人教版九年级数学上册同步讲义专题第19课 圆的基本概念和性质（教师版）

这是一份人教版九年级数学上册同步讲义专题第19课 圆的基本概念和性质（教师版），共21页。试卷主要包含了圆的定义，圆的性质，两圆的性质，等弧等内容，欢迎下载使用。

知识点01 圆的定义及性质
1．圆的定义
(1)动态：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．
【注意】
①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；
②圆是一条封闭曲线.
(2)静态：圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合.
【注意】
①定点为圆心，定长为半径；
②圆指的是圆周，而不是圆面；
③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面.
2．圆的性质
①旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心；
②圆是轴对称图形：任何一条直径所在直线都是它的对称轴.或者说，经过圆心的任何一条直线都是圆的对称轴.
【注意】
①圆有无数条对称轴；
②因为直径是弦，弦又是线段，而对称轴是直线，所以不能说“圆的对称轴是直径”，而应该说“圆的对称轴是直径所在的直线”.
3．两圆的性质
两个圆组成的图形是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线(经过两圆圆心的直线叫做两圆连心线).
知识点02 与圆有关的概念
1. 弦
弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.
直径：经过圆心的弦叫做直径.
弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.
【注意】
直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.
2. 弧
弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.
半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；
优弧：大于半圆的弧叫做优弧；
劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.
【注意】
①半圆是弧，而弧不一定是半圆；
②无特殊说明时，弧指的是劣弧.
3．同心圆与等圆
圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.
圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等.
4．等弧
在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.
【注意】
①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；
②圆中两平行弦所夹的弧相等.
考法01 圆的定义
【典例1】下列说法：（1）长度相等的弧是等弧；（2）相等的圆周角所对的弧相等；（3）劣弧一定比优弧短；（4）直径是圆中最长的弦．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【详解】解：（1）长度相等的弧不一定是等弧，弧的度数必须相同，故错误；
（2）同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，故错误；
（3）同圆或等圆中劣弧一定比优弧短，故错误；
（4）直径是圆中最长的弦，正确，
综上所述，四个说法中正确的只有1个，
故选：A．
【即学即练】下列说法，其中正确的有（ ）
①过圆心的线段是直径
②圆上的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径组成的图形叫做扇形
③大于半圆的弧叫做劣弧
④圆心相同，半径不等的圆叫做同心圆
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【详解】解：①过圆心的弦是直径，故该项错误；
②由一条弧和经过这条弧的两个端点的两条半径组成的图形叫做扇形，故该项正确；
③小于半圆的弧叫做劣弧，故该项错误；
④圆心相同，半径不等的圆叫做同心圆，故该项正确．
故选：B．
【典例2】如图，在平面直角坐标系中，AB是⊙M的直径，若，，则点B的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：设点B的坐标为（x，y），
∵AB是⊙M的直径，
∴M点为AB的中点，
∵A（a，b），M（1，0），，
∴1＝，0＝，
解得：x＝2−a，y＝−b，
∴B点坐标为（2−a，−b）．
故选：A．
【即学即练】如图所示，，，以点A为圆心，AB长为半径画弧交x轴负半轴于点C，则点C的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：∵，
∴OA=，
∵，以点A为圆心，AB长为半径画弧交x轴负半轴于点C，
∴，
∴，
∵点C为x轴负半轴上的点，
∴C，
故选：C．
考法02 圆的有关概念
【典例3】如图，图中的弦共有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
【答案】B
【详解】解：图形中有弦AB和弦CD，共2条，
故选B．
【即学即练】如图，圆的弦中最长的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：由图可知，弦AB经过圆心O，故圆的弦中最长的是．
故选：．
【典例4】下图中是圆心角的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：A、不是圆心角，故不符合题意；
B、不是圆心角，故不符合题意；
C、是圆心角，故符合题意；
D、不是圆心角，故不符合题意；
故选：C．
【即学即练】如图，在⊙O中，AB是弦，C是弧AB上一点．若∠OAB＝25°，∠OCA＝40°，则∠BOC的度数为（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【答案】A
【详解】解：∵OA＝OB，∠OAB＝25°，
∴∠OBA＝∠OAB＝25°，
∴∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA＝130°，
∵OA＝OC，∠OCA＝40°，
∴∠OAC＝∠OCA＝40°，
∴∠AOC＝180°﹣∠OAC﹣∠OCA＝100°，
∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝130°﹣100°＝30°，
故选：A．
题组A 基础过关练
1．圆有（ ）条对称轴．
A．0B．1C．2D．无数
【答案】D
【详解】解：圆的对称轴是经过圆心的直线，经过一点的直线有无数条，
所以，圆有无数条对称轴．
故选：D．
2．已知⊙O中最长的弦为10，则⊙O的半径是（ ）
A．10B．20C．5D．15
【答案】C
【详解】∵圆当中最长的弦是直径，
∴直径为10，
∴半径为．
故选：C
3．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且点C、D在AB的异侧，连结AD、OD、OC．若∠AOC＝70°，且AD∥OC，则∠AOD的度数为（ ）
A．70°B．60°C．50°D．40°
【答案】D
【详解】解：∵AD∥OC，
∴∠AOC=∠DAO=70°，
又∵OD=OA，
∴∠ADO=∠DAO=70°，
∴∠AOD=180-70°-70°=40°．
故选：D．
4．下列四个命题：
①同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等；
②同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等；
③同圆或等圆中，相等的弦的弦心距相等；
④同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等．
真命题的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【详解】解：①同圆或等圆中，相等的弦所对的弧不一定相等，故原说法错误，是假命题，不符合题意；
②同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，正确，是真命题，符合题意；
③同圆或等圆中，相等的弦的弦心距相等，正确，是真命题，符合题意；
④同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，正确，是真命题，符合题意，
真命题有3个，
故选：C．
5．如图，将命题“在同圆中，相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦也相等”改写成“已知……求证……”的形式，下列正确的是（ ）
A．已知：在⊙O中，＝．求证：∠AOB＝∠COD，AD＝BC．
B．已知：在⊙O中，＝．求证：∠AOB＝∠COD，AB＝CD．
C．已知：在⊙O中，＝，∠AOB＝∠COD．求证：AD＝BC．
D．已知：在⊙O中，＝，∠AOB＝∠COD．求证：AB＝CD．
【答案】B
【详解】A．所对的圆心角应为∠AOD，所对的圆心角应为∠BOC，相等的圆心角应为，故A选项错误；
B．所对的圆心角为∠AOB、所对的弦为AB，所对的圆心角为∠COD、所对的弦为CD，故B选项正确；
C．由题意可知，已知条件只有一个弧相等，而求证的结论有两个，故C选项错误；
D．由题意可知，已知条件只有一个弧相等，而求证的结论有两个，故D选项错误．
故选：B．
6．如图，在⊙O中，是直径，是弦，于，连接，∠，则下列说法正确的个数是（ ）
①；②；③；④
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【详解】∵AB⊥CD，
∴，CE＝DE，②正确，
∴∠BOC＝2∠BAD＝40°，③正确，
∴∠OCE＝90°−40°＝50°，④正确；
又，故①错误；
故选：C．
7．如图，在⊙O中，，AB＝3，则AC＝_____.
【答案】3
【详解】解：∵在⊙O中，，AB＝3，
∴AC=AB=3．
故答案为：3．
8．一个圆的直径是4cm，周长是______cm．
【答案】
【详解】圆的直径是，
圆的周长是，
故答案为：．
9．如图，三角形是直角三角形，其中O为圆心．已知三角形面积是，求圆形面积．
【答案】
【详解】解：∵OA=OB
∴△AOB是等腰直角三角形
∵=10
∴
∴圆的面积为
答：圆的面积是
10．（1）如果把人的头顶和脚底分别看做一个点，把地球赤道看做一个圆，那么身高的小明沿地球赤道环行一周，他的头顶比脚底多“走”了多少米？先猜一猜，再算一算，看看你的猜想如何．
（2）假设小明在某个半径为的星球上沿着其赤道环行一周，他的头顶比脚底又多“走”了多少米呢？在半径为的星球上情况又如何呢？
【答案】（1）他的头顶比脚底多“走”了3π米；（2）小明在半径为和的星球上环绕一周，头顶比脚底都多“走”了3π米．
【详解】解：（1）他的头顶比脚底多“走”了3π米．
设地球的半径是Rm，则人头绕地球环形时，人头经过的圆的半径是（R＋1.5）m．地球的周长是2πRm，人头环形一周的周长是2π（R＋1.5）m，
因而他的头顶比脚底多行的路程＝2π（R＋1.5）−2πR＝3π（m）．
（2）当小明在某个半径为1km的星球上沿着其赤道环行一周，他的头顶比脚底多“走”的路程＝2π（1000＋1.5）−2π•1000＝3π（m），
当小明在某个半径为10km的星球上沿着其赤道环行一周，他的头顶比脚底多“走”的路程＝2π（10000＋1.5）−2π•10000＝3π（m）．
题组B 能力提升练
1．以下说法中：①任一多边形的外角中最多有三个是钝角②对顶角相等③三角形的一个外角等于两个内角的和④两直线被第三条直线所截，同位角相等⑤弧分为优弧和劣弧．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【详解】解：①多边形的外角和是360°，若外角中钝角的个数超过3个，则外角的和就超过360°，所以最多有3个外角，正确；
②对顶角相等，正确；
③三角形的一个外角等于不相邻两个内角的和，错误；
④两直线平行，同位角相等，错误；
⑤弧分为优弧、劣弧和半圆，错误．
∴正确的结论是①②．
故选：B．
2．如图，为半圆O的直径，，平分，交半圆于点D，交于点E，则的度数是( )
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：连接OD
平分，
故选：B．
3．如图，是的直径，弦，若，则的度数为（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【答案】C
【详解】解：∵是的直径，
∴OA=OC，
∴∠C=∠A=25°，
∴∠AOD=∠C+∠A=50°，
∵OADE，
∴∠D=∠AOD=50°，
故选：C．
4．如图是的半径，是的弦，且，若与互相垂直平分，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】连接，设交于点．
与互相垂直平分，
，，
又，
，
．
故选：B．
5．如图，在中，，，若以点为圆心，的长为半径的圆恰好经过的中点，则的长等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：连接CD，如图所示：
∵点D是AB的中点，，，
∴，
∵，
∴，
在Rt△ACB中，由勾股定理可得；
故选D．
6．如图所示，点M是⊙O上的任意一点，下列结论：
①以M为端点的弦只有一条；
②以M为端点的直径只有一条；
③以M为端点的弧只有一条．
则（ ）
A．①、②错误，③正确B．②、③错误，①正确
C．①、③错误，②正确D．①、②、③错误
【答案】C
【详解】解：以M为端点的弦有无数条，所以①错误；
以M为端点的直径只有一条，所以②正确；
以M为端点的弧有无数条，所以③错误．
故选：C．
7．如图，将△AOB绕点A顺时针旋转得到△ACD，使得点C，D都在圆上，则旋转角的度数为_____．
【答案】60°##60度
【详解】解：由题意可知，OA＝AC，
∵OA＝OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠OAC＝60°，
∴旋转角的度数为60°，
故答案为：60°．
8．如图正方形的边长为1，分别以正方形的两个相对顶点为圆心，以1为半径画弧，则图中阴影部分的面积是______（用含有的式子表示）．
【答案】
【详解】解：如图所示
S阴影=-S正方形=-12=．
故答案为：．
9．如图，在⊙O中，D，E分别为半径OA，OB上的点，且AD＝BE.点C为上一点，连接CD，CE，CO，∠AOC＝∠BOC，求证：CD＝CE．
【答案】见解析
【详解】证明：∵，
∴，即，
在和中，，
∴，
∴．
10．如图，点A，B，C在⊙O上，按要求作图：
(1)过点A作⊙O的直径AD；
(2)过点B作⊙O的半径；
(3)过点C作⊙O的弦．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【详解】（1）如图所示，作射线，交于点，则线段即为的直径；
（2）如图所示，连接，线段即为所求；
（3）如图所示，连接，线段即为所求的一条弦（答案不唯一）．
题组C 培优拔尖练
1．如果一个圆的半径由1厘米增加到2厘米．那么这个圆的周长增加了（ ）
A．3.14厘米B．2厘米C．8厘米D．4厘米
【答案】B
【详解】解：（2-1）×2×π
=2π（厘米）．
故选：B．
2．下列语句中：
①两点确定一条直线；
②圆上任意两点、间的部分叫做圆弧；
③两点之间直线最短；
④三角形、四边形、五边形、六边形等都是多边形．
其中正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【详解】解：①根据直线公理：过两点有且只有一条直线，故该项正确；
②根据圆弧的定义：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，故该项正确；
③根据线段公理：两点之间，线段最短，故该项错误；
④根据多边形的定义：在平面内，有一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形，故三角形、四边形、五边形、六边形等都是多边形，故该项正确．
综上可得：①、②、④正确．
故选：C
3．计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比．下面是同一个任务进行到不同阶段时进度条的示意图：若圆半径为2，当任务完成的百分比为m时，弦AB的长度记为d（m）．下列描述正确的是（ ）
A．d（25%）＝2
B．当m＞50%时，d（m）＞4
C．当m1＜m2时，d（m1）＜d（m2）
D．当m1+m2＝100%时，d（m1）＝d（m2）
【答案】D
【详解】根据已知，利用图象判断即可．
解：A、d（25%）＝2＞2，本选项不符合题意；
B、当m＞50%时，0≤d（m）＜4，本选项不符合题意；
C、当m1＜m2时，d（m1）与d（m2）可能相等，可能不等，本选项不符合题意；
D、当m1+m2＝100%时，d（m1）＝d（m2），本选项符合题意；
故选：D．
4．在一个由8×8个方格组成的边长为8的正方形棋盘内放一个半径为4的圆，若把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为S1，把圆周经过的所有小方格的圆外部分的面积之和记为S2，则的整数部分是（ ）．
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【详解】解：由题意知：，
∵
∴的整数部分是1
故选：B
5．如图，如图，的半径为2，圆心的坐标为，点是上的任意一点，，，与x轴分别交于A，B两点，若点A、点B关于原点O对称，则的最小值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】D
【详解】解：连接，
，
，
，
，
若要使取得最小值，则需取得最小值，
连接，交于点，当点位于位置时，取得最小值，
过点作轴于点，
则、，
，
又，
，
，
故选：D．
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°， AC=3，以点C为圆心、CA为半径的圆与AB交于点D，若点D巧好为线段AB的中点，则AB的长度为（ ）
A．B．3C． 6D．9
【答案】C
【详解】连接CD，
∵以点C为圆心、CA为半径的圆与AB交于点D，AC=3，
∴，
又∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为线段AB的中点，
∴，
∴；
故选C．
7．如图，的半径为13，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线交于点C，则________．
【答案】12
【详解】连接OC、OB，如图，
根据作图可知，OC是线段AB的垂直平分线，
则有BC=AC=AB=10×=5，
又∵圆的半径OB=13，
∴在Rt△BOC中，利用勾股定理可得：，
故答案为：12．
8．如图，A，B，C是⊙O上的三个点，∠AOB＝50°，∠B＝55°，则∠A的度数为________
【答案】
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
故答案为：
9．如图，BD=OD，∠AOC=114°，求∠AOD的度数．
【答案】28°．
【详解】解：设∠B=x，
∵BD=OD，
∴∠DOB=∠B=x，
∴∠ADO=∠DOB+∠B=2x，
∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO=2x，
∵∠AOC=∠A+∠B，
∴2x+x=114°，解得x=38°，
∴∠AOD=180°﹣∠OAD﹣∠ADO=180°﹣4x=180°﹣4×38°=28°．
10．在推导圆的面积计算公式时，是将一个圆分成若干（偶数）等份，剪开后，用这些近似等腰三角形的小纸片拼成一个近似的长方形，如图2所示．（注：本题中的π取3.14）
（1）若圆的半径为3cm，则拼成的近似长方形的周长比圆的周长多多少厘米？
（2）若拼成的近似长方形的周长为33.12cm，则圆的半径为多少？
（3）在（2）的条件下，求此圆的面积．
【答案】（1）6cm；（2）4cm；（3）50.24（cm2）．
【详解】解：（1）拼成的近似长方形的周长比圆的周长多3×2＝6cm；
（2）设圆的半径为r，
由题意得，2πr+2r＝33.12，
解得：r＝4，
答：圆的半径为4cm；
（3）此圆的面积＝3.14×42＝50.24（cm2）．
课程标准
（1）理解圆的有关概念和圆的对称性；
（2）能应用圆半径、直径、弧、弦、弦心距的关系，圆的对称性进行计算或证明；
（3）养成学生之间发现问题、探讨问题、解决问题的习惯.