人教版九年级数学上册同步讲义专题第12课 待定系数法求二次函数的解析式（教师版）

这是一份人教版九年级数学上册同步讲义专题第12课 待定系数法求二次函数的解析式（教师版），共25页。试卷主要包含了已知二次函数的图象经过点，过原点的抛物线的解析式是，写出一个二次函数，其图象满足等内容，欢迎下载使用。
知识精讲
知识点 用待定系数法求二次函数解析式
1．二次函数解析式常见有以下几种形式 ：
(1)一般式：(a，b，c为常数，a≠0)；
(2)顶点式：(a，h，k为常数，a≠0)；
(3)交点式：(，为抛物线与x轴交点的横坐标，a≠0)．
2．确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下
第一步，设：先设出二次函数的解析式，如或，
或，其中a≠0；
第二步，代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程(组)；
第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数；
第四步，还原：将求出的待定系数还原到解析式中．
【注意】
在设函数的解析式时，一定要根据题中所给条件选择合适的形式：
①当已知抛物线上的三点坐标时，可设函数的解析式为；
②当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大值、最小值时，可设函数的解析式为；
③当已知抛物线与x轴的两个交点(x1，0)，(x2，0)时，可设函数的解析式为．
能力拓展
考法01 用待定系数法求二次函数解析式
【典例1】已知函数y＝ax2+bx，当x＝1时，y＝﹣1；当x＝﹣1时，y＝2，则a，b的值分别是（ ）
A．，﹣B．，C．1，2D．﹣1，2
【答案】A
【详解】解：根据题意得：
，解得，
故选：A．
【即学即练】已知二次函数y＝ax2+bx+1，若当x＝1时，y＝0；当x＝﹣1时，y＝4，则a、b的值分别为（ ）
A．a＝1，b＝2B．a＝1，b＝﹣2C．a＝﹣1，b＝2D．a＝﹣1，b＝﹣2
【答案】B
【详解】解：根据题意得，
解得a＝1，b＝﹣2．
故选：B．
【典例2】已知点在函数的图象上，则a等于______．
【答案】1
【详解】解：将点A（2，3）代入函数中，得4a-2+1=3，
解得a=1，
故答案为：1．
【即学即练】若二次函数图象的顶点坐标为（2，﹣1），且抛物线过（0，3），则二次函数解析式是 __．
【答案】
【详解】解：设二次函数解析式为，
把代入得：，
解得：，
则二次函数解析式为，
故答案为：．
考法02 用待定系数法解题
【典例3】二次函数的与的部分对应值如下表，则下列判断中正确的是（ ）
A．抛物线开口向上B．当时，随的增大而减小
C．当时，D．的最大值为
【答案】C
【详解】解：将点，，代入二次函数的解析式，
得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为，
∵，
∴抛物线开口向下，
∴A选项不符合题意；
∵由抛物线解析式可知，抛物线的对称轴为，这时抛物线取得最大值，
∴当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，
∴当时，随的增大先增大，到达最大值后，随的增大而减小，
∴B选项不符合题意；
∵当时，；当时，，
又∵抛物线的对称轴为，
当时，，
又∵，
∴当时，，
∴C选项符合题意；
∵抛物线的解析式为，
∴当时，抛物线取得最大值，
∴D选项不符合题意．
故选：C．
【即学即练】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的x、y的部分对应值如下表所示，则下列判断不正确的是（ ）
A．当时，y随x的增大而增大B．当时，
C．顶点坐标为(1，2)D．是方程的一个根
【答案】B
【详解】解：由题意得：，解得，
∴二次函数y=ax2+bx+c的解析式为y=-x2+x+=-（x-1）2+2，
∴顶点坐标为(1，2)，选项C不符合题意；
∵-开口向下，∴x＜1时，y随x的增大而增大，
∴x＜0时，y随x的增大而增大，选项A不符合题意；
当x=4时，y=-2.5，选项B符合题意；
∵x=-1时，y=0，∴x=-1是方程的一个根，选项D不符合题意；
故选：B．
【典例4】如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，点．
(1)求此二次函数的解析式；
(2)当时，求二次函数的最大值和最小值；
(3)点P为此函数图象上任意一点，其横坐标为m，过点P作轴，点Q的横坐标为．已知点P与点Q不重合，且线段PQ的长度随m的增大而减小．求m的取值范围；
【答案】(1)
(2)最小值为-2，最大值为
(3)
【详解】（1）解：将，点代入得：
，解得，
∴．
（2）解：∵，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线．
∴当时，取最小值为-2，
∵，
∴当时，取最大值．
（3）解：，
当时，，的长度随的增大而减小，
当时，，的长度随增大而增大，
∴满足题意，
解得．
【即学即练】如图，已知抛物线经过A(-1,0)，B(3,0)两点，C是抛物线与y轴的交点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P(m，n)在平面直角坐标系的第一象限内的抛物线上运动，设△PBC的面积为S求S关于m的函数解析式(指出自变量m的取值范围)和S的最大值．
【答案】(1)
(2)(0＜m＜3)，当m=时，△PBC的面积取得最大值，最大值为
【详解】（1）解：将A(-1,0)，B(3,0)代入中，
得：，解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：过点P作PFy轴，交BC于点F，如图所示，
由(1)知：当x=0时，y=6，
∴点C的坐标为(0，6)；
设直线BC的解析式为y=kx+c，
把B(3，0)，C(0，6)代入y=kx+c中，
得：，解得：，
∴直线BC的解析式为y=-2x+6．
设点P的坐标为(m,)，
则点F的坐标为(m,-2m+6)，
∴PF=-(-2m+6)=，
∵
∴S=
=
=，
∵点P(m，n)在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，
∴0＜m＜3．
故(0＜m＜3)，
∵-30D．若h＝5，则a＞0
【答案】B
【详解】解：当x＝1时，y＝1；当x＝6时，y＝6；代入函数式得：，
∴a（6﹣h）2﹣a（1﹣h）2＝5，
整理得：a（7﹣2h）＝1，
A、若h＝2，则，选项说法错误，不符合题意；
B、若h＝3，则a＝1>0，选项说法正确，符合题意；
C、若h＝4，则，选项说法错误，不符合题意；
D、若h＝5，则，选项说法错误，不符合题意；
故选B．
5．抛物线的图象如下，根据图象可知，抛物线的解析式可能是（ ）
A．B． C． D．
【答案】D
【详解】由题图可知抛物线开口向下，且与x轴的交点为，由交点式设抛物线的解析式为，对比选项可知，选项A、B、C无法提取公因式后得到的形式，而D选项中．故选D．
6．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足的函数关系p＝at2+bt+c（a、b、c是常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ）
A．3.50分钟B．3.75分钟C．4.00分钟D．4.25分钟
【答案】B
【详解】解：根据题意，将（3，0.7）、（4，0.8）、（5，0.5）代入p＝at2+bt+c，
得：，
解得：，
即p＝﹣0.2t2+1.5t﹣2，
当t＝﹣＝3.75时，p取得最大值，
故选：B．
7．平移二次函数的图象，如果有一个点既在平移前的函数图象上，又在平移后的函数图象上，我们把这个点叫做“关联点”．现将二次函数（c为常数）的图象向右平移得到新的抛物线，若“关联点”为，则新抛物线的函数表达式为_______．
【答案】
【详解】解：将（1，2）代入y=x2+2x+c，得12+2×1+c=2，
解得c=-1．
设将抛物线y=x2+2x-1=（x+1）2-2，向右平移m个单位，则平移后的抛物线解析式是y=（x+1-m）2-2，
将（1，2）代入，得（1+1-m）2-2=2．
整理，得2-m=±2．
解得m1=0（舍去），m2=4．
故新抛物线的表达式为y=（x-3）2-2．
故答案是：．
8．定义：对于一个函数，当自变量x取a时，函数y的值也等于a，则称a是这个函数的不动值．已知二次函数．
（1）若﹣2是此函数的不动值，则m的值为______；
（2）若此函数有两个不动值a、b，且，则m的取值范围是______．
【答案】
【详解】解：（1）由定义得，，
故答案为：；
（2）∵函数有两个不动值a、b，且，
∴a、b是方程的两根，即是方程两根，
∴，，
由得，
，
整理得，，
即，
所以．
故答案为：．
9．如图，已知抛物线经过点和点．解答下列问题．
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线的顶点为，对称抽与轴的交点为，求线段的长；
(3)点在抛物线上运动，是否存在点使的面积等于6？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，点的坐标为：或或或
【详解】(1)解：∵抛物线经过点，，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式是．
(2)∵，
∴抛物线的对称轴为：，顶点，
∵，
∴，
∴，，
∴．
(3)存在，理由如下：
设，则点的纵坐标为，
∵，，
∴，
∵的面积等于6，
∴，
∴，
①当时，解得，；
②当时，解得，．
∴存在点使的面积等于6．点的坐标为：或或或．
10．下表给出了代数式与x的一些对应值：
(1)利用表中所给数值求出a，b，c的值；
(2)直接写出：m＝___，n＝___；
(3)设，则当x取何值时，．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】(1)解：设，根据图表，将分别代入
得
解得
(2)解：由（1）可知，将代入得，则；
将代入得，则，
故，
(3)解：由（1）、（2）可知抛物线与轴交点分别为(1，0)，(3，0)，抛物线开口向上，所以当时，．
题组C 培优拔尖练
1．如图，已知抛物线经过点，且顶点在直线上，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】∵抛物线经过点，且顶点在直线
∴a-b+c=0①
- =1②
解得：b=-2a，c=-3a，
∴
故选：B
2．如图，已知抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，下列结论不正确的是（ ）
A．抛物线的对称轴为直线B．若，则
C．y的最大值为1D．若轴交抛物线于点D，则
【答案】B
【详解】解：A、根据抛物线与x轴交于点、，可得出对称轴，该选项不符合题意；
B、根据抛物线的对称轴为，开口向下可知：
当时，随增大而增大；当时，随增大而减小，
所以当，无法判断与的大小，该选项符合题意；
C、根据抛物线与x轴交于点、，
可设交点式，再根据抛物线与y轴交于点，
代值求解得，
即抛物线表达式为，
当时，的最大值为1，该选项不符合题意；
D、若轴交抛物线于点D，则、关于对称轴对称，从而得到，则，该选项不符合题意；
故选：B．
3．如图，若抛物线y＝ax2与四条直线x＝1、x＝2、y＝1、y＝2围成的正方形有公共点，则a的取值范围（ ）
A．≤a≤2B．≤a≤2C．≤a≤1D．≤a≤1
【答案】A
【详解】解：把(1,2)代入y=ax2得a=2，
把点(2,1)代入y=ax2得，
则a的范围介于这两点之间，故，
故选：A．
4．二次函数的部分图象如图所示，则下列说法：①abc>0；② 2a+b=0；③ a(x+1)(x-3)=0；④ 2c-3b=0．其中正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【详解】解：如图，由抛物线过，对称轴为 根据对称性得到抛物线的图像经过
①图象开口向下， ∴a＜0，
与y轴交于正半轴， ∴c＞0，
对称轴在y轴右侧， ∴b＞0，
则abc＜0，故①错误；
②对称轴 解得，2a+b=0，故②正确；
③由抛物线与轴的交点坐标为：，
所以函数解析式为：y=a（x+1）（x-3），
所以y的值是不断变化的，故③错误；
④∵抛物线与x轴交于（-1，0）和（3，0），
∴a-b+c=0，9a+3b+c=0，
两式相加得，10a+2b+2c=0，
又b=-2a，
，
∴2c-3b=0，故④正确．
故选：．
5．如图，直线与y轴交于点A，与直线交于点B，若抛物线的顶点在直线上移动，且与线段、都有公共点，则h的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：∵将与联立得：，
解得：．
∴点B的坐标为（−2，1），
由抛物线的解析式可知抛物线的顶点坐标为（h，k），
∵将x＝h，y＝k，代入得y＝−x得：−h＝k，解得k＝−h，
∴抛物线的解析式为y＝（x−h）2−h，
如图1所示：当抛物线经过点C时，
将C（0，0）代入y＝（x−h）2−h得：h2−h＝0，解得：h1＝0（舍去），h2＝；
如图2所示：当抛物线经过点B时，
将B（−2，1）代入y＝（x−h）2−h得：（−2−h）2−h＝1，整理得：2h2＋7h＋6＝0，解得：h1＝−2，h2＝−（舍去）．
综上所述，h的范围是−2≤h≤，即−2≤h≤
故选：B．
6．抛物线经过点，且与轴交于点．若，则该抛物线解析式为（ ）
A．B．或
C．D．或
【答案】D
【详解】设抛物线的解析式为
∵
∴抛物线和y轴交点的为（0,2）或（0，-2）
①当抛物线和y轴交点的为（0,2）时，得
解得
∴抛物线解析式为，即
②当抛物线和y轴交点的为（0，-2）时，
解得
∴抛物线解析式为，即
故选D．
7．若二次函数的图象经过点A（3，0），与y轴交于点B，则a的值是______，若点P是该抛物线对称轴上的一动点，且△APB是以AB为直角边的直角三角形，则点P的坐标为_______．
【答案】 2 （2，）或（2，）
【详解】解：∵二次函数经过点A（3，0），
∴，
∴
对，当x=0时，y=-9，
∴点B坐标为（0，-9），
抛物线的对称轴是直线：，
设点P的坐标为（2，m），
∴，，，
当∠ABP=90°时，则，
∴，
解得，
∴点P的坐标为（2，）；
当∠BAP=90°时，则，
∴，
解得，
∴点P的坐标为（2，）；
综上所述，点P的坐标为（2，）或（2，）；
故答案为：2；（2，）或（2，）；
8．已知抛物线经过点．若点在该抛物线上，且，则n的取值范围为______．
【答案】
【详解】解：将代入中得到：，
解得，
∴抛物线的对称轴为直线，且开口向上，
根据“自变量离对称轴越远，其对应的因变量越大”可知，
当时，对应的最大为：，
当时，对应的最小为：，
故n的取值范围为：，
故答案为：．
9．如图，抛物线（a＞0）交x轴于点A（﹣1，0），B（3，0），交y轴于点C，作直线BC．
(1)若OB＝OC，求抛物线的表达式；
(2)P是线段BC下方抛物线上一个动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交线段BC于点E．若EB＝EC＝EP，求a的值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：∵OB＝OC，
∴C（0，﹣3），
把A，B，C代入中，
得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：如图，连接BC，
∵EB＝EC，
∴E是BC的中点，
∴E的坐标为（，），
∴P的横坐标为，
把A，B代入中，
得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为，
把x＝代入，得y＝，
∴P（，），
∴EP＝＝，
解得a＝，
∴a的值为．
10．如图,在坐标系中△ABC是等腰直角三角形,∠BAC =90°,A(1, 0),B(0, 2),抛物线的图象过点（2，-1）及点C.
(1)求该抛物线的解析式；
(2)求点C的坐标
(3)点P是抛物线上一动点，是否存在点P，使以P，A，C，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由.
【答案】(1)
(2)（3，1）
(3)满足条件的P点只有一个，为(-2，1)
【详解】（1）把点（2，-1）代入得=
∴该抛物线的解析式为
（2）过点C作CD垂直轴于点D
∵△ABC是等腰直角三角形,∠BAC =90°
∴BA=AC，∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90°，
∴∠1=∠3
∴△BOA≌△ADC
∴OA=DC，BO=AD
∵A(1,0),B(0,2),
∴OA=DC=1，BO=AD=2
∴点C的坐标为（3,1）
（3）
分别过A, B, C三点作对边的平行线，交于P1 、P2 、P3
①当AP//BC,且AP = BC时，如图:
将点C向下平移1个单位向左平移2个单位与点A重合，点B也向下平移1个单位向左平移2个单位与点P1重合，则P1(-2,1)，
经检验:点P1在抛物线上，
故P1满足条件，
②当BP//AC,且BP=AC时:由平移可得则P2(2,3)，
经检验，P2不在抛物线上；
③当CP//AB,且CP=AB时，由平移可得则P3(4,-1)，
经分析，点P3不在抛物线上，不合题意.
综上所述，满足条件的P点只有一个，为(-2,1).
课程标准
（1） 能用待定系数法列方程组求二次函数的解析式；
（2） 经历探索由已知条件特点，灵活选择二次函数三种形式的过程，正确求出二次函数的解析式，二次函数三种形式是可以互相转化的。
x
…
0
1
3
4
…
y
…
2
4
2
-2
…
x
0
1
2
y
0
1.5
2
1.5
x
…
0
1
2
3
4
…
…
3
m
－1
0
n
…