解析】
因为方程的两根为，
所以；
所以
【方法总结】
巧用根与系数的关系，求特殊代数式的值
考法03 利用根与系数的关系确定待定字母的值
【例题3】已知关于x的一元二次方程 有两个不等实根.
（1）求实数k的取值范围;
（2）若方程两实根满足，求k的值.
【分析】
根据判别式的符号可求得k的取值范围;
由,可考虑利用一元二次方程的根与系数的关系求解.
(1)由于方程有两个不等实根,故其根的判别式△≥0,列不等式可确定实数k的取值范围.
(2)先讨论两根的符号,再去掉中的绝对值符号,最后根据根与系数的关系,可得关于k的一元二次方程,求得k的值.
【解析】
解:
（1）因为原方程有两个不相等的实数根,
所以
解得
(2)
因为,
所以.
因为 ,
所以 .
所以
因为
所以 .
所以k=0或k=2.
因为,所以k=2.
【方法总结】
利用一元二次方程根与系数的关系求方程的系数时,千万不要忘记将系数代回验证△≥0,因为根与系数的关系是在一元二次方程中△≥0的前提下使用的.
考法04 已知两数的和与积,构造一元二次方程解决问题
【例题4】已知两个数的和是8,积为15,求这两个数.
【分析】可利用一元二次方程的根与系数的关系,根据两个数的和与积构造一元二次方程求这两个数.
根据一元二次方程的根与系数的关系，可用－8作为一次项系数,15作为常数项,构造一个二次项系数是1的一元二次方程,则这个一元二次方程的根就是所要求的两个数.
【解析】
解:根据一元二次方程的根与系数的关系,知要求的两个数是方程的两个根,解这个方程得
.所以这两个数是3,5.
分层提分
题组A 基础过关练
1．已知一元二次方程2x2+x﹣5=0的两根分别是x1，x2，则x12+x22的值是（ ）
A．B．-C．-D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据根与系数的关系得到x1+x2，x1x2，再利用完全平方公式变形得到x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】
根据题意得：x1+x2，x1x2，所以x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝（）2﹣2×（．
故选D．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．
2．设是一元二次方程的两根，则_______________________．
【答案】
【解析】
【分析】
由根与系数的关系得到两根和与两根积，代入所求的式子中即可得到结果．
【详解】
解：∵x1，x2是一元二次方程的两根，
∴x1+x2=2，x1x2=-1，
∴x1+x2+x1x2=2+（-1）=1，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查一元二次方程根与系数关系，熟记一元二次方程根与系数关系的内容是解题的关键．
3．已知一元二次方程x2﹣3x﹣3=0的两根为α与β，则的值为_______．
【答案】-1
【解析】
【分析】
先把变型为，然后利用根与系数的关系求得α+β与αβ的值，最后代入到中，即可求解．
【详解】
解：根据题意，一元二次方程x2﹣3x﹣3=0的两根为α与β，
利用根与系数的关系得α+β＝3；αβ=－3，
原式==，
故答案为－1．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程根与系数的关系：若一元二次方程的两个根分别为，，则，，掌握一元二次方程根与系数的关系，是解答本题的关键．
4．若x1，x2是一元二次方程2x2﹣3x﹣6＝0的两个根，则x1x2的值是_____，x1+x2的值是_____．
【答案】 -3；
【解析】
【分析】
由根与系数的关系可求得（x1+x2）与x1x2的值．
【详解】
∵x1，x2是一元二次方程2x2﹣3x﹣6＝0的两个根，
∴x1x2的值是，x1+x2的值是．
故答案为：-3；．
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根与系数的关系，若x1，x2为方程的两个根，则x1，x2与系数的关系式：，．
5．已知关于的一元二次方程．
（1）若方程有实数根，求实数的取值范围；
（2）若方程两实数根分别为，，且满足，求实数的值．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据方程有实数根的条件，即Δ≥0求解即可；
（2）由韦达定理把x1+x2和x1x2分别用含m的式子表达出来，然后根据完全平方公式将变形，即可求解．
【详解】
（1）∵方程有实数根，
∴，
∴，
解得：；
（2）∵方程两实数根分别为，，
∴，，
∵，
∴，
，
解得：，，
∵，
∴．
【点睛】
本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，牢记（1）“当△≥0时，方程有实数根”；（2）掌握根与系数的关系即韦达定理，是解题的关键．
6．如果一元二次方程的两实数根分别为，，不解方程，求下列代数式的值．
（1）； ．
【答案】(1)；(2)-1.
【解析】
【分析】
根据根与系数的关系找出x1+x2＝3、x1•x2＝1．
（1）将代数式x12+x22变形为只含x1+x2、x1•x2的代数式，代入数据即可得出结论；
（2）将代数式（x1﹣2）（x2﹣2）展开后代入数据即可得出结论．
【详解】
∵方程x2﹣3x+1＝0的两实数根分别为x1，x2，∴x1+x2＝3，x1•x2＝1．
（1）x12+x222x1•x2＝32﹣2×1＝7；
（2）（x1﹣2）（x2﹣2）＝x1•x2﹣2（x1+x2）+4＝1﹣2×3+4＝﹣1．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系，根据根与系数的关系找出x1+x2＝3，x1•x2＝1是解题的关键．
7．已知关于的方程
（1）取何值时，①方程有实数根？②方程没有实数根？
（2）若方程的两个实数根为，，且，试求的值．
【答案】（1）①当时，方程有两个不相等的实数根；②当时，方程没有实数根；（2）．
【解析】
【分析】
(1)首先利用根的判別式得出关于x的方程的判别式,再根据①当△≥0,方程有实数根;②当△