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人教版九年级数学下册同步讲义专题第4课 图形的相似和比例线段（学生版）
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这是一份人教版九年级数学下册同步讲义专题第4课 图形的相似和比例线段（学生版），共6页。试卷主要包含了线段的比，成比例线段，比例的基本性质， 如图等内容，欢迎下载使用。
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知识精讲
知识点01 比例线段
1．线段的比：
如果选用同一长度单位量得两条线段a、b长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比是a:b=m:n ，或写成 ．
2．成比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果 ，如 ，我们就说这四条线段是成比例线段，简称 ．
3．比例的基本性质：
（1）若a:b=c:d ，则 ；
（2）若a:b=b:c ，则 （b称为a、c的比例中项）．
知识点02 相似图形
在数学上，我们把 称为相似图形(similar figures).
要点诠释：
(1) 相似图形就是指 ，但大小 相同的图形；
(2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形是全等；
知识点03 相似多边形
相似多边形的概念：如果两个多边形的 ，我们就说它们是相似多边形．
要点诠释：
（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．
（2）相似多边形对应边的比称为相似比．
能力拓展
考法01 比例线段
【典例1】求证：如果，那么.
【即学即练1】如果，那么的值是（ ）
A. B. C. D.
考法02 相似图形
【典例2】如果两个四边形的对应边成比例，能不能得出这两个四边形相似？为什么？
【即学即练2】 下面的四个图案是空心的矩形，正方形，等边三角形，不等边三角形，其中每个图案的边的宽度都相等，那么每个图案中边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是（ ）
考法02相似多边形
【典例3】一个矩形ABCD的较短边长为2．
（1）如图①，若沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，求它的另一边长；
（2）如图②，已知矩形ABCD的另一边长为4，剪去一个矩形ABEF后，余下的矩形EFDC与原矩形相似，求余下矩形EFDC的面积．
【即学即练3】等腰梯形与等腰梯形相似，，求出的长及梯形各角的度数.
【典例4】某小区有一块矩形草坪长20米，宽10米，沿着草坪四周要修一宽度相等的环形小路，使得小路内外边缘所成的矩形相似，你能做到吗？若能，求出这一宽度；若不能，说明理由.
分层提分
题组A 基础过关练
一．选择题
1. 在比例尺为1︰1 000 000的地图上，相距3cm的两地，它们的实际距离为( )
A．3 km B．30 km C．300 km D．3 000 km
2.若3a=2b，则的值为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知△ABC的三边长分别为6cm、7.5cm、9cm，△DEF的一边长为4cm，当△DEF的另两边的长是
下列哪一组时，这两个三角形相似( )
A．2cm，3cm B．4cm，5cm C．5cm，6cm D．6cm，7cm
4.△ABC与△A1B1C1相似且相似比为，△A1B1C1与△A2B2C2相似且相似比为，则△ABC与△A2B2C2的相似比为 ( )
A． B． C．或 D．
5.下列两个图形：① 两个等腰三角形；② 两个直角三角形；③ 两个正方形；④ 两个矩形；⑤ 两个菱形；⑥ 两个正五边形.其中一定相似的有（ ）
A. 2组 B. 3组 C. 4组 D. 5组
6.一个钢筋三角架三边长分别是20cm，50cm，60cm，现要做一个与其相似的三角架，只有长30cm，50cm的两根钢筋，要求以其中一根为一边，从另一根截下两段（允许有余料）做为其他两边，则不同的截法有（ ）
A.一种 B.两种 C.三种 D.四种
题组B 能力提升练
7. 在一张比例尺为1：5 000 000的地图上，甲、乙两地相距70毫米，此两地的实际距离为_________.
8. △ABC的三条边长分别为、2、，△A′B′C′的两边长分别为1和，且△ABC与△A′B′C′相似，那么△A′B′C′的第三边长为____________
9． 如图：梯形ADFE相似于梯形EFCB,若AD=3，BC=4，则
10.已知若若:=___.
11.如图：AB:BC=________,AB:CD=_________,BC:DE=________,AC:CD=__________,CD:DE=________.
12. 用一个放大镜看一个四边形ABCD，若四边形的边长被放大为原来的10倍，下列结论①放大后的∠B是原来∠B的10倍；②两个四边形的对应边相等；③两个四边形的对应角相等，
则正确的有 .
题组C 培优拔尖练
13.如果，一次函数经过点（-1,2），
求此一次函数解析式.
14. 如图，在矩形ABCD中，AB=2AD，线段EF=10，在EF上取一点M，分别以EM、MF为一边作矩形EMNH、MFGN，使矩形MFGN与矩形ABCD相似.令MN=x，当x为何值时，矩形EMNH的面积S有最大值？最大值是多少？
15.从一个矩形中剪去一个正方形，如图所示，若剩下的矩形与原矩形相似，求原矩形的长边与宽边比.
课程标准
1、能通过生活中的实例认识图形的相似，能通过观察直观地判断两个图形是否相似；
2、了解比例线段的概念及有关性质，探索相似图形的性质，知道两相似多边形的主要特征：对应角相等，对应边的比相等.明确相似比的含义；
3、知道两个相似的平面图形之间的关系，会根据相似多边形的特征识别两个多边形是否相似，并会运用性质进行相关的计算，提高推理能力.
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知识精讲
知识点01 比例线段
1．线段的比：
如果选用同一长度单位量得两条线段a、b长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比是a:b=m:n ，或写成 ．
2．成比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果 ，如 ，我们就说这四条线段是成比例线段，简称 ．
3．比例的基本性质：
（1）若a:b=c:d ，则 ；
（2）若a:b=b:c ，则 （b称为a、c的比例中项）．
知识点02 相似图形
在数学上，我们把 称为相似图形(similar figures).
要点诠释：
(1) 相似图形就是指 ，但大小 相同的图形；
(2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形是全等；
知识点03 相似多边形
相似多边形的概念：如果两个多边形的 ，我们就说它们是相似多边形．
要点诠释：
（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．
（2）相似多边形对应边的比称为相似比．
能力拓展
考法01 比例线段
【典例1】求证：如果，那么.
【即学即练1】如果，那么的值是（ ）
A. B. C. D.
考法02 相似图形
【典例2】如果两个四边形的对应边成比例，能不能得出这两个四边形相似？为什么？
【即学即练2】 下面的四个图案是空心的矩形，正方形，等边三角形，不等边三角形，其中每个图案的边的宽度都相等，那么每个图案中边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是（ ）
考法02相似多边形
【典例3】一个矩形ABCD的较短边长为2．
（1）如图①，若沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，求它的另一边长；
（2）如图②，已知矩形ABCD的另一边长为4，剪去一个矩形ABEF后，余下的矩形EFDC与原矩形相似，求余下矩形EFDC的面积．
【即学即练3】等腰梯形与等腰梯形相似，，求出的长及梯形各角的度数.
【典例4】某小区有一块矩形草坪长20米，宽10米，沿着草坪四周要修一宽度相等的环形小路，使得小路内外边缘所成的矩形相似，你能做到吗？若能，求出这一宽度；若不能，说明理由.
分层提分
题组A 基础过关练
一．选择题
1. 在比例尺为1︰1 000 000的地图上，相距3cm的两地，它们的实际距离为( )
A．3 km B．30 km C．300 km D．3 000 km
2.若3a=2b，则的值为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知△ABC的三边长分别为6cm、7.5cm、9cm，△DEF的一边长为4cm，当△DEF的另两边的长是
下列哪一组时，这两个三角形相似( )
A．2cm，3cm B．4cm，5cm C．5cm，6cm D．6cm，7cm
4.△ABC与△A1B1C1相似且相似比为，△A1B1C1与△A2B2C2相似且相似比为，则△ABC与△A2B2C2的相似比为 ( )
A． B． C．或 D．
5.下列两个图形：① 两个等腰三角形；② 两个直角三角形；③ 两个正方形；④ 两个矩形；⑤ 两个菱形；⑥ 两个正五边形.其中一定相似的有（ ）
A. 2组 B. 3组 C. 4组 D. 5组
6.一个钢筋三角架三边长分别是20cm，50cm，60cm，现要做一个与其相似的三角架，只有长30cm，50cm的两根钢筋，要求以其中一根为一边，从另一根截下两段（允许有余料）做为其他两边，则不同的截法有（ ）
A.一种 B.两种 C.三种 D.四种
题组B 能力提升练
7. 在一张比例尺为1：5 000 000的地图上，甲、乙两地相距70毫米，此两地的实际距离为_________.
8. △ABC的三条边长分别为、2、，△A′B′C′的两边长分别为1和，且△ABC与△A′B′C′相似，那么△A′B′C′的第三边长为____________
9． 如图：梯形ADFE相似于梯形EFCB,若AD=3，BC=4，则
10.已知若若:=___.
11.如图：AB:BC=________,AB:CD=_________,BC:DE=________,AC:CD=__________,CD:DE=________.
12. 用一个放大镜看一个四边形ABCD，若四边形的边长被放大为原来的10倍，下列结论①放大后的∠B是原来∠B的10倍；②两个四边形的对应边相等；③两个四边形的对应角相等，
则正确的有 .
题组C 培优拔尖练
13.如果，一次函数经过点（-1,2），
求此一次函数解析式.
14. 如图，在矩形ABCD中，AB=2AD，线段EF=10，在EF上取一点M，分别以EM、MF为一边作矩形EMNH、MFGN，使矩形MFGN与矩形ABCD相似.令MN=x，当x为何值时，矩形EMNH的面积S有最大值？最大值是多少？
15.从一个矩形中剪去一个正方形，如图所示，若剩下的矩形与原矩形相似，求原矩形的长边与宽边比.
课程标准
1、能通过生活中的实例认识图形的相似，能通过观察直观地判断两个图形是否相似；
2、了解比例线段的概念及有关性质，探索相似图形的性质，知道两相似多边形的主要特征：对应角相等，对应边的比相等.明确相似比的含义；
3、知道两个相似的平面图形之间的关系，会根据相似多边形的特征识别两个多边形是否相似，并会运用性质进行相关的计算，提高推理能力.
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