人教版九年级数学上册同步讲义专题第16课 图形的旋转（教师版）

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知识点01 旋转的概念
把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转.点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角(如∠AO A′),如果图形上的点A经过旋转变为点A′，那么，这两个点叫做这个旋转的对应点.
【注意】
旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度.
知识点02 旋转的性质
(1)对应点到旋转中心的距离相等(OA= OA′)；
(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
(3)旋转前、后的图形全等(△ABC≌△).
【注意】
图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转.
知识点03 旋转的作图
在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形．
【注意】
作图的步骤：
(1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心；
(2)把连线按要求(顺时针或逆时针)绕旋转中心旋转一定的角度(旋转角)；
(3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；
(4)连接所得到的各对应点.
考法01 旋转的概念与性质
【典例1】如图是一个装饰连续旋转闪烁所成的四个图形，照此规律闪烁，第2021次闪烁呈现出来的图形是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：观察图形的变化可知：每旋转一次，旋转角为90°，即每4次旋转一周，
∵2021÷4＝，
即第2021次与第1次的图案相同．
故选：A．
【即学即练】依次观察三个图形：，并判断照此规律从左向右第四个图形是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：由图形规律可得从左到右是依次顺时针旋转图形，
∴第四个图形是D．
故答案为：D
【典例2】在图形的旋转中，下列说法不正确的是（ ）
A．旋转前和旋转后的图形一样B．图形上的每一个点到旋转中心的距离都相等
C．图形上的每一个点旋转的角度都相同D．图形上可能存在不动的点
【答案】B
【详解】解：A、旋转前和旋转后的图形全等，故A选项不符合题意；
B、在图形上的对应点到旋转中心的距离相等，故B选项符合题意；
C、图形上每一点移动的角度相同，都等于旋转角，故C选项不符合题意；
D、图形上可能存在不动的点，故D选项不符合题意．
故选：B．
【即学即练】下列说法错误的是（ ）
A．平移和旋转都不改变图形的形状和大小
B．平移和旋转能改变图形的位置
C．平移和旋转都不改变图形的位置
D．平移和旋转能改变图形的位置，而不改变图形的形状、大小
【答案】C
【详解】解：A、平移和旋转都不改变图形的形状和大小，它们是全等变换，所以A选项的说法正确；
B、平移和旋转能改变图形的位置，所以B选项的说法正确；
C、平移和旋转可改变图形的位置，所以C选项的说法不正确；
D、平移和旋转能改变图形的位置，而不改变图形的形状、大小，所以D选项的说法正确．
故选：C．
考法02 旋转的作图
【典例3】将下图所示的图案按顺时针方向旋转90°后可以得到的图案是（ ）
A．B． C． D．
【答案】A
【详解】解：A、将原图顺时针旋转90°可得到，故符合题意；
B、将原图旋转180°可得到，故不符合题意；
C、将原图顺时针旋转0°可得到，故不符合题意；
D、将原图逆时针旋转90°可得到，故不符合题意；
故选：A．
【即学即练】如图，方格纸中，将Rt△AOB绕点B按顺时针旋转90°后可以得到Rt△A′O'B 的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：A．选项是原图形的对称图形，故A不正确；
B．选项是Rt△AOB绕点B按顺时针方向旋转90°后得到Rt△A′O′B，故B正确；
C．选项旋转后的对应点错误，即形状发生了改变，故C不正确；
D．选项是按逆时针方向旋转90°，故D不正确；
故选：B．
【典例4】如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在方格线的格点上，将绕点A逆时针方向旋转，得到，则点C的对应点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：如图，将绕点A逆时针方向旋转，得到，
∴C′(-2,3)，
故选：B．
【即学即练】如图，在平面直角坐标系中，已知，，，将先向右平移3个单位长度得到，再绕顺时针方向旋转90°得到，则的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：如图所示：△A1B1C1，△A2B2C1为所求：
根据图像可知，A2的坐标是（2，2），
故答案选：C．
题组A 基础过关练
1．如图，点P(1，4)绕着原点顺时针方向旋转90度后得到像点Q，则点Q的坐标是（ ）
A．（1，-4）B．（-1，4）C．（4，-1）D．（-4，1）
【答案】C
【详解】解：P点的坐标为（1，4），根据旋转中心O，旋转方向顺时针，旋转角度90°，画图，
从而得Q点坐标为（4，-1）．
故选：C．
2．如图，将△ABC绕点B顺时针旋转一定的角度得到，此时点C在边上，若AB＝5，＝2，则的长是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【详解】解：∵将△ABC绕点B顺时针旋转一定的角度得到，
∴AB＝＝5，BC＝＝2，
∴＝－BC＝3，
故选：B．
3．下列图形中，只经过旋转即可得到的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】A、由原图经过旋转和翻折得到的，故不符合题意；
B、由原图经过逆时针旋转90°得到的，故符合题意；
C、由原图经过旋转和翻折得到的，故不符合题意；
D、由原图经过翻折得到的，故不符合题意；
故选B．
4．如图，该图形围绕其中心点O按下列角度旋转后，能与其自身重合的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：该图形被平分成五部分，旋转72度的整数倍，
就可以与自身重合，因而A、C、D都不是72度的整数倍，
能与其自身重合的是B．
故选：B．
5．把如图中的三角形A（ ）可以得到三角形B．
A．先向右平移5格，再向上平移2格．
B．先向右平移7格，再以直角顶点为中心逆时针旋转，然后向上平移1格．
C．先以直角顶点为中心顺时针旋转，再向右平移5格．
D．先向右平移5格，再以直角顶点为中心逆时针旋转．
【答案】B
【详解】解：先向右平移7格，再以直角顶点为中心逆时针旋转90°，然后向上平移1格，三角形A可以得到三角形B．故选项B符合题意；
其他三个选项，都向右只平移5格，三角形A不能得到三角形B．
故选：B．
6．以图（1）（以O为圆心，半径为1的半圆）作为“基本图形”，分别经历如下变换，不能得到图（2）的是（ ）
A．绕着OB的中点旋转180°即可B．先绕着点O旋转180°，再向右平移1个单位
C．先以直线AB为对称轴进行翻折，再向右平移1个单位D．只要向右平移1个单位
【答案】D
【详解】由旋转、平移和轴对称的性质可知：经过A、B、C的变化，图（1）均可得到图（2），经过D的变化不能得到图（2）；
故选：D
7．将数字“6”旋转，得到数字“9”，将数字“9”旋转，得到数字“6”，现将数字“689”整体旋转，得到的数字是______．
【答案】689
【详解】解：将数字“689” 整体旋转180°，得到的数字是：689．
故答案为：689．
8．关于如图的形成过程：（1）由一个三角形平移形成的；（2）由一个三角形绕中心依次旋转形成的；（3）由一个三角形作轴对称形成的；（4）由一个三角形先平移再旋转形成的，说法正确的有_______；（填序号）
【答案】（2），（3），（4）
【详解】解：由题意可知，原图形可以由一个三角形绕中心依次旋转形成；或由一个三角形作轴对称形成的；或由一个三角形先平移再旋转形成的．
故(2)、(3)、(4)正确，
故答案为：(2)、(3)、(4) ．
9．如图，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中，△ABC的顶点均在格点(网格线的交点)上．
(1)将△ABC向右平移5个单位得到，画出；
(2)将(1)中的绕点逆时针旋转得到，画出；
(3)连接，则=_________．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【详解】（1）依据题意，将△ABC每个顶点向右移动5个单位长度得到点，再连线即可得到，
如下图所示，为所求；
（2）依据题意，将的顶点绕点逆时针旋转得到点，(点即为点)，再连线即可得到，
如下图所示，为所求；
（3）连接，设点往右3格的格点为D，
则有是直角三角形，，，，
∴．
故答案为：．
10．在如图所示的直角坐标系中，解答下列问题：
(1)分别写出A、B两点的坐标；
(2)将△ABC绕点A顺时针旋转90°，画出旋转后的△AB1C1
【答案】(1)A（2，0），B（﹣1，﹣4）
(2)见解析
【详解】(1)由点A、B在坐标系中的位置可知：A（2，0），B（﹣1，﹣4）；
(2)如图所示：
题组B 能力提升练
1．在平面直角坐标系中，点A的坐标是（-2，1），连接OA，将线段OA绕原点О旋转180°，得到对应线段OB，则点B的坐标是（ ）
A．（2，-1）B．（2，1）C．（1，-2）D．（-2，-1）
【答案】A
【详解】解：如图，观察图象可知，B（2，-1）．
故选：A．
2．如图，将△ABC旋转得到△ADE，DE经过点C，若AD⊥BC，，则∠ACB的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：∵将旋转得到，，
∴，
，
，
∵，
∴，
又，
，
故选：A．
3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=1cm，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转得到Rt△A′B′C′．使点C′落在AB边上，连接BB′，则BB′的长度是( )
A．1cmB．2cmC．3cmD．23cm
【答案】B
【详解】解：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∠ABC＝30°，
∴∠BAC＝60°，AB＝2AC＝2cm，
∵将Rt△ABC绕点A逆时针旋转得到Rt△AB′C′，
∴∠BAB'＝∠CA C′＝60°，AB＝AB'，
∴△ABB'是等边三角形，
∴BB'＝AB＝2cm．
故选B
4．如图，在中，，，，将绕点B顺时针旋转得到，连接DC交AB于点F，则与的周长之和为（ ）
A．16B．24C．32D．40
【答案】C
【详解】解：∵将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE，
∴△ABC≌△EBD，∠CBD＝60°，
∴BD＝BC＝8，
∴△BCD为等边三角形，
∴CD＝BC＝CD＝8，
∵AB＝＝10，
∴△ACF与△BDF的周长之和＝AC＋AF＋CF＋BF＋DF＋BD＝AC＋AB＋CD＋BD＝6＋10＋8＋8＝32，
故选：C．
5．如图，在平面直角坐标系中，是菱形对角线的中点，轴且，，将菱形绕点旋转，使点落在轴上，旋转后点的对应点的坐标是( )
A．B．或C．D．或
【答案】D
【详解】解：根据菱形的对称性可得：当点旋转到轴正半轴时，
A、、均在坐标轴上，如下图，
，，
，
，
，
点的坐标为，
同理：当点旋转到轴负半轴时，
点的坐标为，
点的坐标为或，
故选：D．
6．如图，将△ABE绕正方形ABCD的顶点A逆时针旋转90°，得到△ADF，连接EF，则下列结论错误的是（ ）
A．△EAB≌△FAD
B．AE⊥AF
C．∠AEF＝45°
D．四边形AECF的周长等于四边形ABCD的周长
【答案】D
【详解】解：A、∵将△ABE绕正方形ABCD的顶点A逆时针旋转90°，得到△ADF，
∴△EAB≌△FAD，故本选项正确，不符合题意；
B、∵△EAB≌△FAD，
∴∠BAE=∠DAF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，
∴∠EAF=∠BAE+∠BAF=∠DAF+∠BAF=∠BAD=90°，
∴AE⊥AF，故本选项正确，不符合题意；
C、∵△EAB≌△FAD，
∴AE=AF，
∵∠EAF=90°，
∴∠AEF=∠AFE=45°，故本选项正确，不符合题意；
D、∵四边形AECF的周长减去四边形ABCD的周长为
AE+CE+CF+AF-（AB+BC+CD+AD）
=AE+BE+BC+CF+AF-AB-BC-CF-DF-AD
=AE-AB+AF-AD，
在和中，
∵AE＞AB，AF＞AD，
∴AE-AB+AF-AD＞0，
∴四边形AECF的周长＞四边形ABCD的周长，故本选项错误，符合题意；
故选：D
7．平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，3），把OA绕点O逆时针旋转90°，那么A点旋转后所到点的横坐标是______．
【答案】-3
【详解】解：如图，作AB⊥y轴于点B，如图，
∵点A的坐标为（2，3），
∴AB=2，OB=3，
把△OAB绕点O逆时针旋转90°得到△，
∴∠=90°，∠ABO=∠=90°，=OB=3，
∴A点旋转后所到点的横坐标为-3．
故答案为：-3．
8．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30° ．现将△ABC绕直角顶点C逆时针旋转，当点A的对应点落在AB边上时即停止．若BC=3，则=________．
【答案】
【详解】解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴∠A=60°，
结合旋转的性质得到CA=，
∴△是等边三角形，
∴AC，
∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=3，
∴AB=2AC，，
∴，
∴AC=(负值已舍)，
∴=．
故答案为：．
9．如图，在正方形网格中，和的顶点均在格点上，并且是由旋转得到的．根据所给信息，填空：
(1)旋转中心为点____________、旋转角的度数为____________、旋转方向为____________；
(2)连结，则四边形的形状是____________．
【答案】(1)C，90，顺时针
(2)平行四边形
【详解】（1）解：根据题意得：旋转中心为点C，
旋转角为，即旋转角的度数为90，
旋转方向为顺时针；
故答案为：C，90，顺时针
（2）解：根据题意得：，
∴，
∴四边形是平行四边形．
故答案为：平行四边形
10．如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点的坐标分别为，，．
(1)将△ABC向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到，画出，并直接写出点的坐标；
(2)画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°得到的；
(3)在y轴上找一点M，使最小，请直接写出M的坐标．
【答案】(1)见解析，；
(2)见解析；
(3)
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
∵将△ABC向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到，
且，
∴；
（2）解：如图所示，即为所求；
（3）解：作点A关于y轴的对称点A'，连接BA'交y轴于点M，
根据两点之间线段最短，此时 最小；
∵，点A关于y轴的对称点A'，
∴，
设直线的表达式为，
将，代入得：
，
解得： ，
∴直线的表达式为，
令，得，
∴点．
题组C 培优拔尖练
1．如图，将△ABC绕点B逆时针旋转80°得△DBE，点D，E分别为点A，C的对应顶点，连接AD，若ADBC，则∠DBE为（ ）
A．80°B．50°C．55°D．100°
【答案】B
【详解】解：∵将△ABC绕点B逆时针旋转80°得△DBE，
∴AB＝BD，∠ABD＝80°，∠DBE＝∠ABC，
∴∠BAD＝50°，
∵ADBC，
∴∠ABC＝∠BAD＝50°，
∴∠DBE＝∠ABC＝50°，
故选：B．
2．如图，在平面直角坐标系中，将边长为a的正方形OABC绕点O顺时针旋转后得到正方形，依此方式连续旋转2023次得到正方形，那么点的坐标是（ ）
A．（a，a）B．C．D．
【答案】D
【详解】解：如图，过点作轴于点D，
∵四边形OABC是正方形，且OA＝a，
∴A（0，a），
，
∵将正方形OABC绕点O顺时针旋转45°后得到正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵正方形绕点O顺时针旋转后得到正方形
∴，
∴，
同理，， ，，，，
……，
由此发现正方形旋转8次为一个循环，
∵2023÷8＝252…7，
∴点A2023的坐标与相同，为．
故选：D
3．如图，在ABC中，AB=6，将ABC绕点B按逆时针方向旋转后得到，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：∵在△ABC中，AB=6，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，，
过点作，垂足为点H，
∴，
∴，
又∵，
，
∴．
故选：C．
4．如图，P是等边三角形内的一点，且，将绕点B顺时针旋转得到，连接，则以下结论中不正确是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∵将△ABP绕点B顺时针旋转60°到△CBQ位置，
∴△BQC≌△BPA，
∴∠BPA=∠BQC，BP=BQ=4，QC=PA=3，∠ABP=∠QBC，
∴∠PBQ=∠PBC+∠CBQ=∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°，
∴△BPQ是等边三角形，△BPQ的面积=，故A正确，D错误；
∴PQ=BP=4，
∵，，
∴，
∴∠PQC=90°，即△PQC是直角三角形，△PQC的面积=×3×4=6，故C正确，
∵△BPQ是等边三角形，
∴∠QPB=∠PBQ=∠BQP=60°，
∴∠BPA=∠BQC=60°+90°=150°，故B正确．
故选：D．
5．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，点绕点A旋转得到点，点绕点B旋转得到点，点绕点C旋转得到点，点绕点A旋转得到点……按此作法进行下去，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：如图，，是以6次为一个循环，
，
点的坐标与点的坐标相同，即为，
故选：A．
6．如图，O是等边△ABC内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②线段OO′=4；③∠AOB=150°；④=6+4，其中正确的结论个数有（ ）个
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【详解】解：如图，
由题意可知，，
，
又，，
△，
又，
△可以由绕点逆时针旋转得到，
故结论①正确；
如图，连接，
，且，
是等边三角形，
．
故结论②正确；
△，
．
在中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，
是直角三角形，，
，
故结论③正确；
．故结论④正确．
故选：D
7．如图，在△ABC中，已知AB＝AC，∠BAC＝40°，将△ABC绕点C顺时针旋转到，使点落在AC上，那么∠A的度数是 _____°．
【答案】15
【详解】解：∵AB＝AC，∠BAC＝40°，
∴∠ACB＝∠B＝（180°﹣40°）÷2＝70°，
由旋转得：∠AC＝∠ACB＝70°，∠＝∠BAC＝40°，AC＝C，
∴∠AC＝（180°﹣70°）÷2＝55°，
∴∠A＝∠AC﹣∠＝55°﹣40°＝15°，
故答案为：15．
8．如图，在△ABC中，AC＝2＋2，∠BAC＝45°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到 ，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转的过程中，点P的对应点是点，则线段的最大值是________，最小值是________．
【答案】 ## ##
【详解】解：过点B作BD⊥AC，D为垂足，连接BP，，
∵∠BAC=45°，∠ACB=30°，
∴△ABD是等腰直角三角形，BC=2BD，
∴BD=AD，
设BD=AD=x，则BC=2x，
∴，
∵，
∴，
∴，即BD=2，
∴，BC=4，
∵E是AB的中点，
∴，
由旋转的性质可知，
∵，
∴，
∴当、E 、B三点共线，且P运动到点D时，最小，最小值为；
∵，
∴，
∵当、E 、B三点共线，点P运动到点C时，，最大，最大值为；
故答案为：；．
9．在8×5的网格中建立如图的平面直角坐标系，四边形OABC的顶点坐标分别为O(0，0)，A(3，4)，B(8，4)，C(5，0)． 仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图，并回答问题：
(1)将线段CB绕点C逆时针旋转90°，画出对应线段CD；
(2)在线段AB上画点E，使∠BCE＝45°，(保留画图过程的痕迹)；
(3)连接AC，画点E关于直线AC的对称点F，并简要说明画法．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【详解】（1）解：如图所示：线段CD即为所求；
（2）解：如图所示：∠BCE即为所求；
（3）解：连接C（5，0），P（0，5），可得与OA的交点F，点F即为所求，如图所示：
10．把直角三角形OAB与直角三角形O'CD如图1放置，直角顶点O与O′重合在一起，点D在OB上，∠B＝30°，∠C＝45°．现将△O'CD固定，△OAB绕点O顺时针旋转，旋转角α（0°≤α＜90°），OB与DC交于点E．
(1)如图2，在旋转过程中，若OACD时，则α＝ ；若ABOC时，则α＝ ；
(2)如图2，在旋转过程中，当△ODE有两个角相等时，α＝ ；
(3)如图3，连结AC，在旋转过程中，猜想∠DOB与∠CAB＋∠ACD的大小关系，并说明理由．
【答案】(1)45°，60°
(2)45°或67.5°
(3)当0°≤∠DOB＜52.5°时，∠DOB＜∠CAB+∠ACD；当∠DOB＝52.5°中，∠DOB＝∠CAB+∠ACD；当52.5°＜∠DOB＜90°时，∠DOB＞∠CAB+∠ACD，理由见解析．
【详解】（1）解：当OACD时，如图，
则∠AOD＝∠D＝45°，
∴∠BOD＝45°，
∴α＝45°，
当ABOC时，如图，
则∠B＝∠BOC＝30°，
∴∠BOD＝90°－30＝60°，
∴α＝60°，
故答案为：45°，60°；
（2）当∠D＝∠DOE＝45°时，可得α＝∠DOE＝45°，
当∠DOE＝∠DEO时，可得α＝∠DOE＝＝67.5°，
故答案为：45°或67.5°；
（3）如图3中，∠DOB与∠CAB+∠ACD的大小关系有三种情形：①∠DOB＞∠CAB+∠ACD．②∠DOB＝∠CAB+∠ACD．③∠DOB＜∠CAB+∠ACD．
理由：∵∠1＝∠BAC+∠ACD，∠2＝∠D+∠1＝45°+∠1，∠3＝∠1+∠B＝30°+∠1，
又∵∠BOD+∠2+∠3+（180°﹣∠1）＝360°，
∴∠BOD+45°+∠1+30°+∠1+180°﹣∠1＝360°，
∴∠BOD+∠1＝105°，
∴∠BOD+∠BAC+∠ACD＝105°，
∴当0°≤∠DOB＜52.5°时，∠DOB＜∠CAB+∠ACD，
当∠DOB＝52.5°中，∠DOB＝∠CAB+∠ACD，
当52.5°＜∠DOB＜90°时，∠DOB＞∠CAB+∠ACD．
课程标准
（1）掌握旋转的概念，探索它的基本性质，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质。
（2）能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形，并能利用旋转进行简单的图案设计。