人教版九年级数学下册同步讲义专题第13课 锐角三角函数单元检测（教师版）

这是一份人教版九年级数学下册同步讲义专题第13课 锐角三角函数单元检测（教师版），共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．已知，则锐角的度数是（ ）
A．75°B．60°C．45°D．30°
【答案】D
【解析】
【分析】
根据特殊角的三角函数值直接求解即可．
【详解】
∵A为锐角，且sinA=，
∴∠A=30.
故选D.
【点睛】
本题考查特殊角的三角函数值.
2．某楼梯的侧面如图所示，已测得BC的长约为3.5米，∠BCA约为29°，则该楼梯的高度AB可表示为( )
A．3.5sin29° B．3.5cs29° C．3.5tan29° D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由sin∠ACB= 得AB=BCsin∠ACB=3.5sin29°．
【详解】
解：在Rt△ABC中，
∵sin∠ACB=，
∴AB=BCsin∠ACB=3.5sin29°，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握正弦函数的定义是解题的关键．
3．如图，有一块三角形空地需要开发，根据图中数据可知该空地的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
延长BA，过C作CD⊥BA的延长线于点D，再根据补角的定义求出∠DAC的度数，由锐角三角函数的定义可求出CD的长，再根据三角形的面积公式求出此三角形的面积．
【详解】
解：延长BA，过C作CD⊥BA的延长线于点D，
∵∠BAC=120°，
∴∠DAC=180°-120°=60°，
∵AC=20m，
∴CD=AC•sin60°=20×=10（m），
∴S△ABC=AB•CD=×30×10=150（m2）．
故选B．
【点睛】
本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝24，AB＝25，CD是斜边AB上的高，则cs∠BCD的值为( )
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
根据同角的余角相等得∠BCD=∠A,利用三角函数即可解题.
【详解】
解：在中，
∵，,是斜边上的高，
∴∠BCD=∠A（同角的余角相等）,
∴=== ,
故选B.
【点睛】
本题考查了三角函数的余弦值,属于简单题,利用同角的余角相等得∠BCD=∠A是解题关键.
5．将如图所示三角板的直角顶点放置在直线AB上的点O处，使斜边CD∥AB，则∠α的正弦值为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】B
【分析】
根据斜边CD∥AB得到相关角的大小关系，即可求得∠α的正弦值.
【详解】
CD∥AB
sinα＝
故选B
【点睛】
此题重点考察学生对三角函数值的应用，熟悉两直线平行的性质是解题的关键.
6．如果某个斜坡的坡度是，那么这个斜坡的坡角为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
【答案】A
【分析】
根据坡角的正切=坡度，列式可得结果．
【详解】
设这个斜坡的坡角为α，
由题意得：tanα=1:.=，
∴α=30°；
故选A.
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键.
7．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC＝40°，AB＝7，则AC的长为( )
A．B．C．7cs 40°D．
【答案】D
【解析】
【分析】
在Rt△ABC中，利用余弦函数的定义可得cs∠BAC=，即AC=，将数值代入即可．
【详解】
解：∵在Rt△ABC中，∠B=90°，
∴cs∠BAC=，即AC=，
∵∠BAC=40°，AB=7，
∴AC=．
故选：D．
【点睛】
本题考查了解直角三角形，解直角三角形要用到的关系（在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）：
①锐角直角的关系：∠A+∠B=90°；
②三边之间的关系：a2+b2=c2；
③边角之间的关系：sinA=∠A的对边：斜边=a：c，csA=∠A的邻边：斜边=b：c，tanA=∠A的对边：∠A的邻边=a：b．
8．把Rt△ABC各边的长度都扩大3倍得到Rt△A′B′C′，对应锐角A，A′的正弦值的关系为( )
A．sinA＝3sinA′B．sinA＝sinA′C．3sinA＝sinA′D．不能确定
【答案】B
【分析】
根据相似三角形的性质，可得∠A=∠A′，根据锐角三角函数的定义，可得答案．
【详解】
解：由Rt△ABC各边的长度都扩大3倍的Rt△A′B′C′，得
Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，
∠A=∠A′，sinA=sinA′
故选B．
【点睛】
本题考查了锐角三角函数的定义，利用相似三角形的性质得出∠A=∠A′是解题关键．
9．在△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且，则关于△ABC的形状的说法错误的是（ ）
A．它不是直角三角形B．它是钝角三角形
C．它是锐角三角形D．它是等腰三角形
【答案】C
【分析】
先根据特殊角的三角函数值求出∠A、∠B的度数，再根据三角形内角和定理求出∠C即可作出判断．
【详解】
∵△ABC中,∠A、∠B都是锐角,sinA＝,csB＝，
∴∠A＝∠B＝30°.
∴∠C＝180°−∠A−∠B＝180−30°−30°＝120°.
故选C.
【点睛】
本题主要考查特殊角三角函数值，熟悉掌握是关键．
10．如图所示，AB为斜坡，D是斜坡AB上一点，斜坡AB的坡度为i，坡角为α，AC⊥BM于C，下列式子：①i＝AC∶AB；②i＝(AC－DE)∶EC；③i＝tanα＝；④AC＝i·BC.其中正确的有( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【解析】
【分析】
根据坡度的定义i=tanα==解答即可．
【详解】
AC⊥BM于点C，DE⊥BC于E，
∴i=tanα===
∴AC=iBC，DE=iBE，
∴AC−DE=iBC−iBE=CEi，
∴i=
∴②③④正确，
故选C.
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，熟记坡度的定义是解题的关键.
二、填空题
11．中，，，，则________度．
【答案】
【分析】
先根据勾股定理求出b的值，再根据三角形的三边关系判断出其形状，进而求出∠B的度数．
【详解】
∵Rt△ABC中，∠C=90°，
∴b==20，
∴Rt△ABC是等腰直角三角形，∠B=45°.
故答案为45.
【点睛】
本题考查解直角三角形，根据勾股定理求边长作对比是解题的关键.
12．如图，为了测量河对岸的旗杆的高度，在点处测得旗杆顶端的仰角为，沿方向前进米到达处，在处测得旗杆顶端的仰角为，则旗杆的高度是________米．
【答案】
【分析】
利用AB表示出BC，BD．让BC减去BD等于5即可求得AB长．
【详解】
设AB=x.
∴BC=AB÷tan∠ACB=x，BD=AB÷tan∠ADB=x.
∴CD=BC−BD=(−1)x=5.
解可得：x=.
故答案为.
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键.
13．如图，为了测量铁塔AB高度，在离铁塔底部（点B）60米的C处，测得塔顶A的仰角为30°，那么铁塔的高度AB=________米．
【答案】20
【分析】
在Rt△ABC中,直接利用tan∠ACB=tan30°==即可.
【详解】
在Rt△ABC中，tan∠ACB=tan30°==,BC=60，解得AB=20.
故答案为20.
【点睛】
本题考查的知识点是解三角形的实际应用，解题的关键是熟练的掌握解三角形的实际应用.
14．青岛位于北纬，在冬至日的正午时分，太阳的入射角为，因此在规划建设楼高为米的小区时，两楼间的最小间距为________米，才能保证不挡光．
【答案】
【解析】
【分析】
本题就是已知直角三角形的一个锐角和一边，求另一边的问题．
【详解】
设楼间距最小为x米，
∴ct3030′=，
∴x=20ct3030′.
故答案为.
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用-方向角问题.
15．王小勇操纵一辆遥控汽车从处沿北偏西方向走到处，再从处向正南方走到处，此时遥控汽车离处________．
【答案】
【分析】
首先根据题意画出图形，在Rt△ABD中，利用三角函数的知识即可求得AD与BD的长，继而求得CD的长，然后由勾股定理求得答案．
【详解】
如图所示：根据题意得：∠B=60°，AB=10m，BC=20m，
∴在Rt△ABD中,AD=AB⋅sin60°=5 (m),BD=AB⋅cs60°=5(m)，
∴CD=BC−BD=15(m).
∴在Rt△CDA中,AC= =10 (m).
故答案为10.
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用-方向角问题，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键.
16．如图，一条细绳系着一个小球在平面内摆动、已知细绳的长度为厘米，当小球摆动到最高位置时，细绳偏转的角度为，那么小球在最高位置与最低位置时的高度差为________厘米（用所给数据表示即可）．
【答案】
【解析】
【分析】
当小球在最高位置时，过小球作小球位置最低时细绳的垂线，在构建的直角三角形中，可根据偏转角的度数和细绳的长度，求出小球最低位置时的铅直高度，进而可求出小球在最高位置与最低位置时的高度差．
【详解】
解：如图：过A作AB⊥OC于B．
Rt△OAB中，OA=20厘米，∠AOB=28°，
∴OB=OA•cs28°=20×cs28°．
∴BC=OC-OB=20-20×cs28°=20（1-cs28°）．
故答案为：
【点睛】
此题考查了解直角三角形的应用，主要是余弦概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题是解题的关键．
17．已知∠B是△ABC中最小的内角，则tanB的取值范围是_______．
【答案】0＜tanB≤
【解析】
【分析】
在三角形中，最小的内角应不大于60度，找到相应的正切值即可，再根据tan60°=和一个锐角的正弦值随着角的增大而增大，进行分析．
【详解】
解：根据三角形的内角和定理，易知三角形的最小内角不大于60°．
根据题意，知：
0°＜∠B≤60°．
又tan60°=，
∴0＜tanB≤．
故答案为: 0＜tanB≤
【点睛】
此题主要考查了三角形的内角和定理、特殊角的锐角三角函数值和锐角三角函数值的变化规律，得出0°＜∠B≤60°是解题关键．
18．如图所示，在△ABC中，∠A=30°，tanB=，BC=，则AB的长为________．
【答案】
【分析】
作,把三角形分解成两个直角三角形. 在中求CD的长,进而求出BD;在中利用的正切求出AD的长.即可求解.
【详解】
作于D.
设,根据题意.
解得x＝1.
.
,
.
.
【点睛】
此题主要考查了解直角三角形，涉及的知识有:锐角三角函数定义，勾股定理，利用了转化及方程的思想，作出相应的辅助线是本题的突破点
19．如图：为了测量河对岸旗杆的高度，在点处测得顶端的仰角为，沿方向前进达到处，在点测得旗杆顶端的仰角为，则旗杆的高度为________．(精确到)
【答案】
【解析】
【分析】
利用AB表示出BC，BD，根据BC减去BD等于20，即可求得AB长．
【详解】
解：设AB=xm，
∵在点C处测得顶端A的仰角为30°，
∴AC=2xm，则BC=x，
∵在D点测得旗杆顶端A的仰角为45°，
∴AB=BD=xm，
∴CD=BC-BD=（ -1）x=20．
解得：x==10（+1）≈27.3（米）．
故答案为：27.3米．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用中的仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
20．如图，把一台电视机（底面为矩形）放置于墙角的电视柜（其桌面为矩形）上，若，电视机长厘米，则的长为________厘米．
【答案】
【分析】
根据矩形的性质得出∠DAG=60°进而利用锐角三角函数关系得出DG的长．
【详解】
∵矩形ABCD，∠BAF=30°，
∴∠DAG=60°，
∵AD=62厘米，
∴DG的长为：DG=ADsin60°=62×=31（cm）．
故答案为31．
【点睛】
此题主要考查了解直角三角形，得出DG=ADsin60°是解题关键．
三、解答题
21．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝，b＝，解这个直角三角形．
【答案】c＝2；∠A＝60°；∠B＝30°.
【解析】
【分析】
由直角三角形中，两直角边a与b的长，利用勾股定理求出斜边c的长，然后利用锐角三角函数定义求出sinA和sinB的值，由∠A和∠B都为锐角，利用特殊角的三角函数求出∠A和∠B的度数即可．
【详解】
解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝，b＝，
∴根据勾股定理，得c＝＝2，
∴sinA＝，sinB＝，
又∵∠A和∠B都为锐角，
∴∠A＝60°，∠B＝30°.
故答案为: c＝2；∠A＝60°；∠B＝30°.
【点睛】
此题属于解直角三角形的题型，涉及的知识有：勾股定理，锐角三角函数定义，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握勾股定理，牢记特殊角的三角函数值是解本题的关键．
22．求值：
(1)；
已知，求的值．
【答案】（1）0；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据特殊角的三角函数值及互余两角三角函数值相互间的关系计算．
（2）根据同角三角函数值相互间的关系计算．
【详解】
（1）原式（）2﹣11=0；
（2）∵tanA=2，∴=2，∴sinA=2csA，∴原式===．
【点睛】
本题考查了特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主．
23．如图是某一过街天桥的示意图，天桥高为米，坡道倾斜角为，在距点米处有一建筑物．为方便行人上下天桥，市政部门决定减少坡道的倾斜角，但要求建筑物与新坡角处之间地面要留出不少于米宽的人行道．
若将倾斜角改建为（即），则建筑物是否要拆除？（ ）
若不拆除建筑物，则倾斜角最小能改到多少度（精确到）？
【答案】（1）建筑物要拆除；（2）倾斜角最小能改到．
【解析】
【分析】
（1）分别在△CAO和△CBO中，求出AO、BO的长度，最后比较AO＋3与OE的长度，进行判断；
（2）若不拆除建筑物DE，则OA最长可以是11−3＝8m，在Rt△CAO中，求出∠CAO的度数．
【详解】
解：当时，
在中，
∵，，
∴，
在中，
∵，
∴，
∵，因此建筑物要拆除；
若不拆除建筑物，则最长可以是，
在中，
∵，，
∴，
因此倾斜角最小能改到．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据题意构造直角三角形，利用三角函数的知识求解．
24．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝2.求AB的长．
【答案】3+
【解析】
【分析】
如图，过点C作CD⊥AB于D，根据勾股定理，在Rt△CDB中求得CD，AD的长，然后在Rt△CDB中求得BD的长即可得到答案.
【详解】
解：如图，过点C作CD⊥AB于D，
在Rt△ADC中 ，
∵∠A=30°，AC=2，
∴CD= ，
∵AD²+CD²=AC²，
∴AD²=AC²-CD²=(2)²-()²=9，
∴AD=3，
在Rt△CDB中，
∵∠B=45°，
∴CD=BD=，
∴AB=AD+BD=3+.
【点睛】
本题考点：解直角三角形，勾股定理.
25．如图，矩形是供一辆机动车停放的车位示意图，已知，，，请你计算车位所占的宽度约为多少米？（，结果保留两位小数）
【答案】车位所占的宽度约为米．
【解析】
【分析】
根据题意得出各角度数，再利用锐角三角函数关系求出即可．
【详解】
由题意可得：∠BCE=60，
故EC=BCcs60=1(m),FC=DCcs30=5×=，
则EF=EC+FC=1+≈5.33(m).
答：车位所占的宽度EF约为5.33米.
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用.
26．如图，某船以每小时海里的速度向正东方向航行，在点测得某岛在北偏东方向上，航行半小时后到达点测得该岛在北偏东方向上，已知该岛周围海里内有暗礁．
说明点是否在暗礁区域内；
若继续向东航行有无触礁的危险？请说明理由．
【答案】(1)点不在暗礁区域内；(2) 若继续向东航行船有触礁的危险．
【分析】
（1）求点B是否在暗礁区域内，其实就是求CB的距离是否大于16，如果大于则不在暗礁区域内，反之则在．可通过构造直角三角形来求CB的长，作CD⊥AB于点D，CD是直角三角形ACD和CBD的公共直角边，可先求出CD的长，再求出CB的长；
（2）本题实际上是问，C到AB的距离即CD是否大于16，如果大于则无触礁危险，反之则有，CD的值，（1）已经求出，只要进行比较即可．
【详解】
解：作于点，
设为，
在中，
∴．
．
在中，
∴．
∴．
∴点不在暗礁区域内；
∵，
∵，
∴若继续向东航行船有触礁的危险．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用-方向角问题，构造直角三角形是解题的关键.
27．如图，一勘测人员从点出发，沿坡角为的坡面以千米/时的速度行至点，用了分钟，然后沿坡角为的坡面以千米/时的速度到达山顶点，用了分钟．求山高（即的长度）及、两点的水平距离（即的长度）（精确到千米）．
【答案】山高为千米，、两点的水平距离为千米．
【解析】
【分析】
过D作DF⊥BC于F，分别利用坡角及三角函数求出BF，DE，AE，DF的值即可求得AC，BC的长．
【详解】
解：过D作DF⊥BC于F．则四边形DFCE为矩形，
∴BC=BF+FC=BF+DE=BD•cs15°+AD•cs20°=5××0.9659+3××0.9397≈1.44（千米）．
AC=AE+EC=AE+DF=AD•sin20°+BD•sin15°=3××0.3420+5××0.2588≈0.43（千米）．
答：山高为0.43千米，A、B两点的水平距离为1.44千米．
【点睛】
此题主要考查学生对坡度坡角的理解及三角函数的综合运用能力，正确应用锐角三角函数关系是解题关键．
28．地震后，全国各地纷纷捐款捐物，一架满载救援物资的飞机到达灾区的上空时，为了能准确空投救援物资，在A处测得空投动点C的俯角α=60°，测得地面指挥台的俯角β=30°，如果B、C两地间的距离是2000米，则此时飞机距地面的高度是多少米？（结果保留根号）

【答案】此时飞机距地面的高度是1000米．
【分析】
作AH⊥BC交BC的延长线于H，根据三角形的外角的性质得到∠BAC=30°，得到AC=BC=2000米，根据正弦的定义计算即可．
【详解】
作AH⊥BC交BC的延长线于H，
由题意得，∠ACH=60°，∠ABC=30°，
∴∠BAC=30°，
∴∠ABC=∠BAC，
∴AC=BC=2000米，
∴AH=AC•sin∠ACH=1000米，
答：此时飞机距地面的高度是1000米．
【点睛】
本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
29．在锐角△ABC中，AB=15，BC=14，S△ABC=84，求：（1）sinB的值； （2）tanC的值．
【答案】
【分析】
(1)过A作AD⊥BC于点D,利用面积公式求出高AD的长,即可求得sinB值；再从而求出BD、CD、AC的长,此时再求tanC的值就不那么难了.
【详解】
(1)过A作AD⊥BC于点D.
∵S△ABC＝BC⋅AD＝84，
∴×14×AD＝84，
∴AD＝12.
又∵AB＝15，
∴.
(2)通过上题的AD＝12，AB＝15，，
∴CD＝14－9＝5.
在中, ,
．
【点睛】
考查了锐角三角函数的定义,注意辅助线的添法和面积公式,解直角三角形公式的灵活应用.
30．如图所示,一幢楼房AB背后有台阶CD,台阶每层高0.2米,且AC=17.2米,设太阳光线与水平地面的夹角为α,当α=60°时,测得楼房在地面上的影长AE=10米,现有一只小猫睡在台阶MN上晒太阳.
(1)求楼房的高度约为多少米?(结果精确到0.1米)
(2)过了一会儿,当α=45°时,小猫还能不能晒到太阳?请说明理由.(参考数据:≈1.732)
【答案】（1）楼房的高度约为17.3米；（2）当α=45°时,小猫还能晒到太阳.
【分析】
（1）在Rt△ABE中，由tan 60°=，即可求出AB的长；
（2）假设没有台阶，当α=45°时，从点B射下的光线与地面AD的交点为点F，与MC的交点为点H．由∠BFA=45°，可得AF=AB=17.3米，那么CF=AF-AC=0.1米，CH=CF=0.1米，所以大楼的影子落在台阶MC这个侧面上，故小猫仍可以晒到太阳．
【详解】
解:(1)当α=60°时,在Rt△ABE中,
∵tan 60°=,
∴AB=10·tan 60°=10≈10×1.73=17.3米.
∴楼房的高度约为17.3米.
(2)当α=45°时,小猫还能晒到太阳.
理由:假设没有台阶,当α=45°时,从点B射下的光线与地面AD的交点为F,与MC的交点为H.
∵∠BFA=45°,∴tan 45°==1,
此时的影长AF=AB=17.3米,
∴CF=AF-AC=0.1米,∴CH=CF=0.1米,
∴大楼的影子落在台阶MC这个侧面上,
∴小猫还能晒到太阳.
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，锐角三角函数定义，理解题意，将实际问题转化为数学问题是解题的关键．