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    人教版九年级数学上册同步讲义专题第26课 圆章末复习(教师版)

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    人教版九年级数学上册同步讲义专题第26课 圆章末复习(教师版)

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    这是一份人教版九年级数学上册同步讲义专题第26课 圆章末复习(教师版),共37页。试卷主要包含了圆的定义,圆的性质,两圆的性质,与圆有关的角,圆和圆的位置关系等内容,欢迎下载使用。

    知识点01 圆的定义、性质及与圆有关的角
    1.圆的定义
    (1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周,另一个端点A所形成的封闭曲线,叫做圆.
    (2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合.
    【注意】
    ①圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小;确定一个圆应先确定圆心,再确定半径,二者缺一不可;
    ②圆是一条封闭曲线.
    2.圆的性质
    (1)旋转不变性:圆是旋转对称图形,绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合;圆是中心对称图形,对称中心是圆心.
    在同圆或等圆中,两个圆心角,两条弧,两条弦,两条弦心距,这四组量中的任意一组相等,那么它所对应的其他各组分别相等.
    (2)轴对称:圆是轴对称图形,经过圆心的任一直线都是它的对称轴.
    (3)垂径定理及推论:
    ①垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.
    ②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
    ③弦的垂直平分线过圆心,且平分弦对的两条弧.
    ④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心,且垂直平分此弦.
    ⑤平行弦夹的弧相等.
    【注意】
    在垂经定理及其推论中:过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧,在这五个条件中,知道任意两个,就能推出其他三个结论.(注意:“过圆心、平分弦”作为题设时,平分的弦不能是直径)
    3.两圆的性质
    (1)两个圆是一个轴对称图形,对称轴是两圆连心线.
    (2)相交两圆的连心线垂直平分公共弦,相切两圆的连心线经过切点.
    4.与圆有关的角
    (1)圆心角:顶点在圆心的角叫圆心角.
    圆心角的性质:圆心角的度数等于它所对的弧的度数.
    (2)圆周角:顶点在圆上,两边都和圆相交的角叫做圆周角.
    圆周角的性质:
    ①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.
    ②同弧或等弧所对的圆周角相等;在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等.
    ③90°的圆周角所对的弦为直径;半圆或直径所对的圆周角为直角.
    ④如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形.
    ⑤圆内接四边形的对角互补;外角等于它的内对角.
    【注意】
    (1)圆周角必须满足两个条件:①顶点在圆上;②角的两边都和圆相交.
    (2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.
    知识点02 与圆有关的位置关系
    1.判定一个点P是否在⊙O上
    设⊙O的半径为r,OP=d,则有
    点P在⊙O外;
    点P在⊙O上;
    点P在⊙O内;
    【注意】
    点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的,即知道位置关系就可以确定数量关系;知道数量关系也可以确定位置关系.
    2.判定几个点在同一个圆上的方法
    当时,在⊙O 上.
    3.直线和圆的位置关系
    设⊙O 半径为R,点O到直线l的距离为d.
    (1)直线l和⊙O没有公共点直线和圆相离 .
    (2)直线l和⊙O有唯一公共点直线和圆相切 .
    (3)直线l和⊙O有2个公共点直线和圆相交 .
    4.切线的判定、性质
    (1)切线的判定:
    ①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
    ②到圆心的距离d等于圆的半径的直线是圆的切线.
    (2)切线的性质:
    ①圆的切线垂直于过切点的半径.
    ②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点.
    ③经过切点作切线的垂线经过圆心.
    (3)切线长:从圆外一点作圆的切线,这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长.
    (4)切线长定理:从圆外一点作圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
    5.圆和圆的位置关系
    设的半径为,圆心距.
    (1)和没有公共点,且每一个圆上的所有点在另一个圆的外部外离;
    (2)和没有公共点,且每一个圆上的所有点在另一个圆的内部内含;
    (3)和有唯一公共点,除这个点外,每一个圆上的所有点在另一个圆的外部外切;
    (4)和有唯一公共点,除这个点外,每一个圆上的所有点在另一个圆的内部 内切;
    (5)和有2个公共点相交;
    知识点03 三角形的外接圆与内切圆、圆内接四边形与外切四边形
    1.三角形的内心、外心、重心、垂心
    (1)三角形的内心:是三角形三条角平分线的交点,它是三角形内切圆的圆心,在三角形内部,它到三角形三边的距离相等,通常用“I”表示.
    (2)三角形的外心:是三角形三边中垂线的交点,它是三角形外接圆的圆心,锐角三角形外心在三角形内部,直角三角形的外心是斜边中点,钝角三角形外心在三角形外部,三角形外心到三角形三个顶点的距离相等,通常用O表示.
    (3)三角形重心:是三角形三边中线的交点,在三角形内部;它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍,通常用G表示.
    (4)垂心:是三角形三边高线的交点.
    【注意】
    (1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆,但任意一个圆都有无数个外切三角形;
    (2) 解决三角形内心的有关问题时,面积法是常用的,即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半,即(S为三角形的面积,P为三角形的周长,r为内切圆的半径).
    (3) 三角形的外心与内心的区别:
    2.圆内接四边形和外切四边形
    (1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形,圆内接四边形对角互补,外角等于内对角.
    (2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形,圆外切四边形对边之和相等.
    知识点04 圆中有关计算
    圆的面积公式: ,周长.
    圆心角为、半径为R的弧长.
    圆心角为,半径为R,弧长为l的扇形的面积.
    弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.
    圆柱的侧面图是一个矩形,底面半径为R,母线长为l的圆柱的体积为 ,侧面积为,全面积为.
    圆锥的侧面展开图为扇形,底面半径为R,母线长为l,高为h的圆锥的侧面积为,全面积为 ,母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有.
    【注意】
    (1)对于扇形面积公式,关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的,即;
    (2)在扇形面积公式中,涉及三个量:扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角,知道其中的两个量就可以求出第三个量.
    (3)扇形面积公式S扇形,可根据题目条件灵活选择使用,它与三角形面积公式有点类似,可类比记忆;
    (4)扇形两个面积公式之间的联系:S扇形.
    考法01 圆的基础知识
    【典例1】如下图,菱形的三个顶点、、在上,则( ).
    A.100°B.150°C.120°D.60°
    【答案】C
    【详解】:连结OC,
    ∵点、、在上,
    ∴OA=OB=OC,
    又∵四边形OACB为菱形,
    ∴OA=AC=CB=OB=OC,
    ∴△OAC和△OBC均为等边三角形,
    ∴∠ACO=∠BCO=60°,
    ∴∠ACB=∠ACO+∠BCO=120°.
    故选:C.
    【即学即练】如图,已知、是的弦,,点C在弦上,连接CO并延长CO交于于点D,,则的度数是( )
    A.30°B.40°C.50°D.60°
    【答案】C
    【详解】解:连接OA,
    ∵OA=OB, ∴∠OAB=∠B=30°,
    ∵OA=OD, ∴∠OAD=∠D=20°,
    ∴∠BAD=∠OAB+∠OAD=50°,
    故选:C.
    【典例2】如图,以C为圆心的圆过的中点 D,则( ).
    A.2B.3C.D.
    【答案】D
    【详解】解:如图示,连接,
    在中,点D是的中点,则,

    ∴依据勾股定理可得:.
    故选:D.
    【即学即练】如图,为半径,点为中点,为上一点,且,若,则的长为( )
    A.B.C.D.
    【答案】D
    【详解】解:如图,作OE⊥PQ于点E,连接OQ,
    由题意,OA=OQ=2,∠OEP=90°,
    ∵点P是OA的中点,
    ∴OP=1,
    ∵,
    ∴∠EPO=∠EOP=45°,
    ∴PE=OE=,
    在Rt△OEQ中,由勾股定理,得:

    ∴;
    故选择:D.
    【典例3】如图,中,,O是的中点,以O为圆心,长为半径画弧,分别交于点D,E,连接,测量的度数是_____.
    【答案】##80度
    【详解】解:如图,连接OE、OD,
    根据题意得:OC=OB=OD=OE,
    ∵∠A=50°,
    ∴∠B+∠C=130°,
    ∴∠CEO+∠BDO=130°,
    ∴∠AEO+∠ADO=230°,
    ∴∠EOD=360°-∠A-∠AEO-∠ADO=360°-50°-230°=80°,
    故答案为:.
    【即学即练】如图,圆内4个正方形的边长均为2a,若点A,B,C,D,E在同一条直线上,点E,F,G在同一个圆上,则此圆的半径为______.
    【答案】a
    【详解】解:∵点E,F在⊙O上,
    ∴圆心O在EF的垂直平分线PQ上,连接OG、OE,
    ∵4个正方形的边长均为2a,
    ∴PQ=8a,EQ=a,PG=3a,
    设PO=x,则OQ=8a-x,
    ∵OG=OE,即OG2=OE2,
    ∴PG2+PO2=OQ2+QE2,即(3a)2+x2=(8a-x)2+a2,
    解得:x=a,即PO=a,
    ∴OG2=(3a)2+(a)2=a2,
    ∴OG=a,
    故答案为a.
    【典例4】如图,在中,,以点C为圆心,为半径的圆交于点D,交于点E,若,求的度数;
    【答案】40°
    【详解】解:∵∠ACB=90°,∠A=25°,
    ∴∠B=90°-25°=65°,
    ∵CB=CD,
    ∴∠B=∠CDB=65°,
    ∴∠BCD=180°-65°-65°=50°,
    ∴∠DCE=90°-50°=40°.
    【即学即练】如图,线段过圆心交于,两点,交于点,且.
    (1)若,求的度数;
    (2)若,,求的长.
    【答案】(1)75°;(2).
    【详解】(1)连接.
    ∵,∴,
    ∵,∴,
    ∴.
    (2)∵,∴(由(1)证明可知)
    ∴,
    设,∴,解得,
    ∴.
    考法02 弧、弦、圆心角、圆周角的关系及垂径定理
    【典例5】如图,AB为⊙O的弦,半径OC⊥AB于点D ,且AB=6,OD=4,则DC的长为( )
    A.1B.2C.2.5D.5
    【答案】A
    【详解】解:如图,连接AO,
    ∵半径与点D,
    ∴,
    ∵,
    ∴根据勾股定理,,
    ∴,
    ∴.
    故选A.
    【即学即练】如图,AB为⊙O的弦,半径OC⊥AB于点D ,且AB=6,OD=4,则DC的长为( )
    A.1B.2C.2.5D.5
    【答案】A
    【详解】解:如图,连接AO,
    ∵半径与点D,
    ∴,
    ∵,
    ∴根据勾股定理,,
    ∴,
    ∴.
    故选A.
    【典例6】如图,AB为⊙O的弦,半径OC⊥AB于点D ,且AB=6,OD=4,则DC的长为( )
    A.1B.2C.2.5D.5
    【答案】A
    【详解】解:如图,连接AO,
    ∵半径与点D,
    ∴,
    ∵,
    ∴根据勾股定理,,
    ∴,
    ∴.
    故选A.
    【即学即练】如图,AB为⊙O直径,点C,D在⊙O上且.AD与CO交于点E,∠DAB=30°,若,则CE的长为( )
    A.1B.C.D.
    【答案】C
    【详解】解:∵

    又∵∠DAB=30°

    由勾股定理得,

    ∴(负值舍去)

    故选:C
    【典例7】已知四边形ABCD为⊙O的内接四边形,点E、F分别为AB、CD的中点,若AB=8,CD=6,⊙O的半径为5,则线段EF长的最大值为_____.
    【答案】7
    【详解】解:连接OA、OD、OE、OF,
    ∵点E、F分别为AB、CD的中点,
    ∴OE⊥AB,AEAB=4,OF⊥CD,DFCD=3,
    由勾股定理得,OE3,OF4,
    当E、O、F在同一条直线上时,EF最大,最大值为3+4=7,
    故答案为:7.
    【即学即练】如图,已知半圆直径,点C、D三等分半圆弧,那么的面积为________.
    【答案】
    【详解】解:连接OC,OD,过点O作OE⊥CD,垂足为点E,如图,
    ∵点C、D三等分半圆弧,
    ∴∠COD=∠BOD=60°,
    ∵OC=OD,
    ∴是等边三角形,
    ∴∠CDO=60°,
    ∴∠CDO=∠BOD,
    ∴CD∥AB,
    ∴,
    ∵OE⊥CD,
    ∴∠COE=∠COD=30°,
    ∴,
    在中,,
    ∴.
    故答案为:.
    【典例8】如图,在平行四边形ABCD中,AD是⊙的弦,BC是⊙的切线,切点为点B.
    (1)求证:;
    (2)若,,求⊙的半径.
    【答案】(1)见解析
    (2)
    【详解】(1)证明:连接,交于点.
    是的切线,切点为,


    四边形是平行四边形,




    (2)解:,过圆心

    在中,,

    设的半径为,则,
    连接,
    在中,,
    即,

    的半径为.
    【即学即练】如图,在⊙O中,AB是⊙O的弦,CD是⊙O的直径,且AB⊥CD,垂足为G,点E在劣弧上,连接CE.
    (1)求证:CE平分∠AEB;
    (2)连接BC,若BC//AE,求证:BC=BE.
    【答案】(1)见解析;(2)见解析
    【详解】(1)证明:,是直径,


    平分;
    (2)解:如图,
    ∵ ,
    ∴.
    又∵,


    考法03 圆中有关的计算
    【典例9】已知:如图,是的两条半径,且,点在上,则的度数为( )
    A.B.C.D.
    【答案】A
    【详解】解:,


    故选:A.
    【即学即练】已知扇形的半径为6,圆心角为,则它的弧长是( )
    A.B.C.D.
    【答案】B
    【详解】解:由弧长公式可知,

    故选:B.
    【典例10】如图,,是的弦,,,则的直径等于( )
    A.2B.3C.4D.6
    【答案】C
    【详解】解:连接OB、OC,如图,
    ∵∠BOC=2∠BAC=2×30°=60°,
    而OB=OC,
    ∴△OBC为等边三角形,
    ∴OB=BC=2,
    ∴⊙O的直径等于4.
    故答案为:4.
    【即学即练】如图,矩形ABCD中,,,将矩形ABCD绕点B顺时针旋转得到矩形EBGF,再将矩形EBGF绕点G顺时针旋转得到矩形IHGJ,则点D在两次旋转过程中经过的路径的长是( )
    A.B.C.D.
    【答案】D
    【详解】解:如图,
    第一次旋转时,点D绕点B旋转90°,旋转半径为BD,到达点F处,
    BD==6,
    此时,点D运动的路径为:3π,
    第二次旋转时,点F绕点G旋转90°,旋转半径为GF=AB=3,到达点J处,
    点F运动的路径为:,
    故点D在两次旋转过程中经过的路径的长为:,
    故选:D.
    【典例11】如图,⊙O与AB相切于点A,BO与⊙O交于点C,,则∠B等于 _____.
    【答案】
    【详解】解:如图,连接OA.则OA⊥AB.
    ∴,
    ∵,
    ∴.
    ∵OA=OC,
    ∴.
    ∴.
    故答案为: .
    【即学即练】如图,在半径为3的⊙O中,AB是直径,AC是弦,D是的中点,AC与BD交于点E.若E是BD的中点,则AC的长是_______.
    【答案】
    【详解】解:如图,连接OD,交AC于F,
    ∵D是的中点,
    ∴OD⊥AC,AF=CF,
    ∴∠DFE=90°,
    ∵OA=OB,AF=CF,
    ∴OF=BC,
    ∵AB是直径,
    ∴∠ACB=90°,
    在△EFD和△ECB中,

    ∴△EFD≌△ECB(AAS),
    ∴DF=BC,
    ∴OF=DF,
    ∵OD=3,
    ∴OF=1,AB=2OD=6,
    ∴BC=2,
    ∴.
    故答案为:.
    【典例12】如图,在⊙O中,弦BC垂直于半径OA,垂足为点E,D是优弧BC上一点,连接BD,AD,OC,
    (1)求∠ADB的度数;
    (2)若OE=3,OA=5,求BC的长.
    【答案】(1)
    (2)8
    【详解】(1)解:连接OB,
    ∵OA⊥BC,OA过圆心O,
    ∴,
    ∵,
    ∴,
    ∴;
    (2)∵OA⊥BC,BC=2,OA过圆心O,
    ∴BE=EC,
    ∵OB=OA=5,OE=3,
    ∴BE===4,
    ∴BC=2BE=8.
    【即学即练】如图,在△ABC中,∠C=90°,∠ABC的平分线BE交AC于点E,⊙O是△BEF的外接圆,交AB于点F,圆心O在AB上.
    (1)求证:AC是⊙O的切线;
    (2)过点E作EH⊥AB于点H,求证:EF平分∠AEH;
    (3)求证:CD=HF.
    【答案】(1)证明见解析
    (2)证明见解析
    (3)证明见解析
    【详解】(1)证明:连接OE,如图所示:
    ∵BE⊥EF,
    ∴∠BEF=90°,
    ∴BF是圆O的直径,
    ∴OB=OE,
    ∴∠OBE=∠OEB,
    ∵BE平分∠ABC,
    ∴∠CBE=∠OBE,
    ∴∠OEB=∠CBE,
    ∴,
    ∴∠AEO=∠C=90°,
    ∴AC是⊙O的切线;
    (2)证明:∵∠C=∠BHE=90°,∠EBC=∠EBA,
    ∴∠BEC=∠BEH,
    ∵BF是⊙O是直径,
    ∴∠BEF=90°,
    ∴∠FEH+∠BEH=90°,∠AEF+∠BEC=90°,
    ∴∠FEH=∠FEA,
    ∴FE平分∠AEH.
    (3)证明:连接DE,如图所示:
    ∵BE是∠ABC的平分线,EC⊥BC于C,EH⊥AB于H,
    ∴EC=EH,
    ∵∠CDE+∠BDE=180°,∠HFE+∠BDE=180°,
    ∴∠CDE=∠HFE,
    ∵∠C=∠EHF=90°,
    ∴△CDE≌△HFE(AAS),
    ∴CD=HF,
    考法04 圆与其他知识的综合运用
    【典例13】如图所示,AB是⊙O的直径,AD=DE,AE与BD交于点C,则图中与∠BCE相等的角除对顶角外还有( )
    A.2个B.3个C.4个D.5个
    【答案】C
    【详解】解:∵在△ADO和△DOE中

    ∴△OAD≌△ODE(SSS),
    ∴∠DAB=∠EDO,∠ADO=∠DEO,
    ∵AO=DO,
    ∴∠DAB=∠ADO,
    ∴∠DAB=∠ADO=∠ODE=∠DEO;
    ∵AB是⊙O的直径,
    ∴∠ADB=90°,∠AEB=90°,
    ∵AD=DE,
    ∴,
    ∴∠ABD=∠DBE,
    ∴∠DAB=90°-∠ABD,∠BCE=90°-∠DBE,
    ∴∠DAB=∠BCE,
    ∴∠DCA=∠DAB=∠ADO=∠ODE=∠DEO,
    则与∠ECB相等的角有5个.
    图中与∠BCE相等的角除对顶角外还有4个
    故选C.
    【即学即练】如图,正方形的边长为,点在上,以为圆心的扇形与边相切于点,与两边交于点,,则弧长度的最小值是( )
    A.B.C.D.
    【答案】C
    【详解】解:当点与或点重合时,圆心角为,此时弧最长,
    根据正方形和扇形的对称性可得,当点在中点时,此时弧的长度最短,且,
    ∵正方形的边长为,以为圆心的扇形与边相切,
    ∴,,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    ∴弧的长度为.
    故选:C.
    【典例14】如图,在△ABC中,AB=AC=10,BC=12,分别以点A,B,C为圆心,AB的长为半径画弧,与该三角形的边相交,则图中阴影部分的面积为( )
    A.96﹣πB.96﹣25πC.48﹣πD.48﹣π
    【答案】D
    【详解】解:作AD⊥BC于点D,
    ∵AB=AC=10,BC=12,
    ∴BD=CD=6,
    ∴AD==8,
    ∴=×12×8﹣π×=48﹣.
    故选:D.
    【即学即练】如图,在⊙O的内接五边形ABCDE中,∠CAD=35°,∠B+∠E=( )
    A.325°B.145°C.215°D.395°
    【答案】C
    【详解】解:如图,连接CE,
    ∵五边形ABCDE是圆内接五边形,
    ∴四边形ABCE是圆内接四边形,
    ∴∠B+∠AEC=180°,
    ∵∠CED=∠CAD=35°,
    ∴∠B+∠AED=180°+35°=215°.
    故选:C.
    【典例15】如图,矩形ABCD的对角线AC,BD交于点O,分别以点A,C为圆心,AO长为半径画弧,分别交AB,CD于点E,F.若BD=6,∠CAB=30°,则图中阴影部分的面积为 _____.(结果保留π)
    【答案】
    【详解】解:∵矩形ABCD的对角线AC,BD交于点O,且BD=6,
    ∴AC=BD=6,
    ∴OA=OC=OB=OD=3,
    ∴,
    故答案为:.
    【即学即练】如图,在平面直角坐标系xOy中,直线AB过点A(-3,0),B(0,3),⊙O的半径为1(O为坐标原点),点P在直线AB上,过点P作⊙O的一条切线PQ,Q为切点,则切线长PQ的最小值为____.
    【答案】
    【详解】解:连接、.
    是的切线,

    根据勾股定理知,
    当时,线段最短;
    又,,,,




    故答案为:.
    【典例16】如图,△ABC是⊙O的内接三角形,AE是⊙O的直径,AF是⊙O的弦,且AF⊥BC,垂足为D.若BE=6,AB=8.
    (1)求证:BE=CF;
    (2)若∠ABC=∠EAC,求AC的长.
    【答案】(1)见解析
    (2)
    【详解】(1)证明:∵AE是⊙O的直径,
    ∴∠ABE=90°,
    ∴∠BAE+∠BEA=90°,
    ∵AF⊥BC,
    ∴∠ADC=90°,
    ∴∠ACD+∠CAD=90°,
    ∵,
    ∴∠BEA=∠ACD,
    ∴∠BAE=∠CAD,
    ∴弧BE=弧FC
    ∴BE=CF.
    (2)解:连接OC,如图所示:
    ∴∠AOC=2∠ABC,
    ∵∠ABC=∠CAE,
    ∴∠AOC=2∠CAE,
    ∵OA=OC,
    ∴∠CAO=∠ACO=∠AOC,
    ∵,
    ∴,
    ∴△AOC是等腰直角三角形,
    ∵BE=6,AB=8,∠ABE=90°
    ∴,
    ∴AO=CO=5,
    ∴.
    【即学即练】接BD和CD.
    (1)求证:.
    (2),,,求AD.
    (3)在(2)的条件下,求阴影部分的面积.
    【答案】(1)见解析
    (2)
    (3)
    【详解】(1)证明:如图,连接,
    ∵I为三角形ABC的内心,
    ,,


    ,,




    (2)如图,过点作于,过点作于点,
    ,,,则,
    ,,则,



    ,,


    过点,作的垂线,垂足分别为,如图,
    I为三角形ABC的内心,

    设,

    即,
    解得,
    中,,


    (3)如图,设为三角形ABC的外接圆的圆心,连接,



    ,且,

    是等边三角形,

    圆的半径为,

    考法05 与圆的切线相关的证明与计算
    【典例17】下列命题中的真命题是( )
    ①相等的角是对顶角 ②矩形的对角线互相平分且相等 ③垂直于半径的直线是圆的切线 ④顺次连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形.
    A.①②B.②③C.③④D.②④
    【答案】D
    【详解】①相等的角不一定是对顶角,故①错误;
    ②矩形的对角线互相平分且相等,故②正确;
    ③经过半径外端并且垂直于半径的直线是圆的切线,故③错误;
    ④顺次连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形,故④正确,
    所以正确的是②④,
    故选D.
    【即学即练】下列命题中,
    ①直径是弦;
    ②平分弦的直径必垂直于弦;
    ③相等的圆心角所对的弧相等;
    ④等弧所对的弦相等.
    ⑤经过半径的一端并垂直于半径的直线是圆的切线.正确的个数为( )
    A.1个B.2个C.3个D.4个
    【答案】B
    【详解】解:直径是圆中最长的弦,所以①正确;
    平分弦(非直径)的直径必垂直于弦,所以②错误;
    在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所以③错误;
    等弧所对的弦相等.所以④正确;
    经过半径的外端并垂直于半径的直线是圆的切线.所以⑤错误.
    故选B.
    【典例18】如图,点B在⊙A上,点C在⊙A外,以下条件不能判定BC是⊙A切线的是( )
    A.∠A=50°,∠C=40°B.∠B﹣∠C=∠A
    C.AB2+BC2=AC2D.⊙A与AC的交点是AC中点
    【答案】D
    【详解】解:A、∵∠A=50°,∠C=40°,
    ∴∠B=180°﹣∠A﹣∠C=90°,
    ∴BC⊥AB,
    ∵点B在⊙A上,
    ∴AB是⊙A的半径,
    ∴BC是⊙A切线;
    B、∵∠B﹣∠C=∠A,
    ∴∠B=∠A+∠C,
    ∵∠A+∠B+∠C=180°,
    ∴∠B=90°,
    ∴BC⊥AB,
    ∵点B在⊙A上,
    ∴AB是⊙A的半径,
    ∴BC是⊙A切线;
    C、∵AB2+BC2=AC2,
    ∴△ABC是直角三角形,∠B=90°,
    ∴BC⊥AB,
    ∵点B在⊙A上,
    ∴AB是⊙A的半径,
    ∴BC是⊙A切线;
    D、∵⊙A与AC的交点是AC中点,
    ∴AB=AC,但不能证出∠B=90°,
    ∴不能判定BC是⊙A切线;
    故选:D.
    【即学即练】如图,矩形ABCD中,G是BC的中点,过A、D、G三点的⊙O与边AB、CD分别交于点E、点F,给出下列判断:(1)AC与BD的交点是⊙O的圆心;(2)AF与DE的交点是⊙O的圆心;(3)AE=DF;(4)BC与⊙O相切,其中正确判断的个数是( )
    A.4B.3C.2D.1
    【答案】B
    【详解】解:连接DG、AG,作GH⊥AD于H,连接OD,如图,
    ∵G是BC的中点,
    ∴CG=BG,
    ∵CD=BA,根据勾股定理可得,
    ∴AG=DG,
    ∴GH垂直平分AD,
    ∴点O在HG上,
    ∵AD∥BC,
    ∴HG⊥BC,
    ∴BC与圆O相切;
    ∵OG=OD,
    ∴点O不是HG的中点,
    ∴圆心O不是AC与BD的交点;
    ∵∠ADF=∠DAE=90°,
    ∴∠AEF=90°,
    ∴四边形AEFD为⊙O的内接矩形,
    ∴AF与DE的交点是圆O的圆心;AE=DF;
    ∴(1)错误,(2)(3)(4)正确.
    故选:B.
    【典例19】在正方形ABCD中,以AB为直径做半圆,过点D做DE切圆O于点F,交BC于点E,正方形的边长为2,求阴影面积______.
    【答案】1.5
    【详解】∵四边形ABCD正方形,
    ∴AD⊥AB,BC⊥AB,∠C=90°,
    ∵AB是⊙O的直径,
    ∴AD,BC是⊙O的切线,
    ∵DE切圆O于点F,交BC于点E,
    ∴BE=EF,AD=DF=2,
    设CE=x,则BE=EF=2-x,DE=DF+EF=4-x,
    在Rt△CDE中,由勾股定理得,

    ∴,
    解得x=1.5,
    ∴CE=1.5,
    ∴阴影面积=,
    故答案为:1.5
    【即学即练】如图,在△ABC中,AC=BC,以BC为直径的半圆O交AC于D,交AB于E,连接BD,CE交于点F,经过点E作EG⊥BC于G,交BD于H,过点E作EM⊥AC于M.则下列结论:①BE=EM;②∠ECA=∠BEG;③EH=BF;④EM是⊙O的切线.其中正确的结论是_____.(填写所有正确结论的序号)
    【答案】②③④
    【详解】解:∵BC为⊙O直径,
    ∴∠BEC=90°,即BE⊥EC,
    又∵AC=BC,
    ∴AE=BE,
    ∵EM⊥AC,
    ∴EM<AE,
    ∴BE>EM,
    故①错误;
    连接OE.
    ∵由以上证明过程得到CE是等腰△ABC的中垂线,则∠BCE=∠ECA,故∠BCE=∠DCE,
    ∴,
    ∴OE⊥BD,
    ∵BC是直径,
    ∴BD⊥AC
    又∵EM⊥AC,
    ∴,
    ∴EM⊥OE,
    ∴EM是切线.
    故④正确;
    ∵在直角△EBC中,EG⊥BC,∠BEC=90°,
    ∴,
    ∴∠ECG=∠BEG,
    又∵∠BCE=∠ECA,即∠ECG=∠ECA
    ∴∠ECA=∠BEG.
    故②正确;
    ∵∠EBD=∠ECD(同弧所对的圆周角相等),∠BEG=∠ECA(已证),
    ∴∠EBH=∠BEH,
    ∴BH=EH,
    ∵∠BEG+∠GEC=∠EBD+∠EFB=90°,
    ∴∠HEF=∠HFE,
    ∴EH=FH,
    ∴EH=FH=BH=BF,即EH=BF.
    故③正确.
    故答案为:②③④.
    【典例20】如图,已知 AB、AC 分别为⊙O 的直径和弦,D 为弧 BC 的中点,DE⊥AC 于 E,DE=6,AC=16.
    (1)求证:DE 是⊙O 的切线;
    (2)求直径AB的长.
    【答案】(1)见解析
    (2)20
    【详解】(1)证明:如图,连接OD,BC;
    ∵AB为⊙O的直径,
    ∴BC⊥AC,
    ∵DE⊥AC,
    ∴BCDE;
    ∵D为弧BC的中点,
    ∴OD⊥BC,
    ∴OD⊥DE.
    ∴DE是⊙O的切线.
    (2)设BC与DO交于点F,
    由(1)可得四边形CFDE为矩形;
    ∴CF=DE=6,
    ∵OD⊥BC,
    ∴BC=2CF=12,
    在Rt△ABC中,
    AB==20.
    【即学即练】如图,直线经过上的点C,并且,,交直线于E、D,连,.
    (1)求证:直线是的切线;
    (2)试猜想,,三者之间的等量关系,并加以证明;
    (3)若,的直径为5,求的长.
    【答案】(1)见解析
    (2),理由见解析
    (3)6.5
    【详解】(1)证明:连接OC,
    ∵OA=OB,CA=CB,
    ∴OC⊥AB,
    ∵OC是的半径,
    ∴AB是的切线;
    (2)解:,理由如下:
    ∵ED是直径,
    ∴∠ECD=90°.
    ∴∠E+∠EDC=90°,
    ∵∠BCD+∠OCD=90°,∠OCD=∠ODC,
    ∴∠BCD=∠E,
    又∵∠CBD=∠EBC,
    ∴△BCD∽△BEC,
    ∴,
    ∴;
    (3)解:∵,
    ∴,
    ∵△BCD∽△BEC,
    ∴,
    设BD=2x,则BC=3x,
    ∵,
    ∴,
    解得:x=2或0(舍去),
    ∴BD=2x=4,
    ∵的直径为5,
    ∴OD=2.5,
    ∴OA=OB=BD+OD=6.5.课程标准
    (1)理解圆及其有关概念,理解弧、弦、圆心角的关系,探索并了解点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系,探索并掌握圆周角与圆心角的关系、直径所对的圆周角的特征;
    (2)了解切线的概念,探索并掌握切线与过切点的半径之间的位置关系,能判定一条直线是否为圆的切线,会过圆上一点画圆的切线;
    (3)了解三角形的内心和外心,探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆;
    (4)了解正多边形的概念,掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法;会计算弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积及全面积;
    (5)结合相关图形性质的探索和证明,进一步培养合情推理能力,发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力;通过这一章的学习,进一步培养综合运用知识的能力,运用学过的知识解决问题的能力.
    名称
    确定方法
    图形
    性质
    外心(三角形外接圆的圆心)
    三角形三边中垂线的交点
    (1)OA=OB=OC;(2)外心不一定在三角形内部
    内心(三角形内切圆的圆心)
    三角形三条角平分线的交点
    (1)到三角形三边距离相等;(2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB;
    (3)内心在三角形内部.

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