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人教版九年级数学下册同步讲义专题第7课 相似多边形及位似（教师版）
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这是一份人教版九年级数学下册同步讲义专题第7课 相似多边形及位似（教师版），共15页。试卷主要包含了位似图形定义，位似图形的性质， 作位似图形的步骤等内容，欢迎下载使用。
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知识精讲
知识点01 相似多边形
相似多边形的性质：
（1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．
（2）相似多边形的周长比等于相似比．
（3）相似多边形的面积比等于相似比的平方．
要点诠释：
用相似多边形定义判定特殊多边形的相似情况：
（1）对应角都相等的两个多边形不一定相似，如：矩形；
（2）对应边的比都相等的两个多边形不一定相似，如：菱形；
（3）边数相同的正多边形都相似，如：正方形，正五边形.
知识点02 位似
1.位似图形定义: 如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
2.位似图形的性质:
（1）位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；
（2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；
（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.
要点诠释：
（1）位似图形与相似图形的区别：
位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形.
（2）位似变换中对应点的坐标变化规律:在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.
3. 平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同：
图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的；而位似变换之后图形是放大或缩小的，是相似的．
4. 作位似图形的步骤
第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心；
第二步：作位似中心与各关键点连线；
第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例；
第四步：顺次连接各对应点.
要点诠释：
位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法.
知识点02 黄金分割
位似和黄金分割
定义：如图，将一条线段AB分割成大小两条线段AP、PB，若小段与大段的长度之比等于大段的长度与全长之比，即（此时线段AP叫作线段PB、AB的比例中项），则P点就是线段AB的黄金分割点（黄金点），这种分割就叫黄金分割．
要点诠释：
1.黄金分割值：设AB=1，AP=x，则BP=
∵
∴
∴
∴(舍负)
2.黄金三角形：顶角为36°的等腰三角形，它的底角为72°，恰好是顶角的2倍，人们称这种三角形为黄金三角形．
黄金三角形性质：底角平分线将其腰黄金分割．
能力拓展
考法01 相似多边形
【典例1】如图，矩形草坪长20m，宽16m,沿草坪四周有2m宽的环形小路，小路内外边缘所形成的两个矩形相似吗？为什么？
A
B
C
D
E
F
G
H
【答案与解析】
因为矩形的四个角都是直角，所以关键是看矩形ABCD与矩形EFGH的对应边的比是否相等.
，
而，∴
∴矩形ABCD与矩形EFGH的对应边的比不相等，因而它们不相似.
【总结升华】两个边数相同的多边形，必须同时满足“对应边的比都相等，对应角都相等”这两个条件才能相似，缺一不可.
【即学即练1】如图，一张矩形纸片ABCD的长AB=a，宽BC=b．将纸片对折，折痕为EF，所得矩形AFED与矩形ABCD相似，则a：b=（ ）
A. 2：1 B. ：1 C. 3： D. 3：2
【答案】B.
提示: ∵矩形纸片对折，折痕为EF，
∴AF=AB=a，
∵矩形AFED与矩形ABCD相似，
∴=，即=，
∴（）2=2，
∴=．故选B．
【典例2】如图，在长8cm，宽4cm 的矩形中截去一个矩形，使留下的矩形（阴影部分）与原矩形相似，那么留下的矩形的面积为（ ）．
A. 2cm B. 4cm C. 8cm D. 16cm
【答案】C.
【解析】设留下的矩形的宽为x，
∵留下的矩形与原矩形相似，
∴，
∴x=2，
∴留下的矩形的面积为：2×4=8（cm2）
故答案为：8．故选C．
【总结升华】本题主要考查了相似多边形的性质，在解题时要能根据相似多边形的性质列出方程是本题的关键．
考法02 位似
【典例3】利用位似图形的方法把五边形ABCDE放大1.5倍.
A
B
C
D
E
A1
B1
C1
D1
E1
【答案与解析】即是要画一个五边形A′B′C′D′E′，要与五边形ABCDE相似且相似比为1.5.
A
B
C
D
E
画法是：
1．在平面上任取一点O.
2．以O为端点作射线OA、OB、OC、OD、OE.
3．在射线OA、OB、OC、OD、OE上分别取点A′、B′、C′、D′、E′，使OA′:OA＝ OB′:OB＝OC′:OC＝OD′:OD＝OE′:OE＝1.5.
4．连结A′B′、B′C′、C′D′、D′E′、E′A′.
这样： EQ \f(A′B′,AB)＝ EQ \f(B′C′,BC)＝ EQ \f(C′D′,CD)＝ EQ \f(D′E′,DE)＝ EQ \f(A′E′,AE)＝1.5.
则五边形A′B′C′D′E′为所求. 另外一种情况，所画五边形跟原五边形分别在位似中心的两侧.
【总结升华】由本题可知，利用位似的方法，可以把一个多边形放大或缩小.
【典例4】如图，矩形OABC的顶点坐标分别为O（0，0），A（6，0），B（6，4），C（0，4）.画出以点O为位似中心，矩形OABC的位似图形OA ′ B ′ C ′ ，使它的面积等于矩形OABC面积的，并分别写出A′、B′、C′三点的坐标.
【答案与解析】
因为矩形OA′B′C′与矩形OABC是位似图形，面积比为1：4，所以它
们的位似比为1：2. 连接OB，
（1）分别取线段OA、OB、OC的中点A′、B′、C′，连接O A′、A′B′、B′C′、 C′O，矩形OA′B′C′就是所求的图形.
A′，B′，C′三点的坐标分别为A′（3，0），B′（3，2），C′（0，2）.
（2）分别在线段OA，OB，OC的反向延长线上截取O A″、O B″、O C″，使OA″=OA，OB″=OB，O C″=OC，连接 A″B″、B″C″，则矩形O A″B″C″为所求.
A″、B″、C″三点的坐标分别为A″（-3，0），B″（-3，-2），C″（0，-2）.
【总结升华】平面直角坐标系内画位似图形，若没有明确指出只画一个，一定要把两种情况都画在坐标系内，并写出两种坐标.
【即学即练2】在已知三角形内求作内接正方形．
【答案】
作法：
（1）在AB上任取一点G′，作G′D′⊥BC；
（2）以G′D′为边，在△ABC内作一正方形D′E′F′G′；
（3）连接BF′，延长交AC于F；
（4）作FG∥CB，交AB于G，从F、G分别作BC的垂线FE， GD；
∴四边形DEFG即为所求．
考法02 黄金分割
【典例5】求做黄金矩形（写出具体做题步骤）并证明.
【答案与解析】
宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．（心理测试表明：黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调，匀称的美感．）
黄金矩形的作法如下（如图所示）：
第一步：作一个正方形ABCD；
第二步：分别取AD，BC的中点M，N，连接MN；
第三步：以N为圆心，ND长为半径画弧，交BC的延长线于E；
第四步：过E作EF⊥AD，交AD的延长线于F．
即矩形DCEF为黄金矩形．
证明：在正方形ABCD中，取，
∵ N为BC的中点，
A
B
C
D
E
F
M
N
∴ ．
在中，
．
又∵ ，
∴ ．
∴ ．
故矩形DCEF为黄金矩形．
【总结升华】要求熟练掌握多边形相似的比例关系．会利用相似比，求未知线段的长度或比值．
【即学即练3】美是一种感觉，当人的肚脐是人的身高的黄金分割点时，人的下半身长与身高之比约为0.618，人的身段成为黄金比例，给人一种美感．某女士身高165cm，下半身长与身高的比值是0.60，为尽可能达到匀称的效果，她应穿高跟鞋的高度大约为（ ）
A.4cm B.5cm C.6cm D.8cm
【答案】D.
∵该女士身高165cm，下半身长与身高的比值是0.60，
∴此女士下半身长是165×0.60=99cm，
设需要穿的高跟鞋是xcm，根据黄金分割的定义得：
0.618，
解得：x≈8．
故选D．
分层提分
题组A 基础过关练
1.下面给出了相似的一些命题：
（1）菱形都相似；（2）等腰直角三角形都相似；（3）正方形都相似；（4）矩形都相
似；（5）正六边形都相似；其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【解析】（1）菱形的角不一定对应相等，故错误；
（2）（3）（5）符合相似的定义，故正确；
（4）对应边的比不一定相等．故错误．
故正确的是：（2）（3）（5）．故选B．
2.下列说法错误的是（ ）.
A.位似图形一定是相似图形.
B.相似图形不一定是位似图形.
C.位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.
D.位似图形中每组对应点所在的直线必相互平行.
【答案】D.
3.下列说法正确的是（ ）
A.分别在ABC的边AB、AC的反向延长线上取点D、E，使DE∥BC，则ADE
是ABC放大后的图形.
B.两位似图形的面积之比等于相似比.
C.位似多边形中对应对角线之比等于相似比.
D.位似图形的周长之比等于相似比的平方.
【答案】C.
4.平面直角坐标系中，有一条“鱼，它有六个顶点”，则（ ）
A.将各点横坐标乘以2，纵坐标不变，得到的鱼与原来的鱼位似.
B.将各点纵坐标乘以2，横坐标不变，得到的鱼与原来的鱼位似.
C.将各点横、纵坐标都乘以2，得到的鱼与原来的鱼位似.
D.将各点横坐标乘以2，纵坐标乘以，得到的鱼与原来的鱼位似.
【答案】C.
5.如图，四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，AB=12，CD=15，A1B1=9，则边C1D1的长是（ ）
A. 10 B. 12 C. D.
【答案】C．
【解析】∵四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，
∴=，
∵AB=12，CD=15，A1B1=9，
∴C1D1==．
6．如果点C为线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则下列各式不正确的是（ ）
A. AB：AC=AC：BC B. AC= C.AB= D.BC≈0.618AB
【答案】D.
【解析】∵AC＞BC，
∴AC是较长的线段，
根据黄金分割的定义可知：AB：AC=AC：BC，AC=, AB=
AC≈0.618AB．故选D．
7.已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=（ ）
A. B. C. D.2
【答案】B.
【解析】∵AB=1，
设AD=x，则FD=x-1，FE=1，
∵四边形EFDC与矩形ABCD相似，
∴，
，
解得,,（负值舍去），
经检验是原方程的解．故选B．
题组B 能力提升练
8. 如果两个位似图形的对应线段长分别为3cm和5cm，且较小图形周长为30cm，则较大图形周长为___ ___.
【答案】50cm.
9.已知ABC，以点A为位似中心，作出ADE，使ADE是ABC放大2倍的图形，则这样的图形可以作出______个，它们之间的关系是__________.
【答案】2个； 全等.
10．如图，以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形，已知OA=10cm，OA′=20cm，则五边形ABCDE的周长与五边形的周长的比值是__________．
【答案】1：2．
【解析】∵五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′位似，OA=10cm，OA′=20cm，
∴五边形ABCDE∽五边形A′B′C′D′E′，且相似比为：OA：OA′=10：20=1：2，
∴五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长的比为：OA：OA′=1：2．
故答案为：1：2．
11. △ABC中，D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，△ADE是△ABC缩小后的图形.若DE把△ABC的面积分成相等的两部分，则AD：AB=________.
【答案】 ；
【解析】由BC∥DE可得△ADE∽△ABC，所以，故.
12.图中的两个四边形相似，则x+y= ，α= ．
【答案】63，85°.
【解析】由于两个四边形相似，它们的对应边成比例，对应角相等，
∴ 18：4=x：8=y：6，解得x=36，y=27，则x+y=36+27=63．
∴a=360°﹣（77°+83°+115°）=85°．
故答案为63，85°．
13.如图（1），将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形AFBDCE，它的面积为1，取△ABC和△DEF各边中点，连接成正六角星形A1F1B1D1C1E1，如图（2）中阴影部分，取△A1B1C1和△D1E1F1各边中点，连接成正六角星形A2F2B2D2C2E2，如图（3）中阴影部分，如此下去…，则正六角星形A4F4B4D4C4E4的面积为__________________.
【答案】.
【解析】∵A1、F1、B1、D1、C1、E1分别是△ABC和△DEF各边中点，
∴正六角星形AFBDCE∽正六角星形A1F1B1D1C1E1，且相似比为2：1，
∵正六角星形AFBDCE的面积为1，
∴正六角星形A1F1B1D1C1E1的面积为，
同理可得，第三个六角形的面积为：=，
第四个六角形的面积为：，
故答案为：.
14. 如图，△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=36°，∠ABC的平分线与AC边的交点D为边AC的黄金分割点（AD＞DC），则BC=______________.
【答案】；
【解析】∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=72°，
又BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=36°，
∴∠BDC=72°，
∴BC=BD=AD，
∵D点是AC的黄金分割点，
∴BC=AD=4×=.
题组C 培优拔尖练
15.如图，D、E分别AB、AC上的点.
(1)如果DE∥BC，那么△ADE和 △ABC是位似图形吗？为什么？
(2)如果△ADE和 △ABC是位似图形，那么DE∥BC吗？为什么？
【答案与解析】
(1)△ADE和 △ABC是位似图形.理由是：
DE∥BC，所以∠ADE=∠B， ∠AED=∠C.所以△ADE∽△ABC，所以.
又因为 点A是△ADE和 △ABC的公共点，点D和点B是对应点，点E和点C
是对应点，直线BD与CE交于点A，所以△ADE和 △ABC是位似图形.
(2)DE∥BC.理由是：
因为△ADE和△ABC是位似图形，
所以△ADE∽△ABC
所以∠ADE=∠B
所以DE∥BC.
16.如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，连接EB，GD．
（1）求证：EB=GD；
（2）若∠DAB=60°，AB=2，AG=，求GD的长．
【答案与解析】
（1）证明：∵菱形AEFG∽菱形ABCD，
∴∠EAG=∠BAD，
∴∠EAG+∠GAB=∠BAD+∠GAB，
∴∠EAB=∠GAD，
∵AE=AG，AB=AD，
∴△AEB≌△AGD，
∴EB=GD；
（2）解：连接BD交AC于点P，则BP⊥AC，
∵∠DAB=60°，
∴∠PAB=30°，
∴BP=AB=1，
AP==，AE=AG=，
∴EP=2，
∴EB===，
∴GD=．
17. 如图1，矩形ODEF的一边落在矩形ABCO的一边上，并且矩形ODEF∽矩形ABCO，其相似比为1：4，矩形ABCO的边AB=4，BC=4．
（1）求矩形ODEF的面积；
（2）将图1中的矩形ODEF绕点O逆时针旋转一周，连接EC、EA，△ACE的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，请说明理由．
【答案与解析】
（1）∵矩形ODEF∽矩形ABCO，其相似比为1：4，
∴S矩形ODEF=S矩形ABCO=×4×4=；
（2）存在．
∵OE=
所以点E的轨迹为以点O为圆心，以2为半径的圆，
设点O到AC的距离为h，
AC=
∴8h=4×4，
解得h=2，
∴当点E到AC的距离为2+2时，△ACE的面积有最大值，
当点E到AC的距离为2-2时，△ACE的面积有最小值，
S最大=
S最小=
课程标准
1、掌握相似多边形的性质及应用；
2、了解图形的位似，知道位似变换是特殊的相似变换，能利用位似的方法，将一个图形放大或缩小；
3、了解黄金分割值及相关运算.
目标导航
知识精讲
知识点01 相似多边形
相似多边形的性质：
（1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．
（2）相似多边形的周长比等于相似比．
（3）相似多边形的面积比等于相似比的平方．
要点诠释：
用相似多边形定义判定特殊多边形的相似情况：
（1）对应角都相等的两个多边形不一定相似，如：矩形；
（2）对应边的比都相等的两个多边形不一定相似，如：菱形；
（3）边数相同的正多边形都相似，如：正方形，正五边形.
知识点02 位似
1.位似图形定义: 如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
2.位似图形的性质:
（1）位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；
（2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；
（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.
要点诠释：
（1）位似图形与相似图形的区别：
位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形.
（2）位似变换中对应点的坐标变化规律:在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.
3. 平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同：
图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的；而位似变换之后图形是放大或缩小的，是相似的．
4. 作位似图形的步骤
第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心；
第二步：作位似中心与各关键点连线；
第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例；
第四步：顺次连接各对应点.
要点诠释：
位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法.
知识点02 黄金分割
位似和黄金分割
定义：如图，将一条线段AB分割成大小两条线段AP、PB，若小段与大段的长度之比等于大段的长度与全长之比，即（此时线段AP叫作线段PB、AB的比例中项），则P点就是线段AB的黄金分割点（黄金点），这种分割就叫黄金分割．
要点诠释：
1.黄金分割值：设AB=1，AP=x，则BP=
∵
∴
∴
∴(舍负)
2.黄金三角形：顶角为36°的等腰三角形，它的底角为72°，恰好是顶角的2倍，人们称这种三角形为黄金三角形．
黄金三角形性质：底角平分线将其腰黄金分割．
能力拓展
考法01 相似多边形
【典例1】如图，矩形草坪长20m，宽16m,沿草坪四周有2m宽的环形小路，小路内外边缘所形成的两个矩形相似吗？为什么？
A
B
C
D
E
F
G
H
【答案与解析】
因为矩形的四个角都是直角，所以关键是看矩形ABCD与矩形EFGH的对应边的比是否相等.
，
而，∴
∴矩形ABCD与矩形EFGH的对应边的比不相等，因而它们不相似.
【总结升华】两个边数相同的多边形，必须同时满足“对应边的比都相等，对应角都相等”这两个条件才能相似，缺一不可.
【即学即练1】如图，一张矩形纸片ABCD的长AB=a，宽BC=b．将纸片对折，折痕为EF，所得矩形AFED与矩形ABCD相似，则a：b=（ ）
A. 2：1 B. ：1 C. 3： D. 3：2
【答案】B.
提示: ∵矩形纸片对折，折痕为EF，
∴AF=AB=a，
∵矩形AFED与矩形ABCD相似，
∴=，即=，
∴（）2=2，
∴=．故选B．
【典例2】如图，在长8cm，宽4cm 的矩形中截去一个矩形，使留下的矩形（阴影部分）与原矩形相似，那么留下的矩形的面积为（ ）．
A. 2cm B. 4cm C. 8cm D. 16cm
【答案】C.
【解析】设留下的矩形的宽为x，
∵留下的矩形与原矩形相似，
∴，
∴x=2，
∴留下的矩形的面积为：2×4=8（cm2）
故答案为：8．故选C．
【总结升华】本题主要考查了相似多边形的性质，在解题时要能根据相似多边形的性质列出方程是本题的关键．
考法02 位似
【典例3】利用位似图形的方法把五边形ABCDE放大1.5倍.
A
B
C
D
E
A1
B1
C1
D1
E1
【答案与解析】即是要画一个五边形A′B′C′D′E′，要与五边形ABCDE相似且相似比为1.5.
A
B
C
D
E
画法是：
1．在平面上任取一点O.
2．以O为端点作射线OA、OB、OC、OD、OE.
3．在射线OA、OB、OC、OD、OE上分别取点A′、B′、C′、D′、E′，使OA′:OA＝ OB′:OB＝OC′:OC＝OD′:OD＝OE′:OE＝1.5.
4．连结A′B′、B′C′、C′D′、D′E′、E′A′.
这样： EQ \f(A′B′,AB)＝ EQ \f(B′C′,BC)＝ EQ \f(C′D′,CD)＝ EQ \f(D′E′,DE)＝ EQ \f(A′E′,AE)＝1.5.
则五边形A′B′C′D′E′为所求. 另外一种情况，所画五边形跟原五边形分别在位似中心的两侧.
【总结升华】由本题可知，利用位似的方法，可以把一个多边形放大或缩小.
【典例4】如图，矩形OABC的顶点坐标分别为O（0，0），A（6，0），B（6，4），C（0，4）.画出以点O为位似中心，矩形OABC的位似图形OA ′ B ′ C ′ ，使它的面积等于矩形OABC面积的，并分别写出A′、B′、C′三点的坐标.
【答案与解析】
因为矩形OA′B′C′与矩形OABC是位似图形，面积比为1：4，所以它
们的位似比为1：2. 连接OB，
（1）分别取线段OA、OB、OC的中点A′、B′、C′，连接O A′、A′B′、B′C′、 C′O，矩形OA′B′C′就是所求的图形.
A′，B′，C′三点的坐标分别为A′（3，0），B′（3，2），C′（0，2）.
（2）分别在线段OA，OB，OC的反向延长线上截取O A″、O B″、O C″，使OA″=OA，OB″=OB，O C″=OC，连接 A″B″、B″C″，则矩形O A″B″C″为所求.
A″、B″、C″三点的坐标分别为A″（-3，0），B″（-3，-2），C″（0，-2）.
【总结升华】平面直角坐标系内画位似图形，若没有明确指出只画一个，一定要把两种情况都画在坐标系内，并写出两种坐标.
【即学即练2】在已知三角形内求作内接正方形．
【答案】
作法：
（1）在AB上任取一点G′，作G′D′⊥BC；
（2）以G′D′为边，在△ABC内作一正方形D′E′F′G′；
（3）连接BF′，延长交AC于F；
（4）作FG∥CB，交AB于G，从F、G分别作BC的垂线FE， GD；
∴四边形DEFG即为所求．
考法02 黄金分割
【典例5】求做黄金矩形（写出具体做题步骤）并证明.
【答案与解析】
宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．（心理测试表明：黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调，匀称的美感．）
黄金矩形的作法如下（如图所示）：
第一步：作一个正方形ABCD；
第二步：分别取AD，BC的中点M，N，连接MN；
第三步：以N为圆心，ND长为半径画弧，交BC的延长线于E；
第四步：过E作EF⊥AD，交AD的延长线于F．
即矩形DCEF为黄金矩形．
证明：在正方形ABCD中，取，
∵ N为BC的中点，
A
B
C
D
E
F
M
N
∴ ．
在中，
．
又∵ ，
∴ ．
∴ ．
故矩形DCEF为黄金矩形．
【总结升华】要求熟练掌握多边形相似的比例关系．会利用相似比，求未知线段的长度或比值．
【即学即练3】美是一种感觉，当人的肚脐是人的身高的黄金分割点时，人的下半身长与身高之比约为0.618，人的身段成为黄金比例，给人一种美感．某女士身高165cm，下半身长与身高的比值是0.60，为尽可能达到匀称的效果，她应穿高跟鞋的高度大约为（ ）
A.4cm B.5cm C.6cm D.8cm
【答案】D.
∵该女士身高165cm，下半身长与身高的比值是0.60，
∴此女士下半身长是165×0.60=99cm，
设需要穿的高跟鞋是xcm，根据黄金分割的定义得：
0.618，
解得：x≈8．
故选D．
分层提分
题组A 基础过关练
1.下面给出了相似的一些命题：
（1）菱形都相似；（2）等腰直角三角形都相似；（3）正方形都相似；（4）矩形都相
似；（5）正六边形都相似；其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【解析】（1）菱形的角不一定对应相等，故错误；
（2）（3）（5）符合相似的定义，故正确；
（4）对应边的比不一定相等．故错误．
故正确的是：（2）（3）（5）．故选B．
2.下列说法错误的是（ ）.
A.位似图形一定是相似图形.
B.相似图形不一定是位似图形.
C.位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.
D.位似图形中每组对应点所在的直线必相互平行.
【答案】D.
3.下列说法正确的是（ ）
A.分别在ABC的边AB、AC的反向延长线上取点D、E，使DE∥BC，则ADE
是ABC放大后的图形.
B.两位似图形的面积之比等于相似比.
C.位似多边形中对应对角线之比等于相似比.
D.位似图形的周长之比等于相似比的平方.
【答案】C.
4.平面直角坐标系中，有一条“鱼，它有六个顶点”，则（ ）
A.将各点横坐标乘以2，纵坐标不变，得到的鱼与原来的鱼位似.
B.将各点纵坐标乘以2，横坐标不变，得到的鱼与原来的鱼位似.
C.将各点横、纵坐标都乘以2，得到的鱼与原来的鱼位似.
D.将各点横坐标乘以2，纵坐标乘以，得到的鱼与原来的鱼位似.
【答案】C.
5.如图，四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，AB=12，CD=15，A1B1=9，则边C1D1的长是（ ）
A. 10 B. 12 C. D.
【答案】C．
【解析】∵四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，
∴=，
∵AB=12，CD=15，A1B1=9，
∴C1D1==．
6．如果点C为线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则下列各式不正确的是（ ）
A. AB：AC=AC：BC B. AC= C.AB= D.BC≈0.618AB
【答案】D.
【解析】∵AC＞BC，
∴AC是较长的线段，
根据黄金分割的定义可知：AB：AC=AC：BC，AC=, AB=
AC≈0.618AB．故选D．
7.已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=（ ）
A. B. C. D.2
【答案】B.
【解析】∵AB=1，
设AD=x，则FD=x-1，FE=1，
∵四边形EFDC与矩形ABCD相似，
∴，
，
解得,,（负值舍去），
经检验是原方程的解．故选B．
题组B 能力提升练
8. 如果两个位似图形的对应线段长分别为3cm和5cm，且较小图形周长为30cm，则较大图形周长为___ ___.
【答案】50cm.
9.已知ABC，以点A为位似中心，作出ADE，使ADE是ABC放大2倍的图形，则这样的图形可以作出______个，它们之间的关系是__________.
【答案】2个； 全等.
10．如图，以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形，已知OA=10cm，OA′=20cm，则五边形ABCDE的周长与五边形的周长的比值是__________．
【答案】1：2．
【解析】∵五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′位似，OA=10cm，OA′=20cm，
∴五边形ABCDE∽五边形A′B′C′D′E′，且相似比为：OA：OA′=10：20=1：2，
∴五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长的比为：OA：OA′=1：2．
故答案为：1：2．
11. △ABC中，D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，△ADE是△ABC缩小后的图形.若DE把△ABC的面积分成相等的两部分，则AD：AB=________.
【答案】 ；
【解析】由BC∥DE可得△ADE∽△ABC，所以，故.
12.图中的两个四边形相似，则x+y= ，α= ．
【答案】63，85°.
【解析】由于两个四边形相似，它们的对应边成比例，对应角相等，
∴ 18：4=x：8=y：6，解得x=36，y=27，则x+y=36+27=63．
∴a=360°﹣（77°+83°+115°）=85°．
故答案为63，85°．
13.如图（1），将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形AFBDCE，它的面积为1，取△ABC和△DEF各边中点，连接成正六角星形A1F1B1D1C1E1，如图（2）中阴影部分，取△A1B1C1和△D1E1F1各边中点，连接成正六角星形A2F2B2D2C2E2，如图（3）中阴影部分，如此下去…，则正六角星形A4F4B4D4C4E4的面积为__________________.
【答案】.
【解析】∵A1、F1、B1、D1、C1、E1分别是△ABC和△DEF各边中点，
∴正六角星形AFBDCE∽正六角星形A1F1B1D1C1E1，且相似比为2：1，
∵正六角星形AFBDCE的面积为1，
∴正六角星形A1F1B1D1C1E1的面积为，
同理可得，第三个六角形的面积为：=，
第四个六角形的面积为：，
故答案为：.
14. 如图，△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=36°，∠ABC的平分线与AC边的交点D为边AC的黄金分割点（AD＞DC），则BC=______________.
【答案】；
【解析】∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=72°，
又BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=36°，
∴∠BDC=72°，
∴BC=BD=AD，
∵D点是AC的黄金分割点，
∴BC=AD=4×=.
题组C 培优拔尖练
15.如图，D、E分别AB、AC上的点.
(1)如果DE∥BC，那么△ADE和 △ABC是位似图形吗？为什么？
(2)如果△ADE和 △ABC是位似图形，那么DE∥BC吗？为什么？
【答案与解析】
(1)△ADE和 △ABC是位似图形.理由是：
DE∥BC，所以∠ADE=∠B， ∠AED=∠C.所以△ADE∽△ABC，所以.
又因为 点A是△ADE和 △ABC的公共点，点D和点B是对应点，点E和点C
是对应点，直线BD与CE交于点A，所以△ADE和 △ABC是位似图形.
(2)DE∥BC.理由是：
因为△ADE和△ABC是位似图形，
所以△ADE∽△ABC
所以∠ADE=∠B
所以DE∥BC.
16.如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，连接EB，GD．
（1）求证：EB=GD；
（2）若∠DAB=60°，AB=2，AG=，求GD的长．
【答案与解析】
（1）证明：∵菱形AEFG∽菱形ABCD，
∴∠EAG=∠BAD，
∴∠EAG+∠GAB=∠BAD+∠GAB，
∴∠EAB=∠GAD，
∵AE=AG，AB=AD，
∴△AEB≌△AGD，
∴EB=GD；
（2）解：连接BD交AC于点P，则BP⊥AC，
∵∠DAB=60°，
∴∠PAB=30°，
∴BP=AB=1，
AP==，AE=AG=，
∴EP=2，
∴EB===，
∴GD=．
17. 如图1，矩形ODEF的一边落在矩形ABCO的一边上，并且矩形ODEF∽矩形ABCO，其相似比为1：4，矩形ABCO的边AB=4，BC=4．
（1）求矩形ODEF的面积；
（2）将图1中的矩形ODEF绕点O逆时针旋转一周，连接EC、EA，△ACE的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，请说明理由．
【答案与解析】
（1）∵矩形ODEF∽矩形ABCO，其相似比为1：4，
∴S矩形ODEF=S矩形ABCO=×4×4=；
（2）存在．
∵OE=
所以点E的轨迹为以点O为圆心，以2为半径的圆，
设点O到AC的距离为h，
AC=
∴8h=4×4，
解得h=2，
∴当点E到AC的距离为2+2时，△ACE的面积有最大值，
当点E到AC的距离为2-2时，△ACE的面积有最小值，
S最大=
S最小=
课程标准
1、掌握相似多边形的性质及应用；
2、了解图形的位似，知道位似变换是特殊的相似变换，能利用位似的方法，将一个图形放大或缩小；
3、了解黄金分割值及相关运算.
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