人教版九年级数学下册同步讲义专题第6课 相似三角形的性质及应用（教师版）

这是一份人教版九年级数学下册同步讲义专题第6课 相似三角形的性质及应用（教师版），共15页。试卷主要包含了视点等内容，欢迎下载使用。
目标导航
知识精讲
知识点01 相似三角形的性质
相似三角形的性质及应用
1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.
2. 相似三角形中的重要线段的比等于相似比.
相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.
要点诠释：
要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.
3. 相似三角形周长的比等于相似比
∽，则
由比例性质可得：
4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方
∽，则分别作出与的高和，则
要点诠释：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的.
知识点02 相似三角形的应用
1.测量高度
测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决.
相似三角形的性质及应用
要点诠释：测量旗杆的高度的几种方法：
平面镜测量法 影子测量法 手臂测量法 标杆测量法
2.测量距离
测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。
1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长.
2．如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长.

要点诠释：
1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离;
2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比;
3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）;
4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角．
能力拓展
考法01 相似三角形的性质
【典例1】如图，在▱ABCD中，点E在边BC上，点F在边AD的延长线上，且DF=BE，EF与CD交于点G．
（1）求证：BD∥EF；
（2）若=，BE=4，求EC的长．
【思路点拨】（1）根据平行四边的判定与性质，可得答案；
（2）根据相似三角形的判定与性质，可得答案．
【答案】B.
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．
∵DF=BE，
∴四边形BEFD是平行四边形，
∴BD∥EF；
（2）∵四边形BEFD是平行四边形，
∴DF=BE=4．
∵DF∥EC，
∴△DFG∽CEG，
∴=，
∴CE==4×=6．
【总结升华】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用了平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质．
【即学即练1】在锐角△ABC中，AD,CE分别为BC,AB边上的高，△ABC和△BDE的面积分别等于18和2，DE=2,求AC边上的高.
【答案】过点B做BF⊥AC,垂足为点F，
∵AD,CE分别为BC,AB边上的高，
∴∠ADB=∠CEB=90°，
又∵∠B=∠B，
∴Rt△ADB∽Rt△CEB,
∴,
且∠B=∠B，
∴△EBD∽△CBA,
∴,
∴,
又∵DE=2，
∴AC=6，
∴
【典例2】已知：如图，在△ABC与△CAD中，DA∥BC，CD与AB相交于E点，
且AE︰EB=1︰2，EF∥BC交AC于F点，△ADE的面积为1，求△BCE和△AEF的面积．

【答案与解析】∵DA∥BC，
∴△ADE∽△BCE．
∴S△ADE:S△BCE=AE2:BE2．
∵AE︰BE=1:2，
∴S△ADE:S△BCE=1:4．
∵S△ADE=1，
∴S△BCE=4．
∵S△ABC:S△BCE=AB:BE=3:2，
∴S△ABC=6．
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC．
∵AE:AB=1:3，
∴S△AEF:S△ABC=AE2:AB2=1:9．
∴S△AEF==．
【总结升华】注意，同底(或等底)三角形的面积比等于该底上的高的比；同高(或等高)三角形的面积比等于对应底边的比．当两个三角形相似时，它们的面积比等于对应线段比的平方，即相似比的平方．
【即学即练2】如图，已知中，，，，，点在上， (与点不重合)，点在上.
(1)当的面积与四边形的面积相等时，求的长.
(2)当的周长与四边形的周长相等时，求的长.

【答案】 (1)∵，

∽

.
(2)∵的周长与四边形的周长相等.

=6，

∽

.

考法02 相似三角形的应用
【典例3】如图，直立在B处的标杆AB=2.4m，直立在F处的观测者从E处看到标杆顶A、树顶C在同一条直线上（点F，B，D也在同一条直线上）．已知BD=8m，FB=2.5m，人高EF=1.5m，求树高CD．
【答案与解析】解：过E作EH⊥CD交CD于H点，交AB于点G，如下图所示：
由已知得，EF⊥FD，AB⊥FD，CD⊥FD，
∵EH⊥CD，EH⊥AB，
∴四边形EFDH为矩形，
∴EF=GB=DH=1.5米，EG=FB=2.5米，GH=BD=8米，
∴AG=AB﹣GB=2.4﹣1.5=0.9米，
∵EH⊥CD，EH⊥AB，
∴AG∥CH，
∴△AEG∽△CEH，
∴=，
∴=，
解得：CH=3.78米，
∴DC=CH+DH=3.78+1.5=5.28米．
答：故树高DC为5.2米．
【总结升华】本题考查了相似三角形在实际问题中的运用，关键是正确作出辅助线，构造出相似三角形．
【即学即练3】已知：如图，阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下1.5m宽的亮区DE.亮区一边到窗下的墙脚距离CE=1.2m，窗口高AB=1.8m，求窗口底边离地面的高度BC.

【答案】作EF⊥DC交AD于F.
∵AD∥BE，∴
又∵，
∴，
∴.
∵AB∥EF， AD∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∴EF=AB=1.8m.
∴m.
【典例4】如图，正方形ABCB1中，AB=1．AB与直线l的夹角为30°，延长CB1交直线l于点A1，作正方形A1B1C1B2，延长C1B2交直线l于点A2，作正方形A2B2C2B3，延长C2B3交直线l于点A3，作正方形A3B3C3B4，…，依此规律，则A2014A2015= ．
【思路点拨】本题考查相似三角形的判定与性质以及正方形的性质，根据已知条件得到A1B1=，AA1=2，同理：A2A3=2（）2，A3A4=2（）3，从而找出规律答案即可求出．菁优
【答案与解析】2（）2014
解：∵四边形ABCB1是正方形，
∴AB=AB1，AB∥CB1，
∴AB∥A1C，
∴∠CA1A=30°，
∴A1B1=，AA1=2，
∴A1B2=A1B1=，
∴A1A2=2，
同理：A2A3=2（）2，
A3A4=2（）3，
…
∴AnAn+1=2（）n，
∴A2014A2015=2（）2014，
故答案为：2（）2014．
【总结升华】本题是相似性质的运用与找规律相结合的一道题，要注意从特殊到一般形式的变换规律.
分层提分
题组A 基础过关练
1．如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值（ ）
A．只有1个 B．可以有2个 C．有2个以上，但有限 D．有无数个
【答案】B.
【解析】x可能是斜边，也可能是直角边.
2. 若平行四边形ABCD中，AB＝10，AD＝6，E是AD的中点，在AB上取一点F，使△CBF∽△CDE，则BF的长为（ ）．
A．1.8 B．5 C．6或4 D．8或2
【答案】A.
3. 已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为，则△ABC与△DEF对应中线的比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A.
【解析】∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为，∴△ABC与△DEF对应中线的比为.
4．如图G是△ABC的重心，直线过A点与BC平行.若直线CG分别与AB、交于D、E两点，直线BG与AC交于 F点，则△AED的面积 ：四边形ADGF的面积=( )
A．1：2 B．2：1 C．2：3 D．3：2

【答案】D.
5.如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BA的延长线上，点F在BC的延长线上，连接EF，分别交AD，CD于点G，H，则下列结论错误的是（ ）
A．=B．=C．=D．=
【答案】C.
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BF，BE∥DC，AD=BC，
∴，，，
故选C．
6．如图，在□ABCD中，E为CD上一点，DE：CE=2：3，连结AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则
S△DEF：S△EBF：S△ABF等于( )
A.4：10：25 B.4：9：25 C.2：3：5 D.2：5：25

【答案】 A.
【解析】 □ABCD中，AB∥DC，△DEF∽△ABF，

(△DEF与△EBF等高，面积比等于对应底边的比)，所以答案选A.
题组B 能力提升练
7.将一副三角板按图叠放，则△AOB与△DOC的面积之比等于 ．
【答案】1：3.
【解析】∵∠ABC=90°，∠DCB=90°
∴AB∥CD，∴∠OCD=∠A，∠D=∠ABO，
∴△AOB∽△COD；又∵AB：CD=BC：CD= 1：
∴△AOB与△DOC的面积之比等于1：3．
8.如图，△ABC中，点D在边AB上，满足∠ADC=∠ACB,若AC=2，AD=1，则DB=_________.
【答案】3.
【解析】 ∵∠ADC=∠ACB，∠DAC=∠BAC,∴△ACD∽△ABC,∴AB=
∴BD=AB-AD=4-1=3.
9.如图，在△PAB中，M、N是AB上两点，且△PMN是等边三角形，△BPM∽△PAN，则∠APB的度数是
_______________.
【答案】120°.
【解析】∵ △BPM∽△PAN，∴ ∠BPM＝∠A，
∵ △PMN是等边三角形，∴ ∠A+∠APN＝60°，即∠APN+∠BPM＝60°，
∴ ∠APB＝∠BPM+∠MPN+∠APN＝60°+60°=120°．
10. 若△ABC与△DEF相似且面积之比为25：16，则△ABC与△DEF的周长之比为 ．
【答案】5：4．
【解析】∵△ABC与△DEF相似且面积之比为25：16，
∴△ABC与△DEF的相似比为5：4；
∴△ABC与△DEF的周长之比为5：4．
11. 如图，丁轩同学在晚上由路灯AC走向路灯BD，当他走到点P时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部，当他向前再步行20m到达Q点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部，已知丁轩同学的身高是1.5m，两个路灯的高度都是9m，则两路灯之间的距离是_________________
【答案】30m.
12.如图，锐角△ABC中，AD,CE分别为BC,AB边上的高，△ABC和△BDE的面积分别等于18和2，DE=2，
则AC边上的高为______________.
【答案】 6.
【解析】∵AD,CE分别为BC,AB边上的高,
∴∠ADB=∠BEC=90°，∠ABD=∠EBC
∴Rt△ABD∽Rt△CBE
∴，
∴△ABC∽△DBE
∵相似三角形面积比为相似比的平方，
∴= 9, ∴=3 ,
∴AC=3DE=3×2=6
∴h=2S△ABC/AC=2×18/6=6
即AC边上的高是6 .
题组C 培优拔尖练
13. 为了测量图（1）和图（2）中的树高，在同一时刻某人进行了如下操作：
图（1）：测得竹竿CD的长为0.8米，其影CE长1米，树影AE长2.4米．
图（2）：测得落在地面的树影长2.8米，落在墙上的树影高1.2米，请问图（1）和图（2）中的树高各是多少？
【解析】（1）∵△CDE∽△ABE，∴，
又竹竿CD的长为0.8米，其影CE长1米，树影AE长2.4米，
∴ AB=1.92米．即图1的树高为1.92米．
（2）设墙上的影高落在地面上时的长度为x，树高为h，
∵竹竿CD的长为0.8米，其影CE长1米，
∴
解得x=1.5（m），
∴树的影长为：1.5+2.8=4.3（m），
∴
解得h=3.44（m）．
14.某车库出口处设置有“两段式栏杆”，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的连接点，当车辆经过时，栏杆AEF升起后的位置如图1所示（图2为其几何图形）．其中AB⊥BC，DC⊥BC，EF∥BC，∠EAB=150°，AB=AE=1.2m，BC=2.4m．
（1）求图2中点E到地面的高度（即EH的长．≈1.73，结果精确到0.01m，栏杆宽度忽略不计）；
（2）若一辆厢式货车的宽度和高度均为2m，这辆车能否驶入该车库？请说明理由．
【解析】解：（1）如图，作AM⊥EH于点M，交CD于点N，
则四边形ABHM和MHCN都是矩形，
∵∠EAB=150°，∴∠EAM=60°，
又∵AB=AE=1.2米，
∴EM=0.6≈0.6×1.73=1.038≈1.04（米），
∴EH≈2.24（米）；
（2）如图，在AE上取一点P，过点P分别作BC，CD的垂线，垂足分别是Q，R，PR交EH于点K，不妨设PQ=2米，
下面计算PR是否小于2米；
由上述条件可得EK=EH﹣PQ=0.24米，AM=0.6米，
∵PK∥AM，∴△EPK∽△EAM，
∴=，即=，
∴PK=0.08（米），
∴PR=PK+MN=PK+BC﹣AM=0.08+2.4﹣0.6
=1.8+0.08
≈1.94（米），
∵PR＜2米，∴这辆车不能驶入该车库．
15. 已知如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点E自A点出发，以每秒1cm的速度向D点前进，同时点F从D点以每秒2cm的速度向C点前进，若移动的时间为t，且0≤t≤6．
（1）当t为多少时，DE=2DF；
（2）四边形DEBF的面积是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是定值，请说明理由．
（3）以点D、E、F为顶点的三角形能否与△BCD相似？若能，请求出所有可能的t的值；若不能，请说明理由．

【解析】（1）由题意得：DE=AD-t=6-t，DF=2t，
∴6-t=2×2t，解得t=，
故当t=时，DE=2DF；
（2）∵矩形ABCD的面积为：12×6=72，S△ABE=×12×t=6t，
S△BCF=×6×（12-2t）=36-6t，
∴四边形DEBF的面积=矩形的面积-S△ABE-S△BCF=72-6t-36+6t=36，
故四边形DEBF的面积为定值.
（3）设以点D、E、F为顶点的三角形能与△BCD相似，
则或，
由ED=6-t，DF=2t，FC=12-2t，BC=6，
代入解得：t=3或t=1.2，
故当t=3或1.2时，以点D、E、F为顶点的三角形与△BCD相似．课程标准
1、探索相似三角形的性质，能运用性质进行有关计算；
2、通过典型实例认识现实生活中物体的相似，能运用图形相似的知识解决一些简单的实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）.