人教版九年级数学上册同步讲义专题第11课 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质（学生版）

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知识精讲
知识点01 因式分解法
1、适合用因式分解法求解的一元二次方程的特点
（1）方程一边为 ；
（2）另一边易于分解成两个 乘积的形式.
【注意】
（1）因式分解法只能解某些特殊的一元二次方程,不是所有的一元二次方程都能用因式分解法求解.
（2）用因式分解法解一元二次方程时,一定要把方程的右边化为0,否则会出现错误.
（3）用因式分解法解方程时，不要将方程两边同时 含有未知数的式子,这样容易造成丢根现象.
2、利用因式分解解一元二次方程的常用方法
（1）提公因式法:把多项式各项的公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式.
（2）逆用平方差公式 和完全平方公式 来分解因式.
3、因式分解法解一元二次方程的一般步骤
知识点02 简单的十字相乘法
①化简下列整式乘法：




【总结】
那么对于二次三项式=
②化简下列整式乘法：




【总结】
那么对于二次三项式=
③化简下列整式乘法：




【总结】
那么对于二次三项式=
那么对于二次三项式=
【注意】
简单的十字相乘法，必须要让一元二次方程的a= .
知识点03 灵活选用合适的方法解一元二次方程
【注意】
一元二次方程的解法选择
1.选择顺序: → → .
2.若方程为(mx+n)2=p(p≥0)型时,用 .
3.若方程右边为0,而左边易于分解成两个一次因式的积时,可用 .
4.若方程二次项系数为1,一次项系数为偶数,可用 .
5.若用直接开平方法和因式分解法不能求解时,可用公式法.
能力拓展
考法01 因式分解法
【例题1】方程 x（x+5）=0 的根是（ ）
A．x=5B．x=﹣5C．x1=0，x2=5D．x1=0，x2=﹣5
【即学即练1】三角形两边长分别为2和4，第三边长是方程x（x﹣4）﹣2（x﹣4）=0的解，则这个三角形周长为（ ）
A．8 B．8和10 C．10 D．8 或10
【即学即练2】一元二次方程的根是（ ）
A．﹣1B．2C．1和2D．﹣1和2
【即学即练3】解方程，最简便的方法是（ ）
A．配方法B．公式法C．因式分解法D．直接开平方法
【即学即练4】用因式分解法解下列方程：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
考法02 十字相乘法
【例题2】关于x的一元二次方程x2﹣4x+3=0的解为（ ）
A．x1=﹣1，x2=3B．x1=1，x2=﹣3C．x1=1，x2=3D．x1=﹣1，x2=﹣3
【即学即练1】已知等腰三角形两边长分别是方程的两个根，则三角形周长为（ ）
A．6B．8C．10D．8或10
【即学即练2】已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两根，则该等腰三角形的底边长为（ ）
A．2B．4C．8D．2或4
考法03 选择适当方法解一元二次方程
【例题3】选择适当方法解下列方程
（1）（3x﹣1）2＝（x﹣1）2
（2）3x（x﹣1）＝2﹣2x
【即学即练1】用适当的方法解下列方程
（1）x2＋10x＋21＝0
（2）4x2－4x＋1＝x2＋6x＋9
考法04 整体代换
【例题4】若，求的值．
【即学即练1】解方程：（x2+x）2+（x2+x）＝6．
分层提分
题组A 基础过关练
1．方程x2﹣9x＋18＝0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（ ）
A．12B．15C．12或15D．不能确定
2．若关于x的一元二次方程有一个根是0，那么m的值为（ ）
A．2B．3C．3或2D．
3．一个等腰三角形的两条边长分别是方程的两根，则该等腰三角形的周长是（ ）
A．12B．9C．13D．12或9
4．若菱形ABCD的一条对角线长为8，边CD的长是方程x2﹣10x+24＝0的一个根，则该菱形ABCD的周长为（ ）
A．16B．24C．16或24D．48
5．一元二次方程的两根为、，那么二次三项式可分解为（ ）
A．B．C．D．
6．若关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0的两个实根分别为5，﹣6，则二次三项式x2+mx+n可分解为（ ）
A．（x+5）（x﹣6）B．（x﹣5）（x+6）C．（x+5）（x+6）D．（x﹣5）（x﹣6）
7．一个等腰三角形的腰和底边长分别是方程的两根，则该等腰三角形的周长是________．
8．已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2﹣4x+3=0的根，则该三角形的周长是_____．
9．解下列方程
（1）（用配方法）
（2）（因式分解法）
（3）（公式法）
（4）（直接开平方法）
10．解下列一元二次方程：
（1）5x﹣2=（2﹣5x）（3x+4）
（2）4（x+3）2=25（x﹣2）2
11．已知关于x的方程x2 -(m+1)x+2(m-1)=0，
（1）求证：无论m取何值时，方程总有实数根；
（2）若等腰三角形腰长为4，另两边恰好是此方程的根，求此三角形的另外两条边长.
题组B 能力提升练
1．在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1．小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是（ ）
A．x2+2x﹣3＝0B．x2+2x﹣20＝0C．x2﹣2x﹣20＝0D．x2﹣2x﹣3＝0
2．如图，在一次函数的图象上取一点P，作PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，且矩形PBOA的面积为5，则在x轴的上方满足上述条件的点P共有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．已知，则等于（ ）
A．或B．6或1C．或1D．2或3
4．方程的解是（ ）
A．2或0B．±2或0C．2D．－2或0
5．已知2是关于x的方程x2﹣（5+m）x+5m＝0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，则△ABC的周长为（ ）
A．9B．12C．9或12D．6或12或15
6．已知，则的值是_____________．
7．解方程：.
题组C 培优拔尖练
1．阅读理解：对于x3﹣（n2+1）x+n这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：
x3﹣（n2+1）x+n＝x3﹣n2x﹣x+n＝x（x2﹣n2）﹣（x﹣n）＝x（x﹣n）（x+n）﹣（x﹣n）＝（x﹣n）（x2+nx﹣1）．
理解运用：如果x3﹣（n2+1）x+n＝0，那么（x﹣n）（x2+nx﹣1）＝0，即有x﹣n＝0或x2+nx﹣1＝0，
因此，方程x﹣n＝0和x2+nx﹣1＝0的所有解就是方程x3﹣（n2+1）x+n＝0的解．
解决问题：求方程x3﹣5x+2＝0的解为_____．
2．已知，，，求值．
3．已知，，为有理数，且多项式能够写成的形式．
（1）求的值．
（2）求的值．
（3）若，，为整数，且，试求，，的值．
4．解方程：(x－2 013)(x－2 014)＝2 015×2 016．
5．解方程：(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)＝48.
6．解方程：6x4－35x3＋62x2－35x＋6＝0.
课程标准
(1)会用因式分解法解一元二次方程.
(2)能选用合适的方法解一元二次方程.
因式分解法解一元二次方程
根据
将一元二次方程因式分解,使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式,再使这两个一次式分别等于0,即，则 ；
实质
将一元二次方程转化为两个一元一次方程
步骤
示例：
解释
1、移


2、分


3、化


4、解


方法
特点
举例
直接开方法
解一元二次方程最简单的方法.若方程可化为 的形式,则宜选用直接开平方法求解
配方法
解一元二次方程最基本的方法,它适用于解所有的一元二次方程.配方法要先配方,再降次.通过配方法可以推出求根公式
公式法
解一元二次方程最通用的方法,它适用于解所有的一元二次方程.公式法是直接利用求根公式解方程
因式分解法
解一元二次方程较简单的方法.当方程的一边为0,另一边易化为两个一次因式的积时,就可优先选用因式分解法求解