人教版九年级数学上册同步讲义专题第13课 用函数观点看一元二次方程（教师版）

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知识精讲
知识点01 二次函数与一元二次方程的关系
求二次函数(a≠0)的图象与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表：
【注意】
二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定的.
(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点时，，方程有两个不相等的实根；
(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，，方程有两个相等的实根；
(3)当二次函数的图象与x轴没有交点时，，方程没有实根.
知识点02 抛物线与直线的交点问题
抛物线与x轴的两个交点的问题实质就是抛物线与直线的交点问题．我们把它延伸到求抛物线(a≠0)与y轴交点和二次函数与一次函数的交点问题．
抛物线(a≠0)与y轴的交点是(0，c)．
抛物线(a≠0)与一次函数(k≠0)的交点个数由方程组的解的个数决定．
当方程组有两组不同的解时两函数图象有两个交点；
当方程组有两组相同的解时两函数图象只有一个交点；
当方程组无解时两函数图象没有交点．
总之，探究直线与抛物线的交点的问题，最终是讨论方程(组)的解的问题．
【注意】
求两函数图象交点的问题主要运用转化思想，即将函数的交点问题转化为求方程组解的问题或者将求方程组的解的问题转化为求抛物线与直线的交点问题．
知识点03 利用二次函数图象求一元二次方程的近似解
用图象法解一元二次方程的步骤：
1.作二次函数的图象，由图象确定交点个数，即方程解的个数；
2. 确定一元二次方程的根的取值范围．即确定抛物线与x轴交点的横坐标的大致范围；
3. 在(2)确定的范围内，用计算器进行探索.即在(2)确定的范围内，从大到小或从小到大依次取值，用表格的形式求出相应的y值．
4.确定一元二次方程的近似根．在(3)中最接近0的y值所对应的x值即是一元二次方的近似根．
【注意】
求一元二次方程的近似解的方法(图象法)：
(1)直接作出函数的图象，则图象与x轴交点的横坐标就是方程的根；
(2)先将方程变为再在同一坐标系中画出抛物线和直线图象交点的横坐标就是方程的根；
(3)将方程化为，移项后得，设和，在同一坐标系中画出抛物线和直线的图象，图象交点的横坐标即为方程的根.
知识点04 抛物线与x轴的两个交点之间的距离公式
当△＞0时，设抛物线与x轴的两个交点为A(，0)，B(，0)，则、是一元二次方程的两个根．由根与系数的关系得，．
∴
即 (△＞0)．
知识点05 抛物线与不等式的关系
二次函数(a≠0)与一元二次不等式(a≠0)及(a≠0)之间的关系如下：
注：a＜0的情况请同学们自己完成．
【注意】
抛物线在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式的解集；
在x轴下方的部分点的纵坐标都为负，所对应的x的所有值就是不等式的解集．
不等式中如果带有等号，其解集也相应带有等号．
能力拓展
考法01 二次函数图象与坐标轴交点
【典例1】已知二次函数y＝x2+6x+c的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），则它与x轴的另一个交点的坐标是（ ）
A．（﹣3，0）B．（3，0）C．（﹣5，0）D．（5，0）
【答案】C
【详解】∵二次函数y=x2+6x+c（c为常数）的图象与x轴的一个交点为（-1，0），
∴1-6+c=0．
∴c=5，
∴二次函数y=x2+6x+5．
令y=0，则x2+6x+5=0，
解得：x1=-1，x2=-5．
∴抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（-5，0）．
故选：C．
【即学即练】二次函数的部分图像如图所示，对称轴方程为，图像与x轴相交于点（1，0），则方程的根为（ ）
A．，B．，C．，D．，
【答案】C
【详解】解：∵二次函数的对称轴方程为，图像与x轴相交于点（1，0），
∴另一个交点为（，0），
∴方程的两个根为1和，
由根与系数的关系，得，
∴，；
∵，
∴，
∴当，符合题意，
故选：C
【典例2】抛物线y＝x2－2x+3与y轴的交点坐标是（ ）
A．（0，2）B．（0，3）C．（2，0）D．（3，0）
【答案】B
【详解】令x=0，则y＝3，
∴该抛物线与y轴的交点坐标是(0，3)．
故选B．
【即学即练】关于二次函数y＝2x2＋4x﹣1，下列说法正确的是（ ）
A．图象与y轴的交点坐标为（0，1）B．当x＜1时，y的值随x值的增大而减小
C．图象的顶点坐标为（﹣1，﹣3）D．图象的对称轴在y轴的右侧
【答案】C
【详解】当x＝0时，y＝-1，故选项A错误；
∵，
该函数的对称轴是直线x＝-1，开口向上
当x<-1时，y随x的增大而减小，故选项B错误；
图象的顶点坐标为(-1，-3)，故选项C正确；
图象的对称轴是直线x＝-1在y轴的左侧，故选项D错误．
故选C．
考法02 利用图象法求一元二次方程的解
【典例3】如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的右交点A（5，0），对称轴是直线x＝2，当ax2+bx+c＞16a时，x的取值范围是( )
A．x＜﹣1或x＞5B．﹣1＜x＜5C．﹣3＜x＜7D．x＜﹣3或x＞7
【答案】C
【详解】解：∵y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝2，
∴2，
∴b＝﹣4a，
∴y＝ax2﹣4ax+c，
∵与x轴右交点为(5,0)，
∴25a﹣20a+c＝0，
∴c＝﹣5a，
∴y＝ax2﹣4ax﹣5a，
∴ax2﹣4ax﹣5a＞16a，
∴ax2﹣4ax﹣21a＞0，
∵a＜0，
∴x2﹣4x﹣21＜0（两边同除以a，不等号方向改变），
y＝x2﹣4x﹣21，a＝1，开口向上，
当x2﹣4x﹣21＝0时，
（x﹣7)(x+3)＝0，
∴x1＝7，x2＝﹣3，
y＝x2﹣4x﹣21的图像如图，
∴x的取值范围是﹣3＜x＜7，
故选：C．
【即学即练】如图．抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2+mx+c＞n的解集为( )
A．x＞﹣1B．x＜3C．x＜﹣3或x＞1D．x＞﹣1或x＜3
【答案】C
【详解】解：∵抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，
∴抛物线y＝ax2+c与直线y＝﹣mx+n交于（1，p），（﹣3，q）两点，
观察函数图象可知：当x＜﹣3或x＞1时，抛物线y＝ax2+c在直线y＝﹣mx+n的上方，
∴不等式ax2+c＞﹣mx+n的解集为x＜﹣3或x＞1，
即不等式ax2+mx+c＞n的解集是x＜﹣3或x＞1．
故选：C．
【典例4】如图，抛物线的对称轴是，与x轴的一个交点为，则不等式的解集为___________．
【答案】﹣3＜x＜5
【详解】解：根据图示知，抛物线y＝ax2+bx+c图象的对称轴是x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），
根据抛物线的对称性知，抛物线y＝ax2+bx+c图象与x轴的两个交点关于直线x＝1对称，即
抛物线y＝ax2+bx+c图象与x轴的另一个交点与（﹣3，0）关于直线x＝1对称，
∴另一个交点的坐标为（5，0），
∵不等式ax2+bx+c＞0，即y＝ax2+bx+c＞0，
∴抛物线y＝ax2+bx+c的图形在x轴上方，
∴不等式ax2+bx+c＞0的解集是﹣3＜x＜5．
故答案为﹣3＜x＜5．
【即学即练】如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是______．
【答案】##5＞x＞﹣1
【详解】解：由图象可知二次函数的对称轴是直线x＝2，
与x轴一个交点坐标（5，0），
由函数的对称性可得，与x轴另一个交点是（﹣1，0），
∴ax2+bx+c＞0的解集为﹣1＜x＜5，
故答案为：﹣1＜x＜5
考法03 二次函数与一元二次方程的综合运用
【典例5】已知二次函数（）的图象如图所示，有下列个结论：（ ）
①；②；③；④；
⑤若方程有四个根，则这四个根的和为．
其中正确的结论有（ ）
A．个B．个C．个D．个
【答案】A
【详解】解：∵图象开口向下，
∴，
∵对称轴x=1，
∴，
∴，
∴，
∵抛物线交于轴正半轴，
∴，
∴，，
故①②错误；
∵根据图象可知，当时，，
即，
∴，
∴结合，有，
∴，
故③正确；
∵时，有，且此时y值达到最大，
又∵时，有，
∴，
∴成立，
故④正确．
根据有四个根，
可得和各有两个根，
当时，有，此时有，
当时，有，此时有，
则有，
∵，
∴，
即：的四个根和为4，
故⑤错误．
综上：③④正确，
故选：A．
【即学即练】已知二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，有以下结论：①；②若t为任意实数，则有；③当图象经过点时，方程的两根为，（），则，其中，正确结论的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【详解】∵抛物线开口向上，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线，即，
∴，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴，
∴，所以①正确；
∵时，y有最小值，
∴（t为任意实数），即，所以②正确；
∵图象经过点时，代入解析式可得，
方程可化为，消a可得方程的两根为，，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴二次函数与直线的另一个交点为，
，代入可得，
所以③正确．
综上所述，正确的个数是3．
故选D．
【典例6】已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数），a＋b＋c＝0．下列四个结论：
①抛物线与x轴一定有两个不同的交点；
②若抛物线经过点（－1，0），则b＝0；
③若b＝c，则方程ax2＋bx＋c＝0一定有根x＝－2；
④点A（x1，y1），B（x1，y1）在抛物线上，若0＜a＜c，则当x1＞x2＞1时，y1＞y2．
其中正确的是____________（填写序号）．
【答案】②
【详解】解：∵当x=1时，a+b+c=0，
∴，
∴抛物线与x轴一定有公共点，
且当a≠c时，抛物线与x轴一定有两个不同的公共点．故①不正确；
当抛物线过（-1，0）时，
a-b+c=0，
∵a+b+c=0，
两式相减得，2b=0，
∴b=0，
故②正确，
当b=c时，由a+b+c=0得，
a+2c=0，
∴a=-2c，
当x=-2时，，
故③不正确，
∵0＜a＜c，
∴＞1，抛物线开口向上，
∴抛物线对称轴在点（1，1）右侧，
∵对称轴x=-位置不确定，跟对称轴的位置关系不确定，
∴和的大小无法确定，故④不正确．
故答案为：②．
【即学即练】如图，抛物线的开口向下，对称轴为，与x轴的一个交点在（－3，0）、（－2，0）之间，其部分图像如图所示，则下列结论：①；②；③若点（，）、（－，）、（，）是该抛物线上的点，则；④，其中正确结论为________．
【答案】①②④
【详解】①由函数图像可知，抛物线与x轴有两个不同的交点，
∴关于x的方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，
∴①正确；
②∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝﹣1，
∴，
∴2a＝b，
∴②正确；
③∵抛物线的对称轴为x＝﹣1，点在抛物线上，
∴．
∵，且抛物线对称轴左边图像y值随x的增大而增大，
∴y1＜y3＜y2．
∴③错误；
④∵当x＝﹣3时，y＜0，且对称轴为，
∴当与x=-3的函数值相同，
∴④正确；
故答案为①②④．
分层提分
题组A 基础过关练
1．抛物线与y轴的交点坐标为（ ）
A．(7，0)B．(－7，0)C．(0，7)D．(0，－7)
【答案】D
【详解】解：当x=0时，y=-x2+2x-7=-7，
∴抛物线y=-x2+2x-7与y轴的交点坐标为（0，-7），
故选：D．
2．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点为（2，4），有以下结论：①当a>0时，b2－4ac>0；②当a>0时，ax2＋bx＋c≥4；③若点（-2，m）,（3，n）在抛物线上，则mA．①②B．①④C．②③D．②④
【答案】D
【详解】解：①当a＞0，顶点为（2，4）时，因为开口向上，与x轴没有交点，
所以Δ＜0，故①错误；
②当a＞0时，因为顶点坐标（2，4），开口向上，y有最小值，最小值为4，则y≥4，
∴ax2+bx+c≥4；故②正确；
③∵抛物线的对称轴为直线x＝2，
∴点（﹣2，m）与（6，m）是对称点，
当a＞0时，x＞2时，y随x的增大而增大，
当a＜0时，x＞2时，y随x的增大而减小，
而点（6，m），（3，n）在抛物线上，所以m与n的大小不能确定，
故③错误；
④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣4的一根为﹣1，
由对称性可得：另一根为5．
所以④正确；
其中正确的是：②④；
故选：D．
3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，对称轴为直线．若，则x的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．或
【答案】D
【详解】解：∵抛物线经过点，对称轴为直线，
∴抛物线与x轴的另一交点为，
由图象可知，时，x的取值范围是或．
故选：D．
4．二次函数y = x2 +(a + 2)x + a的图象与x轴交点的情况是（ ）
A．没有公共点B．有一个公共点
C．有两个公共点D．与a的值有关
【答案】C
【详解】∵
∴二次函数y = x2 +(a + 2)x + a的图象与x轴有两个不同的公共点
故选：C
5．已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解为（ ）
A．x1＝﹣4，x2＝2B．x1＝﹣3，x2＝﹣1
C．x1＝﹣4，x2＝﹣2D．x1＝﹣2，x2＝2
【答案】A
【详解】解：根据图象知，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴的一个交点是（2，0），对称轴是直线x＝−1．
设该抛物线与x轴的另一个交点是（x，0）．
则，
解得，x＝－4 ，
即该抛物线与x轴的另一个交点是（－4，0）．
所以关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根为x1＝−4，x2＝2．
故选：A．
6．已知抛物线y＝x2﹣2x﹣1与x轴的一个交点为(m，0)，则代数式m2﹣2m+2021的值为（ ）
A．2020B．2021C．2022D．2023
【答案】C
【详解】解： 抛物线y＝x2﹣2x﹣1与x轴的一个交点为(m，0)，



故选C
7．已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2﹣2x+m＝0的解为 _____．
【答案】x1＝﹣4，x2＝2
【详解】解：根据图象可知，二次函数y＝﹣x2﹣2x+m的部分图象经过点（﹣4，0），所以该点适合方程y＝﹣x2﹣2x+m，代入，得
（﹣4）2+2×（﹣4）+m＝0
解得，m＝8 ①
把①代入一元二次方程﹣x2﹣2x+m＝0，得
﹣x2﹣2x+8＝0，②
解②，得
x1＝﹣4，x2＝2
∴关于x的一元二次方程﹣x2﹣2x+m＝0的解为x1＝﹣4，x2＝2
故答案为x1＝﹣4，x2＝2．
8．二次函数（为常数）与轴的一个交点为（－1，0），则另一个交点为___________．
【答案】（-5，0）
【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线,
而抛物线与x轴的一个交点为（-1，0），
所以抛物线与x轴的另一个交点为（-5，0）．
故答案为：（-5,0）．
9．抛物线与轴交于点(0，3)．
（1）求的值及抛物线与轴的交点坐标；
（2）取什么值时，抛物线在轴下方？
（3）取什么值时，的值随着的增大而增大？
【答案】（1）＝3， (-1，0)，(3，0)；（2）x＜－1或x＞3；（3）．
【详解】（1）将点代入得：
则二次函数的解析式为
令得：
解得
则抛物线与轴的交点坐标为，；
（2）二次函数的开口向下
结合（1）可得：当或时，抛物线在轴下方；
（3）二次函数的顶点式为
二次函数的增减性为：当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小
则当时，的值随着的增大而增大．
10．已知二次函数的图象经过点和点，且有最小值为.
（1）求这个函数的解析式、函数的开口方向、对称轴；
（2）当时，x的取值范围.
【答案】（1），抛物线开口向上，对称轴为：；（2）或．
【详解】解：（1）∵和点是抛物线与x轴的交点，
∴函数的对称轴为，
又因为有最小值为.
∴抛物线的顶点为（1，-2），则函数的表达式为：，
把点坐标代入上式得，解得：，
则函数的表达式为：
，抛物线的开口向上，
对称轴为：；
（2）由函数图象可知：
当时，的取值范围为：或．
题组B 能力提升练
1．已知函数的图象如图，那么关于x的方程的根的情况是（ ）
A．无实数根B．有两个相等实数根
C．有两个同号不等实数根D．有两个异号实数根
【答案】C
【详解】解：由函数图象可得：的图象与y＝－2有两个交点，且交点的横坐标都在y轴右侧，
∴关于x的方程即有两个同号不等实数根，
故选：C．
2．如表中列出的是二次函数y＝a＋bx＋c中x与y的几组对应值：
下列各选项中，正确的是（ ）A．这个函数的图象开口向下
B．这个函数的图象与x轴有两个交点，且都在y轴同侧
C．当x＞1时，y的值随x值的增大而增大
D．方程a＋（b＋2）x＋c＝﹣4的解为＝0，＝1
【答案】D
【详解】解：∵抛物线经过点（0，-4），（3，-4），
∴抛物线的对称轴为直线x=，
而x=1时，y=-6＜-4，
∴抛物线的开口向上，与x轴有两个交点，且在y轴两侧，所以A、B选项都不符合题意；
∵抛物线的对称轴为直线x=，
∴当x＞时，y的值随x值的增大而增大，所以C选项不符合题意；
∵点（0，-4），（1，-6）在抛物线上，也在直线y=-2x-4上，
即y=a+bx+c与直线y=-2x-4的交点坐标为（0，-4），（1，-6），
∴方程a+bx+c=-2x-4的解为=0，=1，
即方程a+（b+2）x+c=-4的解为=0，=1，所以D选项符合题意．
故选：D．
3．已知二次函数y＝kx2－7x－7的图象和x轴有交点，则k的取值范围是（ ）
A．k＞－且k≠0B．k＞－
C．k≥－且k≠0D．k≥－
【答案】C
【详解】解：∵二次函数的图象和x轴有交点，
∴，
∴k≥-且k≠0．
故选：C．
4．若抛物线y=与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，则△ABC的面积为（ ）
A．24B．36C．48D．96
【答案】C
【详解】解：令y=0，则可得方程=0，
解得：=6，=-2，
故它与x轴的两个交点分别是：（-2，0），（6，0），
当x=0时，y=-12，
故它与y轴的交点是：（0，-12），
∴该三角形的面积为．
故选：C．
5．如图，若二次函数图象的对称轴为，与轴交于点，与轴交于点、点，则①二次函数的最大值为；②；③；④当时，；其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【详解】解： 由图可知：x=1是抛物线的对称轴，且抛物线的开口向下，与y轴交点在y轴正半轴，
∴，当x=1时，y的最大值为y=a+b+c，故①正确；
∴，
∴，故②正确；
由图象可知，函数图像与x轴有两个不同的交点，故，故③错误；
由函数图象可知当时，故④正确；
故选C．
6．二次函数y＝ax2+bx的图像如图，若一元二次方程ax2+bx+m＝0有实数根，则m的最大值为（ ）
A．﹣3B．﹣2C．2D．3
【答案】D
【详解】解：由图可知：二次函数y=ax2+bx的最小值是y=-3，
∵一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，
∴一元二次方程ax2+bx=-m有实数根，
y=ax2+bx与y=-m有交点，
∴-m≥-3，
解得：m≤3，
∴m的最大值是3，
故选：D．
7．已知抛物线与x轴的一个交点为，则代数式_____________．
【答案】15
【详解】解：把点代入二次函数解析式得：，则有，
∴；
故答案为15．
8．如图，过点D（1，3）的抛物线y=-x2+k的顶点为A，与x轴交于B、C两点，若点P是y轴上一点，则PC+PD的最小值为____．
【答案】
【详解】解：连接PB，
对于抛物线y=-x2+k，
对称轴是y轴，
∴PC=PB，
∴当D、P、B在同一直线上时，PC+PD的值最小，最小值为BD的长，
∵抛物线y=-x2+k过点D（1，3），
∴把x=1，y=3代入y=-x2+k，解得：k=4，
把y=0代入y=-x2+4，解得：x=2或x=-2，
所以点B的坐标为（-2，0），
所以BD=，
故答案为：．
9．已知二次函数y＝－（m＋2）x＋2m－1
(1)求证：不论m取何值，该函数图象与x轴总有两个公共点；
(2)若该函数的图象与y轴交于点（0，3），求当0＜x＜5时，求y的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1）解：令 则



＞0
方程总有两个不相等的实数根，即抛物线与轴总有两个交点；
（2） 函数的图象与y轴交于点（0，3）．


抛物线的解析式为：

抛物线的开口向上，当时，函数y的最小值为
当时，
当时，
当0＜x＜5时，y的取值范围为：．
10．如图，二次函数的图象与轴的一个交点为，另一个交点为，且与轴交于点．
(1)求二次函数的解析式；
(2)求的面积；
(3)该二次函数图象上是否存在点，使与的面积相等？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)10
(3)存在，或或
【详解】(1)解：∵二次函数的图象与轴的一个交点为，
∴，
解得，
即，
；
(2)存在，或或，
理由如下，
由，令，
即，
解得，
，
；
(3)设，边上的高为，
与的面积相等，
，
是上的点，
则，
或，
解得或.，
或或．
题组C 培优拔尖练
1．若，是方程（c为常数）两个不相等的实数根，且满足，则c的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：∵，是方程（c为常数）两个不相等的实数根，
∴，解得：，
设，
∵1＞0，
∴抛物线开口向上，
∵，
∴当x=1时，y＞0，
∴，解得：，
∴c的取值范围是．
故选：C
2．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a为常数，且a≠0）的图象过点(﹣1，0)，对称轴为直线x＝1，且2＜c＜3，则下列结论正确的是（ ）
A．abc＞0B．3a+c＞0
C．a2m2+abm≤a2+ab（m为任意实数）D．﹣1＜a＜﹣
【答案】D
【详解】解：A．抛物线的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＞0，
故abc＜0，不正确，不符合题意；
B．函数的对称轴为直线x=-=1，则b=-2a，
∵从图象看，当x=-1时，y=a-b+c=3a+c=0，
故不正确，不符合题意；
C．∵当x=1时，函数有最大值为y=a+b+c，
∴（m为任意实数），
∴，
∵a＜0，
∴（m为任意实数）
故不正确，不符合题意；
D．∵-=1，故b=-2a，
∵x=-1，y=0，故a-b+c=0，
∴c=-3a，
∵2＜c＜3，
∴2＜-3a＜3，
∴-1＜a＜﹣，故正确，符合题意；
故选：D．
3．在平面直角坐标系中，已知函数，，，其中a＝2，b、c都是正实数，且满足b2＝ac．设y1，y2，y3的图象与x轴的交点个数分别为M1，M2，M3，则下列结论错误的是（ ）
A．若M1＝1，M2＝1，则M3＝2B．若M1＝1，M2＝1，则M3＝1
C．若M1＝1，M2＝0，则M3＝0或1或2D．若M1＝1，M2＝2，则M3＝2
【答案】B
【详解】解：∵a＝2，
∴y1＝x2+2x+1＝（x+1）2，
∴抛物线顶点坐标为（﹣1，0），
∴M1＝1，
∵y2＝x2+bx+2，
∴，
当M2＝1时，b2﹣8＝0，
∴b2＝ac＝8，
∴c＝4，
∴y3＝x2+4x+3，
∵，
∴M3＝2，故A选项正确,B错误；
当M2＝0时，b2﹣8＜0，
∴b2＝ac＜8，
∴c＜4，
∴，
∴M3＝0或1或2，故C正确；
当M2＝2时，，
∴，
∴，
∴，
∴M3＝2，故D选项正确；
故选：B．
4．已知抛物线与轴的两个交点之间的距离为6，对称轴为，则抛物线的顶点关于轴对称的点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：设抛物线y＝x2+bx+c与x轴两个交点坐标为（x1，0），（x2，0），
∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴两个交点间的距离为6，对称轴为直线x＝3，
∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝36，，
∴（﹣b）2﹣4×c＝36，b＝﹣6，
解得：c＝0，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣6x＝（x﹣3）2﹣9，
∴顶点P的坐标为（3，﹣9），
∴点P关于x轴的对称点的坐标是（3，9），
故选：A．
5．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x=1．下列结论：
①abc＜0；②3a+c＞0；③（a+c）2-b2＜0；④a+b≤m（am+b）（m为实数）．其中结论正确的为（ ）
A．①②B．②③④C．①②④D．①②③④
【答案】B
【详解】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线对称轴为直线x=-=1＞0，
∴b=-2a＜0，
∵抛物线与y轴交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＞0，①错误；
∵x=-1时，y=a-b+c=3a+c＞0，
∴②正确；
∵（a+c）2-b2=（a+b+c）（a-b+c），且a+b+c＜0，a-b+c＞0，
∴（a+c）2-b2＜0，③正确；
∵x=1时，y=a+b+c为最小值，
∴a+b≤m（am+b），④正确．
故选：B．
6．下表记录了二次函数中两个变量x与y的6组对应值，其中．
根据表中信息，当时，直线与该二次函数图像有两个公共点，则k的取值范围为（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】解：由可得抛物线对称轴，
又由以及对称轴可得，
，则设抛物线交点式为，
与对比可得，解得，
二次函数表达式为，
当时，；
当时，；
当时，，
，当时，直线与该二次函数图像有两个公共点，
，
故选：C．
7．若函数的图象与坐标轴有两个不同的交点，则m的值为____．
【答案】-2或-1或0或1
【详解】解：∵函数的图象与坐标轴有两个不同的交点，
①当函数为一次函数时，则m+1=0 即m=-1，
此时y=-2x-，与坐标轴有两个交点；
②当函数为二次函数时m+1≠0，即m≠-1，分两种情况：
当抛物线经过原点时，y==0，即m=0，
此时=x(x-2)，
则一个交点在原点，与x轴的另一个交点为(2，0)；
当抛物线不经过原点时，△=（-2）2-4×(m+1)×m=0，
解得：m=-2或1．
综上，m=-1或0或-2或1时，函数与坐标轴有两个交点，
故答案为：-2或-1或0或1．
8．已知二次函数与一次函数的图象相交于点和，如图所示，则使不等式成立的的取值范围是_____________．
【答案】
【详解】解：二次函数与一次函数的图象相交于点和，
由图象可得：使不等式成立的的取值范围是，
故答案为：．
9．平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝+bx+c经过（﹣1， +2m+1）、（0， +2m+2）两点，其中m为常数．
(1)求b的值，并用含m的代数式表示c；
(2)若抛物线y＝+bx+c与x轴有公共点，求m的值；
(3)设（a，）、（a+2，）是抛物线y＝+bx+c上的两点，请比较﹣与0的大小，并说明理由．
【答案】(1)b＝2，c＝
(2)m＝﹣1
(3)a≥﹣2时，，a＜﹣2时，，理由见解析
【详解】（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过（﹣1，m2+2m+1）、（0，m2+2m+2）两点，
∴，
∴，
即：b＝2，c＝，
（2）由（1）得y＝，
令y＝0，得+2m+2＝0，
∵抛物线与x轴有公共点，
∴＝4﹣4（+2m+2）≥0，
∴≤0，
∵≥0，
∴m+1＝0，
∴m＝﹣1；
（3）由（1）得，y＝，
∵（a，）、（a+2，）是抛物线的图象上的两点，
∴，，
∴
＝4（a+2）
当a+2≥0，即a≥﹣2时，，
当a+2＜0，即a＜﹣2时，．
10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．已知，该抛物线的对称轴为直线．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)求点、的坐标；
(3)将线段平移，使得平移后线段的一个端点在这条抛物线上，另一个端点在轴上，若将点、平移后的对应点分别记为点、，求以、、、为顶点的四边形面积的最大值．
【答案】(1)
(2)，
(3)
【详解】(1)解：∵抛物线的对称轴为直线且过点，
∴
解得：，
∴该抛物线的函数表达式为：；
(2)令，得，
∴，
令，得，
解得：，，
∴，
∴点的坐标为，点的坐标为；
(3)由平移的性质可知，且，
∴四边形为平行四边形，
如图，符合条件的四边形有三个，
即□，□，□，
∴，，，
∵，，
∴□的面积最大，
令，得，
解得：，，
∴，，
∴，
∴．
课程标准
（1）会用图象法求一元二次方程的近似解；掌握二次函数与一元二次方程的关系；
（2）会求抛物线与x轴交点的坐标，掌握二次函数与不等式之间的联系；
（3）经历探索验证二次函数与一元二次方程的关系的过程，学会用函数的观点去看方程和用数形结合的思想去解决问题．
判别式
二次函数
一元二次方程
图象
与x轴的交点坐标
根的情况
△＞0
抛物线与x轴交于，两点，且，
此时称抛物线与x轴相交
一元二次方程
有两个不相等的实数根
△＝0
抛物线与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切
一元二次方程
有两个相等的实数根
△＜0
抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离
一元二次方程
在实数范围内无解(或称无实数根)
判别式
抛物线与x轴的交点
不等式的解集
不等式的解集
△＞0
或
△＝0
(或)
无解
△＜0
全体实数
无解
x
…
﹣2
0
1
3
…
y
…
6
﹣4
﹣6
﹣4
…
x
…
1
3
…
y
…
m
0
2
0
n
m
…