人教版九年级数学下册同步讲义专题第2课 实际问题与反比例函数（教师版）

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知识精讲
知识点01 利用反比例函数解决实际问题
基本思路：建立函数模型，即在实际问题中求得函数解析式，然后应用函数的图象和性质等知识解决问题.
一般步骤如下：
（1）审清题意，根据常量、变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示.
（2）由题目中的已知条件，列出方程，求出待定系数.
（3）写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围.
（4）利用函数解析式、函数的图象和性质等去解决问题.
知识点02 反比例函数在其他学科中的应用
1、当圆柱体的体积一定时，圆柱的底面积是高的反比例函数；
2、当工程总量一定时，做工时间是做工速度的反比例函数；
3、在使用杠杆时，如果阻力和阻力臂不变，则动力是动力臂的反比例函数；
4、电压一定，输出功率是电路中电阻的反比例函数.
能力拓展
考法01 反比例函数实际问题与图象
【典例1】一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”图案，如图所示．设小矩形的长、宽分别为，剪去部分的面积为，若，则与的函数图象是（ ）
【答案】A；
【解析】根据题意求出函数的解析式，应该是反比例函数的一部分.
【总结升华】对于函数图象的判断题，应首先求出函数解析式，分清函数的类型，然后再选择对应的图象，同时在实际问题中应注意自变量的取值范围.
【即学即练1】设从泉港到福州乘坐汽车所需的时间是t（小时），汽车的平均速度为v（千米/时），则下面大致能反映v与t的函数关系的图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D；
提示：设从泉港到福州的路程为k千米，依题意，得vt=k，
所以v=（v＞0，t＞0），
则函数图象为双曲线在第一象限的部分．
故选D．
考法02 利用反比例函数解决实际问题
【典例2】心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的变化规律如下图所示（其中AB、BC分别为线段，CD为双曲线的一部分）：
（1）开始上课后第五分钟时与第三十分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？
（2）一道数学竞赛题，需要讲19分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到36，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？
【思路点拨】（1）先用代定系数法分别求出AB和CD的函数表达式，再分别求第五分钟和第三十分钟的注意力指数，最后比较判断；
（2）分别求出注意力指数为36时的两个时间，再将两时间之差和19比较，大于19则能讲完，否则不能．
【答案与解析】
解：（1）设线段AB所在的直线的解析式为y1=k1x+20，
把B（10，40）代入得，k1=2，
∴y1=2x+20．
设C、D所在双曲线的解析式为y2=，
把C（25，40）代入得，k2=1000，
∴
当x1=5时，y1=2×5+20=30，
当，
∴y1＜y2
∴第30分钟注意力更集中．
（2）令y1=36，
∴36=2x+20，
∴x1=8
令y2=36，
∴，
∴
∵27.8﹣8=19.8＞19，
∴经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目．
【总结升华】主要考查了函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值．
【即学即练2】为了预防“非典”，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒. 已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量(毫克)与时间(分钟)成正比例，药物燃烧完后，与成反比例(如图所示)，现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克. 请根据题中所提供的信息解答下列问题：
①药物燃烧时关于的函数关系式为__________ ___，自变量 的取值范围是____________ ___；药物燃烧后关于的函数关系式为_________________.
②研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过______分钟后，学生才能回到教室；
③研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10 分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？
【答案】①药物燃烧时， 是的正比例函数，药物燃烧后，与成反比例，
利用待定系数法即可求出函数的解析式:，0≤≤8，，；
②当空气中每立方米的含药量等于1.6毫克时，求出所对应的时间:把＝1.6代人到中，得＝30，则至少经过30分钟后，学生才能回到教室；
③把＝3分别代人到和中，得＝4和＝16，
16－4＝12，12＞10，所以此次消毒有效.
【典例3】南宁市某生态示范村种植基地计划用90亩～120亩的土地种植一批葡萄，原计划总产量要达到36万斤．
（1）列出原计划种植亩数（亩）与平均每亩产量（万斤）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）为了满足市场需求，现决定改良葡萄品种．改良后平均每亩产量是原计划的1.5倍，总产量比原计划增加了9万斤，种植亩数减少了20亩，原计划和改良后的平均每亩产量各是多少万斤？
【思路点拨】（1）直接根据亩产量、亩数及总产量之间的关系得到函数关系式即可；（2）根据题意列出－＝20后求解即可．
【答案与解析】
解：（1）由题意知：＝36，故（≤≤）
（2）根据题意得：－＝20
解得：＝0.3
经检验，x=0.3是原方程的解.
1.5＝0.45（万斤）
答：改良前亩产0.3万斤，改良后亩产0.45万斤．
【总结升华】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是从复杂的实际问题中整理出反比例函数模型，并利用其解决实际问题．
【典例4】如图，是药品研究所所测得的某种新药在成人用药后，血液中的药物浓度y（微克/毫升）用药后的时间x（小时）变化的图象（图象由线段OA与部分双曲线AB组成）．并测得当y=a时，该药物才具有疗效．若成人用药4小时，药物开始产生疗效，且用药后9小时，药物仍具有疗效，则成人用药后，血液中药物浓则至少需要多长时间达到最大度？
【思路点拨】利用待定系数法分别求出直线OA与双曲线的函数解析式，再令它们相等得出方程，解方程即可求解．
【答案与解析】
解：设直线OA的解析式为y=kx，
把（4，a）代入，得a=4k，解得k=，
即直线OA的解析式为y=x．
根据题意，（9，a）在反比例函数的图象上，
则反比例函数的解析式为y=．
当x=时，解得x=±6（负值舍去），
故成人用药后，血液中药物则至少需要6小时达到最大浓度．
【总结升华】本题考查了反比例函数的应用，直线与双曲线交点的求法，利用待定系数法求出关系式是解题的关键．
分层提分
题组A 基础过关练
一.选择题
1．已知压强的计算公式是P=，我们知道，刀具在使用一段时间后，就好变钝，如果刀刃磨薄，刀具就会变得锋利．下列说法中，能正确解释刀具变得锋利这一现象的是（ ）
A．当受力面积一定时，压强随压力的增大而增大
B．当受力面积一定时，压强随压力的增大而减小
C．当压力一定时，压强随受力面积的减小而减小
D．当压力一定时，压强随受力面积的减小而增大
【答案】D．
【解析】解：因为菜刀用过一段时间后，刀刃比原来要钝一些，切菜时就感到费力，
磨一磨，根据压强公式P=，是在压力一定时，减小了受力面积，来增大压强，
所以切菜时，用同样大小的力，更容易把菜切断，切菜时不至于那么费力．
2. 现有一水塔，水塔内装有水，如果每小时从排水管中放水,则要经过小时求可以把水放完.该函数的图象应是如图所示中的（ ）
【答案】C；
【解析】由题意知，.
3．在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，测出每一次加压后缸内气体的体积和气体对汽缸壁所产生的压强，如下表：
则可以反映与之间的关系的式子是( )．
A.＝3000B. ＝6000C.D.
【答案】D；
4．某一数学课外兴趣小组的同学每人制作一个面积为200的矩形学具进行展示．设矩形的宽为，长为，那么这些同学所制作的矩形的长与宽之间的函数关系的图象大致是( )
【答案】A；
5．下列各问题中两个变量之间的关系，不是反比例函数的是( )
A.小明完成百米赛跑时，所用时间t(s)与他的平均速度v()之间的关系
B.长方形的面积为24，它的长与宽之间的关系
C.压力为600N时，压强P(Pa)与受力面积S()之间的关系
D.一个容积为25L的容器中，所盛水的质量与所盛水的体积V(L)之间的关系
【答案】D；
6.某品牌的饮水机接通电源就进入自动程序：开机加热到水温100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温（℃）与开机后用时（min）成反比例关系，直至水温降至30℃，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为30℃时，接通电源后，水温y（℃）和时间x（min）的关系如图所示，水温从100℃降到35℃所用的时间是（ ）
A．27分钟 B．20分钟 C．13分钟 D. 7分钟
【答案】C；
【解析】∵开机加热时每分钟上升10℃，∴从30℃到100℃需要7分钟，
设一次函数关系式为：y=k1x+b，
将（0，30），（7，100）代入y=k1x+b得k1=10，b=30
∴y=10x+30（0≤x≤7），令y=50，解得x=2；
设反比例函数关系式为：y=，
将（7，100）代入y=得k=700，∴y=，
将y=35代入y=，解得x=20；
∴水温从100℃降到35℃所用的时间是20﹣7=13分钟，故选C．
题组B 能力提升练
7．甲、乙两地间的公路长为300，一辆汽车从甲地去乙地，汽车在途中的平均速度为v()，到达时所用的时间为t(h)，那么t是v的______函数，v关于t的函数关系式为______．
【答案】反比例；；
8．农村常需要搭建截面为半圆形的全封闭蔬菜塑料暖房(如图所示)，则需要塑料布与半径R()的函数关系式是(不考虑塑料埋在土里的部分)__________________．
【答案】．
9. 某种蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流I(A)与可变电阻R(Ω)之间的函数关系如图所示，当用电器的电流为10A时，用电器的可变电阻为________Ω．
【答案】3.6；
【解析】设电流I与电阻R的关系式为，把(9，4)代入关系式得：＝36．
所以关系式为，当I＝10时，R＝3.6(Ω)．
10．如图所示的是一蓄水池每小时的排水量V（）与排完水池中的水所用的时间t(h)之间的函数图象．
(1)根据图象可知此蓄水池的蓄水量为______；
(2)此函数的解析式为____________；
(3)若要在6h内排完水池中的水，那么每小时的排水量至少应该是______；
(4)如果每小时的排水量是5，那么水池中的水需要______h排完．
【答案】(1)48； (2)； (3)8； (4)9.6．
11.随着私家车的增加，城市的交通也越来越拥挤，通常情况下，某段高架桥上车辆的行驶速度y（千米/时）与高架桥上每百米拥有车的数量x（辆）的关系如图所示，当x≥10时，y与x成反比例函数关系，当车速度低于20千米/时，交通就会拥堵，为避免出现交通拥堵，高架桥上每百米拥有车的数量x应该满足的范围是 ．
【答案】0＜x＜40；
提示：设反比例函数的解析式为：y=，
则将（10，80），代入得：y=，
故当车速度为20千米/时，则20=，
解得：x=40，
故高架桥上每百米拥有车的数量x应该满足的范围是：0＜x＜40．
12.一定质量的二氧化碳，当体积为5时，密度为1.98，要使体积增加4，则它的密度为______.
【答案】1.1；
【解析】二氧化碳的质量为1.98×5＝9.9，.
题组C 培优拔尖练
13.湖州市菱湖镇某养鱼专业户准备挖一个面积为2000平方米的长方形鱼塘．
（1）求鱼塘的长y（米）关于宽x（米）的函数表达式；
（2）由于受场地的限制，鱼塘的宽最多只能挖20米，当鱼塘的宽是20米，鱼塘的长为多少米？
【解析】
解：（1）由长方形面积为2000平方米，得到xy=2000，即y=；
（2）当x=20（米）时，y==100（米），
则当鱼塘的宽是20米时，鱼塘的长为100米．
14. 你吃过拉面吗？实际上做拉面的过程中，渗透着数学知识：一定体积的面团做成拉面，面条的总长度是面条粗细(横截面积))的反比例函数，其图象如图所示．
(1)写出与S的函数关系式；
(2)求当面条粗1.6 时面条的总长度．
【解析】
解：(1)因为拉面总长度与面条的粗细(横截面积) 成反比例函数，故设其关系式为，又由于图象过P(4，32)，
则，∴ ，
所以与S的函数关系式为．
(2)当S＝1.6时，，
故当面条粗1.6 时，面条的总长度是80 .
15.小王骑自行车以15千米/时的平均速度从甲地到乙地用了4小时．
（1）他坐在出租车从原路返回，出租车的平均速度v与时间t有怎样的函数关系？
（2）如果小王必须在40分钟之内赶回，则返程时的速度至少为多少？
【解析】
解：（1）设甲、乙两地的距离为s千米，由题意，得
s＝15×4＝60（千米）．所以v与t的函数解析式为．
（2）40＝小时，
把代入，得（千米/时）．
从结果可以看出，如果40分钟正好赶回，则速度为90千米/时，若少于40分钟赶回，则速度要超过90千米/时，即小王在40分钟之内赶回，速度至少为90千米/时．
课程标准
1. 能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，并能结合图象加深对问题的理解.
2．根据条件求出函数解析式，运用学过的函数知识解决反比例函数的应用问题，体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识.
体积
100
80
60
40
20
压强
60
75
100
150
300