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人教版九年级数学下册同步讲义专题第4课 图形的相似和比例线段(教师版)
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这是一份人教版九年级数学下册同步讲义专题第4课 图形的相似和比例线段(教师版),共9页。试卷主要包含了线段的比,成比例线段,比例的基本性质, 如图等内容,欢迎下载使用。
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知识精讲
知识点01 比例线段
1.线段的比:
如果选用同一长度单位量得两条线段a、b长度分别是m、n,那么就说这两条线段的比是a:b=m:n ,或写成.
2.成比例线段:对于四条线段a、b、c、d,如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等,如a:b=c:d,我们就说这四条线段是成比例线段,简称比例线段.
3.比例的基本性质:
(1)若a:b=c:d ,则ad=bc;
(2)若a:b=b:c ,则 =ac(b称为a、c的比例中项).
知识点02 相似图形
在数学上,我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures).
要点诠释:
(1) 相似图形就是指形状相同,但大小不一定相同的图形;
(2) “全等”是“相似”的一种特殊情况,即当“形状相同”且“大小相同”时,两个图形是全等;
知识点03 相似多边形
相似多边形的概念:如果两个多边形的对应角相等,对应边的比相等,我们就说它们是相似多边形.
要点诠释:
(1)相似多边形的定义既是判定方法,又是它的性质.
(2)相似多边形对应边的比称为相似比.
能力拓展
考法01 比例线段
【典例1】求证:如果,那么.
【思路点拨】这是比例的合比性质,利用等式的性质得到证明.
【答案与解析】 ∵,
在等式两边同加上1,
∴ ,
∴ .
【总结升华】比例有合比性质如果,;
分比性质如果,;
更比性质如果,.
【即学即练1】如果,那么的值是( )
A. B. C. D.
【答案】B;
提示:∵, ∴==. 故选B.
考法02 相似图形
【典例2】如果两个四边形的对应边成比例,能不能得出这两个四边形相似?为什么?
【答案与解析】从我们日常生活的直观经验中可以得出结论.两个四边形对应边成比例,这两个四边形不一定相似,如下图,边长是6的正方形和边长是2的菱形,它们对应边之比都是3,但它们形状并不一样,因而也不相似.
【总结升华】多边形的相似要满足两个条件:(1)对应角相等,(2)对应边的比相等.
【即学即练2】 下面的四个图案是空心的矩形,正方形,等边三角形,不等边三角形,其中每个图案的边的宽度都相等,那么每个图案中边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是( )
【答案】A
考法02相似多边形
【典例3】一个矩形ABCD的较短边长为2.
(1)如图①,若沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似,求它的另一边长;
(2)如图②,已知矩形ABCD的另一边长为4,剪去一个矩形ABEF后,余下的矩形EFDC与原矩形相似,求余下矩形EFDC的面积.
【答案与解析】解:(1)由已知得MN=AB=2,MD=AD=BC,
∵沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似,
∴矩形DMNC与矩形ABCD相似,=,
∴DM•BC=AB•MN,即BC2=4,
∴BC=2,即它的另一边长为2;
(2)∵矩形EFDC与原矩形ABCD相似,
∴=,
∵AB=CD=2,BC=4,
∴DF==1,
∴矩形EFDC的面积=CD•DF=2×1=2.
【总结升华】本题考查相似多边形的性质:相似多边形对应边的比相等.
【即学即练3】等腰梯形与等腰梯形相似,,求出的长及梯形各角的度数.
【答案】∵等腰梯形与等腰梯形相似
【典例4】某小区有一块矩形草坪长20米,宽10米,沿着草坪四周要修一宽度相等的环形小路,使得小路内外边缘所成的矩形相似,你能做到吗?若能,求出这一宽度;若不能,说明理由.
【思路点拨】四边形相似要满足角对应相等,边对应成比例.
【答案与解析】设小路宽为x米,则小路的外边缘围成的矩形的长为(20+2x)米,宽为(10+2x)米,
将两个矩形的长与宽分别相比,得长的比为,
而宽的比为,
很明显,
所以做不到.
【总结升华】通过本题的探索可以发现:把一个矩形的长和宽同时增加或减小相同的长度,所得矩形与 原来矩形一定不相似.因为.
分层提分
题组A 基础过关练
一.选择题
1. 在比例尺为1︰1 000 000的地图上,相距3cm的两地,它们的实际距离为( )
A.3 km B.30 km C.300 km D.3 000 km
【答案】B
【解析】图上距离︰实际距离=1:1 000 000.
2.若3a=2b,则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵3a=2b, ∴,
设a=2k,则b=3k,
则
故选A.
3. 已知△ABC的三边长分别为6cm、7.5cm、9cm,△DEF的一边长为4cm,当△DEF的另两边的长是
下列哪一组时,这两个三角形相似( )
A.2cm,3cm B.4cm,5cm C.5cm,6cm D.6cm,7cm
【答案】C
【解析】 设△DEF的另两边的长分别为xcm,ycm,因为△ABC与△DEF相似,所以有下列几种情况:
当时,解得;
当时,解得;
当时,解得;所以选C.
4.△ABC与△A1B1C1相似且相似比为,△A1B1C1与△A2B2C2相似且相似比为,则△ABC与△A2B2C2的相似比为 ( )
A. B. C.或 D.
【答案】A
【解析】 相似比AB︰A1B1=,A1B1︰A2B2=,计算出AB︰A2B2.
5.下列两个图形:① 两个等腰三角形;② 两个直角三角形;③ 两个正方形;④ 两个矩形;⑤ 两个菱形;⑥ 两个正五边形.其中一定相似的有( )
A. 2组 B. 3组 C. 4组 D. 5组
【答案】A
【解析】只有两个正方形和正五边形相似.
6.一个钢筋三角架三边长分别是20cm,50cm,60cm,现要做一个与其相似的三角架,只有长30cm,50cm的两根钢筋,要求以其中一根为一边,从另一根截下两段(允许有余料)做为其他两边,则不同的截法有( )
A.一种 B.两种 C.三种 D.四种
【答案】B
题组B 能力提升练
7. 在一张比例尺为1:5 000 000的地图上,甲、乙两地相距70毫米,此两地的实际距离为_________.
【答案】350千米.
【解析】设甲、乙两地的实际距离为xmm,
1:5000000=70:x,
解得x=350000000.
350000000mm=350千米. 即甲乙两地的实际距离为350千米.
8. △ABC的三条边长分别为、2、,△A′B′C′的两边长分别为1和,且△ABC与△A′B′C′相似,那么△A′B′C′的第三边长为____________
【答案】
【解析】提示:△A′B′C′已知两边之比为1:,在△ABC中找出两边、,它们长度之比也为1︰,根据相似三角形对应边的对应关系,求出相似比.
9. 如图:梯形ADFE相似于梯形EFCB,若AD=3,BC=4,则
【答案】 .
【解析】因为梯形ADFE相似于梯形EFCB,所以,即EF=,
所以
10.已知若若:=___.
【答案】
11.如图:AB:BC=________,AB:CD=_________,BC:DE=________,AC:CD=__________,CD:DE=________.
【答案】1:3;1:2;1:2;2:1;1:3.
12. 用一个放大镜看一个四边形ABCD,若四边形的边长被放大为原来的10倍,下列结论①放大后的∠B是原来∠B的10倍;②两个四边形的对应边相等;③两个四边形的对应角相等,
则正确的有 .
【答案】 ③
题组C 培优拔尖练
13.如果,一次函数经过点(-1,2),
求此一次函数解析式.
【解析】∵
∴
∴
则分两种情况:(1),即,
(2),即
所以当,过点(-1,2)时,
当,过点(-1,2)时,.
14. 如图,在矩形ABCD中,AB=2AD,线段EF=10,在EF上取一点M,分别以EM、MF为一边作矩形EMNH、MFGN,使矩形MFGN与矩形ABCD相似.令MN=x,当x为何值时,矩形EMNH的面积S有最大值?最大值是多少?
【解析】∵矩形MFGN与矩形ABCD相似
当时,S有最大值,为.
15.从一个矩形中剪去一个正方形,如图所示,若剩下的矩形与原矩形相似,求原矩形的长边与宽边比.
【解析】根据矩形相似的性质找出相应的解析式求解.
设原矩形的长为x,宽为y,则剩下矩形的长为y,宽为x-y
由题意,得
令则,
.(又a>0),
∴原矩形的长与宽之比为 .
课程标准
1、能通过生活中的实例认识图形的相似,能通过观察直观地判断两个图形是否相似;
2、了解比例线段的概念及有关性质,探索相似图形的性质,知道两相似多边形的主要特征:对应角相等,对应边的比相等.明确相似比的含义;
3、知道两个相似的平面图形之间的关系,会根据相似多边形的特征识别两个多边形是否相似,并会运用性质进行相关的计算,提高推理能力.
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