人教版九年级数学上册同步讲义专题第26课 圆章末复习（学生版）

这是一份人教版九年级数学上册同步讲义专题第26课 圆章末复习（学生版），共14页。试卷主要包含了圆的定义，圆的性质，两圆的性质，与圆有关的角，圆和圆的位置关系等内容，欢迎下载使用。

知识点01 圆的定义、性质及与圆有关的角
1．圆的定义
(1)线段OA绕着它的一个端点O ，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆.
(2)圆是 的集合.
【注意】
①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；
②圆是一条封闭曲线.
2．圆的性质
(1)旋转不变性：圆是 图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是 对称图形，对称中心是圆心.
在同圆或等圆中， ，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等.
(2)轴对称：圆是 图形， 都是它的对称轴.
(3)垂径定理及推论：
① .
②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧.
④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦.
⑤平行弦夹的弧相等.
【注意】在垂经定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.(注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径)
3．两圆的性质
(1)两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线.
(2)相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点.
4．与圆有关的角
(1)圆心角： 叫圆心角.
圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数.
(2)圆周角： .
圆周角的性质：
①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的 .
②同弧或等弧所对的 ；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的 .
③90°的圆周角所对的弦为 ；半圆或直径所对的圆周角为 .
④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.
⑤圆内接四边形的 ；外角等于它的 .
【注意】
(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.
(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.
知识点02 与圆有关的位置关系
1．判定一个点P是否在⊙O上
设⊙O的半径为r，OP=d，则有
；
；
；
【注意】
点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系.
2．判定几个点在同一个圆上的方法
当时，在⊙O 上.
3．直线和圆的位置关系
设⊙O 半径为R，点O到直线l的距离为d.
(1)直线l和⊙O没有公共点直线和圆 .
(2)直线l和⊙O有唯一公共点直线和圆 .
(3)直线l和⊙O有2个公共点直线和圆 .
4．切线的判定、性质
(1)切线的判定：
①经过半径的外端并且 这条半径的直线是圆的切线.
②到圆心的距离d等于圆的半径的直线是圆的切线.
(2)切线的性质：
①圆的切线 过切点的 .
②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点.
③经过切点作切线的垂线经过圆心.
(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长.
(4)切线长定理：从圆外一点 ，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
5．圆和圆的位置关系
设的半径为，圆心距.
(1)和没有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆的 ；
(2)和没有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆的 ；
(3)和有唯一公共点，除这个点外，每一个圆上的所有点在另一个圆的外部
；
(4)和有唯一公共点，除这个点外，每一个圆上的所有点在另一个圆的内部
；
(5)和有2个公共点 ；
知识点03 三角形的外接圆与内切圆、圆内接四边形与外切四边形
1．三角形的内心、外心、重心、垂心
(1)三角形的内心：是三角形 的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示.
(2)三角形的外心：是三角形 的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示.
(3)三角形重心：是三角形 的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的，通常用G表示.
(4)垂心：是三角形 的交点.
【注意】
(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；
(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).
(3) 三角形的外心与内心的区别：
2．圆内接四边形和外切四边形
(1) 的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形 ，外角等于 .
(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形 .
知识点04 圆中有关计算
圆的面积公式： ，周长 .
圆心角为、半径为R的弧长 .
圆心角为，半径为R，弧长为l的扇形的面积 .
弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.
圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为l的圆柱的体积为 ，侧面积为，全面积为.
圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为l，高为h的圆锥的侧面积为，全面积为 ，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有 .
【注意】
(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即 ；
(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.
(3)扇形面积公式S扇形，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；
(4)扇形两个面积公式之间的联系：S扇形 .
考法01 圆的基础知识
【典例1】如下图，菱形的三个顶点、、在上，则（ ）．
A．100°B．150°C．120°D．60°
【即学即练】如图，已知、是的弦，，点C在弦上，连接CO并延长CO交于于点D，，则的度数是（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【典例2】如图，以C为圆心的圆过的中点 D，则（ ）．
A．2B．3C．D．
【即学即练】如图，为半径，点为中点，为上一点，且，若，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【典例3】如图，中，，O是的中点，以O为圆心，长为半径画弧，分别交于点D，E，连接，测量的度数是_____．
【即学即练】如图，圆内4个正方形的边长均为2a，若点A，B，C，D，E在同一条直线上，点E，F，G在同一个圆上，则此圆的半径为______．
【典例4】如图，在中，，以点C为圆心，为半径的圆交于点D，交于点E，若，求的度数；
【即学即练】如图，线段过圆心交于，两点，交于点，且．
（1）若，求的度数；
（2）若，，求的长．
考法02 弧、弦、圆心角、圆周角的关系及垂径定理
【典例5】如图，AB为⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D ，且AB=6，OD=4，则DC的长为（ ）
A．1B．2C．2.5D．5
【即学即练】如图，AB为⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D ，且AB=6，OD=4，则DC的长为（ ）
A．1B．2C．2.5D．5
【典例6】如图，AB为⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D ，且AB=6，OD=4，则DC的长为（ ）
A．1B．2C．2.5D．5
【即学即练】如图，AB为⊙O直径，点C，D在⊙O上且．AD与CO交于点E，∠DAB＝30°，若，则CE的长为（ ）
A．1B．C．D．
【典例7】已知四边形ABCD为⊙O的内接四边形，点E、F分别为AB、CD的中点，若AB＝8，CD＝6，⊙O的半径为5，则线段EF长的最大值为_____．
【即学即练】如图，已知半圆直径，点C、D三等分半圆弧，那么的面积为________．
【典例8】如图，在平行四边形ABCD中，AD是⊙的弦，BC是⊙的切线，切点为点B．
(1)求证：；
(2)若，，求⊙的半径．
【即学即练】如图，在⊙O中，AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直径，且AB⊥CD，垂足为G，点E在劣弧上，连接CE．
（1）求证：CE平分∠AEB；
（2）连接BC，若BC//AE，求证：BC=BE．
考法03 圆中有关的计算
【典例9】已知：如图，是的两条半径，且，点在上，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【即学即练】已知扇形的半径为6，圆心角为，则它的弧长是（ ）
A．B．C．D．
【典例10】如图，，是的弦，，，则的直径等于（ ）
A．2B．3C．4D．6
【即学即练】如图，矩形ABCD中，，，将矩形ABCD绕点B顺时针旋转得到矩形EBGF，再将矩形EBGF绕点G顺时针旋转得到矩形IHGJ，则点D在两次旋转过程中经过的路径的长是（ ）
A．B．C．D．
【典例11】如图，⊙O与AB相切于点A，BO与⊙O交于点C，，则∠B等于 _____．
【即学即练】如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是_______．
【典例12】如图，在⊙O中，弦BC垂直于半径OA，垂足为点E，D是优弧BC上一点，连接BD，AD，OC，
(1)求∠ADB的度数；
(2)若OE＝3，OA＝5，求BC的长．
【即学即练】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线BE交AC于点E，⊙O是△BEF的外接圆，交AB于点F，圆心O在AB上．
(1)求证：AC是⊙O的切线；
(2)过点E作EH⊥AB于点H，求证：EF平分∠AEH；
(3)求证：CD＝HF．
考法04 圆与其他知识的综合运用
【典例13】如图所示，AB是⊙O的直径，AD=DE，AE与BD交于点C，则图中与∠BCE相等的角除对顶角外还有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【即学即练】如图，正方形的边长为，点在上，以为圆心的扇形与边相切于点，与两边交于点，，则弧长度的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【典例14】如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，分别以点A，B，C为圆心，AB的长为半径画弧，与该三角形的边相交，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．96﹣πB．96﹣25πC．48﹣πD．48﹣π
【即学即练】如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD=35°，∠B+∠E=（ ）
A．325°B．145°C．215°D．395°
【典例15】如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，分别以点A，C为圆心，AO长为半径画弧，分别交AB，CD于点E，F．若BD＝6，∠CAB＝30°，则图中阴影部分的面积为 _____．（结果保留π）
【即学即练】如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB过点A（－3，0），B（0，3），⊙O的半径为1（O为坐标原点），点P在直线AB上，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为____．
【典例16】如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AE是⊙O的直径，AF是⊙O的弦，且AF⊥BC，垂足为D．若BE=6，AB=8．
(1)求证：BE=CF；
(2)若∠ABC=∠EAC，求AC的长．
【即学即练】接BD和CD．
(1)求证：．
(2)，，，求AD．
(3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积．
考法05 与圆的切线相关的证明与计算
【典例17】下列命题中的真命题是（ ）
①相等的角是对顶角 ②矩形的对角线互相平分且相等 ③垂直于半径的直线是圆的切线 ④顺次连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形．
A．①②B．②③C．③④D．②④
【即学即练】下列命题中，
①直径是弦；
②平分弦的直径必垂直于弦；
③相等的圆心角所对的弧相等；
④等弧所对的弦相等．
⑤经过半径的一端并垂直于半径的直线是圆的切线．正确的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【典例18】如图，点B在⊙A上，点C在⊙A外，以下条件不能判定BC是⊙A切线的是（ ）
A．∠A＝50°，∠C＝40°B．∠B﹣∠C＝∠A
C．AB2+BC2＝AC2D．⊙A与AC的交点是AC中点
【即学即练】如图，矩形ABCD中，G是BC的中点，过A、D、G三点的⊙O与边AB、CD分别交于点E、点F，给出下列判断：（1）AC与BD的交点是⊙O的圆心；（2）AF与DE的交点是⊙O的圆心；（3）AE=DF；（4）BC与⊙O相切，其中正确判断的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【典例19】在正方形ABCD中，以AB为直径做半圆，过点D做DE切圆O于点F，交BC于点E，正方形的边长为2，求阴影面积______．
【即学即练】如图，在△ABC中，AC＝BC，以BC为直径的半圆O交AC于D，交AB于E，连接BD，CE交于点F，经过点E作EG⊥BC于G，交BD于H，过点E作EM⊥AC于M．则下列结论：①BE＝EM；②∠ECA＝∠BEG；③EH＝BF；④EM是⊙O的切线．其中正确的结论是_____．（填写所有正确结论的序号）
【典例20】如图，已知 AB、AC 分别为⊙O 的直径和弦，D 为弧 BC 的中点，DE⊥AC 于 E，DE=6，AC=16．
(1)求证：DE 是⊙O 的切线；
(2)求直径AB的长．
【即学即练】如图，直线经过上的点C，并且，，交直线于E、D，连，．
(1)求证：直线是的切线；
(2)试猜想，，三者之间的等量关系，并加以证明；
(3)若，的直径为5，求的长．
课程标准
（1）理解圆及其有关概念，理解弧、弦、圆心角的关系，探索并了解点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系，探索并掌握圆周角与圆心角的关系、直径所对的圆周角的特征；
（2）了解切线的概念，探索并掌握切线与过切点的半径之间的位置关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线；
（3）了解三角形的内心和外心，探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆；
（4）了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积及全面积；
（5）结合相关图形性质的探索和证明，进一步培养合情推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力；通过这一章的学习，进一步培养综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.
名称
确定方法
图形
性质
外心(三角形外接圆的圆心)
三角形三边中垂线的交点
(1)OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部
内心(三角形内切圆的圆心)
三角形三条角平分线的交点
(1)到三角形三边距离相等；(2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；
(3)内心在三角形内部.