人教版九年级数学下册同步讲义专题第10课 锐角三角函数（学生版）

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知识精讲
知识点01 锐角三角函数的概念
如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的 ，也叫做∠B的 ，∠B所对的边AC记为b ，叫做∠B的 ，也是∠A的 ，直角C所对的边AB记为c，叫做 ．

锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作 ，即 EMBED Equatin.DSMT4 ；
锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作 ，即 EMBED Equatin.DSMT4 ；
锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作 ，即 EMBED Equatin.DSMT4 .
同理 EMBED Equatin.DSMT4 ； EMBED Equatin.DSMT4 ； EMBED Equatin.DSMT4 ．
要点诠释：
(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值 ，角的度数变化时，比值也随之 ．
(2)sinA，csA，tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，
，不能理解成sin与∠A，cs与∠A，tan与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan∠AEF”，不能写成
“tanAEF”；另外，、、常写成、、．
(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．
(4)由锐角三角函数的定义知：
当角度在0°<∠A<90°间变化时， ， ， ．
知识点02 特殊角的三角函数值
利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，归纳如下：
要点诠释：
(1)通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角 ．
(2)仔细研究表中数值的规律会发现：
、、的值依次为、、，而、、的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为：
①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而 ；
②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而 ．
知识点02 锐角三角函数之间的关系
如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．
(1)互余关系： ， ；
(2)平方关系： ；
(3)倒数关系： 或；
(4)商数关系： ．
要点诠释：
锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．
能力拓展
考法01 锐角三角函数值的求解策略
【典例1】如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（ ）
A．2B．C．D．
【即学即练1】在中，，若，，则 ，
， ， ， ．
考法02 特殊角的三角函数值的计算
【典例2】求下列各式的值：
(1) 6tan230°﹣sin60°﹣2sin45°；
(2) sin60°﹣4cs230°+sin45°•tan60°；
(3) +tan60°﹣．
【即学即练2】在中，，若∠A=45°，则 ，
， ， ， ．
考法03 锐角三角函数之间的关系
【典例3】已知△ABC中的∠A与∠B满足（1﹣tanA）2+|sinB﹣|=0
（1）试判断△ABC的形状．
（2）求（1+sinA）2﹣2﹣（3+tanC）0的值．
考法04 锐角三角函数的拓展探究与应用
【典例4】如图所示，AB是⊙O的直径，且AB＝10，CD是⊙O的弦，AD与BC相交于点P，
若弦CD＝6，试求cs∠APC的值．


【典例5】通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad)．如图1①，在△ABC中，AB＝AC，顶角A的正对记作sadA，这时．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：
(1)sad60°＝________．
(2)对于0＜A＜180°，∠A的正对值sadA的取值范围是_______．
(3)如图1②，已知sinA＝，其中∠A为锐角，试求sadA的值．
分层提分
题组A 基础过关练
1. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，则下列结论不正确的是（ ）
A．B．C．D．
2.如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（ ）
A．2B．C．D．
3. 已知锐角α满足sin25°＝csα，则α＝( )
A．25° B．55° C．65° D．75°
4．如图所示，直径为10的⊙A经过点C(0，5)和点O(0，0)，B是y轴右侧⊙A优弧上一点，则∠OBC的余弦值为 ( )
A． B． C． D．
5．如图，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝4，AC＝2，则sinB的值是( )
A． B． C． D．
6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若将各边长度都扩大为原来的2倍，则∠A的正弦值( )
A．扩大2倍 B．缩小2倍 C．扩大4倍 D．不变
7．如图所示是教学用具直角三角板，边AC＝30cm，∠C＝90°，tan∠BAC＝，则边BC的长为( )
A．cm B．cm C．cm D．cm
8. 如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，若AC＝，BC＝2，则sin∠ACD的值为( )
A． B． C． D．
题组B 能力提升练
9．如图，点A（3，t）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα=，则t的值是 ．
10. 用不等号连接下面的式子．
(1)cs50°________cs20° (2)tan18°________tan21°
11．在△ABC中，若，∠A、∠B都是锐角，则∠C的度数为 .
12．如图所示，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sinA＝________．
13．已知：正方形ABCD的边长为2，点P是直线CD上一点，若DP＝1，则tan∠BPC的值是________．

第12题 第15题

14．如果方程的两个根分别是Rt△ABC的两条边，△ABC的最小角为A，那么tanA的值为________．
15．如图所示，△ABC的内心在y轴上，点C的坐标为(2，0)，点B的坐标是(0，2)，直线AC的解析式为，则tanA的值是________．
16.若α为锐角，且，则m的取值范围是 ．
题组C 培优拔尖练
17．如图所示，△ABC中，D为AB的中点，DC⊥AC，且∠BCD＝30°，
求∠CDA的正弦值、余弦值和正切值．
18. 计算下列各式的值．
(1) ；
(2) sin45°+tan45°﹣2cs60°．
(3) ﹣cs60°．
19．如图所示，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，AE＝BC，DF⊥AE，垂足为F，连接DE．
(1)求证：AB＝DF；
(2)若AD＝10，AB＝6，求tan∠EDF的值．
20. 如图所示，已知⊙O的半径为2，弦BC的长为，点A为弦BC所对优弧上任意一点(B、C两点除外)．
(1)求∠BAC的度数；
(2)求△ABC面积的最大值．
(参考数据：，，．

课程标准
1．结合图形理解记忆锐角三角函数定义；
2．会推算30°、45°、60°角的三角函数值，并熟练准确的记住特殊角的三角函数值；
3．理解并能熟练运用“同角三角函数的关系”及“锐角三角函数值随角度变化的规律”.
锐角
30°



45°



60°