人教版九年级数学上册同步讲义专题第二十四章 圆单元检测（一）（教师版）

这是一份人教版九年级数学上册同步讲义专题第二十四章 圆单元检测（一）（教师版），共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．给出下列命题:①任意三角形一定有一个外接圆,并且只有一个外接圆; ②任意一个圆一定有一个内接三角形,并且只有一个内接三角形;③任意一个三角形一定有一个内切圆,并且只有一个内切圆;④任意一个圆一定有一个外切三角形, 并且只有一个外切三角形,其中真命题共有( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】
根据外心与内心的概念，分别分析即可判断对错．三角形的外接圆是三条垂直平分线的交点，有且只有一个交点，所以任意三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；反过来说圆的内接三角形可以无数多个；三角形的内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，有且只有一个交点，所以任意一个三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆；反过来说圆的外切三角形可以有无数多个．
【详解】
三角形的外接圆是三条垂直平分线的交点，有且只有一个交点，所以任意三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆，①是对的；
反过来说圆的内接三角形可以无数多个，所以②是错的；
三角形的内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，有且只有一个交点，所以任意一个三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆，③是对的；
反过来说圆的外切三角形可以有无数多个，④是错误的．
所以正确的命题有2个．
故选B．
【点睛】
考查三角形外心与内心的概念，属于概念题．
2．如图，将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，点P是优弧上一点，则∠APB的度数为( )
A．45° B．30° C．75° D．60°
【答案】D
【解析】作半径OC⊥AB于点D，连结OA，OB，
∵将O沿弦AB折叠，圆弧较好经过圆心O，
∴OD=CD，OD=OC=OA，
∴∠OAD=30°（30°所对的直角边等于斜边的一半），同理∠OBD=30°，
∴∠AOB=120°，
∴∠APB=∠AOB=60°.（圆周角等于圆心角的一半）
故选D.
3．秋千拉绳长3 m，静止时踩板离地面0.5 m，某小朋友荡秋千时，秋千在最高处踩板离地面2 m(左右对称)，如图，则该秋千所荡过的圆弧长为( )
A．π m B．2π m C．π m D． m
【答案】B
【解析】如图，过点B作BF⊥OE于点F，则四边形BHGF是矩形，
所以OF=OG-FG=3.5-2=1.5.
Rt△OBF中，因为OB=2OF，所以∠OBF=30°，所以∠BOE=60°，所以∠AOB=120°.
所以弧AB的长为m.
故选B.
4．已知两圆的半径分别为2、5，且圆心距等于3，则两圆位置关系是（ ）
A．外离B．外切C．相交D．内切
【答案】D
【详解】
∵两圆的半径分别为2和5，圆心距为3，
又∵5﹣2=3，
∴两圆的位置关系是内切．
故选D．
【点睛】
本题考查了两圆的位置关系：设两圆半径分别为R、r，两圆圆心距为d，则当d＞R+r时两圆外离；当d=R+r时两圆外切；当R-r＜d＜R+r（R≥r）时两圆相交；当d=R-r（R＞r）时两圆内切；当0≤d＜R-r（R＞r）时两圆内含．
5．如图，在直角坐标系中，一个圆经过坐标原点O，交坐标轴于点E，F，OE＝8，OF＝6，则圆的直径长为( )
A．12B．10C．14D．15
【答案】B
【解析】
如图，连接EF，因为∠EOF=90°，所以EF是直径，
由勾股定理得，EF=10.
故选B.
6．如图，方格纸上一圆经过(2，5)，(－2，1)，(2，－3)，(6，1)四点，则该圆圆心的坐标为( )
A．(2，－1)B．(2，2)C．(2，1)D．(3，1)
【答案】B
【详解】
解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心．
得（2，6）和（2，-2）的垂直平分线是，
（-2，2）和（6，2）的垂直平分线是,
则该圆圆心的坐标为（2，2），
故选B．
7．如图，CA为⊙O的切线，切点为A，点B在⊙O上，若∠CAB＝55°，则∠AOB等于( )
A．55°B．90°C．110°D．120°
【答案】C
【解析】
因为CA为⊙O的切线，所以OA⊥AC，所以∠OAC=90°.
因为∠CAB=55°，所以∠OAB=90°-55°=35°，
因为OA=OB，所以∠OAB=∠B.
所以∠AOB=180°-2×35°=110°.
故选C.
点睛：本题主要考查了切线的性质和等腰三角形的性质及三角形的内角和，圆的切线垂直于过切点的半径，由此得到90°的角，再结合等腰△OAB中的两底角的关系和三角形的内角和定理则可以解决问题.
8．一个圆锥的侧面积是底面积的3倍，则这个圆锥侧面展开图的圆心角度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
根据圆锥的侧面积是底面积的3倍得到圆锥底面半径和母线长的关系，根据圆锥侧面展开图的弧长=底面周长即可求得圆锥侧面展开图的圆心角度数．
【详解】
解：设底面圆的半径为r，侧面展开扇形的半径为R，扇形的圆心角为n度．
由题意得S底面面积=πr2，
l底面周长=2πr，
S扇形=3S底面面积=3πr2，
l扇形弧长=l底面周长=2πr．
由S扇形=l扇形弧长×R得3πr2=×2πr×R，
故R=3r．
由l扇形弧长= 得：
2πr=
解得n=120°．
故选：A．
【点睛】
本题通过圆锥的底面和侧面，结合有关圆、扇形的一些计算公式，重点考查空间想象能力、综合应用能力．熟记圆的面积和周长公式、扇形的面积和两个弧长公式并灵活应用是解答本题的关键．


二、填空题
9．的半径为，的半径为，圆心距，这两圆的位置关系是___．
【答案】内切
【解析】
【分析】
根据R-r=圆心距可判定两圆内切.
【详解】
解：∵4-1=3,
∴两圆的位置关系是内切.
【点睛】
本题考查了圆与圆的位置关系,属于简单题,熟悉圆心距与半径的关系是解题关键.
10．如图，DB切⊙O于点A，∠AOM=66°，则∠DAM=_____度.
【答案】147
【详解】
试题分析：DB切⊙O于A，则∠OAD=90°，
∵AO=OM，∴∠OAM=∠OMA=（180°﹣∠O）÷2=62°，∴∠DAM=∠OAD+∠OAM=90°+62°=152°．
故答案为152．
考点：1．切线的性质；2．等腰三角形的性质．
11．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝CD，则图中与∠1相等的角有_________．
【答案】∠6，∠2，∠5
【详解】
因为AB=CD，所以=，则根据同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等得，与∠1相等的角有6，∠2，∠5.
故答案为∠6，∠2，∠5.
12．在同一平面内，点P到圆上的点的最大距离为10cm，最小距离为4cm，则此圆的半径为_________________．
【答案】3cm或7cm
【详解】
设⊙O的半径为r，
当点P在圆外时，r==3cm；
当点P在⊙O内时，r=cm.
故答案为：3cm或7cm．
13．如图，AB是半圆O的直径，AC为弦，OD⊥AC于D，过点O作OE∥AC交半圆O于点E，过点E作EF⊥AB于F．若AC=2，则OF的长为______．
【答案】1
【详解】
试题分析：根据垂径定理求出AD，证△ADO≌△OFE，推出OF=AD，即可求出答案．
∵OD⊥AC，AC=2， ∴AD=CD=1， ∵OD⊥AC，EF⊥AB， ∴∠ADO=∠OFE=90°，
∵OE∥AC， ∴∠DOE=∠ADO=90°， ∴∠DAO+∠DOA=90°，∠DOA+∠EOF=90°，∴∠DAO=∠EOF，
在△ADO和△OFE中， ∴△ADO≌△OFE（AAS）， ∴OF=AD=1
考点：(1)、垂径定理；(2)、全等三角形的判定与性质．
14．（2015·辽宁丹东）．如图，AB是⊙O的直径,弧ED=弧BD，连接ED、BD，延长AE交BD的延长线于点M，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点C．
（1）若OACD，求阴影部分的面积；
（2）求证：DEDM．
【答案】（1）4-π；（2）参见解析．
【解析】
试题分析：（1）连接OD,由已知条件可证出三角形ODC是等腰直角三角形，OD的长度知道，∠DOB的度数是45度，这样，阴影的面积就等于等腰直角三角形ODC的面积减去扇形ODB的面积．（2）连接AD，由已知条件可证出AD垂直平分BM,从而得到DM=DB,又因为弧DE=弧DB，DE=DB,所以DE就等于DM了．
试题解析：（1）连接OD,∵CD是⊙O切线,∴OD⊥CD∵OA=CD =, OA=OD∴OD=CD=∴△OCD 为等腰直角三角形∠DOC=∠C=45°S阴影=S△OCD-S扇OBD=××－．（2）连接AD．∵AB是⊙O直径∴∠ADB=∠ADM= 90°又∵弧ED=弧BD∴ED=BD ∠MAD=∠BAD∴△AMD≌△ABD∴DM=BD ∴DE=DM．如图所示：
考点：圆的性质与三角形综合知识．
15．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA=1m，水面宽AB=1.2m，某天下雨后，水管水面上升了0.2m，则此时排水管水面宽CD等于_____m．
【答案】1.6
【详解】
解：如图：
∵AB=1.2m，OE⊥AB，OA=1m，
∴AE=0.8m，
∴OE=
∵水管水面上升了0.2m，
∴OF=0.8﹣0.2=0.6m，
∴CF=m，
∴CD=1.6m．
故答案为1.6．
考点：1.垂径定理的应用；2.勾股定理.

三、解答题
16．如图，已知⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，且∠C＝90°，AB＝13，BC＝12．
（1）求BF的长；
（2）求⊙O的半径r．
【答案】（1）BF＝10；（2）r=2．
【分析】
（1）设BF＝BD＝x，利用切线长定理，构建方程解决问题即可．
（2）证明四边形OECF是矩形，推出OE＝CF即可解决问题．
【详解】
解：（1）在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AB＝13，BC＝12，
∴AC＝＝＝5，
∵⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，
∴BD＝BF，AD＝AE，CF＝CE，
设BF＝BD＝x，则AD＝AE＝13﹣x，CFCE＝12﹣x，
∵AE+EC＝5，
∴13﹣x+12﹣x＝5，
∴x＝10，
∴BF＝10．
（2）连接OE，OF，
∵OE⊥AC，OF⊥BC，
∴∠OEC＝∠C＝∠OFC＝90°，
∴四边形OECF是矩形，
∴OE＝CF＝BC﹣BF＝12﹣10＝2．
即r＝2．
【点睛】
本题考查三角形的内心，勾股定理，切线长定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
17．如图，BE是圆O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，过点A作⊙O的切线交BE延长线于点C,
（1）若∠ADE=25°，求∠C的度数；
（2）若AB=AC，CE=2，求⊙O半径的长．
【答案】（1）∠C=40°；（2）⊙O的半径为2．
【详解】
【分析】（1）连接OA，利用切线的性质和角之间的关系解答即可；
（2）根据直角三角形的性质解答即可．
【详解】（1）如图，连接OA，
∵AC是⊙O的切线，OA是⊙O的半径，
∴OA⊥AC，
∴∠OAC=90°，
∵,∠ADE=25°，
∴∠AOE=2∠ADE=50°，
∴∠C=90°﹣∠AOE=90°﹣50°=40°；
（2）∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵，
∴∠AOC=2∠B，
∴∠AOC=2∠C，
∵∠OAC=90°，
∴∠AOC+∠C=90°，
∴3∠C=90°，
∴∠C=30°，
∴OA=OC，
设⊙O的半径为r，
∵CE=2，
∴r=(r+2)，
解得：r=2，
∴⊙O的半径为2．
【点睛】本题考查了切线的性质、圆周角定理、含30度角的直角三角形的性质等，熟练掌握相关的性质与定理是解题的关键.
18．如图，AB是半圆O的直径，过点O作弦AD的垂线交半圆O于点E，交AC于点C，使∠BED＝∠C．试判断直线AC与半圆O的位置关系，并说明理由．
【答案】证明见解析
【解析】
试题分析：
猜想是相切的关系，只需要证∠CAO=90°，即证∠C+∠AOC=90°，而∠BAD+∠AOC=90°，所以需要证∠C=∠BAD，结合∠BAD=∠BED，∠BED=∠C即可.
试题解析：
AC与半圆O相切．理由如下：∵是∠BED与∠BAD所对的弧，
∴∠BAD＝∠BED.∵OC⊥AD，∴∠AOC＋∠BAD＝90°.
∴∠BED＋∠AOC＝90°.即∠C＋∠AOC＝90°.
∴∠OAC＝90°.∴AB⊥AC，即AC与半圆O相切．
19．已知，如图，AB为的直径，，BC交于点D，AC交于点E，．
(1)求的度数；
(2)求证：；
(3)若圆O的半径为，求弦BD与围成的弓形的面积．
【答案】（1）22.5°；（2）见解析；（3）
【分析】
（1）由AB为⊙O的直径，AB＝AC，∠BAC＝45°，即可求得∠ABE与∠ABC的度数，继而求得∠EBC的度数；
（2）首先连接AD，由圆周角定理可得，可得∠ADB＝90°，又由三线合一，即可证得BD＝DC；
（3）首先连接OD，过点B作BH⊥OD于点H，易求得∠BOD的度数与△OBD的高，继而求得答案．
【详解】
解：（1）∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∵∠BAC＝45°，AB＝AC，
∴∠ABE＝45°，∠ABC＝∠C＝67.5°，
∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝22.5°；
（2）证明：连接AD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
即AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BD＝DC；
（3）连接OD，过点B作BH⊥OD于点H，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAC＝2∠BAD，
∴∠BOD＝2∠BAD＝∠BAC＝45°，
∴BH＝OH＝OB=×=1，
∴弦BD与围成的弓形的面积为：
S扇形OBD-S△OBD＝．
【点睛】
此题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质以及扇形的面积．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
20．如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点.∠APC=∠CPB=60°.
(1)试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；
(2)当点P位于什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积.
【答案】(1) PA+PB=PC;(2).
【解析】
试题分析：（1）在PC上截取PD=AP，则△APD是等边三角形，然后证明△APB≌△ADC，证明BP=CD，即可证得；
（2）过点P作PE⊥AB，垂足为E，过点C作CF⊥AB，垂足为F，把四边形的面积转化为两个三角形的面积进行计算，当点P为的中点时，PE+CF=PC从而得出最大面积.
试题解析：（1）在PC上截取PD=AP，如图，
又∵∠APC=60°，
∴△APD是等边三角形，
∴AD=AP=PD，∠ADP=60°，即∠ADC=120°．
又∵∠APB=∠APC+∠BPC=120°，
∴∠ADC=∠APB，
在△APB和△ADC中，
，
∴△APB≌△ADC（AAS），
∴BP=CD，
又∵PD=AP，
∴PC=BP+AP．
（2）当点P为的中点时，四边形APBC的面积最大．
理由如下，如图，过点P作PE⊥AB，垂足为E．
过点C作CF⊥AB，垂足为F．
∵S△APB=AB•PE，S△ABC=AB•CF，
∴S四边形APBC=AB•（PE+CF），
当点P为的中点时，PE+CF=PC，PC为⊙O的直径，
∴此时四边形APBC的面积最大．
又∵⊙O的半径为1，
∴其内接正三角形的边长AB=，
∴S四边形APBC=×2×=.