人教版九年级数学上册同步讲义专题第17课 中心对称与中心对称图形（教师版）

这是一份人教版九年级数学上册同步讲义专题第17课 中心对称与中心对称图形（教师版），共27页。试卷主要包含了中心对称，中心对称图形，下列图形是中心对称图形的有等内容，欢迎下载使用。

知识精讲
知识点01 中心对称和中心对称图形
1．中心对称
把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．
这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．
【注意】
(1)有两个图形，能够完全重合，即形状大小都相同；
(2)位置必须满足一个条件：将其中一个图形绕着某一个点旋转180°能够与另一个图形重合 (全等图形不一定是中心对称的，而中心对称的两个图形一定是全等的) .
2．中心对称图形
把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
【注意】
(1)中心对称图形指的是一个图形；
(2)线段，平行四边形，圆等等都是中心对称图形.
3．中心对称与中心对称图形的区别与联系
知识点02 关于原点对称的点的坐标特征
关于原点对称的两个点的横、纵坐标均互为相反数.即点关于原点的对称点坐标为 ，反之也成立.
知识点03 中心对称、轴对称、旋转对称
1．中心对称图形与旋转对称图形的比较：
2．中心对称图形与轴对称图形比较：
【注意】
中心对称图形是特殊的旋转对称图形；掌握三种图形的不同点和共同点是灵活运用的前提.
能力拓展
考法01 中心对称和中心对称图形
【典例1】下列四个高校校徽主体图案是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】A．是中心对称图形，符合题意；
B．不是中心对称图形，不符合题意；
C．不是中心对称图形，不符合题意；
D．不是中心对称图形，不符合题意．
故选A．
【即学即练】下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意；
故选：B．
【典例2】如图，四边形与四边形FGHE关于点O成中心对称，下列说法中错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】A．∵与关于点O成中心对称，
∴，同理可得，正确；
B．∵点B与点G关于点O成中心对称，
∴，正确；
C．∵与关于点O成中心对称，
∴，同理可得，正确；
D．∵点D与点E关于点O成中心对称，
∴，
∴错误，
故选：D．
【即学即练】如图，已知与关于点成中心对称图形，则下列判断不正确的是（ ）
A．∠ABC=∠A'B'C' B．∠BOC=∠B'A'C'
C．AB=A'B' D．OA=OA'
【答案】B
【详解】因为△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称图形，
所以可得∠ABC=∠A′B′C′，AB=A′B′，OA=OA'，
故选B．
考法02 作图
【典例3】如图是一个中心对称图形，它的对称中心是（ ）
A．点AB．点BC．点CD．点A或点C
【答案】B
【详解】如图所示，它是一个中心对称图形，它的对称中心是点B．
故选B．
【即学即练】如图，与关于某个点成中心对称，则这个点是（ ）
A．点DB．点EC．点FD．点G
【答案】B
【详解】如解图，连接、，相交于点E，则点E是对称中心.
故选：B.
【典例4】在下列某品牌T恤的四个洗涤说明图案的设计中,没有运用轴对称知识的是 ( )
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】解：A、即运用了轴对称也利用了旋转对称，故本选项错误；
B、利用了轴对称，故本选项错误；
C、没有运用旋转，也没有运用轴对称，故本选项正确；
D、即运用了轴对称也利用了旋转对称，故本选项错误；
故选C．
【即学即练】在平面直角坐标系中，与关于原点成中心对称的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：A、△ABC与△A'B'C'关于y轴对称，所以A选项不符合题意；
B、△ABC与△A'B'C'关于x轴对称，所以B选项不符合题意；
C、△ABC与△A'B'C'关于（-，0）对称，所以C选项不符合题意；
D、△ABC与△A'B'C'关于原点对称，所以D选项符合题意；
考法03 利用图形变换的性质进行计算或证明
【典例5】如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若，，AC=1，则BB′的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠B=30°，AC=1，
∴AB=2AC=2，
∴BB′=2AB=4．
故选：B．
【即学即练】如图，已知点A与点C关于点O对称，点B与点D也关于点O对称，若，．则AB的长可能是（ ）
A．3B．4C．7D．11
【答案】C
【详解】解：∵点与点关于点对称，点与点也关于点对称，
∴，
又∵∠AOD=∠BOC
∴△AOD≌△BOC（SAS）
∴AD=BC=3
∵
∴．
故选：C．
【典例6】如图，在面积为12的□ABCD中，对角线BD绕着它的中点O按顺时针方向旋转一定角度后，其所在直线分别交AB、CD于点E、F，若AE=2EB，则图中阴影部分的面积等于（）
A．3B．1C．D．
【答案】A
【详解】∵□ABCD，
∴AO＝OC,∠CAB＝∠DCO.
∵在△AOE和△COF中AO＝OC,∠CAB＝∠DCO，∠AOE＝∠COF.
∴△AOE≌△COF.
∴S△FCO＝S△OAE.
∵面积为12的□ABCD，
∴S△DAB＝6.
过点D做DG⊥AB,OH⊥AB,
∵O为中点,
∴OH＝DG.
∴S阴影＝SOAB＝ S△DAB＝3.
故选A.
【即学即练】如图，在平行四边形中，，为对角线，，边上的高为4，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．3B．6C．12D．24
【答案】C
【详解】由题意，图中阴影部分的每一块关于平行四边形的中心对称图形都在平行四边形上，且都是非阴影的部分，所以由中心对称图形的性质可得：
所求的面积=．
故选C．
分层提分
题组A 基础过关练
1．下列图形中，为中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：A、不符合定义，故该选项不符合题意；
B、符合定义，故该选项符合题意；
C、不符合定义，故该选项不符合题意；
D、不符合定义，故该选项不符合题意；
故选：B．
2．下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：B．
3．徽章交换是现代奥林匹克运动会特有的文化活动．一枚小小的徽章不仅是参与奥运盛会的证明，更是交流奥林匹克精神与世界文化的小窗口．在2022年北京冬奥会上徽章交换依然深受欢迎．下列徽章图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意，
B、既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，不符合题意，
C、既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，不符合题意，
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意，
故选：D．
4．在平面直角坐标系中，把点P（-3，2）绕原点O顺时针旋转180°，所得到的对应点P'的坐标为（ ）
A．（3，2）B．（2，3）C．（-2，3）D．（3，-2）
【答案】D
【详解】解：∵把点P（-3，2）绕原点O顺时针旋转180°，
∴所得到的对应点与点P关于原点对称，
∴(3,-2)，
故选：D．
5．下列图形是中心对称图形的有（ ）
A．个B．个C．个D．个
【答案】B
【详解】解：第一个图形旋转180°不能重合，故不是中心对称图形；
第二个图形旋转180°能重合，故是中心对称图形；
第三个图形旋转180°能重合，故是中心对称图形；
第四个图形旋转180°不能重合，故不是中心对称图形；
第五个图形旋转180°不能重合，故不是中心对称图形；
则有两个中心对称图形，
故选：B．
6．如图，在平面直角坐标系中，若与关于E点成中心对称，点A，B，C的对应点分别为，，，则对称中心E点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：如图，连接AA1、CC1，则交点就是对称中心E点．
∴E（3，−1）．
故选：A．
7．点关于原点的对称点的坐标为______．
【答案】
【详解】解:∵关于原点对称的两个点，横坐标与纵坐标都互为相反数，
∴点关于原点的对称点的坐标是．
故答案为：．
8．已知点与关于原点对称，则___________．
【答案】－3
【详解】解：∵点A（1，m）与点A′（n，−3）关于坐标原点对称，
∴n＝−1，m＝3，
∴
故答案为：－3．
9．已知△ABC的顶点A、B、C在格点上，按下列要求在网格中画图．
(1)△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A1B1C；
(2)画△A1B1C关于点O的中心对称图形△A2B2C2．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【详解】(1)解：△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A1B1C如图所示；
(2)解：△A1B1C关于点O的中心对称图形△A2B2C2如图所示；
10．如图3×3网格图都是由9个相同的小正方形组成，每个网格图中有3个小正方形已涂上阴影，请在余下的6个空白小正方形中，按下列要求涂上阴影：
（1）选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个轴对称图形，但不是中心对称图形；
（2）选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个中心对称图形，但不是轴对称图形；
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【详解】（1）选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个轴对称图形，但不是中心对称图形，如下图所示：
；
（2）选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个中心对称图形，但不是轴对称图形，如下图所示：
．
题组B 能力提升练
1．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：A．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
C．不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：B．
2．观察如图所示的图形，下列对该图形描述正确的是( )
A．它是轴对称图形，不是中心对称图形B．它是中心对称图形，不是轴对称图形
C．它是轴对称图形，又是中心对称图形D．它既不是轴对称图形，也不是中心对称图形
【答案】B
【详解】解：根据中心对称图形与轴对称图形的概念可知，这个图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故B正确．
故选：B．
3．已知点P(a−1，a+2)在x轴上，则点Q(−a，a−1)关于原点对称的点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：∵点P(a−1，a+2)在x轴上，
∴a+2=0，
解得a=-2，
∴Q（2，-3）
则点Q（2，-3）关于原点对称的点的坐标为：（-2，3）．
故选：B．
4．在直角坐标系中，已知点A(2a，a-b+1)，B(b，a+1)关于原点对称，则a，b的值是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】A
【详解】解：∵点关于原点对称，
得
解得．
故选：A．
5．如图，在平面直角坐标系中，有一只蜗牛从点的位置沿着射线的方向爬行到另一象限的点，恰好，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】，且点在射线上，
点与点A关于原点对称，
点的坐标为．
故选：B．
6．如图，△ABC与关于O成中心对称，下列结论中不成立的是（ ）
A．B．
C．点B的对称点是D．
【答案】B
【详解】解：∵△ABC与关于O成中心对称，
∴，，点B的对称点，
故A，C，D正确，不符合题意．
∵和不是对应角，
∴不一定相等，故B错误，符合题意．
故选B．
7．在直角坐标系中，若点，点关于原点中心对称，则______．
【答案】-2
【详解】解：∵坐标系中点A（1，a）和点B（b，1）关于原点中心对称，
∴b＝−1，a＝−1，
则a＋b＝−1−1＝−2．
故答案为：−2．
8．如图，将正方形网格放置在平面直角坐标系中，其中每个小正方形的边长均为1，△ABC经过平移后得到△A1B1C1，若AC上一点P(1.2，1.4)平移后对应点为P1、点P1绕原点顺时针旋转180°，对应点为P2，则点P2的坐标为__________．
【答案】(2.8，3.6)
【详解】解：∵点A到点经过了向下平移5，向左平移4，
∴点P经过相同的移动，得到P1坐标，
∵P坐标为(1.2，1.4)，
∴1.2-4=-2.8，1.4-5=-3.6，
即点P1的坐标为(-2.8，-3.6)，
∵点P1绕原点顺时针旋转180°，对应点为P2，
∴P2、P1关于原点对称，
∴点P2的坐标为(2.8，3.6)，
故答案为：(2.8，3.6)．
9．图1，图2，图3都是由边长为a的小菱形构成的网格，每个网格图中都有3个小菱形已经涂上了阴影，请在余下的小菱形中，分别按下列要求选取一个涂上阴影．
(1)使得4个阴影小菱形组成一个既是轴对称图形又是中心对称图形（图1）；
(2)使得4个阴影小菱形组成一个轴对称图形但不是中心对称图形（图2）；
(3)使得4个阴影小菱形组成一个中心对称图形但不是轴对称图形（图3）．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【详解】（1）解：图形如图所示：
（2）图形如图所示：
（3）图形如图所示：
10．如图，已知四边形．
(1)画出四边形向上平移5格后的四边形；
(2)画出四边形关于点成中心对称的四边形；
(3)画出四边形关于直线成轴对称的四边形．
【答案】(1)画图见解析
(2)画图见解析
(3)画图见解析
【详解】（1）解：如图所示，四边形即为所求；
（2）如图所示，四边形即为所求；
（3）如图所示，四边形即为所求；
题组C 培优拔尖练
1．襄阳市正在创建全国文明城市，某社区从今年6月1日起实施垃扱分类回收．下列图形分别是可回收物、厨余垃圾、有害垃圾及其它垃圾的标志，其中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选不符合题意；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、既是中心对称图形又是轴对称图形，故本选项正确，符合题意；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选不符合题意；
故选：C．
2．下列说法正确的是（ ）
A．能够互相重合的两个图形成轴对称
B．图形的平移运动由移动的方向决定
C．如果一个旋转对称图形有一个旋转角为120°，那么它不是中心对称图形
D．如果一个旋转对称图形有一个旋转角为180°，那么它是中心对称图形
【答案】D
【详解】解：A、一个图形沿着某条直线翻折后能够与另一个图形重合，则两个图形关于某条直线成轴对称，错误；
B、图形的平移运动由移动的方向和距离决定，错误；
C、如果一个旋转对称图形，有一个旋转角为120度，那么它也有可能有一个旋转角为180度，所以它有可能是中心对称图形，错误；
D、如果一个旋转对称图形有一个旋转角为180度，那么它一定是中心对称图形，正确；
故选D．
3．将一张正方形纸片，按如图①，②的步骤，沿虚线对折两次，然后沿图③中的虚线剪去一个角得到图④，将图④展开铺平后的图形（ ）
A．是轴对称图形，但不是中心对称图形B．是中心对称图形，但不是轴对称图形
C．不是轴对称图形，也不是中心对称图形D．是中心对称图形，也是轴对称图形
【答案】D
【详解】解：将图④展开铺平后的图形大致如下：
故图④展开铺平后的图形是中心对称图形，也是轴对称图形．
故选：D．
4．如图，与关于点D成中心对称，连接AB，以下结论错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：∵与关于点D成中心对称，
∴，，
∴
∴选项A、C、D正确，选项B错误；
故选B．
5．如图，在平面直角坐标系中，，，，请确定一点D，使得以点A，B，C，D为顶点的四边形是轴对称图形但不是中心对称图形，则点D的坐标可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】A.若点D的坐标为（0，-1），则四边形ABDC是正方形，既是轴对称图形，也是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B. 若点D的坐标为（2，-1）,点A，点D，点C在同一条直线上，故此选项不符合题意；
C. 若点D的坐标为（0，-2），则四边形ABDC是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项符合题意；
D.若点D坐标为（-1，1），则四边形ADBC既不是轴对称图形，也不中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：C．
6．如图，线段与线段关于点对称，若点、、，则点的坐标为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】解：设D（m，n），
∵线段AB与线段CD关于点P对称，
点P为线段AC、BD的中点．
∴，
∴m=-a+2，n=-b，
∴D，
故选：C．
7．已知和关于原点对称，则________．
【答案】4
【详解】解：∵点P(m-3,2)与点Q(5,n+4)关于原点对称，
∴m-3=-5，n+4=-2，
∴m=-2，n=-6，
∴m-n=-2-(-6)=4，
故答案为：4．
8．如图，四边形是菱形，点是两条对角线的交点，过点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分，当菱形的两条对角线长分别为12和16时，则阴影部分面积为_________．
【答案】48
【详解】如图所示：
∵菱形的两条对角线的长分别为12和16，
菱形的面积，
∵是菱形两条对角线的交点，菱形是中心对称图形，
∴，四边形四边形，
四边形四边形，
∴阴影部分的面积，
故答案为：48．
9．如图所示的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，在所给直角坐标系中解答下列问题：
(1)作出△ABC绕原点逆时针旋转90°得到的．
(2)作出△ABC关于原点成中心对称的；
(3)点D在坐标平面上，如果以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点D的坐标为 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)（﹣3，1）或（1，﹣1）或（﹣5，﹣3）
【详解】（1）
如图，即为所求；
（2）如图，即为所求；
（3）点D在坐标平面上，如果以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为（﹣3，1）或（1，﹣1）或（﹣5，﹣3），
故答案为：（﹣3，1）或（1，﹣1）或（﹣5，﹣3），
10．如图，在4×4的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上．
（1）在图1中，画出一个与△ABC成中心对称的格点三角形；
（2）在图2中，画出一个与△ABC成轴对称且与△ABC有公共边的格点三角形；
（3）在图3中，画出△ABC绕着点C按顺时针方向旋转90°后的三角形；
（4）在图4中，画出所有格点△BCD，使△BCD为等腰直角三角形，且S△BCD=4．
【答案】解：（1）如图①，△DEC为所作；
（2）如图②，△ADC为所作；
（3）如图③，△DEC为所作；
（4）如图④，△BCD和△BCD′为所作．
【详解】解：（1）如图①，△DEC为所作；
（2）如图②，△ADC为所作；
（3）如图③，△DEC为所作；
（4）如图④，△BCD和△BCD′为所作．
课程标准
（1）理解中心对称和中心对称图形的定义和性质，掌握他们之间的区别和联系；
（2）掌握关于原点对称的点的坐标特征，以及如何求对称点的坐标；
（3）探索图形之间的变化关系(轴对称、平移、旋转及其组合)，灵活运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计．
中心对称
中心对称图形
区别
①指两个全等图形之间的相互位置关系．
②对称中心不定．
①指一个图形本身成中心对称．
②对称中心是图形自身或内部的点．
联系
如果将中心对称的两个图形看成一个整体(一个图形)，那么这个图形就是中心对称图形．
如果把中心对称图形对称的部分看成是两个图形，那么它们又关于中心对称．
名称
定义
区别
联系
旋转对称图形
如果一个图形绕着某一点旋转一定角度(小于周角)后能与原图形完全重合，那么这个图形叫做旋转对称图形
旋转角不一定是180°
旋转对称图形只有旋转180°才是中心对称图形，而中心对称图形一定是旋转对称图形
中心对称图形
如果一个图形绕某点旋转180°后能与自身重合，那么这个图形叫做中心对称图形
旋转角必须是180°
名称
定义
基本图形
区别
举例
中心对称图形
如果一个图形绕某点旋转180°后能与自身重合，那么这个图形叫做中心对称图形
绕某一点旋转180°
线段，平行四边形，矩形，菱形，圆
轴对称图形
如果一个图形沿着某一条直线翻折180°后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这样的图形叫做轴对称图形
沿着一条直线翻折180°
线段，等腰三角形，矩形，菱形，正方形，圆